黎曼猜想：跨世纪难题

科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 叶 鹰编著 内容提要 这是一册对著名开放数学难题“黎曼猜想”进行系统阐述的高级科普读物。作者对这 一延续近 150 年的跨世纪难题作了独到诠释，并对 7 个千禧年数学大奖问题作了介绍。全书 风格简明，文笔健朗，将历史故事穿插于数学公式之间，兼顾知识性、趣味性和学术性，既 有启发意义，又有研究价值，可供大学生、研究生阅读和数学爱好者参考。 跨世纪难题黎曼猜想一览无余 千禧年大奖七大问题尽在其中 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 目 录 序 潘云鹤 开篇词 1 比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想 比“明珠”更亮的“宝珠”在闪光…… 2 理解黎曼猜想 黎曼猜想的表述…… 3 壮志难酬英雄何处 一代又一代数学家的努力付之东流…… 4 纯粹数学航标 解决黎曼猜想的意义…… 5 解决费马猜想的启示 用迂回战术解决黎曼猜想的思路…… 6 激励数学进步的猜想 数学猜想小会聚…… 7 未来展望 开放难题征解…… 深入研究参考文献 结束语 丛书后记 Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 1 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 序 科学技术正在以惊人的速度突飞猛进，这一状况导致的后果之一 是科学技术前沿离公众能理解和接受的平台越来越远；同时，科学技 术也正在以前所未有的深度和广度影响着经济发展和社会生活，这一 状况又导致公众对科学技术前沿的关注和了解的热情更加高涨。因 此，通过科普著作，拉近公众与科学技术前沿的距离、让公众认识并 理解科学技术前沿的精粹，是一项具有重大现实价值和深远意义的工 作。科技前沿博学丛书的策划和出版正好能符合这一需求。 科技前沿博学丛书包含的黎曼猜想、统一场论、碳笼化学、基因 工程、信息科技、纳米技术等，都是科学技术前沿的著名难点和热点。 作者采集大量最新信息，以通俗易懂的视角和语言形式将深奥的科学 问题与技术成就简明扼要地展现在读者面前，可以说既是对科学技术 前沿的发展综述，也是对现有科学技术成果普及化的再组织。 出版科技前沿博学丛书是一项具有战略眼光的工作，这套丛书兼 顾知识趣味性和学术严谨性，将科技前沿的基础知识和最新进展浓缩 在不多的篇幅中，适合现代快节奏生活中的人们阅读，并将在启迪青 年学生的科学兴趣方面独具特色，进而为科教兴国做出积极贡献。 中国工程院院士 浙江大学校长 2002 年 7 月 12 日 Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 2 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 开篇词 朋友，您读过徐迟先生的《哥德巴赫猜想》吗？ 那里说，有一颗“皇冠上的明珠”，至今还无人摘取…… 而这里，还有一颗更加明亮的“宝珠”，这就是黎曼猜想…… 也许您将是未来摘取“明珠”和“宝珠”的勇士。 本书将告诉您一些往事，增添你的知识和勇气。 努力吧，朋友！ Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 3 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 老师又说，自然科学的皇后是数学。数学的皇冠是数论。 哥德巴赫猜想，则是皇冠上的明珠。 同学们都惊讶地瞪大了眼睛…… ——引自徐迟《哥德巴赫猜想》 1 比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想 20 世纪 70 年代后期，徐迟先生的《哥德巴赫猜想》风靡神州大地，陈景润 这个名字和“皇冠上的明珠”这一词汇令人耳目一新。而今，那皇冠上的明珠， 仍在那里闪光，陈景润研究员本来已离那皇冠上的明珠仅一步之遥了，唉，可是 那明珠却又因陈景润的离去而变得似乎遥不可及。可是，你知道吗，就在 1995 年，英国数学家怀尔斯(A. Wiles, 1953-)却出人意外地解决了 358 年悬而未决的费 马猜想(即费马大定理)，摘取了这颗历史更加悠久、似乎更加奇异的夜明珠，让 人好不惊异，它使纯粹数学再次引人注目。 当我们仰望数学群山，发现在群山之巅，好像都镶嵌着宝珠或明珠，等待能 攀登上峰顶的勇士摘取，哥德巴赫猜想、费马猜想等就像位于邻近山峰不同峰顶 上的明珠。而当我们仰望那最高峰，隐约看见有一颗更加明亮而硕大的宝珠，在 纯粹数学巅峰闪光，那就是具有近 150 年历史的黎曼猜想(也称黎曼假设)。 让我们从 1858 年讲起吧。 1858 年的一天，习惯于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德国格廷根的街道上， 忽然，他脑海里奇思迸发，急忙赶回家中，写下了一篇划时代的 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 ，题目叫做 “论不大于一个给定值的素数的个数”。论文于 1859 年发表，这是黎曼生前发表 的惟一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。就是在这篇大作中，黎曼 先生提出了划时代的黎曼猜想。 黎曼(G. F. B. Riemann, 1826-1866)于 1826 年 9 月 17 日出生在德国汉诺威的 布列斯伦茨。他的父亲是位牧师，母亲是个法官的女儿，黎曼在 6 个兄弟姐妹中 排行老二。 黎曼 6 岁左右开始学习算术，很快他的数学才能就显露出来。10 岁时，他 的算术和几何能力就超过了教他的职业教师。14 岁时，黎曼进入文科中学，文 科中学校长施马尔夫斯(C. Schmalfuss)发现了他的数学才能，便将自己的私人数 学藏书借给这位生性沉静的孩子，一次，黎曼居然借走了著名数学家勒让德写的 859 页的大 4 开本《数论》，并用 6 天时间读完了它，大约这就是他对数论感兴 趣的开始。 1846 年春，19 岁的黎曼注册进入格廷根大学攻读神学，后转学数学和哲学。 1847 年春，黎曼转学到柏林大学，在那里就读了两年，师从著名数学家雅可比 (C.G.J.Jacob)和狄里赫利(P.G.L. Dirichilet)等。在大师的指导下，黎曼进步很快， 神不知鬼不觉地进入世界数学前沿。 黎曼先生的论著不多，但却非常深刻。1851 年 11 月，他提交了一篇题为“复 变函数一般理论基础”的论文作为博士学位论文，论证了现在通称的“柯西-黎 曼条件”，奠定了复变函数论基础，一举通过博士论文答辩，获得博士学位。 1854 年 6 月 10 日，由“数学王子”高斯(K.F.Gauss,1777-1855)任主考官， 黎曼发表了题为“论几何学的基本假设”的就职演讲，提出用流形的概念理解空 间的实质，创立了黎曼几何，一举通过答辩成为格廷根大学讲师；后于 1857 年 升任副教授；1859 年接替狄里赫利任教授。 Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 4 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 就凭上述 3 篇论著，黎曼奠定了他在数学史上不可替代的伟大地位。黎曼几 何后来成为爱因斯坦广义相对论的数学形式而广为传播，以至有人开玩笑说，上 帝简直就是专门为爱因斯坦广义相对论准备了黎曼几何。而且，至今没有几个人 能像黎曼那样在博士论文中就提出了如此突出的创新思想。 1862 年，才 36 岁、新婚不到一个月的黎曼竟然得了胸膜炎，真是祸不单行， 他还未完全康复又染上了肺结核，于是格廷根大学用政府经费供他到意大利疗 养，四年中，黎曼曾往返德、意两次，病情因外感风寒而恶化，不幸于 1866 年 7 月 14 日逝世于意大利的塞那斯加。 黎曼的深邃思想超越了他生活的时代，他在世时并不为数学界所重视。但随 着时间的推移，他的思想逐渐辉煌起来，尤其是黎曼几何成为广义相对论的数学 表述形式后，影响越来越大，直接左右了 19 世纪后半叶的数学发展，黎曼也因 此名扬世界。 黎曼的其他数学创造均被数学界确认无疑，惟有黎曼猜想，却难倒了一代又 一代杰出数学家。 图 1 黎曼：黎曼猜想之出谜人 顺便说一句，黎曼当年学习和任教的德国格廷根大学是 1737 年创建的一所 优秀的世界一流大学。1795 年，当 18 岁的高斯来到格廷根大学的时候，这里除 了数学文献多于别的大学外，还没有明显的数学优势。可是，后来经高斯、高斯 的 学 生 黎 曼 、 大 数 学 家 克 莱 因 (F. Klein, 1849-1925) 、 希 尔 伯 特 (D.Hilbert,1862-1943)、闵可夫斯基(H. Minkowski, 1864-1909)和外尔(H. Weyl, 1885-1955)等名师的合力创造，格廷根大学很快发展成为 19-20 世纪的世界数学 中心，以格廷根学派扬名数学界，世界上不少一流数学成果与格廷根大学有关， 不得不让人刮目相看。 2000 年 5 月 24 日，美国克莱数学会将黎曼猜想作为七个千禧年数学难题之 一公开悬赏征解，任何人只要能证明或推翻黎曼猜想，均可在论文公开发表 2 年并经专家评定认可后获得 100 万美元奖金，详情请看克莱数学会网站 http://www.claymath.org，本书后面也将专门介绍。 黎曼猜想被列入其中第四个千禧年大奖难题，您敢一试身手吗？ 真的，如果把数学比作群山，则数论是其中雄伟的一列山脉。黎曼猜想、哥 Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 5 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 德巴赫猜想和费马猜想就像位于不同山峰之巅的大大小小的宝珠、明珠，在那里 闪闪发光。而今，费马猜想已经被怀尔斯摘走，后面就看谁能摘取黎曼猜想和哥 德巴赫猜想了。 呵呵，比“明珠”更亮的“宝珠”在闪光…… 那么，黎曼猜想究竟是说什么呢？请继续阅读下一章。 这正是： 无限风光在险峰，吸引无数攀山人。 Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 6 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 这些是人类思维的花朵。这些是空谷幽兰、高寒杜鹃、老林中的人参、冰山 上的雪莲、绝顶上的灵芝、抽象思维的牡丹。 ——引自徐迟《哥德巴赫猜想》 2 理解黎曼猜想 相对而言，黎曼猜想比数论中的其他猜想要复杂些，因为其他数论猜想很多 是关于整数、素数等数字本身的，而黎曼猜想则涉及复变函数，要说清楚必须用 数学符号表述。 要理解黎曼猜想，首先得从黎曼ζ函数(读作 Zeta 函数)说起。 早在 1749 年，著名数学家欧拉(L. Euler, 1707-1783)就研究了实变量形式的 ζ函数，他证明当 s>1 时，下面的恒等式(现在称为欧拉恒等式)成立： ∏∑ −−∞ = − −= p s n s pn 1 1 )1( 其中∑叫和号，这里表示从 n=1 开始、累加至∞；∏叫积号，这里表示对所有 p 求连乘积。p表示素数，它与整数 n>1 之间由算术基本定理相联系： kr r kk pppn ...22 1 1= ，kr≥1，1≤j≤r， rppp >>> ...21 而黎曼 1859 年的创新是将变量 s 看作复变量，并引进记号： ∑∞ = −= 1 )( n snsζ 这就是黎曼ζ函数。其中 its +=σ 为复变量，其实部记作 σ=sRe 。 当 1Re >=σs 时，在形式上等同于欧拉恒等式。因而所有奇妙的事情将出现 在 1Re ≤=σs 范围。 使 )(sζ =0 的点叫做 )(sζ 的零点。负偶数-2，-4，-6，…都是 )(sζ 的零点， 叫做平凡零点，平凡零点都是实零点；此外发现的所有零点都具有 1/2+it 形式， 叫做非平凡零点，非平凡零点都是复零点。 简单地说，黎曼猜想就是想像ζ(s)=0 时 Re s=1/2，即所有非平凡零点都位 于 2/1=σ 这条直线上。这条直线叫做临界线。 严格地说，黎曼猜想由黎曼在 1859 年的那篇著名论文中提出的 6 个猜想构 成： (1) )(sζ 在带状区域 10 ≤≤σ 中有无穷多个零点(亦即 )(sζ =0 在带状区域 10 ≤≤σ 中有无穷多个解)。这种零点叫做非平凡零点。 (2) 以 N(T)表示 )(sζ 在矩形区域 Tt ≤≤≤≤ 0,10 σ 中的零点个数，则有 πππ 2/)2/log()2/()( TTTTN −≈ (3) 以ρ表示 )(sζ 的非平凡零点，∑ 表示对所有非平凡零点求和，则级数 ρ Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 7 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 ∑ − ρ ρ 2|| 收敛，而级数 发散。 ∑ − ρ ρ 1|| (4)A=-log2 和 B 为常数时， ∏ −= + ρ ρρζ /)/1()( sBsA eses 。 (5) )(sζ 的全部非平凡零点的实部都是 1/2。 (6)对于函数 ，有 ∑ ≤≤ −++=Λ= xn xJxJxJnnxJ 2 0 2/))0()0(()(,log/)()( )0(log)log)1(()()()( 120 ζ ρ ρ +−+−= ∑ ∫∞ − duuuuxLixLixJ x 这叫黎曼素数公式，其中 叫曼哥特(Mangoldt)函数， 是对数积分。 ⎩⎨ ⎧ ≥==Λ 0 1,,log )( kpnp n k ∫ −= x dxxxLi 0 1)(log)( 以上 6 个猜想除(5)外均已被证实，现在就留下猜想(5)未被证明，这就是通 常所说的黎曼猜想： 令 ， 则∑∞ = −= 1 )( n snsζ 2 1Re =s 其中 s 是复变量。 图 2 是 )(sζ 的空间形式图，也许能给读者提供直观想像： Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 8 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 图 2 表示成空间形式的黎曼 )(sζ 函数图 诸位读者看清了：这个黎曼猜想，连表达起来也确实比费马猜想和哥德巴赫 猜想难。难怪是个大难题呢！ 要知究竟有多难，请继续阅读下一章。 这正是： 理解不易，求解更难。 Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 9 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 一直到死，欧拉也不能证明它。从此，这成了一道难题，吸引了成千上万数 学家的注意。两百多年来，多少数学家企图给这个猜想作出证明，都没有成功。 ——引自徐迟《哥德巴赫猜想》 3 壮志难酬英雄何处 大概只有大师级的数学家才胆敢挑战黎曼猜想，他们也确实为解决黎曼猜想 进行过艰辛努力。 在推进黎曼猜想研究和证明黎曼猜想的大师级人物中，著名数论专家韦伊(A. Weil, 1906-1998)算是最杰出的一个。韦伊是个少年奇才，也是数学界著名的法国 布尔巴基学派的中坚人物。他 1922 年考入巴黎高等师范学校，1925 年年仅 19 岁就以“代数曲线上的算术”论文获得博士学位。韦伊雄心勃勃，曾证明过不少 难题，也对黎曼猜想研究作出过贡献，1941 年，他单枪匹马证明了函数域上的 广义黎曼猜想，极大地推进了黎曼猜想研究，于是他希望在 1959 年，也就是黎 曼猜想提出 100 周年时完全证明它。可是，尽管他和其他数学家经过艰辛努力， 却发现困难重重。于是他无可奈何地摇摇头，说：“就是再过 100 年，也不见得 能解决一般意义下的黎曼猜想。”这位 1947 年后在芝加哥大学任教授 12 年、后 任普林斯顿高等研究院教授的数学家，于 1979 年获得沃尔夫奖，但最终还是没 能彻底证明黎曼猜想。 图 3 韦伊：函数域上广义黎曼猜想的证明者 一次，大数学家希尔伯特(D. Hilbert, 1862-1943)对他的弟子们说到三个著名 的数论难题：黎曼猜想、费马猜想和超越数论中的 猜想。他说：由于对整函 数作了深入研究，黎曼猜想可望在 20 年内解决；而对代数数论已作了如此之多 研究，费马猜想也可能不久将被解决；唯有 猜想，可能永远超出数学家的能 力。可是，数学的发展却出人意料： 猜想在 1934 年被前苏联数学家盖尔封(А. О.Гельфонд)和德国数学家施奈德(T. Schneider)分别独立地解决了； βα βα βα Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 10 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 费马猜想也被怀尔斯在 1995 年证明；唯有黎曼猜想，虽然从多方面进行过探讨， 实质上进展不大。难怪后来 Hilbert 临终前叹曰：“如果我 1000 年后复活，我的 第一个问题就是：黎曼猜想解决了没有？” 有一个故事足以说明黎曼猜想的难度：英国著名大数学家哈代(G. H. Hardy, 1877-1947)很担心旅行风险，于是，每当他不得不长途旅行时，就事先给他的同 事发个电报说：“已经解决黎曼猜想，回来后再给出细节”。哈代的逻辑是：他这 样做了的话，上帝就不会让他出事故，否则世界上就要留下第二个像黎曼猜想一 样的不解之谜。因此，他从来没有出事故，但回来后也从来没有提供“解决黎曼 猜想的细节”。 图 4 哈代：把黎曼猜想当作旅行保险的数学家 哈代是 20 世纪初世界著名的分析数学家、英国分析学派的领袖人物，曾任 牛津大学、剑桥大学教授，对堆垒数论、素数分布论等贡献良多，一生著有论文 300 余篇、著作 11 部。他对印度数学奇才拉曼努詹(S. Ramanujan, 1887-1920)的 无私提携和真心帮助在数学史上留芳千古。他在数学界留下的名言是：“年轻人 应该证明定理，而老年人应该去写书。” 哈代对黎曼猜想的最大贡献是于 1914 年证明了 )(sζ 在直线 2/1=σ 上有无 穷多个零点，但仍未彻底解决黎曼猜想。 还有一个编造的故事：魔王听说有个叫黎曼的绝顶聪明的地球人居然研究了 一个绝顶聪明的猜想，还提出了黎曼几何等非同小可的创造，就来到黎曼面前对 他说：“你这个家伙，跟我到 X 星座 Y 星系 Z 星球去吧，那里都是宇宙中的顶尖 智者，你去和他们讨论吧。余下的难题就让它留给地球人好了。”说完不由分说 抓起黎曼的灵魂就奔向黑洞……因此，黎曼年仅 40 岁就离开了人间。 这可真是一个跨世纪难题，一个最难最难的难题呢！ 一代又一代数学家的努力付之东流…… 黎曼猜想究竟有什么了不起的意义值得如此去努力？请继续阅读下一章。 正好似： 路漫漫其道远兮，谁敢上下去求索？ Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 11 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 猜想起来也该是对的。猜想应当证明。要证明它却很难很难。 ——引自徐迟《哥德巴赫猜想》 4 纯粹数学航标 解决黎曼猜想的意义何在？一句话，黎曼猜想就像是纯粹数学航标，可以指 引纯粹数学的航向。 从现有数学研究和推论看，黎曼猜想是合理的，因此希望最终能证明它。 或者，设法找出 )(sζ 的哪怕只是一个不在 1/2 线上的非平凡零点，就可以否 证黎曼猜想。 与费马猜想有些类似的欧拉(L. Euler, 1707-1783)猜想就是因为发现反例而 被否证。欧拉是举世公认的少数几个大数学家之一，对数学做出过极大贡献，数 学中以他的名字命名的公式、方程、定理等比比皆是。有人曾问数学大师克莱因： “你认为数学中最伟大的公式是什么？” 克莱因毫不含糊地回答：“欧拉公式。” 为什么呢？据说克莱因的解释是：你看欧拉公式 zizeiz sincos += 当 z=π时，成为 10−=πie 它把数学中 5 个最重要的数联系在一起：0，1，π，i 和 e。0 和 1 是我们计数 的基础，π使我们认识了圆和球，i 让我们知道了虚数和复数，e 则给我们带来 了高等数学。由此，简单之中蕴涵的深刻可见一斑，欧拉的功绩也昭然在目。 而欧拉猜想则是说：当 n≥4 时，方程 nnnn wzyx =++ 无解。 自欧拉猜想提出 200 多年来，既未能证明它又未能否证它。虽然不少数学家 认为欧拉猜想应能成立，但 1988 年，哈佛大学的埃尔基(N. Elkies)教授却发现 了一个反例： 4444 20615673187960153656392682440 =++ 随后埃尔基还证明 4次方情形有无穷多个解。这说明未经证明的猜想是多么不可 靠，无论提出它的人多么著名和伟大，猜想必须证明。 黎曼猜想之所以重要，原因在于它不是孤立的猜想，通过它可以将纯粹数学 中的许多问题联系在一起。下面分三个方面说明： 首先，黎曼ζ函数与狄里赫利(P. G. L. Dirichlet, 1805-1859)L 函数一道构成解 析数论的核心。 设 q≥1，χ是模 q 的特征，则复变函数 ∑∞ = −= 1 )(),( n snnsL χχ 上式称为对应于特征χ的狄里赫利 L 函数。显然，狄里赫利 L 函数是黎曼ζ函 Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 12 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 数的推广，相应于狄里赫利 L 函数有广义黎曼猜想：L 函数的所有非平凡零点都 在临界直线 2/1=σ 上。 解析数论在很大程度上是围绕黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数的零点性质展 开的，许多数论函数的母函数最终也都与黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数有关。 解析数论的一个最基本、最重要的内容，就是研究黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函 数及其零点性质。 代数数论在很大程度上则是围绕戴德金(J. W. R. Dedelkind, 1831-1916) ζ函 数 )(sKζ 展开的： ∑∑ ≥ −− == 1 )()( n s n A s K naANsζ 其中 A 过代数数域 K 的整数环的所有非零理想。 )(sKζ 的解析性质包含了数域 K 的许多算术和代数信息。 )(sKζ 也是黎曼ζ函数的一个推广。 实际上，数论研究的中心问题可以归纳如下： 对于各种数论研究对象 X，可以考虑构造一个复变函数ζ或 L，使得ζ或 L 的解析特性(包括零点和极点特性、函数方程等)能反映 X 的算术和代数特性。 因此，黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数处于数论的中心地位。 其次，以黎曼猜想为基础，可以证明许多有趣的推论，尤其是有些推论后来 被无条件地证明了，这样，就加强了人们认为黎曼猜想成立的信心。 例如，如果黎曼猜想成立，则ζ函数在除 2/1=σ 以外的地方就肯定没有零 点，这样，在 1=σ 上显然也没有零点。于是，法国数学家哈达马(Hadamard)和 比利时数学家德万普(de la Vallee Poussin)据此在 1896 年分别独立证明了素 数定理：当 ∞→x 时， 1log)( → x xxπ 后来，素数定理被许多数论专家用其他方法进一步证明或改进，现已确认无疑。 第三，通过研究黎曼猜想的等价命题、强命题、弱命题、关系命题等，可以 将纯粹数学的一些核心问题紧密地联系在一起，使之构成一个美妙的系统。 黎曼猜想的等价命题如刘维尔(Liouville)函数猜想：对任何ε>0，有 )()( 2/1 ελ + ≤ =∑ xOn xn 其中λ(n)是刘维尔函数： ⎩⎨ ⎧ =− == ++ rr a r aaa ppn n n ...,)1( 1,1 )( 11 1 ...λ 黎曼猜想的强命题如梅顿(Mertens)猜想(1897 年由奥地利数学家梅顿提出)： 对于 x>1, 2/1|)(| xxM < 其中 ∑ ≤ = xn nxM )()( μ Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 13 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 而μ(n)是梅比乌斯(Mobius)函数。由梅顿猜想可以立即推出黎曼猜想。 但 1983 年奥丁科(Odlyzko)和里尔(Riele)借助计算机证明了梅顿猜想是错误 的，推翻了这个猜想。因此，比黎曼猜想强的猜想似乎很难成立。 黎曼猜想的弱命题如韦伊猜想：对于亏格为 g 的曲线 C，有： nn qgqNn 2|)1(| ≤+− 由韦伊猜想可以推出 的所有零点在∏∑ −− > −− −== p s a s C NpaNs 1 0 1 )1()(ζ 2 1Re =s 上。 1934 年哈斯(H.Hasse)证明它对于椭圆曲线成立；1948 年韦伊证明对于一般代数 曲线成立；1973 年德列(P. Deligne)证明对于一般代数簇成立；使曲线的黎曼猜想 得到证明。这样，比黎曼猜想弱的命题似乎不难成立。 既然比黎曼猜想强的猜想很难成立，比黎曼猜想弱的猜想不难成立，那么问 题的关键就是黎曼猜想本身了。 与之相关的还有贝赫-斯维讷通-戴尔(Birch-Swinnerton-Dyer)猜想，是说对于 有理数域 Q 上的椭圆曲线 E，L(E,s)在 s=1 上有一零点，其零点阶 r 等于 E 的蒙 德尔-韦伊(Mordell-Weil)群的秩。该猜想已被克莱数学会与黎曼猜想一道列入七 个千禧年数学难题之一。 因此，黎曼猜想成为纯粹数学的核心问题之一。解决了黎曼猜想，纯粹数学 的许多问题就将迎刃而解。 有没有解决的办法或思路呢？请继续阅读下一章。 这正是： 困难重重，敢问路在何方？ Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 14 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 且让我们这样稍稍窥视一下彼岸彼土，那里似有美丽多姿的白鹤在飞翔舞 蹈。你看那玉羽雪白，雪白得不沾一点尘土；而鹤顶鲜红，而且鹤眼也是鲜红的。 它踯躅徘徊，一飞千里。还有乐园鸟飞翔，有鸾凤和鸣，姣妙、娟丽，变态无穷。 在深邃的数学领域里，既散魂而荡目，迷不知其所之。 闵嗣鹤老师却能够品味它，欣赏它，观察它的崇高瑰丽。 ——引自徐迟《哥德巴赫猜想》 5 解决费马猜想的启示 陈景润当年是不幸的，只能在 6 平方米的陋室中攻克世界难题；但他又是幸 运的，因为有闵嗣鹤这样的老师能欣赏他的成果。但愿我们的后代不再经历如此 艰辛的人生。 面对黎曼猜想，没有现成的道路可走，但有一些经验可供借鉴。这里就有怀 尔斯证明费马大定理的卓绝思路，可供参考。这条通达费马猜想的小道也许可能 提供用迂回战术解决黎曼猜想的思路…… 费马猜想是说，对于不定方程： nnn zyx =+ 当 n≥3 时无整数解。 这是一个很容易理解的问题，但要证明它却很难。 据考证，费马(Pierre de Fermat, 1601-1665 )约在 1637 年前后将这个猜想记在 丢番图《算术》一书的页边，但直到他的长子整理成书于 1670 年正式发表前一 直不被世人所知。 贝尔(E. T. Bell)把高斯称为“数学家之王”或“数学王子”，费马则被称做“业 余数学家之王”或“业余数学王子”。这位“业余数学王子”总是喜欢恶作剧， 他居然在猜想旁边草草写下一个注记： 对此命题， 我有一个十分美妙的证明， 这里空白太小， 写不下。 Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 15 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 图 5 费马：“业余数学家之王” 这小小的一段文字不要紧，却让后人为此冥思苦想。300 多年来，不知有多 少绝顶聪明的数学家为找到这个写不下的证明费尽心思，从 1670 年到 1995 年被 怀尔斯最终解决，共经历了 325 年时间。的确，怀尔斯的证明长达 108 页，当年 费马就是要写也确实“写不下”。 费马猜想如此引人注目，还得从沃尔夫斯凯尔奖说起。 1908 年，德国实业家沃尔夫斯凯尔(Paul Wolfskehl)在他的遗嘱中宣布，把 他财产中的一大部分遗赠作为一个大奖，奖金为 10 万马克，奖给任何能证明费 马大定理的人，因为费马大定理在他因失恋绝望准备自杀时，曾奇迹般吸引住他， 从而挽救了他的生命。 奖金由格廷根皇家科学协会负责掌管，它在同一年正式宣布了沃尔夫斯凯尔 奖的规则： 根据在达姆斯塔物去世的保罗·沃尔夫斯凯尔博士授予我们的权力，我们在 此设立 10 万马克的奖赏，准备授予第一个证明费马大定理的人。 下列规定将予以遵守： (1)格廷根皇家科学协会拥有绝对的权力决定该奖授予何人。本会拒绝接受 任何以参与竞赛获得该奖为惟一目的而写的任何稿件。本会只考虑在定期刊物上 以专著形式发表的或在书店中出售的数学专题论著。协会要求作者呈交至少 5 本已出版的样稿。 (2)凡以评委会挑选的学术专家不能理解的语言发表的著作，不属本竞赛考 虑范围。这类著作的作者可以用忠实于原文的翻译本代替原著。 (3)协会没有责任审查未提请它注意的著作，也不对可能由于著作的作者、 或部分作者不为协会所知这个事实而造成的差错承担责任。 (4)在有多名人员解答了这个问题，或者该问题的解答是由几名学者共同努 力所致的情况下，协会保留决定权，特别是对奖金分配的决定权。 (5)协会举行颁奖不得早于被选中的专著发表后的两年。这段时间供德国和 外国的数学家对所发表的解答的正确性提出他们的 意见 文理分科指导河道管理范围浙江建筑工程概算定额教材专家评审意见党员教师互相批评意见 。 (6)此奖的授予由协会确定后，秘书就以协会的名义立即通知获奖者，此结 果将在上一年曾宣布过这项奖的各地公布。协会对该奖的指派一经决定，就不再 更改。 (7)在颁布后 3 个月内，将由格廷根大学皇家出纳处向获奖者支付奖金，或 者由受奖者自己承担风险在他指定的其他地点支付。 (8)钱款可按协会的意愿以现金或等值的汇票送收。汇票送达即认为已完成 奖金的支付，即使在这天结束时汇票的总价值可能不到 10 万马克。 (9)如果到 2007 年 9 月 13 日尚未颁布此奖，将不再继续接受 申请 关于撤销行政处分的申请关于工程延期监理费的申请报告关于减免管理费的申请关于减租申请书的范文关于解除警告处分的申请 。 格廷根皇家科学协会 1908 年 6 月 27 日 所有的专业数学杂志都刊登了设立沃尔夫斯凯尔奖的通告。消息迅速传遍德 国和欧洲，接着传遍全世界。这则通告虽然对职业数学家来说几乎毫无意义，但 它却成功地唤起了公众对纯粹数学的注意和青少年一代的热情。当时，职业数学 家大多将证明费马大定理看作是不可能的事。确实没错，能证明它的人近半个世 纪后才出生呢。 1953 年，怀尔斯来到了这个世界上，他从小就迷上了数学。10 岁那年的一 天，怀尔斯放学回家，顺道去了一个小图书馆，没想到被其中一本叫做《大问题》 Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 16 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 (The Last Problem)的书吸引住了，其中通俗地讲述了看起来如此简单却难倒无 数大数学家的费马大定理，怀尔斯一口气读完了它，暗暗下定决心：“我必须解 决它。” 怀尔斯的中学和大学时代平淡无奇，但是他知道，他所做的每一件事都是为 证明费马猜想做准备的。没有坚实的基础，就不可能摘取这颗夜明珠。 1974 年，怀尔斯从剑桥大学莫尔顿学院毕业；1975 年，怀尔斯被剑桥大学 克莱尔学院录取为研究生，导师是研究椭圆曲线的专家科茨(John Coates)。在 科茨的指导下，怀尔斯精心研究了各种椭圆曲线、椭圆方程，为他攻克费马猜想 奠定了方法论基础。1977 年，怀尔斯获得剑桥大学博士学位。 获得博士学位后，怀尔斯横渡大西洋到美国哈佛大学当了 3年助理教授，然 后于 1981 年应聘入美国普林斯顿高等研究院任研究员，次年任普林斯顿大学教 授。 经过多年研究，怀尔斯先后解决了岩泽主猜想和特殊 BSD 猜想等数学难题， 算是完成了总攻费马猜想的所有知识和技能准备。 因此，专家总是告诫年轻人：在当今知识积累如此丰厚的数学领域，要想解 决数学难题必须首先进行系统的学习训练，完成博士学业后才算勉强进入专业前 沿，接着还要经过多年实际研究才具备攀登数学高峰的基础。靠小聪明碰巧解决 数学难题的时代已经一去不复返了。当然，少年立志也很关键。所以，尽管怀尔 斯像常人一样生活：读书、工作、恋爱、抚养孩子，但他却一直关注着费马大定 理的研究动向，这是他的人生目标和理想寄托之所在。 1986 年夏末，怀尔斯得知，伯克利加州大学里比特(Ken Ribet)教授已经在 弗莱(Gerhard Frey)的想法基础上、在哈佛大学马休尔(Barry Mazur)教授启发 下证明了费马猜想等价于志村-谷山-韦伊猜想，立即意识到总攻费马猜想的时刻 来到了。于是，一个专心孜孜的攻坚 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 启动了。 怀尔斯坚决地放弃了所有与证明费马猜想无直接关系的工作，也不再参加没 完没了的学术会议和报告会，而躲进了他家顶楼的书房，开始了研究证明志村- 谷山-韦伊猜想的方法。从开始着手证明的时刻起，怀尔斯就作了一个与当代注 重学术交流与合作的科研形式背道而驰的决定：要完全独立和保密地进行研究。 因此，除了他的妻子娜达(Nada Wiles)，谁也不知道怀尔斯试图证明费马猜想这 个秘密。怀尔斯后来解释说，他决定秘密地工作的部分原因是他希望自己的工作 不受干扰；而保密的另一个原因估计是为了避免今后麻烦：通常人们会讥笑那些 想证明费马猜想这样的世界难题、最后却不能如愿的“狂人”，如果真的不能完 成证明就自己默默承受，能证明时也可以独享证明的荣誉。 从 20 世纪 80 年代早期开始，怀尔斯一直在从事某些特殊类型的椭圆方程的 重要研究，为了不引起怀疑，怀尔斯还是在一点一点地发表他的研究成果，即每 隔 6个月左右发表一篇小论文。这些看得见的成果使他的同行们认为他仍然在继 续他平常的研究，而未透露出任何证明费马猜想的工作。 怀尔斯雄心勃勃试图解决费马猜想的总体策略是想要通过椭圆曲线中的志 村-谷山-韦伊猜想(所有椭圆曲线均为模曲线)来证明费马大定理。 设 E 是定义在数域 K 上的一条椭圆曲线 ，则 E 在 K 上的全体点可以构成有限生成交换群 E(K)。构作 E的 L函数 ),(32 Kbabaxxy ∈++= ∑∞ = −= 1 )( n s nE nasL Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 17 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 1967 年，韦伊猜想，对于 ， 一定是权 2的海克形式。 )(sLE ∑∞ = = 1 2)( n ins neasf π 这与志村-谷山猜想(每一个椭圆方程必定与一个模形式相关联)等价，因而合称 志村-谷山-韦伊猜想(Shimura-Taniyama-Weil Conjecture)。怀尔斯最后就是通 过对于一类半稳定的椭圆曲线证明了志村-谷山-韦伊猜想，从而证明了费马大定 理。 为了证明志村-谷山-韦伊猜想，必须首先证明：无限多个椭圆方程中的每一 个可以和一个模形式相配对。具体方法是：可以先证明某一个椭圆方程的全部基 因(即 E-序列)可以与一个模形式的全部基因(即 M-序列)相配对，然后转移到下 一个椭圆方程。虽然这是一种完全可以想得到的处理方法，但是由于是面对无限 序列，所以当时还没有人找到一种能对无限多个椭圆方程和模形式反复地重复这 个过程的方法。 一开始，怀尔斯采用伽罗瓦群实现了第一步：每一个椭圆方程的一小部分解 可以用来构成一个群。经过几个月的分析，怀尔斯证明了这个群的每一个 E-序 列的第一个元素确实可以和一个 M-序列的第一个元素配对。为了对付无限性， 他需要证明每一个 E-序列的第一个基因可以和每一个模形式的第一个基因配 对，怀尔斯的处理方式比之传统的处理方式有很大的优点。因为在旧的方法中， 一旦证明了某一个 E-序列的全部元素与一个 M-序列的全部元素可以配对，那么 就必然要问：哪一个 E-序列和 M-序列是接着要进行尝试配对的？这无限多个 E- 序列和 M-序列并没有自然的次序，因而接着选择哪一个来处理有很大的任意性。 而在怀尔斯的方法中，极为关键的是 E-序列中的基因确实有自然的次序，因而 在证明了所有的第一个基因配对(E1=M1)后，下一步就理所当然是证明所有的第 二个基因配对(E2=M2)，依此类推。这样，实际上就是应用归纳法。 怀尔斯花了两年的时间完成了这一步，但前程并不明朗。他开始研究一种在 剑桥当科茨的研究生时已经学过的分析椭圆方程的一种方法——伊娃沙娃理论 (Iwasawa theory)。虽然这个方法本身不足以解决问题，但他希望能够改进它， 使它变得足够强。 1991 年夏天，怀尔斯发现他改进伊娃沙娃理论的努力已经失败。他必须证明： 如果椭圆方程的 E-序列中的一个元素与模形式的 M-序列中的一个元素相配，那 么下一个元素也应如此。他还必须能保证每一个椭圆方程和每一个模形式都是这 种情形。伊娃沙娃理论不可能给予他所需要的这种保证。他再一次查遍了所有的 文献，仍然找不到一种可替代的方法来帮助他实现他所需要的突破。在普林斯顿 “隐居”达 5年之后，他认定必须重返学术交流圈以便了解最新的数学成果，于 是他北上波士顿去出席一个关于椭圆方程的重要会议，在那里怀尔斯受到来自世 界各地的同行们的欢迎，他们很高兴在他这么长时间不参加各种会议之后又见到 他。 特别重要而关键的事情发生了，怀尔斯碰见了他以前的导师科茨，科茨对他 说：最近俄国的科利瓦金(V.A. Kolyvagin)教授设计了一种新的方法，一个名叫 弗拉奇(M. Flach)的研究生正在改进这种方法并用它写一篇精妙的分析椭圆方 程的论文。怀尔斯如获至宝，这一方法似乎完全是为他的问题特制的。 回到了普林斯顿后，他将伊娃沙娃理论完全丢在一边，夜以继日地专心于扩 展科利瓦金-弗拉奇方法。从理论上说，科利瓦金教授设计的这种数学方法极其 强有力，而弗拉奇的进一步改进使得它更具潜力。怀尔斯采用这个新方法后，可 Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 18 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 以将论证从椭圆方程的第一项扩展到所有各项，并且有可能对每一个椭圆方程都 有效。 不久，对一种特殊的椭圆方程，怀尔斯已经用科利瓦金-弗拉奇方法使归纳 证明奏效。但科利瓦金-弗拉奇方法对一种特殊的椭圆方程能行得通，不一定对 别的椭圆方程行得通。怀尔斯进一步研究后发现，所有椭圆方程可以分类为不同 的族，一旦科利瓦金-弗拉奇方法经修改后对某个椭圆方程奏效，那它就对那一 族中所有的别的椭圆方程都有效。于是，怀尔斯的任务就是要改造科利瓦金-弗 拉奇方法使得它对每一族都能奏效。尽管有些族比其他族更难对付，怀尔斯却坚 信他能用科利瓦金-弗拉奇方法一个接一个地解决它们。 经过 3年的艰苦努力，怀尔斯相信胜利已经在望。每个星期他都有进展，证 明了更新、更大族的椭圆曲线一定是可模形式化的。看来，好像证明那些尚未解 决的椭圆方程只是个时间问题了。在证明的最后阶段，怀尔斯开始意识到，他的 整个证明必须以严格的方式进行检验。 大约在 1993 年 1 月份的上半月，怀尔斯请在普林斯顿大学数学系任教的凯 兹(Nick Katz)教授协助检验，他们商量了一个既保密又稳妥的办法，就是对研 究生开设一门名叫“椭圆曲线的计算”的研究生课程。课程一开始就进入专门性 的计算，世界上不可能有人能猜到这种计算的真正目的。这种计算既冗长又乏味， 选课的研究生们一个接一个溜走了，几个星期后，凯兹教授就成了留在听众席上 仅有的一个人。 “椭圆曲线的计算”作为研究生课程无疑是失败了，但它作为辅助检验怀尔 斯的证明却成功了。凯兹教授在课程结束时 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 说，科利瓦金-弗拉奇方法应该 是完全可行的。 于是，怀尔斯就沿着这条证明的道路坚定地走下去了。他成功地将科利瓦金 -弗拉奇方法应用于一族又一族的椭圆方程。最后，只剩下一族椭圆方程了。 1993 年 5 月末的一个早晨，娜达带着孩子们一起出去了，怀尔斯坐在书桌旁 思考着剩下的一族椭圆方程。他随意地翻看着马休尔教授的一篇论文，恰好其中 有一句话引起了他的注意。马休尔教授提到一了个 19 世纪的构造，怀尔斯突然 意识到应该能够使用这个结构来使科利瓦金-弗拉奇方法也适用于最后一族椭圆 方程。怀尔斯一阵欣喜，立即投入工作，忘记了下楼吃午饭，直到下午。到了大 约三四点钟饮茶休息的时间，他解决了最后剩下的问题，怀尔斯走下楼来。娜达 看看表，非常惊奇地望着他，他却平静地对她说：“我已经解决了费马大定理。” 全家人立即为他欢呼起来。 从 1986 年到 1993 年，经过 7 年的专心努力，怀尔斯终于完成了对志村-谷 山-韦伊猜想的证明，作为一个结果，经历了从 10 岁到 40 岁共计 30 年对它的梦 想，他也证明了费马大定理。 恰好 1993 年 6 月末在剑桥有一个数论方面的工作报告会要举行，怀尔斯想， 这也许是宣布证明费马大定理的好地方——“它是我古老的家乡，我曾经是那里 的一个研究生。” 怀尔斯如是说。 怀尔斯为这次会议带去了一个系列演讲，标题为“模形式、椭圆曲线和伽罗 瓦表示”。会议在剑桥大学牛顿研究所举行，会议名称叫做“L函数和算术”，组 织者之一是怀尔斯的博士导师科茨。值得一提的是，每一个对促成证明费马大定 理的思想方法作出过贡献的人实际上都到了会场，包括马休尔教授、里比特教授、 科利瓦金教授以及许许多多数论专家。 怀尔斯到达剑桥后，首先将一份证明复印稿交给了马休尔教授。里比特教授 Copyright©Y.Ye http://libweb.zju.edu.cn/yy/ 19 科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 也从四处扩散的电子