基于四分之一车辆模型的具有随机结构参数车辆的随机动力分析

振 � 动� 与 � 冲 � 击 第 29卷第 6期 JOURNAL OF V IBRAT ION AND SHOCK Vo.l 29 No. 6 2010� 基于四分之一车辆模型的具有随机结构参数车辆的随机动力分析 基金项目: 西安文理学院院级重大课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 资助项目 ( zd200903) 收稿日期: 2009- 11- 16� 修改稿收到日期: 2010- 01- 26 作 � � 者 戴 � 君 女,硕士,副教授, 1963年生 戴 � 君 (西安文理学院 机械电子工程系, 西安 � 710065) � � 摘 � 要: 通过具有随机结构参数的四分之一车辆模型研究了具有不确定性结构参数的车辆在受到来自道路的随 机激励作用下的振动响应问题。将簧上质量、簧下质量、悬挂阻尼、悬挂刚度以及轮胎刚度均认为是随机变量。将路面的 不平整引起的对车辆的激励看作高斯随机过程并通过简单指数功率谱密度来建立力学模型。利用蒙特卡洛方法得出了 车辆的固有频率和模态振型的均值、 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差以及变异系数。利用随机变量函数矩方法在频域中建立了车辆的随机响应的 均方值的数字特征的计算 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式。通过工程算例表明了车辆结构参数的随机性对其动力响应的影响。本文所做的工作 可拓展应用于车辆结构参数的灵敏度分析和动力优化 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 。 关键词: 四分之一车模型; 车辆;随机参数; 随机变量;随机响应; 数字特征 中图分类号: U461� � � 文献标识码: A � � 我们知道, 行驶在高低不平的道路表面的车辆将 会产生振动。多年来, 汽车动力学研究一直是一个热 点研究问题,因为汽车的乘坐舒适程度、汽车的安全性 以及所有汽车的性能都是人们关注的问题。文献 [ 1- 6]进行了主动与被动车辆悬挂系统的动力特性的 理论与应用研究。四分之一车模型是最简单的车辆模 型。车身质量一般都表示为簧上质量, 而轮胎, 制动, 以及悬挂系统的质量认为是簧下质量。地面的不平整 度引起的不规则的激励可以看成是一个随机过程,并 且可以通过频域中的不同的功率谱密度函数来描述。 比如: 道路位移的单坡和双坡功率谱密度 [ 7- 8] , 白噪声 和有色白噪声 [ 9]等等。尽管在这一研究领域汽车动力 学的研究已经取得了很大发展, 但是, 大多数的研究仍 然是基于车辆结构参数为确定性的力学模型。实际 上,由于各零部件的生产误差、磨损以及老化等因素的 影响, 弹簧刚度和阻尼率相对于名义值是变化的。车 辆加载条件的变化以及由于轮胎保养不好常造成轮胎 压力的不确定性。车身的质量以及轮胎的径向刚度往 往是一个随机变量 [ 7]。对于载人车辆, 乘客的重量以 及位置也常常呈现出大变化。除此之外, 即使在同一 生产线上生产的同一品牌的车辆其尺寸、重量以及性 能等都不是完全一样的。因此, 研究不确定结构参数 车辆的振动问题在实际工程应用中具有很重要的 意义。 本文中用两自由度的四分之一车模型来研究具有 不确定性的车辆的随机振动问题和结构参数变化对车 辆动力响应的影响。车辆参数被认为是随机变量,道 路的不平整看作高斯随机过程, 利用蒙特卡洛法 (MC� SM )和随机变量矩法 ( RVFMM )得到具有不确定性结 构参数车辆的随机动力特性及随机动力响应。 1� 车辆模型 图 1为两自由度的四分之一车辆模型。在此模型 中, 与车体一个轮子相对应的簧上质量和簧下质量分 别由m s和 mu表示。悬挂系统由刚度为 ks的线性弹簧 和阻尼为 cs的线性阻尼表示,而轮胎由刚度为 kt的线 性弹簧来模拟。因为轮胎的阻尼非常小, 所以本文忽 略不计。激励来自道路的不平整度 xr。这个看似简单 的四分之一车辆模型被广泛的应用于研究车辆的动力 性能研究 [ 8]。此系统的动力学方程可表为: MX �� + CX � + KX = P (1) 其中: M = m s 0 0 mu � C = cs - cs - cs cs K = ks - ks - ks ks + kt � P = 0 ktxr � X = xs xu � (2) 图 1� 四分之一车模型 F ig. 1 The quarter�carm ode l of vehic le 2� 具有随机结构参数车辆的动力特性分析 参数 m s, m u, ks, cs和 kt均被认为是随机变量。车 辆参数的随机性将导致质量矩阵M、刚度矩阵 K和阻 尼矩阵 C以及随之而得出的车辆第 j阶的固有频率 �j、模态振型 �以及模态阻尼比 j的随机性。若已知 随机变量的均值 ( !)和标准方差 (∀ ),由此根据两者的 比值 #= ∀ /!可以得出随机变量的变异系数 #。 根据 Rayle igh(瑞利 )商,结构的第 j阶固有频率可 以表示为: �2j = ∃ T jK ∃ j ∃ TjM ∃ j ( 3) 结构的第 j阶模态阻尼比可表为: j = 1 2�j ∃ Tj C ∃ j ∃ TjM ∃ j ( 4) 在工程实际中, 具有不确定性的结构参数通常被 认为是正态随机变量。本文中, 所有不确定性参数均 认为是正态分布且相互独立。通过使用蒙特卡洛法, !�j, ∀�j, !∃ , ∀∃ , ! j和 ∀ j均可以获得。对于两自由度 系统, 计算所耗费的时间是完全可以接受的。 3� 具有随机参数结构的随机振动分析 在频域内, 车辆位移响应的功率谱密度函数矩阵 可表为: SX ( �) = �H ( �) �TSp (� ) �H * ( �) �T ( 5) 其中,H* ( � )为 H ( �)的共轭矩阵,而 H ( �)为车辆的 频率响应函数矩阵可由如下公式得到: H ( � ) = d iag[H j ( � ) ], H j (� ) 1�2j - �2 + i� 2%j�j�, i = - 1, � j = 1, 2 ( 6) [Sp ( �) ]为路面对车辆的激励 P的功率谱密度矩阵: [ Sp (� ) ] = 0 0 0 k 2 tS sr ( �) = 0 0 0 k 2 t A b# �2 ( 7) 其中, A b是道路的不规则参数 [ 7- 8]。 在频率域内对 SX ( � )积分, 车辆第 k个自由度的 动力响应均方值可以表示为: &2X k = �k !- ! H (� ) �T Sp (� )�H * (� )�T d� k = 1, 2 ( 8) 其中, �k为矩阵 �的第 k个行向量。 结构动力特性的随机性以及所受激励的随机性必 然引起结构响应的随机性。利用 RVFMM [ 10- 11] , 由式 ( 8)可以得到车辆的第 k个自由度的随机响应均方值 的均值 !∋2Xk和标准方差 ∀∋2Xk如下: !&2 Xk = !- ! !� k!H (�) !�TSp (� ) !� !H* (�) !�Tk d� k = 1, 2 ( 9) ∀&2Xk = { !- ! [ (∀� k !H (� ) !�TSp ( �) !�!H * (� ) !�Tk ) 2 + (!� k∀H (� ) !�TSp ( �) !�!H * (� ) !�Tk ) 2 + (!� k!H (�) !�TSp ( �) !�!H* (� ) !�Tk ) 2 + (!� k!H (�) !�TSp ( �) ∀�!H * (� ) !�Tk ) 2 + (!� k !H (�) !�TSp ( �) !�!H* (� ) !�T k ) 2 + (!� k!H (�) !�TSp ( �) ∀�!H * (� ) ∀�Tk ) 2 ] d�} 1 /2 k = 1, 2 ( 10) 其中: ∀H (�) = d iag [ ( 2!�j + i2!%j� )∀�j ] 2 + [ ( i2!�j�) ∀%j ] 2 ( !2� j - �2 + i2!% j !� j � ) 2 1 /2 j = 1, 2 ( 11) 由方程 ( 9)和 ( 10)可以得到车辆的第 k个自由度的响 应的均方值的变异系数如下: #&2Xk = ∀&2Xk!&2Xk ( 12) 4� 数值算例 4. 1� 通过蒙特卡洛法求解固有频率和模态振型 � � 算例中车辆参数的均值见表 1。这是一个典型的 轻型轿车 [ 7]。在下面的仿真过程中, m s, mu, ks和 kt均 被认为是正态随机变量,并且, A 0 = 1. 4e- 5(m ), v= 50 (m /s)。 为了研究随机变量 m s, mu, ks和 kt的不确定性对 车辆固有频率和模态振型的影响, 算例中分别给出了 这些随机变量不同的变异系数, 图 2和图 3给出了固 有频率和模态振型的仿真直方图。表 2表 3给出了动 力特性的均值、标准方差和变异系数。应当指出,在内 存为 512M b、CPU为 2. 8 GHz的计算机上进行上述算 例的 50 000次的蒙特卡洛仿真计算只用了不到 100 s 的时间。 表 1� 四分之一车模的系统参数的均值 Tab. 1 The m ean values of veh icle system param eters for the quarter�car model 参数 m s m u ks cs k t 均值 !m s = 240 kg ! mu = 36 kg ! k s = 16 000 N /m ! cs = 980 Ns /m ! k t = 160 000 N /m 从图 2和图 3可以看出,即使车辆的参数是正态 分布的随机变量, 但其固有频率和模态振型几乎已经 不再是正态分布的随机变量, 当车辆参数的变异系数 非常小时,其动力特性近似遵循正态分布, 然而, 随着 车辆参数随机性的增加, 其动力特性很明显地越来越 偏离正态分布。 212 振 动 与 冲 击 � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2010年第 29卷 图 2� 第一阶固有频率的 50 000次仿真直方图 (实线表示正态分布 ) F ig. 2 H istog ram of 50 000 s imu lations for the first natural frequency ( so lid line�norm a l d istribution) 表 2� 固有频率的数字特征 (单位 rad / s) Tab. 2 The resu lts of num er ical character istic s for natural frequency ( un it: rad / s) 模型 MCSM方法!�1 ∀�1 #�1 MCSM方法 !�2 ∀�2 #�2 #m s= #mu = #k s = #k t = 0 7. 780 1 0 0 69. 964 5 0 0 #m s= 0. 2� #m u =#k s= #k t = 0 7. 906 7 0. 877 0 0. 110 9 69. 966 5 0. 011 1 1. 587 7e- 4 #m u = 0. 2� #m s =#k s= #k t = 0 7. 780 1 9. 851 4e- 4 1. 266 2e- 4 71. 102 0 7. 845 9 0. 110 3 #k s = 0. 2� #m s= #mu = #k t = 0 7. 735 7 0. 721 1 0. 093 2 69. 965 1 0. 650 7 0. 009 3 #k t = 0. 2� #m s = #m u = #k s = 0 7. 764 7 0. 086 6 0. 011 2 69. 675 7 6. 444 0 0. 092 5 #m s = #m u = #k s = #k t = 0. 2 7. 846 7 1. 141 8 0. 145 5 70. 867 9 10. 334 8 0. 145 8 #m s = #m u = #k s = #k t = 0. 1 7. 793 1 0. 535 3 0. 068 7 70. 164 2 4. 825 4 0. 068 8 表 3� 模态振型数字特征的计算结果 Tab. 3 The resu lts of numer ical characteristics for model shapes 模型 MCSM方法!�11 ∀ �11 #� 11 MCSM方法 !� 22 ∀ � 22#� 22 # m s = # mu = # k s = # k t = 0 - 0. 064 5 0 0 0. 166 6 0 0 # m s = 0. 2� # m u =# k s = # k t = 0 - 0. 065 6 0. 007 3 - 0. 110 9 0. 166 6 2. 733 9e- 5 1. 6414e- 4 #m u = 0. 2� #m s =#k s= #k t = 0 - 0. 064 5 8. 373 4e- 6 - 1. 298 0e - 4 0. 169 3 0. 018 7 0. 110 6 #k s = 0. 2� #m s= #mu = #k t = 0 - 0. 064 5 1. 500 2e- 5 - 2. 325 6e- 4 0. 166 6 3. 873 4e- 5 2. 325 6e- 4 #k t = 0. 2� #m s = #m u = #k s = 0 - 0. 064 5 2. 232 2e- 5 - 3. 460 6e- 4 0. 166 5 5. 763 5e- 5 3. 460 6e- 4 # m s = # m u = # k s = # k t = 0. 2 - 0. 065 5 0. 007 3 - 0. 111 6 0. 169 4 0. 018 9 0. 111 7 #m s = #m u = #k s = #k t = 0. 1 - . 064 7 0. 003 3 - 0. 050 9 0. 167 2 0. 008 5 0. 051 1 213第 6期 � � � � � � 戴 � 君: 基于四分之一车辆模型的具有随机结构参数车辆的随机动力分析 图 3� 模态振型 � 11 的 50 000次仿真直方图 (实线表示正态分布 ) F ig. 3 H istogram o f 50 000 simu lations fo r the m ode shape � 11 ( solid line�norm a l d istr ibution) � � 由表 2、表 3以及图 2和图 3可以得出以下结论: 车辆固有频率的不确定性取决于簧上质量、簧下质量、 悬挂系统刚度和轮胎刚度的不确定性。簧上质量的随 机性对车辆第一阶固有频率的影响最大; 然而, 簧下质 量的随机性对车辆第二阶固有频率的影响最大。模态 振型的随机性几乎取决于簧上质量和簧下质量的不确 定性, 而且几乎不取决于悬挂系统以及轮胎的刚度。 当只考虑簧上质量、簧下质量、悬挂刚以及轮胎刚度其 中之一的不确定性时, 其车辆动力特性要比同时考虑 上述因素的不确定性时变化值小。 图 4� 弹簧质量的变异系数与第一阶固有 频率的变异系数之间的关系 F ig. 4 The relationship betw een the variation of first natural frequency and sprung m ass 从图 4可以看出, 车辆的第一阶固有频率和簧上 质量的变异系数之间的关系是非线性的。当弹簧质量 的变异系数� 0. 2时, 车辆的第一阶固有频率的分散度 逐渐增加。然而,当弹簧质量的变异系数 0. 2时, 车 辆第一阶固有频率的变异系数有很多峰值,因此,此时 概率分析方法似乎已经不再适用, 而区间因子法更适 合得到车辆动力响应的变化范围 (下界和上界 )。 4. 2� 随机响应 在得到具有不确定参数的车辆的固有频率和模态 振型的随机性后, 其随机响应的数字特征可以通过 RVFMM方法来获得, 其计算结果列于表 4。为了研究 各个参数对车辆随机响应的影响, 算例中分别给出了 几组不同的变异系数 #m k, #mu, #ks, #k t的值。此外, 通过 MCSM方法可以得到系统的随机响应,其结果列于表 4 中。在计算中,仍然进行了 50 000次仿真计算。在表 4中, &2X m s 和 &2X m u 分别表示簧上质量和簧下质量的随机 位移响应的均方值。 从表 4中可以看出, 利用 RVFMM方法得出的车辆 位移响应均方值的变异系数和标准差要比利用 MCSM 方法的出的结果偏大,由 RVFMM方法的出的结果更保 守一些。本文提出的方法更省时,当 #m s = #m u = #k s = #c s = #k t = 0. 2时,只需要 183. 2 s就可以得到车辆的位移 响应的数字特征, 而 MCSM方法需要耗时 26 482. 5s。 簧上质量与簧下质量的不确定性分别对系统位移响应 的均方值影响最大, 随着车辆参数的变异系数的逐渐 214 振 动 与 冲 击 � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2010年第 29卷 表 4� 系统响应的均方值的均值、标准差和变异系数 (* MCSM 方法,单位 mm2 ) Tab. 4 The m ean value, standard deviation and variation coefficien t ofm ean square d isp lacem en t (* MCSM, un it: mm2 ) 模型 !&2Xms ( ∀ 103 ) ∀&2Xm s #&2Xm s !&2Xm u ( ∀ 103 ) ∀&2Xm u #&2Xm u # m s = # m u = # k s = # c s = # k t = 0 4. 333 2 0 0 1. 024 7 0 0 # m s = 0. 1� # mu = # k s = # c s =# k t = 0 4. 345 0 45. 174 2 0. 104 0 1. 024 9 13. 530 9 0. 013 2 # m u = 0. 1� # m s = # k s = # c s =# k t = 0 4. 312 1 16. 540 4 0. 038 4 1. 024 4 74. 038 9 0. 072 3 # k s = 0. 1� # m s = # m u = # c s =# k t = 0 4. 336 4 39. 620 1 0. 091 4 1. 024 5 18. 265 0 0. 017 8 # c s = 0. 1� # m s = # m u = # k s =# k t = 0 4. 317 3 0. 076 0 1. 760 1e- 4 1. 024 4 0. 043 0 4. 192 6e- 5 # k t = 0. 1� # m s = # m u = # k s =# cs = 0 4. 406 6 30. 138 9 0. 068 4 1. 031 4 59. 072 5 0. 057 3 # m s = # m u = # k s =# cs = # k t = 0. 1 4. 447 8 76. 657 6 0. 172 3 1. 030 9 105. 661 2 0. 102 5 #m s = #m u = #k s =#cs = #k t = 0. 2 4. 893 1 180. 247 9 0. 368 4 1. 048 5 230. 089 7 0. 219 5 * #m s = #m u = #k s =#cs = #k t = 0. 2 4. 844 1 162. 223 1 0. 331 5 1. 038 0 207. 080 7 0. 197 5 增大, 车辆位移响应的不确定性也随之增大。 5� 结 � 论 本文通过具有随机结构参数的四分之一车模研究 了具有不确定性的车辆的动力响应问题。通过 MCSM 方法得出了车辆参数的不确定性对其固有频率和模态 振型的随机性的影响。通过 RVFMM方法建立了车辆 位移响应的均方值的均值、标准方差和变异系数的计 算表达式,从而方便地得到了随机结构的动力特性和 随机响应。利用本文中给出的方法可以研究车辆参数 的变化 (随机性 )对车辆动力响应的影响, 而这正是车 辆结构参数灵敏度分析和优化设计的基础。文中方法 也可进一步用于具有随机参数结构的整车模型的动力 分析, 从而对于车辆结构的设计具有实际的指导意义。 参 考 文 献 [ 1 ] GaoH J, Lam J, W ang C H. M ulti�objective con tro l of vehi� cle ac tive suspension sy stem s v ia load�dependent contro llers [ J] . J. Sound V ib, 2006, 290( 3- 5): 654- 675. [ 2 ] K im H J, Yang H S, Park Y P. Im prov ing the vehicle perform ance w ith active suspension using ro ad�sensingalgo� rithm [ J]. Com put. Struc t, 2002, 80 ( 18 - 19 ) : 1569 - 1577. [ 3 ] Narayanan S, Senth il S. S tochastic op tim a l active con tro l of a 2�dof quarter car model w ith non�linear pass ive suspension e lem ents[ J]. J. Sound, 1998, 211( 3) : 495- 506. [ 4 ] 彭 � 献,刘晓晖, 文桂林.基于虚拟激励法的变速行驶车辆 振动分析 [ J]. 湖南大学学报: (自然科学版 ), 2007, 34 ( 11): 37- 41. [ 5 ] 张志超,赵 � 岩, 林家浩. 车桥耦合系统非平稳随机振动 分析 [ J]. 振动工程学报, 2007, 20( 10): 439- 446. [ 6 ] 王 � 峰,靳永军, 张建武.基于整车模型的动力总成悬置振 动仿真及优化 [ J]. 振动与冲击, 2008, 27( 4): 134- 138. [ 7 ] Gobbi M, Lev i F, M astinu G. M ulti�ob jec tive stochastic optim isa tion o f the suspension system of road veh icles[ J]. J. Sound V ib, 2006, 298( 4- 5): 1055- 1072. [ 8 ] GobbiM, M astinu G. Ana lytica l descr iption and optim ization o f the dynam ic behav iour of passive ly suspended road vehic les [ J]. J. Sound V ib, 2001, 245( 3) : 457- 481. [ 9 ] Turkay S, Akcay H. A study of random v ib ration characteris� tics o f the quarter�carm ode l[ J]. J. Sound V ib, 2005, 282( 1 - 2) : 111- 124. [ 10] Gao W, et a.l Dynam ic response ana lysis o f linea r stochastic truss structures unde r stationary random exc itation [ J]. J. Sound V ib, 2005, 281( 1- 2): 311- 321. [ 11] 戴 � 君, 陈建军, 等. Dynam ic response optim ization design fo r eng ineer ing structures based on reliab ility[ J] . J. Applied M athem atics and M echan ics, ( Eng lish Edition ) , 2003, 24( 1): 43- 52 215第 6期 � � � � � � 戴 � 君: 基于四分之一车辆模型的具有随机结构参数车辆的随机动力分析 Stochastic dynam ic analysis of vehicles w ith random param eters based on a quarter�carmodel DAI Jun ( Departm ent ofM echatron ic Eng ineering, Un ive rsity o f A rts and Sc ience, X i�an 710065, Ch ina) � � Abstract: � The investigat ion w as presented on the dynam ic ana lysis of carsw ith uncerta in parameters under random road excitations using a quarter�carmode.l The sprung mass, unsprung m ass, suspension damp ing, suspension and tyre st iffness w ere considered as random variab les. The road irregularityw as considered to be a Gaussian random process and mode led bym eans of a simple exponent ial pow er spectra l density. Themean va lue, standard deviat ion and var iat ion coef� ficient of the veh icle�s natural frequencies and mode shapes w ere obta ined by using the M onte�Carlo simu lation me thod. The computational expressions fo r the numerical characteristics o f the mean square value o f vehic le�s random response in the frequency doma in were deve loped by means of the random variab le�s functiona lmomen tmethod. The effects of the ran� domness of the veh icle�s parameters on the vehic le�s dynam ic response w ere investigated. Themethod proposed in the pa� per can be further developed for sensitiv ity analysis and dynam ically optima l design of veh icle parameters. Key words: quarter�carmode;l veh icle; random parameters; random variables; random response; numerical char� acteristics ( pp: 211- 215) Accuracy analysis of w ilson�(method w ith modified acceleration FANG D e�ping, WANG Quan�f eng ( Co llege o f C iv ilEng ineering, H uaq iao Un iv ers ity, Quanzhou 362021, Ch ina) � � Abstract: � There ex ist tw o kinds of W ilson�(m ethods, namely, W ilson�( # and ∃ methods. In W ilson�( # method, the accelerations remain unmodified by the dynam ic equ ilibr ium equations at time t+ )t; wh ile inW ilson�(∃ method, the accelerations are mod ified. The stab ility ofW ilson�(# m ethod is uncondit iona,l w hile the stability ofW il� son�(∃ method is no t uncondit iona.l The analysis o f calcu lation prec ision show s: the accuracy improvement byW ilson�( ∃ method is not sign ifican,t moreover, both the stability range and accuracy are less than those o f the linear acceleration method. SoW ilson�(∃ method wouldn�t be adopted. Key words: w ilson- (method; stab ility; ca lculat ion prec ision; linear acceleration method ( pp: 216- 218) New series form of analytical solution for the structural dynam ic equations LI X iu�m ei, WU Feng, HUANG Zhe�hua ( Schoo l o f C ivil and A rchitecture Eng ineer ing, Guangx i Univers ity, Nanning 530004, Ch ina) � � Abstract: � The disp lacement and velocity responses o f the structure were taken as state variab les and in so lv ing the state equations, the Lypaunov artificia l sma ll param eterm ethod was used, in w hich a new series form of ana ly tical so lution w as presented. The series so lut ion can a lso be used to so lve non linear dynam ic equations. H ornor�s schemew as app lied to the calcu lation of series solution to increase, the computat ion eff ic iency and stability. A t the same time, the corresponding computation formats and steps for linear dynam ic equations w ere estab lished. The a lgorithm needs only repetitive matrix� vectormu ltiplicat ion instead of inversion o fH m atrix, so good computation stab ility is ach ieved. The precision is on ly con� tro lled by the series convergence number, so theoretically, the algorithm can easily reach the accuracy of arbitrary�order, and is fit for parallel ca lculat ion and compression storage. A numerica l example w as g iven to demonstrate the validity and effic iency of the method. Key words: dynam ic response; state equation; Lyapunov; ana lyt ica l so lut ion; a lgorithm ( pp: 219- 222) 246 � � � � � � � � � � � JOURNAL OF VIBRAT ION AND SHOCK� � � � � � � � � � � � Vo.l 29 No. 6 2010