第一章随机事件和概率

null概率论与数理统计概率论与数理统计第一章 随机事件与概率引 言 引 言 概率论是研究随机现象的数量规律的数学分支. 所谓随机现象，是相对于决定性现象而言的.一定条件下必然发生(或出现)某一结果的现象称为决定性现象.例如，在没有外力作用下，作匀速直线运动的物体必然继续作匀速直线运动；又如在 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 大气压下，纯水加热到100℃时必然会沸腾等等.null这些条件和结果之间存在着必然联系的现象就是决定性现象. null在自然现象和社会现象中还广泛存在着与决定性现象有着本质区别的一类现象，例如：当掷一枚硬币时，可能出现正面朝上，也可能出现反面朝上；每天上午8:00—9:00记录一个电话交换台收到用户的呼叫次数，可能是0次，1次，2次……；再如，同一门炮向同一目标发射用同一 工艺 钢结构制作工艺流程车尿素生产工艺流程自动玻璃钢生产工艺2工艺纪律检查制度q345焊接工艺规程 过程生产的炮弹； 因为炮弹制造时种种偶然因素对炮弹质量有影响、炮筒位置有差异、空气中气流的变化……都影响着弹着点的位置，使弹着点在不同次发射中落在不同的位置.null这些现象的特点是：（1）在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果. （2）每一次试验或观察之前，不能完全肯定会出现哪种结果. （3）究竟出现哪种结果，呈现出偶然性.这种现象称为随机现象. null概率论研究随机现象有其独特的方法.它不是企图追索出现每一结果的物理因素，从而象研究确定性现象那样确定无疑地预报在哪些条件下出现某一确定的结果，而是通过对随机现象的大量观察，揭示其规律性.例如连续多次掷一枚硬币，随着投掷次数的增加，出现正面的频率(出现正面的次数与投掷次数之比)逐渐稳定于1/2，从而揭示“出现正面”这一结果发生的可能性大小为1/2；又如多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加逐渐稳定于一个常数等等. null概率论有悠久的历史，它的起源与赌博问题有关.16世纪，意大利的学者开始研究掷色子(骰子)等赌博中的一些简单问题，例如比较两个色子出现点数之和为9与10的可能性大小.17世纪中叶，法国数学家帕斯卡、费马(P.de Fermat)及荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究了一些较复杂的赌博问题，他们解决了“分赌注问题”、“赌徒输光问题”等.随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有一种相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展. null使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家伯努利(J.I.Bernoulli)，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率.随后棣莫弗(A.de Moivre)和拉普拉斯(P.S.Laplace)又导出了第二个基本极限定理(中心极限定理)的原始形式.拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有利的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段.null19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.20世纪初受物理学的刺激，人们又开始研究随机过程.这方面柯尔莫哥洛夫、维纳(N.Wiener)、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒(W.Feller)等人做了杰出的贡献.null如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了三个世纪.二十世纪初完成的勒贝格测度(H.L.Lebesgue)与积分理论及随后发展的抽象测度与积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础.在这种背景下苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论式的定义和一套严密的公理体系.他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对近几十年概率论的迅速发展起了积极的作用. null数理统计学是概率论的一个姐妹学科，研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性质的数据，以对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议.统计学自古有之，例如人口统计、社会调查等.但它不是现代意义下的数理统计学，只是数据的记录和整理.数理统计学是随着概率论的发展而发展起来的.当人们认识到必须把数据看成是来自一定概率分布的总体，所研究的对象是这个总体而不能局限于数据本身之日，也就是数理统计诞生之时. null在19世纪中叶以前已出现了若干重要的工作，特别是高斯(C.F.Gauss)和勒让德关于观测数据的误差分析和最小二乘法.但数理统计学发展成为一门成熟的学科，则是20世纪上半叶的事. 皮尔森(K.Pearson)、费希尔(R.A.Fisher)作出了重大贡献，1946年，克拉默发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 的《统计学的数学方法》是第一部严谨且比较系统的数理统计著作，可以把它作为数理统计学进入成熟阶段的标志.null数理统计学用到很多近代数学知识，但与其关系最密切的是概率论.在很大程度上可以说概率论是数理统计的理论基础，数理统计是概率论的一种应用，并且补充和丰富了概率论.它们是两个并列的数学分支，并无从属关系.目前，概率论与数理统计的理论与方法已广泛的用于自然科学、技术科学、社会科学及人文科学的各个领域.近年来随着科学技术的迅速发展，它在经济、管理、 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 、技术、物理、气象、海洋、地质等领域中的作用愈益显著. null随着计算机的发展与普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法.概率论与数理统计向各个领域渗透，产生了许多新的分支和边缘科学，如生物统计、统计物理、数学地质、教育统计等.同时概率论与数理统计又是许多新的重要学科的基础，如信息论、控制论、排队论、预测论、可靠性理论及人工智能等. 概率论与数理统计，作为理论严谨、应用广泛、发展迅速的数学分支正日益受到人们的重视并发挥着重大的作用.第一章 随机事件与概率第一章 随机事件与概率1.1 随机事件 1.1.1 必然现象和随机现象人们在实践活动中所遇到的现象，一般来说可以分为两类：一类是必然现象，或称确定性现象；另一类是随机现象，或称不确定性现象.必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象；只要条件不变，试验结果在试验之前是可以预言的.null必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象.例如： 在标准大气压下，将纯水加热到100℃,水必然沸腾； 用手向空中抛出的石子，必然下落； 作匀速直线运动的物体，如果没有外力的作用，必然继续作匀速直线运动等等， 这些现象都是必然现象.对这种现象来说，只要条件不变，试验结果在试验之前是可以预言的.null随机现象是指在相同条件下重复试验，所得结果不一定相同的现象，即试验结果是不确定的现象： 对这种现象来说，在每次试验之前哪一个结果发生，是无法预言的.例如： 新生婴儿，可能是男孩，也可能是女孩； 向一个目标进行射击，可能命中目标，也可能不命中目标； 测量某个物理量，由于许多偶然因素的影响，各次测量的结果不一定相同等等， 这些现象都是随机现象. null对随机现象，是否有规律可寻呢？人们经过长期的反复实践，发现这类现象虽然就每次试验结果来说，具有不确定性，但大量重复试验，所得的结果却呈现出某种规律性.例如： (1)掷一枚质量均匀的硬币，当投掷次数很大时，就会发现正面和反面出现的次数几乎各占1/2.历史上，蒲丰(Buffon) 掷过4040次，得到2048次正面；皮尔逊(K.Pearson) 掷过24000次，得到12012次正面.null(2)对一个目标进行射击，当射击次数不多时，弹孔的分布看不出有什么规律性；但当射击次数非常多时，就可以发现弹孔的分布呈现出一定的规律性： 弹孔关于目标的分布略呈对称性，且越靠近目标的地方弹孔越密，越远离目标的地方弹孔越稀.nullxOynull(3)从分子物理学的观点来看，气体分子对器壁的压力是气体分子对器壁碰撞的结果.由于分子是时刻不停地、杂乱无章地运动着地，运动的速度和轨道都是随机的，因而气体分子对器壁也是随机的.初看起来器壁所受的压力是不稳定的； 可是实验证明，由于分子的数目非常大，各分子运动所具有的随机性在集体中互相抵消、互相平衡了，使得器壁所受的总压力呈现一种稳定性. 分子的数目越大，压力就越稳定.null从上述的几个例子可以看到，随机现象也具有规律性，这种规律性可在相同条件下的大量重复试验或观察中呈现出来.这种规律性称为随机现象的统计规律性.概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科.第一章 随机事件与概率第一章 随机事件与概率1.1 随机事件 1.1.2 随机试验与事件、样本空间对随机现象的研究，总是要进行观察、测量或做各种科学实验(为了叙述方便，统称为试验).例如，掷一枚硬币，观察哪面朝上；向一个目标进行射击，观察是否命中； 从一批产品中随机抽取一个产品，检查它是否合格； null向坐标平面内任投一银针，测量此针的针尖指向与x轴正向之间的交角等等；这些都是试验.通过仔细的分析，可以发现，这些试验具有如下的共同特点：（a）试验可以在相同的条件下重复进行；（b）试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先已知的；（c）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但究竟出现哪一个结果，试验之前是不能确切预言的.null如掷硬币的例子，试验是可以在相同的条件下重复进行的，试验的可能的结果有两个，即正面和反面；每次试验必出现其中之一，但投掷之前是不可能预言正面出现还是反面出现.人们将满足上述（a）、（ b ）、（ c ）三个条件的试验，称为随机试验，简称为试验，以字母E来表示.为了研究随机试验，首先要知道这个试验的所有可能的结果是哪些.随机试验的每一个可能的结果称为基本事件，也称作样本点，用字母e表示.null随机试验E的全体基本事件所构成的集合，称为E的的样本空间，记为S.在讨论一个随机试验时，首先要明确它的样本空间。对一个具体的试验来说，其样本空间可以由试验的具体内容确定.下面看几个例子.例1 掷一枚质量均匀对称的硬币，观察正反面出现情况，这是个随机试验.可能的结果有两个：正(正面朝上)，反(反面朝上).故样本空间 S={正，反}null例2 将一枚质量均匀对称的硬币投掷两次，观察正反面出现情况，这也是个随机试验.可能的结果有四个： (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).这里括号内的第一个和第二个字，分别表示第一次和第二次掷的结果.故样本空间 S={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.null例3 记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数，这是个随机试验.它的基本事件(记录的结果)是一个非负的整数，由于难以确定一个呼叫的上界，所以样本空间 S={0,1,2,…}例4 从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿命，这是个随机试验.设t表示灯泡的使用寿命，则样本空间 S={t|t≥0}.null例5 观察某个地区一昼夜的最低温度x和最高温度y. 设这个地区的温度不会小于T0也不会大于T1，则样本空间 S={(x,y):T0≤x 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 Cn0=1.null(b)常用的组合公式null例1 设电话号码由八位数码组成，每位数码可以是0,1,2,…,9中的任意一个.设A1表示事件“8个数码全相同”，A2表示事件“8个数码全不相同”，A3表示事件“8个数码有两个3”，求这些事件的概率.解 将每一个可能的电话号码作为基本事件，它们可以被认为是等可能的.由于不同位置上的数码是可以重复的，故基本事件的总数为108.显然，A1中包含的基本事件数为故nullA2中包含的基本事件数为故nullA3中包含的基本事件数为这是因为数码3要在电话号码中占两个位置的方法有C82种，而其余6个数码中的每一个都可以从剩余的9个数码0,1,2,4,…,9中重复选取，有9种方法，故 null例2 设有一批产品共有100件，其中有5件次品，其余均为正品.今从中任取50件，求事件A=“取出的50件恰有2件次品”的概率.解 将从100件产品中任取50件为一组的每一种可能的组合作为基本事件，总数为C10050.导致事件A发生的基本事件为从5件次品中取出两件，从95件正品中取出48件构成的组合，有个，故所求的概率为null例3 将10本书任意放在书架上，求其中指定的3本书靠在一起的概率.解 将10本书的每一种排列看作基本事件，则基本事件的总数为设A表示指定的3本书靠在一起的事件，如果将这3本书看作一本书将其与剩下的7本书进行排列，则有8!种排列方法，而3本书靠在一起的排列方法有3!种，故中包含的基本事件的个数为，所以null例4 将r个人随机地分配到n(r ≤ n)个房间里，设 A=“某指定的r个房间中各有一人”， B=“恰有r个房间中各有一人”， C=“某指定房间恰有k(k ≤ r)人”， 求A、B、C的概率.解：由于每一个人都可以分配到n个房间的任意一个房间，所以将r个人分配到n个房间去共有nr种分法.将每种分法当作一个基本事件，那么基本事件总数为nr.null(1)将r个人分配到某指定的r个房间，每个房间中各有一人，共有r!种分法，故(2)由于r个房间可以是任意的，即可以从n个房间中任意选出r个来，这种选法共有Cnr种.对于每种选定的r个房间，每个房间分配一个人的方法有r!种.故B中包含的基本事件数为Cnr×r!.因此null(3)由于某指定房间分配k个人的分法有Crk种，而其余r-k个人任意分配到n-1个房间的分法有(n-1)r-k种，所以C中包含的基本事件数为Crk×(n-1)r-k.因此null例5 袋中有a个黑球，b个白球，若随机地把球一个接一个地摸出来，求A=“第k次摸出的球是黑球”的概率(k ≤ a+b).解一：把a个黑球与b个白球都看作是不同的(比如，设想它们都编了号)，且把a+b个球的每一种排列看作基本事件，于是，基本事件总数为(a+b)!.由于第k次摸得黑球有a种可能，而另外a+b−1次摸得球的排列有(a+b−1)!种可能.所以A中包含的基本事件数为a×(a+b−1)!.因此null值得注意的是，这个结果与k无关.这表明无论那一次取得黑球的概率都是一样的，或者说取得黑球的概率与先后次序无关.这从理论上说明了平常人们采用的“抓阄儿”的办法是公平合理的.null解二 ：把a个黑球看作是没有区别的,b个白球也看作是没有区别的，仍把摸出的球依次放在排列成一条直线的a+b个位置上，把a个黑球位置固定其它位置必放白球，黑球位置有Ca+ba种放法，以这种放法作为样本点，这时有利的场合有Ca+b-1a-1，这是由于第k次摸得黑球，这个位置必须放黑球，剩下的黑球可以在a+b-1个位置上任取a−1个位置，因此共有Ca+b-1a-1种放法.所以所求的概率为null例6 (1997，试卷一，3分) 填空题 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有两人依次从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率为 ( ). （答案： 2/5)解：抓阄问题第一章 随机事件与概率第一章 随机事件与概率1.3 古典概率1.3.2 古典概率的性质定理1.1 事件的古典概率具有如下的性质： (ⅰ)对任一事件A，有0≤P(A)≤1；(ⅱ) P(S)=1；(ⅲ)若事件A、B互不相容，则 P(A+B)= P(A)+P(B)null证明 由于任何事件A包含的基本事件数不超过基本事件的总数，故(ⅰ)成立.又由于必然事件S包含一切基本事件，故(ⅱ)成立.现在证明(ⅲ).设由于A，B互斥，它们不包含相同的基本事件.故null由古典概率的计算公式，有性质(ⅲ)不难推广到任意n个事件上去，即 若事件A1,A2,…,An是互不相容的，则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).性质(ⅲ)及上式称为概率的加法公式.性质(ⅲ)也称为概率的有限可加性.null由性质(ⅰ)~ (ⅲ)，又可推得以下的结果.(ⅳ) P(Ac)=1−P(A).证明 因A，Ac互不相容，由性质(ⅲ)，有 P(A+Ac)=P(A)+P(Ac).又因A+ Ac=S，故 P(A+Ac)=1. 带入式P(A+Ac)=P(A)+P(Ac)，则得性质(ⅳ). (ⅴ) P(Φ)=0.证明 在性质(ⅳ)中，令A=S，则得Ac=Φ，于是 P(Φ)=1−P(S)=0. null(ⅵ)若A⊂B，则P(A)≤P(B)，且 P(B−A)=P(B)−P(A).证明 因A⊂B，故 B=A+(B−A) ， 其中A与B−A互斥(见图1.7).由性质(ⅲ)，有 P(B)=P(A)+P(B−A). 故得 P(B−A)=P(B)−P(A).因为P(B−A)≥0，所以由上式又可得 P(A)≤P(B). nullSBAB-A图1.7图1.8null推论 设A，B为任意两个事件，则 P(A−B)=P(A)−P(AB).证明 因A−B=A−AB，AB⊂A(见图).故由性质(ⅵ)有 P(A−B)= P(A−AB) =P(A)−P(AB).null(ⅶ) (一般概率的加法公式) 对任二事件A、B有 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB).证明 因A∪B=A+(B−A)，A与B−A互斥(见图1.8).图1.8由性质(ⅲ)及上面的推论，有 P(A∪B) =P(A)+P(B−A) =P(A)+P(B)−P(AB)null性质(ⅶ)可以推广到任意n个事件上去.由性质(ⅶ)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)，又可得 P(A∪B) ≤ P(A)+P(B). 当n=3时，有 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) −P(A1A2)−P(A2A3)−P(A1A3) +P(A1A2A3).null一般地，设A1,A2,A3,…,An为n个事件，则上式可用数学归纳法证明. null上述概率的各个性质，对计算事件的概率很有好处. 例如当计算P(A)比较麻烦而计算P(Ac)比较方便时，就可先求P(Ac)，然后利用性质(ⅳ)求P(A).例6 设电话号码由八位数码组成，每位数码可以是0,1,2,…,9中的任意一个.设A表示事件“八位数码中至少有两个相同”，求P(A).解 事件A比较复杂，它包括“八位数码两个相同”，“八位数码三个相同”，…，“八位数码全相同”.因此，直接计算P(A)是比较麻烦的.现在考虑事件Ac=“八位数码全不相同”，由例1知P(Ac)=0.018144 .利用性质(ⅳ)，即可算得 P(A)=1−P(Ac)= 0.981856. null例7 设有180只产品，其中含有8只次品，今从中任取4只，问“次品超过1只”的概率是多少？解 用Ai表示“含有i只次品”的事件(i=0,1,2,3,4)，则对 i= 0,1，分别算得事件 P(A0)= 0.832， P(A1)= 0.158.用A表示“次品超过1只”的事件，则Ac=A0+A1.故得 P(A)=1−P(Ac)= 1−P(A0+A1)= 0.010.null例8 由10,11,…,99中任取一个两位数，求这个数能被2或3整除的概率？解 设A=“这个数能被2整除”，B=“这个数能被3整除”，则 A∪B=“这个数能被2或3整除”， AB=“这个数能被2和3整除”，由于10到99中的两位数有90个，其中能被2整除的有45个，能被3整除的有30个，而能被6整除的有15个.故 P(A)=45/90，P(B)=30/90 ， P(AB)=15/90.由一般概率的加法公式得 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=2/3.古典概率往届考题古典概率往届考题例1 (1990，试卷四，4分，试卷五，5分) 从0,1,2,…,9这十个数字中任意选出三个不同的数字，求下列事件的概率： A1=“三个数字中不含0和5”；A2=“三个数字中不含0或5”；A3=“三个数字中含0但不含5”.（答案：P(A1)=7/15 ； P(A2)=14/15 ；P(A3)=7/30 )null解：三个数字中不含0和5的概率设B表示事件“三个数字中含0”，C表示事件“三个数字中含5”，则 A2= Bc∪Cc 从而null三个数字中含0但不含5的概率null例2 (1993，试卷一，3分) 填空题 一批产品共有10个正品，2个次品，任意抽取两次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为( ). （答案：1/6)解：抓阄问题概率论与数理统计概率论与数理统计第一章 随机事件与概率第一章 随机事件与概率第一章 随机事件与概率1.4 几何概率概率的古典定义是在样本空间的基本事件只有有限个且等可能的情况下给出的；对于基本事件为无穷多个的情况，古典概率的定义就不适用了.考虑如何把古典概率定义进一步推广，使适用于无穷多个基本事件而又有某种等可能性的场合，从而引出了几何概率的定义.null我们从简单的问题入手引例 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率. 一种很自然的想法是所求的概率为1/6.null设在平面S上有某一区域，而区域A是它的一部分(如图).向区域S内随机掷一个质点，考虑质点落在区域A内的概率.由于质点可以落在S内的每个点上，故S内的每个点都是基本事件，它的全体有无限多个；A中包含的基本事件也有无限多个.因此，古典定义公式不能用. 下面假设质点落在S内的任何子区域内的概率只与这个子区域的面积成正比，而与其位置及形状无关。在这种等可能的假设下，很自然地应将“向区域S内随机掷一个质点而落在区域A内”的概率定义为null这就是几何概率的定义，一般叙述如下： 定义1 向一个区域S(如一维的区间，二维的平面区域，…)中掷一个质点M，如果M必落在S内，且落在S内任何子区域A上的可能性只与A的度量(如长度，面积，…)成正比，而与A的位置及形状无关，则这个试验称为是几何概型的试验；并定义M落在A中的概率P(A)为其中L(S)是样本空间S的度量，L(A)是子区域A的度量.null例1 (约会问题)二人约定于0到T时内在某地见面，先到者等t(t≤T)时后离去，求二人能会面的概率. 解 设A表示事件“二人能会面”，以x，y分别表示二人到达的时刻，则 0≤x≤T，0≤y≤T 满足此二不等式的点(x，y)构成边长为T的正方形S(如图1.10). null图1.10null例1 (约会问题)二人约定于0到T时内在某地见面，先到者等t(t≤T)时后离去，求二人能会面的概率. 解 设A表示事件“二人能会面”，以x，y分别表示二人到达的时刻，则 0≤x≤T，0≤y≤T 满足此二不等式的点(x，y)构成边长为T的正方形S(如图1.10). 二人能会面的条件是| x−y | ≤ t. 这个条件决定了S中的一个子集A(图1.10中的阴影部分).null图1.10null故二人能会面的概率为null例2 (1777法国科学家蒲丰:投针问题)平面上有一簇平行线，其中任何相邻的的两线距离都是a(a>0).向平面任意投一长为l(l