null概率论与数理统计 第四版概率论与数理统计 第四版浙江大学 盛骤*概率论部分2概率论部分2第二章 随机变量及其分布*第二章 随机变量及其分布*第二章 随机变量及其分布 关键词：
随机变量
概率分布函数
离散型随机变量
连续型随机变量
随机变量的函数§1 随机变量*§1 随机变量* 常见的两类试验结果：X=f(e)－－为S上的单值函数，X为实数 * 中心问题：将试验结果数量化* 定义：随试验结果而变的量X为随机变量* 常见的两类随机变量§2 离散型随机变量及其分布*§2 离散型随机变量及其分布 定义：取值可数的随机变量为离散量
离散量的概率分布(分布律)# 概率分布null* 例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0
表
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示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。 解：
设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p，i=1,2,3
且A1,A2,A3相互独立。null* 例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0
检修
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，设停机时已检测到X只产品， 试写出X的概率分布律。 解：设Ai={第i次抽到正品}，i=1,2,…
则A1,A2,…相互独立。 亦称X为服从参数p的几何分布。null* 三个主要的离散型随机变量
0－1(p) 分布
二项分布
样本空间中只有两个样本点即每次试验结果
互不影响在相同条件下
重复进行(p+q=1)null* 例：
1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果：
正面，反面，如果是不放回抽样呢？ 2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验
只有两个结果： 3.从52张牌中有放回地取n次，设A={取到红牌}，则
每次只有两个结果：null*设A在n重贝努利试验中发生X次，则
并称X服从参数为p的二项分布，记推导：设Ai={ 第i次A发生 }，先设n=3
null*例：
设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。
考虑两种配备维修工人的方法，
其一是由4个人维护，每人负责20台；
其二是由3个人共同维护80台。
试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。null*null* 例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0
方案
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如下：先作第一次检验， 从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大 于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件 中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p．
求这批产品能被接受的概率L(p)．L(P)=P(A) 解：
设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数；
则X～b(10,p)，Y～b(5,p)，
且{X=i}与{Y=j}独立。A={接受该批}。null* 泊松分布(Poisson分布)
若随机变量X的概率分布律为
称X服从参数为λ的泊松分布，记例：设某汽车停靠站候车人数
(1)求至少有两人候车的概率；
(2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。
解：null*null*§3 随机变量的分布函数null* 例：
解：§4 连续型随机变量及其概率密度*§4 连续型随机变量及其概率密度定义： 对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数
有： 则称X为连续型随机变量，
null* 与物理学中的质量线密度的定义相类似null* 例：设X的概率密度为
(1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数；
(3) 要使 求k的值。
解：null*几个重要的连续量
均匀分布
定义：X具有概率密度
称X在区间(a,b)上服从均匀分布，
记为X～U(a,b)
null*例：在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率
密度。并求 的值；
若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有
两个数大于0的概率。 解：X在区间(-1,2)上均匀分布 设10个数中有Y个数大于0， 则：null*指数分布
定义：设X的概率密度为
其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。记为 X具有如下的无记忆性：null* 正态分布* 正态分布定义：设X的概率密度为
其中 为常数，称X服从参数为
的正态分布(Gauss分布)，
记为
可以验算：null*称μ为位置参数(决定对称轴位置)
σ为尺度参数(决定曲线分散性)null*X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。
当固定μ时，σ越大，曲线的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，
∴ σ是反映X的取值分散性的一个指标。
在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。null*null* 例：null* 例：一批钢材(线材)长度
(1)若μ=100，σ=2，求这批钢材长度小于97.8cm 的概率；(2)若μ=100，要使这批钢材的长度至少 有90%落在区间(97,103)内，问σ至多取何值？null* 例：设某地区男子身高
(1) 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于
175cm的概率；(2) 若从中随机找5个男子测身高,问至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率为多少？null*§5 随机变量的函数分布
问题：已知随机变量X的概率分布，
且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的 测量值可看作随机变量X，若
则Y服从什么分布？例：已知X具有概率分布
且设Y=X2，求Y的概率分布。 解：Y的所有可能取值为0,1 即找出(Y=0)的等价事件(X=0)；
(Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1)null*例：设随机变量X具有概率密度
求Y=X2的概率密度。
Y在区间(0,16)上均匀分布。null*一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为：关键是找出等价事件。null*例：设
Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。 解：Y的可能取值为-2,0,2
Z的可能取值为0,1
(Y=-2)的等价事件为(X=-1)…
(Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1) 故得：null*例：
null*null*null*例： 解：例： 解：null* 复习思考题 2*复习思考题 21.什么量被称为随机变量？它与样本空间的关系如何？
2.满足什么条件的试验称为“n重贝努里试验”？
3.事件A在一次试验中发生的概率为p,0
公式
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等式较为合适？
5.什么样的随机变量称为连续型的？
6.若事件A为不可能事件，则P(A)=0,反之成立吗？又若A为必然事件，
则P(A)=1，反之成立吗？
7.若连续型随机变量X在某一区间上的概率密度为0，则X落在该区间
的概率为0，对吗？
8.若随机变量X在区间(a,b)上均匀分布，则X落入(a,b)的任意一子区间
(a1,b1)上的概率为(b1-a1)/(b-a),对吗？
9.若X～N(μ,σ2)，则X的概率密度函数f(x)在x=μ处值最大，因此X落在μ附近的概率最大，对吗？null*
课件
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待续!
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