第3卷 第4期 应用数学学报 Vol.3,No.4
1980年11月 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov.,1980
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均 匀 设 计
—— 数论
方法
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在试验
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
的应用
方开泰
（中国科学院应用数学研究所）
1、 引言
在试验设计中当因素较多时，常用正交试验法[3]。为了叙述的方便，目前仅限于讨论各因素水平相等的试验，设水平数为q。用正交表安排多因素试验，试验的数目为
，r为自然数，当q比较大时所需的试验数目就很可观，例如安排一个9水平试验，则至少要
次试验，在许多情况下做这么多试验是不允许的。在试验费用很贵的时候，也希望尽量减少试验次数。多水平的试验可以用平衡不完全区组法(BIB)来减少试验次数（参见「3」，159页），对上述9水平的例子可减少到18次试验，但这种方法缺乏普遍性。因此需要找一种供多因素多水平而试验次数又比较少的设计，本文讨论的均匀设计就是为了这个目的。
这项工作是在研究员王元同志的指导和热情帮助下进行的，有些数论证明是他提供的，对他的指导和帮助表示衷心的感谢。
回顾一下正交试验的特点，它将试验点在试验范围内安排得“均匀分散，整齐可比”。“均匀分散性使试验点均衡地布在试验范围内，让每个试验点有充分的代表性，因此，即使在正交表中各列都排满的情况下，也能得到满意的结果；“整齐可比”性使试验结果的分析十分方便，易于估计各因素的主效应和部分交互效应，从而可分析各因素对指标的影响大小和变化规律。为了照顾“整齐可比”，它的试验点并没有能做到充分“均匀分散”；为了达到“整齐可比”，试验点的数目就必须比较多。这启示我们不考虑“整齐可比”，而让点子在试验范围内充分“均匀分散”，这种从均匀性出发的设计我们称之为均匀设计。
在数值积分中，当维数较高时，数论方法是目前最好的方法（参见「2」），它的出发点就是让点子在积分范围内散布得十分均匀，使布的点离被积函数的各种值充分地近（平均而言），所以用的点不多却能使积分值得到很好的近似。因此容易联想用这个原则来安排试验也会有很好的效果。
我们用上述的思想得到了一系列的均匀设计表，表1.1和表1.2是其中的两 个，表1.1有五行（表示要做五次试验）四列（表示最多安排四个因素），水平数都为五，我们仿照正交表的记号，记为
。表1.2是六水平试验表，记作
。由于没有六阶正交拉丁方存在，用正交表安排四因素六水平的试验，至少要72次试验，而用均匀设计六次试验即可安排，这是均匀设计的优点。
事物总是一分为二的，均匀设计也有其缺点，就是试验的分析比较麻烦一些，在计算机日益普及的时代，相信这一缺点不会妨碍它的广泛使用.
最优设计的表不仅可用来做试验，而且可用于最优化问题和解微分方程，这些将另文讨论。
表1.1
EMBED Equation.3 表1.2
列号
试验
1
2
3
4
5
6
1
1
3
2
6
4
5
2
2
6
4
5
1
3
3
3
2
6
4
5
1
4
4
5
1
3
2
6
5
5
1
3
2
6
4
6
6
4
5
1
3
2
列号
试验
1
2
3
4
1
1
2
4
3
2
2
4
3
1
3
3
1
2
4
4
4
3
1
2
5
5
5
5
5
2、 如何布点
设有s个因素，各有q个水平，如果做全面试验共有
种水平组合，这些组合构成s维欧氏空间的
个点，构造正交表时是从这
个点中挑选了一部分代表，我们也采取这个原则，只是挑选的代表更少一些。我们挑选的原则是：
1．每个因素的每个水平各做一次试验，共做q次试验。
但是仅有这个原则一切可能的组合还是太多，当q稍大时，连高速计算机也难以胜任。根据数值积分的经验可以缩小布点范围，而不十分影响布点的均匀性，于是产生第二个原则 。
2．取自然数
(a,b)表示整数a,b的最大公约数，则布点为
(2.1)
为了和试验设计的习惯一致，在本文中除第三节外规定
, 而不是0。这个布点方法文献[5]已经采用过。
例如，当q=5时，取
则
这正是
的前三列。
设满足条件
的自然数
有m个，则从m中选出s个，使布点分布最均匀（关于均匀性原则下节讨论），不失一般性总可令
,否则总可改变试验次序使
于是只要从m-1个数中选择s-1个，即有
种可能。
用
表示不大于q且与q互素之自然数的个数，
叫Euler 函数；满足(a,q)=1的
个数a(
1/
,其中0<
<1/6,则对于任意的
皆有(3.2)式，其中
, (3.3)
其中
表示去掉
的一项。
引理中
而
表示向量X和Y的内积。引理证明参见[4].
引理3.2 设a为整向量及q>1为整数，若
则对于任意的正整数q和r皆有
(3.4)
证明见[2]101页。[2]中叙述时要求q为奇数，实际不为奇 数也对，证明相仿。
如在引理3.1中取布点(2.1)，并取
,利用三角和之最基本的公式（参见[1],165页）
(3.5)
利用这个公式及上两个引理有
(3.6)
为了更加清楚地表达
是由
和q所决定，有时记它为
.
引理3.3 设q为正整数及x适合于0
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