华罗庚域研究的综述

华罗庚域研究的综述第36卷第2期 2007年4月数学进展 ADVANCESINMATHEMATICS V61．36．No．2 April，2007 华罗庚域研究的综述殷慰萍 (首都师范大学数学系，北京， 100037) 摘要：华罗庚域的创建，统一了多复变中的对称典型域和蛋型域的研究，给多复变函数论提供了一个新的研究领域．对华罗庚域的研究，至今已经取得了一系列重要成果．本文简单介绍了华罗庚域创建的历史并着重介绍了华罗庚域上的Bergman核函数和Einstein-Kahler度量的显表达式的计算，以及4...

第36卷第2期 2007年4月数学进展 ADVANCESINMATHEMATICS V61．36．No．2 April，2007 华罗庚域研究的综述殷慰萍 (首都师范大学数学系，北京， 100037) 摘要：华罗庚域的创建，统一了多复变中的对称典型域和蛋型域的研究，给多复变函数论提供了一个新的研究领域．对华罗庚域的研究，至今已经取得了一系列重要成果．本文简单介绍了华罗庚域创建的历史并着重介绍了华罗庚域上的Bergman核函数和Einstein-Kahler度量的显表达式的计算，以及4个经典度量(Bergman度量，carath60dory度量，Einstejn—K址ler度量， Kobayashi度量)之间的等价关系，包括这些度量与Kobayashi度量的比较定理，阐述了Bergman 度量等价于Einstein—K萏hler度量的这一丘成桐猜想在华罗庚域的特倒CartaIl—H盯togs域上也成立．着重指出了获得这些结果的新的思想和方法并提出了一些尚未解决的问题，以期更多的学者对华罗庚域感到兴趣并进行更深入的研究．关键词，华罗庚域；不变度量的等价； Bergman度量；Einstein—Kahler度量 MR(1991)主题分类：32H10；32H15；32F15／中图分类号：0174．5 文献标识码：A 文章编号：1000-0917(2007)02—0129—24 自1998年以来，殷慰萍构造了cartan-Hartogs域，cartan．Egg域，华罗庚域，广义华罗庚域和华罗庚结构等五类域，其中前两类是华罗庚域的特殊情况，最后两类是华罗庚域的推广，因此这五类域可以统称为华罗庚域．华罗庚域的创建是一种源头创新，统一了多复变中的对称典型域和蛋型域的研究，给多复变函数论提供了—个新的研究领域．本文对华罗庚域的创建作一个简单的历史回顾，对迄今为止所取得的阶段性成果作一个综述和总结．并热切地希望国内外的更多的同行通过本文的介绍，能对华罗庚域有兴趣而进行更为深入的研究．首先回顾华罗庚域创建的简单历史，然后介绍上面提到的几个方面的成果，其余例如对华罗庚域上的Bergman度量的完备性，积分表示，Bloch函数，极值问题等方面的结果就不赘述了．原则上，对于Cartan域和蛋型域的任何研究课题都可以在华罗庚域上进行研究，不过需要新的方法和技巧．这里以第一类Cartan—Hartogs域为例，突出介绍一些新的思想和方法．华罗庚域的研究自1998年以来得到国家自然科学基金委员会“九五数学重点项目”和两次面上项目的支持，得到北京市自然科学基金委员会两次面上项目的支持，自2005年开始还得到高等学校博士学科点专项科研基金的支持，特此致谢． 1华罗庚域的创建华罗庚域是建立在对称典型域的基础上的，因此首先介绍对称典型域 1．1对称典型域众所周知，E．Cartan在上世纪30年代对多复变数空间中的不可约的有界对称域在双全纯等价的条件下进行了成功的分类[1]’总共有四大类和两个复维数分别为16和27的例外情况．收穰日期t 2006．01．05．修改稿收到日期：2006一06-18．基金项目：国家自然科学基金(No．10471097)和高等学校博士学科点专项科研基金的资助 Bmail：wyin@mail．cnu．edu．cn；wpyin@263．net 万方数据 130 数学进展华罗庚[2】在上世纪50年代，对四大类的对称典型域进行了系统的研究，取得了国际领先的成果，获得了中国第一届自然科学奖一等奖，其成果总结在他的《多复变函数论中的典型域的调和分析》名著中，现已成为多复变的经典著作，至今还常被引用．这些域称之为对称典型域，以区别于非对称的情况，而由于是Cartan进行分类而得到的，故又称之为Cartan域．匹大类典型域的矩阵实现为：冗f(矾，扎)：={z∈c”n：J～z芽>o，)， R¨(p)：={z∈Cp(p+1)／2：j—zZ‘>o，}， RjffQ)：={z∈cq(q一1)／2：J—z穿>o，}， Rn，(n)：={z∈C“：1+Izz。12—2zz‘>o，1一lzz。f2>0)．这里z分别表示(m，n)矩阵，(p，p)对称方阵，(口，q)斜对称方阵和(1，礼)矩阵，乏表示z的共轭，∥表示z的转置．至于16维和27维的两个例外域(分别记为Ry(16)，RyJ(27))的矩阵实现可以参阅[31．假如m=1，则Rf(1，礼)就是C“中的超球，即Rf(1，n)=点k(o，1)=B。．当m= 他=p=1，口=2时，上述四类域都代表单位圆盘．因此，这四大类对称典型域都可以看成是复数平面上的单位圆盘在高维的推广．这些典型域的集合记为咒爿，即7h={R，(m，礼)，R¨0)，RJJ，(口)， Rfy(n)，冗y(16)，Ry，(27)}． 1．2华罗庚域的故事 1998年2月殷慰萍访问法国高等科学研究院(InstitutdesHautesEtudesscient讯ques，简称IHES)期间，与GuyRoos教授研讨了如下形式的蛋型域(Eggdomain)： E(K)={删∈C，z∈c”：I叫12K+I石12<1)．由于上述蛋型域可以写为： {彬∈c，z∈◇：l叫j2K0，这是超球B。的表示式．因而该蛋型域就等价于 {伽∈c，石∈氏：}伽12K<1一lzl2】．．这表明该蛋型域是建立在日。上的，而点k是C盯tan域的特殊情况．能否像上述蛋型域那样构造—个建立在cartan域上的域?于是就产生了如下形式的域： M(Ⅳ，m，扎；K)={w∈CⅣ，Z∈R，(仇，竹)：IⅣ12Ko)，坼f(Ⅳ，p；K)={彬∈CⅣ，z∈RjJ∞)：1w12Ⅳ0)， Ⅵ¨(Ⅳ，q；K)={Ⅳ∈CⅣ，Z∈R¨，(g)：l彤12Ko)，玢y(Ⅳ，n；K)={彬∈cⅣ，z∈R，v(礼)：fⅣf2K<1—2zZ。+iz∥f2，K>o}，这里det表示行列式，Ⅳ，m，死，p，g都是自然数。这种域，殷慰萍称之为Cartan．Hartogs域或超 Cartan域．殷慰萍回到北京之后，计算出了它们的Bergman核函数的显表达式[4。引．例如，第一类Cartan-H盯togs域Ⅵ(1，m，n；K)的BergⅡlaⅡ核函数为： jr一⋯”7r一(”“+1)F(y)det(J—z旁)一翌每岱．其中竹tn+1 F(】厂)=∑毗r(i+1)y件1，万方数据殷慰萍：华罗庚域研究的综述 131 y=(1一x)一1，x=lⅣ12[det(，一zZ。)】一去，而nt(i=l，2，⋯)都是常数．在Cartan-Hartogs域的定义中，不等式的右边在Jordanniplesystem中称为该域的generic norm．令ⅣD(z，Z)表示域D的genericnorm，则Cartan．Hartogs域可以定义为 y(Ⅳ，D；K)={w∈cⅣ，z∈D：1w12K<ⅣD(z，Z)，D∈冗H)．其后，殷慰萍把cartan_Hartogs域推广为如下的所谓cartan-Egg域： {％∈cⅣ1，％∈e盹，z∈D：I溉j2K+J％j2<％陇动，D∈砌}。它们的Bergman核函数也可以显式求出[12_1引．其后殷慰萍又把它们推广成如下的华罗庚域： {％∈c％，z∈。：喜lI％酽如<ⅣDcz两，鳓>吣=·忍⋯^。∈砌>，这里I}％l{2=∑丝1{％≈}2．而其Bergman核函数也可显式求出【17_21|．其后，殷慰萍又更广泛地得到以下的域： p础，赫：喜㈣弛<阢c碉K，K>％>o，川忍⋯，r，。嘞)，{％∈c辑，z∈D：。∑||嵋iI弛<(ⅣD(互z)】K，K>o，功>o，歹=1，2，⋯)r，D∈冗咒}，L 』=1 J 这称之为广义华罗庚域．其Bergman核函数的显式也可以求出【2212引．而广义华罗庚域可以改写成如下形式t {％∈cM，z∈。：骞黪<·，K>。，乃>。，J=·，2，·一，r，。∈砌>，这里的不等式左边的r个式子的分母都是相同的．假如分母可以不相同，那么就得到下述的域称之为华罗庚结构： {嵋∈cM，z∈。：喜黥<·，鳓>。，巧>。，J=t，2，⋯，n。∈冗“> 很幸运的是，华罗庚结构的Bergman核函数也都可以显式求出【24'2引．众所周知，能显式求出其 Bergman核函数的域的类型很少，而且极其困难．因此很多数学家认为能够显式求出Bergman 核函数的域是很值得研究的域．以往只知道有界齐性域和蛋型域属干此类，现在又有了上述可以显式求出其Bergman核函数的域的类型，这是很有趣也是很有意义的事情．在下列四种情况下，其Bergman核函数不但可以显式求出，而且可以用初等函数来表达： (i)r=1，pr=p1=K； (ii)p1=p2=⋯=办一l=1，p，>o； (iii)击⋯．，杀都是正整数； (iV)击⋯．，击都是正整数，而孙>o 万方数据 132 数学进展 36卷以上就是创建华罗庚域的简单的历史．下面综述华罗庚域上所得到的重要研究成果 2华罗庚域的Bergman核函数单复变数和多复变数情况下的Bergman核函数是由波兰数学家s．Bergman分别在1921年和1933年引进的阮2引．设D是c“中的有界域，令己：(D)表示在D全纯且平方可积的所有函数形成的空间，若日(D)表示所有在D全纯的函数的集合，则昧。)={邸)∈日(观厶I他炉dy<。。>，这里dy表示域D的欧氏测度．L：(D)是一个Hilbert空间，其内积为： (，，g)=／，(z)虿露万彤，，9∈三：(D)，它具有可数基．设{饥(z))，南=l，2，⋯是L：(D)的完备标准正交基．则硒(z，亍)=∑庐％(z)丽，(z，T)∈D×D (2．1) 称为域D的Bergman核函数，它是唯一的，且不依赖于域D的完备标准正交基的选择．它又称为域D的再生核，即它有如下的再生性质：对任意的，∈L：(D)有，(z)=／，(T)杨(z，亍)d％，z∈D， (2．2) 这是域D的Bergman核函数的—个特征性质，也就是说，式子(2．2)可以作为域D的Bergman 核函数的定义．由于从勋(z，Z)很易得到j幻(z，亍)，因而下面考虑KD(互Z)．设％是域D的一个固定点，Ⅳ=F(z)是域D的全纯自同构变换，它把玩映为死，设妇(z)是此变换的Jacobian矩阵，令det表示行列式．则有硒(玩，磊)={KD(F(z)，可历)Idet如(z)12)z：zo，(2．3) 若D是一个可递域(也叫齐性域)，则玩可以是D内任意一点而再以z表之．就得到如何求齐性域D的Bergman核函数的公式，即硒(z，Z)=cIdet如(z)12IZ0：z， (2．4) 其中c为域D的体积的倒数．以上各式都可用来寻求Bergman核函数的显表达式．华罗庚首先用(2．4)求出了四大类对称典型域的Bergman核函数的显表达式【2】，这种方法被称为华罗庚方法．对于一般的蛋型域 E(p1，⋯，p。)={(z1，⋯，％)∈C”：1名1J2p-+．··+|‰12pn<1) 这里pl，⋯，‰都是正实数．而且勺0=1，2，⋯，佗)都是复数．更广泛的情形是每一个乃都是复向量的情况，即乃=(乃，，⋯，乃m，)而I勺12p，=[∑篙，|乃k12卜．这种更一般的域记为万方数据殷慰萍：华罗庚域研究的综述 133 E(p1，⋯，陬；m1，．一，m。)或简记为马；。．由于这两种域都是包含原点为中心的Reinhardt域而C”中的这种包含原点为中心的Reinhardt域(记为D)的完备标准正交函数系为 {÷譬寻∑瓮}，J1j．．．，h=o，1，2，⋯ (2．5)1i：i_：ii丽，’’1’‘’‘’‘7“。u’1’二’‘’+ 。‘’u’ r 1丢其中lIzilz；2···z静IJ=I厶lzil名；2⋯z旁|2dyl．只要求出上式的值，由(2．1)式便得到D的Bergman核函数的显表达式，若其和函数能求出来并用初等函数来表示则更好了．这种求Bergman核函数的方法称为级数法．对蛋型域都是用级数法来求其Bergman核函数．这两种方法是目前最常用的方法．除此之外，还发现了3个原理，通过这3个原理，可以从已知域的Bergman核函数的显表达式得到新的域的显表达式．这 3个原理叙述如下[28]．紧缩原理(deflationprineiple)设Q是e“中由不等式≯(z)<1所界定的域，这里≯(z)是在Q的闭包的某一邻域连续的非负函数．令K1表示G+2中的域Q1的Bergman核函数，Q，由不等式咖(z)+I(1l吾+l已一<1所界定，p与q都是正实数．令K2表示c叶1中由不等式咖(z)+㈦南<1所界定的域Q2的Bergman核函数．则下述等式就称为紧缩原理：7r拖㈦。㈨。)=％群酏。，0；啪吵膨胀原理(inflati。nprinciple)设D是妒+1中的有界完备Hartogs域，由不等式吲2< ≯(名)所界定，这里(∈c，z∈c”，而妒(z)在俨中的某一个有界域的内部是有界的正的和连续的函数： G是C时”中的由不等式IZl2<咖(z)所界定的域，这里z=(zl，·一，zk)，lzl2= Izll2+⋯+Iz。12．由于存在函数L(z，叫，s)，使得D的Bergman核函数KD(z，<；训，叩)能表为己(彳，叫，何)，因而域G的Bergman核函数肠(z，z；删，Ⅳ)能由下列关系式给出：磁(名盔训㈣：丌一(仇叫等鬟掣I| ， (2．6) 这里(Z，W)=Z1胍+···+‰W赢．折迭原理(f01dingprinciple)折迭原理就是参考文献[29]中的关于Bergman核函数在逆紧映照下的变换公式：设G与D都是cn中的有界域，F：G—一D是映G为D的阶为m的逆紧映照．令札：=detF7，令西1，⋯，西。表示定义于D—y上的F的m个局部的逆映照，这里y：={F(z)： z∈G，u(z)=o)．再令巩：=det西：．则G的Bergman核％与D的Bergman核KD的变换公式为： ∑KG(z，西k(叫))丽=u(z)KD(F(名)，叫)，z∈G，叫∈D—V 南=1 2．1cartan-Hartogs域的Bergman核函数四类cartan．Hartogs域既不是齐性域也不是Reinhardt域．因而不能用华罗庚方法或级数方法去求其Bergman核函数．需要新的方法．这种新的方法既要华罗庚方法中的域的全纯自同万方数据 134 数学进展构群，又要级数方法中的域的完备正交函数系．现在以第一类Cartan-Hartogs域M(Ⅳ，m，他；K) 为例来说明这种新的方法【5】．而由膨胀原理，只要算得Ⅵ(1，m，n；K)的Bergman核函数就可以知道域M(Ⅳ，m，佗；K)的Bergman核函数． 2．1．1首先，殷慰萍构造了域玢(1，m，n；K)的把内点(彬玩)变为点(Ⅳ4，o)的全纯自同构变换：，fw+=e钼彬det(j一磊玩)去det(J—z或)一女，【z+=A(z一面)(J—zjz)一1D一1，这里芹A=(j—zo或)～，拶D=(，一磊玩)一，磊∈Rj(m，n)，{=(一1)§．这种变换的集合记为Aut(玢)．令(Ⅳ+，z+)=，(彤z)∈Aut(班)，KI(彬z；形，Z)为坼(1，m，珏；K)的Bergman核函数，则由(2．3)，有 KJ(彬z；w，z)=所(w+，o；Ⅳ+，o)(1det(以)㈢zo：z． (2．7)．容易计算出 {det(乃)l乞：z=det(，一z芽)一华． (2．8) 由此可知，若能计算出所(Ⅳ+，o；而，o)，那么玢(1，m，礼；K)的Bergman核函数所(彬z；谚，Z) 就求出来了． 2．1．2殷慰萍又发现这种CartamHartogs域对变量Ⅳ具有Reinhardt域的性质，而对变量z具有圆型域的性质，由此引进了半Reinhardt域(semi—Reinhardtdomain)的概念并求出了它的完备标准正交系．设D是c“却中的包含原点的单连通有界域，假如它的全纯自同构群包含下列变换：则称D为半鼬inharI[1t域．显然半Reinha树t域为圆型域，反之不然．关键之点在于半Reinhardt 域D的完备标准正交系可以求出来，它具有如下形式： {t￡，i1⋯硼船磁；’(z)}01，⋯，如，而=o，1，2，⋯；i=1，2，⋯，m％， mk=(n+后一1)!噼!(礼一1)!】一1)．这里《；’是变量z。，⋯，‰，的七次齐次多项式，对任意固定的惫，j，多项式磁；’，碟’，⋯，琏2。是线性无关的． 2．1．3下一步是计算硒(Ⅳ+，o；驴，0)．为方便起见，用Ⅳ代替W+．由于玢(1，m，n；K) 是semi—Reinhardt域，故玢(1，m，n；K)的标准完备正交函数系是{Ⅳj磁；’(z))={呜觇)(歹，尼= o，l，2，⋯；i=l，2，⋯，mk；mk=(mn+七一1)!陋!(m扎一1)1]_1)．根据Bergman核函数的定义，得到研(彬z；形，z)=∑I驴碟’(z)12．因此所(彬o；面，o)=∑J彤。磁；’(o)12=∑1wi鬻；j霉li5 i篓，季! 一冀|薹搿1i2一蓁|薹；兰}羹羹 5 4 ㈣㈣鬈燃㈣辎燃㈣㈣万方数据殷慰萍：华罗庚域研究的综述 135 由于AwJ=qol0=o，1，2，⋯)是M(1，m，礼；K)的标准完备正交函数系的一翻j分，凼而如=[二，IⅣPd叫一=[厶1wPdⅣ掐]一，而。厂y，f彤f巧矗彬据=』ⅣI<只}wf巧dⅣ握=詹”拶I厶，(。川fR巧+1拙握f，这里R=det(，一zzT)壶．因而有kIⅣ12JdⅣ据=7rU十1)一1厶，(。，。)det(J—zzT)警捆令A=等，则有厶，(。．。)det(J—zzT)警dz=厶，(。，。)det(，一zzT)A握。这个积分华罗庚在半个世纪前已经计算出来了【2m2引．它等于‰㈥=塑甏猕≯．这样就求出(2．9)式中的l如12，即有l如12=K一～丌一(””+1)P0)，其中 P(歹)=(J+1)，【0+l+Kn)◇+1+K(n—1))⋯U+l+K)3，【0+l+K(n十1))0十l+K礼)⋯U+1+2K)l， f0+l+K(n+2))0+l+K(礼+1))‘·‘， 0+1+3K)】···【0+1+K(n+仇一1))， (J+l+K(n十竹。一2))⋯U+1+mK)】．它是J的m扎+1多项式．因此，K“彬o；雨，01=∑凳oK一””7r一(“”+1’P(J)IⅣ12。为了求出上述无穷级数的和，把P(j)改写为哟，≥篙1锩铲．4=U 一那么，易见no=P(一1)=o．而其余的钆“=1，2，⋯，m礼+1)由以下递推公式决定： P(一t—1)一显堍黯簪业纵2———耳丽可订广一’ 由此得到 Ⅷ惭，=酗2肿一‰-(m州’擎萎群赫，=U t—u J一” =K—m“7f一(m州’∑口{r(¨1)(1一M2)一‘件¨．将w仍改为w+，注意到ao=o，则有 (2．10)+0一缈一+@r0一∑澍 +nm一丌 m—KfJ0旷0彤K 万方数据 136 数学进展而w+是彬在变换，(彬z)下的像并令玩=z．这样便有 1w412=x=x(彬z)={w』2[det(，一zzT)]一壶，并令竹l忱+1 y=(1一x)一1，F(y)=∑oir(i+1)y‘+1， i=1 得到 K，(彤z；万，Z)：K—m”7r一(mn+1)F(y)det(，一zz丁)一掣)．应用膨胀原理，就得到域坼(Ⅳ，m，n；K)的Bergman核函数为硒(彤z；谚，Z)：K—mn丌一(mn+Ⅳ)G(y)det(J—zzT)一里铲)． (2．11) (2．12) (2．13) (2．14) 这里G(y)=∑苫+1oir(Ⅳ+i)yⅣ托，o{同上，y=(1一x)～，x=lⅣ12[det(，一zzT)]一壶，IⅣ12 =∑磐11wjl2．在K，(彬z；谚，z)中令K=l，就得到M(Ⅳ，m，n；1)的Bergman核函数的显表达式． 2．2用上述类似的思想和方法可以对其余的cartan—Hartogs域以及Cartan-egg域，华罗庚域，广义华罗庚域，华罗庚结构求出其Bergman核函数的显表达式，参阅上面指出的文献【4— 251，这里不再赘述．虽然思想和方法类似，但是还需要很多计算上的技巧．特别是计算相应的所(彬o；万，o)=∑墨。IA712J彬J2J时，这个无穷级数的和函数是否能够求出是很有技巧性的．到目前为止，华罗庚域的定义中的pj◇=1，2，⋯，r)若有两个不同的p，，其倒数都不是正整数时，相应的无穷级数的和函数就求不出来．由于华罗庚域的Bergman核函数的显式已经求出，这就使得这个领域还有许多可发展的后续研究可做．例如，可以考虑华罗庚域的Bergman核函数的零点问题，即什么时候华罗庚域是陆启铿域，什么条件下不是陆启铿域等等．例如最近殷慰萍利用Bergman核函数的显表达式证明了K(1，l，l；Ⅸ)是陆启铿域，从而根据Bergman核函数在双全纯映照下的变换规律和Bedford和Pinchuk的—个定理嘲，也证明了若Dcc2是具有实解析边界的拟凸域，而且其全纯自同构群不紧致，则D一定是陆启铿域．由上面的定义可知，华罗庚结构是殷慰萍构建的域中最为一般的，也就是说其余的域都是华罗庚结构的特殊情况．在华罗庚结构的定义中的域D∈冗“，也就是说D是对称典型域．现在提出一个尚未解决的问题： opedProblem1华罗庚结构的定义中的域D能否改为任意的有界非对称齐性域?相应的域的Bergman核函数能否求出其显表达式? 3华罗庚域的经典度量的等价 ◇中有界域D上的经典度量是指Bergman度量，Carath60dory度量，Kobayashi度量和 Einstein-K址ler度量．分别用uB旧)，“JG(D)，uM(D)，uE耳(D)表示．研究它们之间的关系是一个重要的问题．最近，KefengLiu，xiaofengSun，Shing—nng'黾u(刘克峰，孙晓峰，丘成桐)研究了Teichmtnler空间和模空间的经典度量的等价问题【30_3引，证明了在这两个空间中的四个经典度量是等价的，特别是证明了Bergman度量和Einstein—K施ler度量在这两个空间上是等价的丘成桐猜想．殷慰萍他们研究了经典度量在华罗庚域上的等价问题．特别是证明了Bergman度量和Einstein．K拙ler度量在cartan—Hartogs域是等价的，即丘成桐猜想在cartan—Hartogs域万方数据 2期殷慰萍：华罗庚域研究的综述 137 上也成立．仍然以第一类Cartan—Hartogs域玢(Ⅳ，m，扎；K)：=玢为例进行阐述．其主要思想和方法是：首先引进了一种新的不变完备度量，证明这些度量与玢的Bergman度量等价；然后证明这些新的完备度量的Ricci曲率和全纯截曲率都有负的上下界，从而利用丘成桐的schwarz引理【33，34】证明这些新的完备度量与Einstein—K飘1er度量等价，这样借助于新的完备度量为过渡就得到Bergman度量和Einstein—K曲ler度量是等价的证明．这些思想和方法是从文献[30一32】得到启迪而获得的． 3．1圻的新不变完备度量设(z，w)∈埒，把z=(锄)中的元素锄按行向量的次序排成一个具有m礼个元素的向量Z1，即 z1=(z1，z2，-一，zmn)=(名11，z12，·一，z1几，·一，zml，名仇2，⋯，zmn)，把w的元素排为(叫1，叫2，⋯，叫Ⅳ)，令z2=(确叶1，名m。+2，⋯，z。叶Ⅳ)=(叫1，叫2，⋯，ⅢⅣ)，则Ⅵ中的点(互彤)可以表示成具有m礼+Ⅳ个元素的向量 z=(zl，邑)=(现，z2，⋯，zmn，zmn+l，zmH+2，⋯，zm％+Ⅳ) 令 GA=GA(z，Ⅳ)：y入ldet(j—z穷)】一(m+n+嚣)，A>o 关键是要证明由它生成的方阵列卵忍厕=(鬻) 是正定的，其中y：(1一x)～，x=}彬J2[det(』一zZ。)]一毒．一般正定性的证明并不容易．我们的方法是把它复相合变换为对角的形式．取，∈Aut(H)，并令玩=z，则有乃J(z，w；z，形)=乃{zo：z乃J(o，Ⅳ+；o，而)乃lzD：z，其中以是变换，的Jacobian矩阵．经计算，有醐哪萨，=(瞎蹦+秽碟芦肌+A#：矿Ⅳ+) 这样就容易证明死』(z，w；Z，万)>o．再结合GA的表达式，可知由GA生成的度量是域玎的不变K弛ler度量，把它记为uG。(M)．其数量连续依赖于入，故有连续统那么多． 3．2坼的新度量与Bergman度量等价定义c”中的域Q的两个度量8和￡等价，是指存在两个正常数口和6(设口≥b)使得下列不等式成立： 6≤箬妯万方数据 138 数学进展 36卷埒的Bergman核函数的显表达式已经求出，见(2．14)，所的由Bergman核函数生成的Bergman 度量记为uB(b)．经计算 (吲驯2地讹。一z(舭叹+≯瑚，M+0樊瑟，薹羹磊夔垦霪蠢篓珩 i粪l黧1豢慧羹霎||!冀羹骐篓囊羹器藿鬻毫耋萋；囊鬻￡露壤羔囊，喜蠡擘薹萋孽兰霎5薹i专；i 。j||o一一萋量差}鏊。≤竺蠹羹i譬：毫霪2 )=协，因此叮e(L)=仃e(L【Ⅳ，m))．同样地，盯e(Lo)=盯e(Lo，fⅣ，。))．对任何剪∈C伊(Ⅳ，。。)，有晒Ⅳ，。)爹，爹) ’” 一。-，。。 2厶(％(讣k@”∥@)|2¨轰厶@觯)+6觯删埘@)|2出JN 面JN ≥(赢澎彩一荟口州牡嘣圳啪@∽l攀对任何￡>o，利用式(2．8)，对式(2．11)右边最后一项作估训薹∥I口％。)+6七@)I沌@)(常 =∑∑／．，Mt】舶删·一(￡)12班 ≤篆善(嚣，】∥q盘)|2)一％∽帕簿凇 ≤￡ ∑删苔叫叫+1】．由引理1．8知，垤>o，存在常数c￡，使得因此由式(2．12)得训o。一·眇+1】≤g彬”’怯咿+1】+ce⋯L2岫+1】' (2．9) (2．10) 万方数据殷慰萍：华罗庚域研究的综述 139 都存在而且郡是正数，则圣Ⅸ)，皿慨)，’r∽)在区I闭[o，1)上都有正的最大值和最小值．经计算易知乒m1圣(x)=、jim西(x)=竺竺掣，X—l 、 y。∞ 、。 A 乒吧皿(x)=、3im皿(x)=竺竺掣，X_1 ’ y。o。、 A 以及乒m1T(x)：、3imT(x)=竺竺掣．X—l ’ y。o。、 ’ A 因此存在正常数Ⅳ，6，(，卵，J9和臼使得o<∥≤垂∽)≤占，oo； (y=(1一x)～，x=f缈i2【det(，一z茅)J一壶，(z，Ⅳ)∈坼A GA=y^[det(J—ZZ‘)】一(q一1+癸)，入>o； (y=(1一x)～，x=1w12[det(J—z芽)】_壶，(z，Ⅳ)∈Ⅵ¨)， G^=y^卢(z，牙)一∞+茹)，A>0； (y=(1一x)一1，x=1w12够(z，乏)1一蠢，p(z，Z)=l+Izz‘12—2z岩，(z，w)∈硷v)，则这些函数分别生成玢J(Ⅳ，弘K)，玢J，(Ⅳ，口；K)，玢y(Ⅳ，佗；K)的不变完备度量，并分别等价于这些域的Bergman度量． 3．3M的新不变完备度量的Ricci曲率我们要证明Cartan—Hartogs域的新的完备不变度量下的Ricci曲率有负的上下界．玢的不变度量uG。(玢)的Ricci瞳率RicA，按定义有令经计算有。．如(赴嫩裂掣)赢 RicAJ2一—————=竺芝I==广．如乃f(互彬；Z，w)出。 G嘏，=(等+m⋯竿)～脚Ⅳ+1， detn，(z，彬；Z，形)=G，∽)(det(j—z茅)】一(m+n+簧)如(垫嗡磐)如‰“剐2 =d名如lzo：z(【去蟛x+苫h+扣鸩J+盎万tⅣ。)万lzo—z爿，万方数据 140 数学进展 36卷这里 log刚x)=尬，塑铲=蟛，塑铲=畔，可以证明 (坐≮磐)>。．把如以lzo：z表示为(战，dg)，得到 (崛(圳2=(学+m+竹+芸)陋12+∽+舻确俐2+冽硼2， (u捌(玢))2=(去蟛x+m+礼+芸)f如12+(懈+埘p2)l如12+蟛ld彬12 由于死J(z，彤；z，谚)和(堡垃盥秀器争堕塑丑)都是正定矩阵，这表明去叫x+m+仡+芸>o，聊十聊肛2>o，叫>o，y>o．令吲耻掣掣，喇=兴群，T嘏，=等，则西，(x)，皿j(x)和TJ伍)都是在区间[o，1)上连续的x的正值函数，假如极限魍圣孵)，妈皿舭)，妈T艘) 都存在而且都是正数，则圣，(x)，量I(X)，T，(x)在区间【0)1)上都有正的最大值和最小值．容易算出当x趋向于1时，圣j(x)，皿，(x)和TJ(x)的极限：魍圣肛)=≯骢圣舭净竺掣生，魍吲x)=≯骢州x)=翌掣，妈吲x)=拽吲x)=竿．因此存在正常数∥，占，e，?7，p和P使得 o<∥≤垂(．x)≤6，o<(≤皿(x)≤叼，o 书写为函数．则有卟靠=一妻吣熹=一蚤吣熹=一妻吣丽‰一志飞=丽南，万方数据万方数据万方数据 144 数学进展对其余的Cartan．Hartogs域也有类似的定理． 3．5玢的Bergman度量与Einstein—K轴ler度量等价上面已经证明了第一类Cartan-Hartogs域的新的完备度量与Bergman度量等价，由于新的完备度量的Ricci曲率和全纯截曲率都有负的上下界，就可以利用丘成桐的schwarz引理证明它也与Einstein—K拙ler度量等价．从而，K的Bergman度量与Einstein．K抽ler度量等价这一事实就得到了证明．丘成桐的schwarz引理【34’33，p117】设，：(M”，9)一(Ⅳ“，^)是K孤1er流形间的全纯映射，此处M是完备的而且其瞰cci曲率是非正的，即№e(9)≥一c夕，e≥o． (1)若Ⅳ的全纯截曲率有负的上界，则．厂+危≤c9，这里c是正常数． (2)若m=几而且Ⅳ的Ricci曲率存在负的上界，则．厂+u嚣≤刨孑，此处c是正常数，其中，(2)中的u嚣和u孑分别指度量允和夕下Ⅳ和M的体积元素．考虑恒同映射 id：(Ⅵ，uEK(Ⅵ))一(Ⅵ，uG、(Ⅺ))，由于uG、(玎)的全纯截曲率有负的上界，则由上述的schwarz引理的(1)得到。G。(h)≤C1uEK(Ⅵ)，这里G1是正常数．再考虑恒同映射 id：(M，uG、(玢))一(Ⅵ，uEK(H))，由于uG。(坼)的Rieci曲率有负的下界，则由上述sehwarz引理(2)得到 u翟≯Ⅳ(Ⅵ)≤岛u器+N(Ⅵ)，这里岛是正常数．这是体积元素之间的不等式，因此推得其相应的度量方阵的行列式有 det【珏KJ(z，w；Z，谚))≤岛det陬f(z，w；Z，谚)】I 而这些度量方阵都是正定的，即AJ(z，w；牙，万)>o，珏K，(z，Ⅳ；Z，雨)>o．由下述命题得到 uEK(H)≤伤uG，(Ⅵ)．命题设A和B都是Ⅳ阶正定的Hermitian方阵，而且存在正常数口，卢使得B≥ ＆A，detB≤pdetA成立．则存在仅依赖于a，卢，Ⅳ的7使得有召≤，yA 这命题容易用线性代数方法证明．由上述两个度量不等式，就证明了如下定理．定理玢的Bergman度量和Einstein．K拙ler度量等价，对其余的cartan-Hartogs域，也存在类似的定理．若玢为凸域，则有【37’38】uc(玢)=uK(M)，再由上述事实，则有uB(M)，“，G(巧)，uK(y，)， ∽EK(碍)，uG、(Ⅵ)彼此等价．苏简兵㈣最近证明Ⅵ(1，m，佗；K)为凸域的充要条件是2K芝m．由于uG。(M)的全纯截曲率存在负的上界，因此由[39；40，p．136]，有uG。(聊)≤肋K(玢)，从而有u丑(b)≤卢1uK(M)，以及uEx(婚)≤国uK(坼)．由于总有【41，42】。e(碍)≤2∥丑(K)，因丽ue(硷)≤风uEK(玢)，这里p，风，尻，风都是正常数．万方数据 2期殷慰萍：华罗庚域研究的综述 145 上述事实对其余的Cartan—Hartogs域也成立． openProblem2 对于一般的华罗庚域的Bergman度量是否等价于Einstein．K蕴hler度量? 4华罗庚域的比较定理近期殷慰萍，王安等对cartan-Hartogs域得到了Bergman度量和Kobayashi度量的比较定理【43-4引．后来在他们关于求解Cartan—Hartogs域的Einstein．K弛ler度量的显表达式的论文中，也能够得到关于Einstein．K弛1er度量和Kobayashi度量的比较定理【45_4引．这些比较定理实际上就属于上一节的经典度量的等价的范畴．在论文 [43—46]之中，关键部分是需要对 Bergman度量的全纯截曲率是否有负的上界进行估计．而在[45—491关于Einstein．K弛1er度量和Kobayashi度量的比较定理关键之处是要证明EiⅡstein．Kahler度量的全纯截曲率具有负的上界．而且都是在Bergman度量和Ei璐tein-K戋j{ller度量的显表达式求出来的情况下进行的．有了上一节的结果，对于同样结果的证明不但简单而且可以不要求具体求出EinsteimK五hler度量的显表达式，这就更进了一步．上面提到Bergman度量是1921年由s．Bergman引进的【26]，把它记为尽．Carath60dory 在1926年引进了一个不变距离【52]，Rei髓n在1963年引进了一个不变度量【53]，现在称之为 Carath60dory度量，记为C，也称为Carath60dory-Rei＆n度量．Kobayashi度量是由Kobayashi 在1967年，Royden在1970年引进的【54155】，记之为疋根据H．Wu的论文【56】，上述经典度量之间有如下关系．首先在单位超球三k上对其上的任何切向量V有∥丽=棚莉=诉了_c(V)=丽瓦(V)． (i)嚣和C：对俨中的一般有界域总有C≤2召．·这个不等式隐含在陆启铿1958年的文章 [41】中，明显的和简化的证明则在1978年的K．T．Hahn文章【42]中． (ii)8和d瓦：没有确定的关系．人们希望对C，中的有界域成立关系式8Sa咒，这里Q 是常数． Diederich和F0rnaess举出反例，在C3存在有界拟凸域使得召／JIC是无界的[43】． (迸)8和5：对c“中的任何有界齐性域有8=￡成立，这是由于嚣的Ricci曲率总等于一l(参见[58协一 (iv)C和瓦：在所有流形上有C≤瓦成立[59】．但对于妒中的凸域总有e=瓦(参见f381)．由于所有对称有界域在妒中存在有界的现实，这就隐含了对有界对称域有g=石成立．这一事实较早时已由文献[60]直接算出．除了上述关系外，至今并无一般性的关系成立．若俨中的有界域D的Bergman度量的全纯截曲率存在负的上界，则由文献[39，40】可知有不等式”BD≤cKD”成立．这种不等式成立就称为域D上的Bergman度量和Kobayashi度量的比较定理成立。从上述(ii)可知不等式鼠2Sc甄1不是总成立的．因此那些域成立Bergman度量和KobayaShi度量的比较定理就显得十分有意义．除了对有界齐性域和强拟凸域成立Begman度量和Kobayashi度量的比较定理外， K．T．Hahn和P．Pflug证明这种比较定理对2维的广义的Thullen域也成立【61]，殷慰萍证明这种比较定理对两种拟凸域(包含了弱拟凸域的情况)也成立[6216引．对于cartan—Hartogs 域，这种比较定理也被证明是正确的【43-4刚．以第一类ca_rtan．Hartogs域为例，其上的Bergman 度量和Kobayaslli度量的比较定理的完整叙述为：定理若ByJ和E硷分别表示M的Bergman度量和KobayaSlli度量，则存在正常数G+ 使得对所有((叫，z)，∈)∈玢×C川+””，有 BH((训，z)，∈)≤G+Eb((叫，z)，∈)．万方数据 146 数学进展这种比较定理的证明是基于如下的基本定理．基本定理令p表示在Kobayashi度量瓦下的双曲Banach流形D的Finsler度量，若卢的全纯截曲率存在负的上界一c2，c∈．R+，则对所有0，钉)∈T(D)有触川≤罢咒口由于这个基本定理，对上述比较定理的证明归结为对K的Bergman度量的全纯截曲率是否有负的上界的估计．一般而言，这种估计是非常复杂的，复杂得难以进行．例如在复维数为 2的情况下就很复杂f64’651．以往克服这个困难的办法是殷慰萍提出的过渡度量的办法．即构造～个完备的不小于Bergman度量的K拙ler度量作为过渡度量，使得这个过渡度量的全纯截曲率易于计算且有负的上界．这样由基本定理，这个过渡度量就小于等于Kobayashi度量乘以某一个正常数，从而Bergman度量也小于等于Kob哪ashi度量乘以某一个正常数．现在对于 cartan-Hartogs域而言，由于上节已经证明了所引进的新的完备度量是完备的，等价于Bergman 度量，而且证明了在新引进的度量下的全纯截曲率存在负的上下界，这样，要证明Bergman度量和Kobayaushi度量的比较定理就很容易了．由于Bergmn度量等价于Einstein-K妇ler度量，因此要证明Eins七ein-K强ler度量和Kobay韬lli度量的比较定理也就很容易了．分别用uB(玢)，ue(玢)，uK(H)，uEK(M)表示玢上的Bergman度量，carath60dory度量，Kobayashi度量和Einstein．K弛ler度量．H的新的不变完备K蕴hler度量由3．1．4可知它是uG、(玢)．由于uG、(玢)是Finsler度量，已经在3．414证明了它的全纯截曲率有负的上界，因此 uG、(Ⅵ)≤quK(Ⅵ)，而由于∽G。(Ⅵ)和u日(玢)等价，因此有 uB(埒)≤QuⅣ(玢) 而由于∽E耳(Ⅵ)和uB(Ⅵ)等价，因此又有 ∞EK(玢)≤c3∽K(砼) 后者就是Einstein_K弛ler度量和Kobayashi度量的比较定理，这定理的证明就不用具体求出 EiIlstein-Knler度量的表达式以及对其全纯截曲率的是否有负的上界的估计了．利用H．wuJ听叙述的经典度量之间的关系，还可以得到这些度量之间的其他的不等式，这里不赘述．在文章 f30]中提出了全纯齐性正则流形(holomorphichomogeneousregularmanifolds)的概念．定义n维的复流形x称为全纯齐性正则流形，如果存在两个正数r型旦罐爵业址．则A有大于1的固有值A，且在aD上存在对应于入的固有元．证明作玩(z)=(1一t)Az+￡口e，z∈D，t∈【o，1】．由A是一个半闭1一集压缩算子得知：日：【o，l】xD—E是—个连续算子．容易证明： (，一日)：【o，11×D—E是—个闭算子．因为，y[王如(D)]=7f(1一t)A(D)+tne】寻7f(1一￡)A(D)】≤7[A(D)】≤，y(D)，其中7表示非紧性测度．所以，日：【o，l】×西一E是—个半闭1．集压缩算子．由已知条件可知 z≠Az，Vz∈aD．下面证明：z≠甄∽，Vz∈aD，≠∈【o，l】．用反证法，若存在zo∈aD，to∈【o，1]，使得 oo=(1一to)Azo+tooe． (1．2) 显然，to≠o，同时to≠1(否则￡o=1，(1．2)式为：zo=oe，则有|IzoI|=|I口e|I=口恻l> ：吕|Iz||矛盾J所以幻∈(o’1)，于是由(1．2)式可得 1Azo=去(zo—zone)． (1．3) - oU 将(1．3)式代入条件(i)得 (去犷禹一z。)。≥(最一禹一ae)。忡⋯矿p¨删。，即(盎zo一彘＆e)。≥(最一靠)。+‰一)。．即(T％)。(zo一口￡)。≥[(r％)。十1](zo—oe)。，由于zo一8e≠移，故(。o—oe)。≠a，又因为P是L一锥，因此，II(禹)。(zo—oe)。f|≥№南)。+1】(zo一。e)。¨．即(r％)。{l(zo—ae){|。2【(r％)。+l州(。o一黜)0。，由于(zo一8e)≠o，故(T％)。≥ (去)。十1．即￡孑≥1+(1一to)8． (1．4) 以下证明：曙

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华罗庚域研究的综述

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