nullnull一、多元函数的概念一、多元函数的概念（1）邻域null（2）区域例如，即为开集．nullnull连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，null有界闭区域；无界开区域．例如，null（3）n维空间 n维空间的记号为说明： n维空间中两点间距离公式 null n维空间中邻域、区域等概念内点、边界点、区域等概念也可定义．邻域：设两点为null（4）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量。点集称为该函数的值域.null例1 求 的定义域．解所求定义域为null（5） 二元函数 的图形（如下页图）null二元函数的图形通常是一张曲面.null例如,球面.单值分支:二、多元函数的极限二、多元函数的极限null说明：（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．null例2 求证 证原结论成立．null例3 证明 不存在． 证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．null确定极限不存在的方法：null证明：极限 不存在.(1)(2)nullnull例 求解求解令则当 时，因而null定义 若当 时( 看作常数), 函数存在极限, 设当 时,函数 也存在极限, 则称是函数 在点 的先对 后对 的累次极限(也称二次极限), 类似地, 可以定义先对 后对 的累次极限:null(1) 两个二次极限存在且相等, 但二重极限可能不存在.例不存在.但(2) 重极限存在, 但两个累次极限可能不存在.例但不存在.null定理 若函数 在点 的二重极限与某个二次极限(例如先对 后对 )都存在, 则若两个二次极限存在但不相等, 则二重极限一定不存在.例知 不存在.null定义 3 设函数在开区域（或闭区域）内有定义，是的内点或边界点且如果则称函数在点连续.如果函数在内的每点都连续，则称在内连续，或称是内的连续函数.若在点不连续，则称为的间断点.三、 多元函数的连续性null定理 若函数 与 都在点 连续, 则在点 都连续.定理 若函数 与 在 连续,且函数 在点连续, 则复合函数 在点连续.null定理(保号性) 若函数 在区域 内有定义,在点 连续, 且 , 则存在 , 使得对于任意的 , 有null例5 讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．null闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理null定义 设函数 在区域 上有定义. 若对于任意的 , 总存在 , 使得对于 中的任意两点 , 只要当 , 都有则称函数 在区域 上一致连续.定理 (一致连续性定理) 若函数 在有界闭区域上连续, 则函数 在 上一致连续.null多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数
经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可
用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．nullnull例 7四、小结四、小结多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）多元函数的定义null习题 9.12(1)(3)(5)、3(2)(4)(6)、
4、5(2)(3)、6null例 求极限 解其中null解取null故函数在(0,0)处连续.null
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