01质点运动学

1 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 力力 学学 热热 学学 电磁学电磁学物理学 ∨∨ ∨∨ 1 近代物理基础近代物理基础 电磁学电磁学 光光 学学 物理学 ∨∨ 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 2 北京航空航天大学物理系 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 力学(Mechanics) 力学是物理学的一个分支; 研究对象是宏观物体之间或物体内各部分之间的 相对位置的运动，称为机械运动 (Mechanics 3 motion) 。 力学：运动学(kinematics) 动力学(dynamics) 静力学(statics) 基本物理量：时间[T](s) 长度[L](m) 质量[M](kg) 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 力学(Mechanics) 第1章质点运动学 第2章牛顿力学的基本定律 第3章动量变化定理和动量守恒 第4章动能与势能 第5章角动量变化定理和角动量守恒 第6章质心力学定理 第7章刚体力学 第8章振动 第9章波动 第10章流体力学 第11章哈密顿原理 4 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 力学(Mechanics) 其它参考 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ： • 《力学》，赵凯华，北大，理科物理专业 • 《大学物理》，卢德馨，南大，大理科班 • 《基础物理学》，陆果，北大，理科非物理专业 《力学》等，张三慧，清华，工科• 《力学》等，张三慧，清华，工科 • 《大学物理》(新版)，北航，工科 • 《Physics》，R. Resnick，D. Halliday • 《Physics》，Tipler 5 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 第一章 质点运动学 §1-1. 质点、参考系与坐标系 §1-2. 位置矢量与轨道方程 §1 3 位移 速度 加速度§1-3. 位移、速度、加速度 §1-4. 质点运动学的两类问题 §1-5. 圆周运动与一般曲线运动 §1-6. 相对运动 6 2 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 §1-1. 质点、参考系与坐标系 §1-1. 质点、参考系与坐标系 一.质点 二.参考系与坐标系 理想模型：有质量, 大小形状忽略 突出主要性质, 简化问题, 有相对性! 7 1. 参考系 描述物体运动时选作参考的物体。 2. 坐标系 固结在参考系上的一组有刻度的射 线、曲线或角度。 •是实物构成的参考系的数学抽象 •坐标系必须有原点和一组单位矢量 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 •常用坐标系 { i, j, k } (1)直角坐标系 单位矢量: Y r X jk · Zz y x P 0 i P坐标：(x,y,z) eθ § 1-1. 质点、参考系与坐标系 8 (2) 平面极坐标系 {er, eθ } θ P r er o单位矢量: P坐标：(r,θ) (3) 柱坐标系 {er , eθ , k }单位矢量: P坐标：(r,θ,z ) θo z k eθ er P z r 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 (5) 自然坐标系 (4) 球坐标系 {er, eθ , eφ }单位矢量: θ — 纬度；φ — 经度 P坐标：(r,θ,φ ) P o § 1-1. 质点、参考系与坐标系 9 (5) 自然坐标系 切线方向τ单位矢量: 法线方向n n τ P•O s SPO =) 选轨迹上任一点O为原点 质点位置 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 §1-2. 位置矢量与轨道方程 一.位置矢量(位矢) 位矢：从原点O指向运动质点的矢量 r。 kzjyixr rrrr ++=1.直角坐标系: r α jk · Z z y P 0i β γ 位置矢量演示 § 1-2. 位置矢量与轨道方程 10 Y X x 0i222 zyxr ++= |r| zcos ; |r| ycos ; |r| xcos rrr === γβα 大小： 方向余弦： 2.平面极坐标系 rerr rr = r为原点O到P点的直线距离 θ P r eθ er o 1coscoscos 222 =++ γβα 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 二. 轨道方程 1.轨道方程： )(rr trr = •直角坐标系 k)(j)(i)()(r rrrr tztytxt ++= 质点运动时位置矢量随时间的变化方程 § 1-2. 位置矢量与轨道方程 11 分量方程 )();();( tzztyytxx === •自然坐标系 )(tfs = retr rr )(r =•平面极坐标系 2.质点运动轨迹 从轨道方程中消去时间t,即得质点在空间的运动轨迹 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 一质点作匀速圆周运动，半径为 r ，角速度为ω 以圆心O为原点。建立直角坐 标系Oxy ，O′点为起始时刻， 设t 时刻质点位于P(x , y)，用 y Py 例1 解 ω • ),( yx 求用直角坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示位矢,自然坐标表示轨道方程。 § 1-2. 位置矢量与轨道方程例题 12 直角坐标表示的质点轨道方 程为 t sinry ,t cosrx ωω == trs ω= 位矢表示为 自然坐标表示为 xtω x y O rv s 'O • • jtritrjyixr vvvvv ωω sincos +=+= 3 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 §1-3. 位移、速度、加速度 一.位移 z P2 P1 ΔS · r(t+Δt ) Δr r(t) 0 Δr Δr r(t) r(t+Δt ) 如图, 质点从P1沿ΔS 到P2时, 从P1指向P2 的矢量Δr称为位移。 位移矢量反映了物 § 1-3. 位移、速度、加速度 13 x y0 (t)r)t (trr rrr −Δ+=Δ 位移矢量反映了物 体运动中位置(距离 与方位)的变化。 1)位移是矢量(有大小,方向),不同于路程 2)位移与参照系位置变化无关, Sr Δ≠Δr 与Δr 的区别rΔ r分清 注意: 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 二. 速度 1. 平均速度 t trttr t rΔ Δ −Δ+=Δ= )()( vvvvv 2. 瞬时速度 rtrttr d)()( vvv Δ+ O rvΔ )tt(r Δ+v )t(rv • § 1-3. 速度 14 t r t trttr t d d)()(lim 0 v =Δ −Δ+= →Δv (1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 (2) 注意速度与速率的区别 t r d d rr =v t r t s t r d d d d d d ≠=== rr vv 注意 0 dr dr r(t) r(t+dt ) 极限演示 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 三.加速度 1. 平均加速度 t ttt t a Δ −Δ+=Δ Δ= )()( vvv rrrr 2 瞬时加速度 A B )t(v r )tt( Δ+vr )t(rr )tt(r Δ+r O • • • § 1-3. 加速度 15 2. 瞬时加速度 (1) 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。 2 2 0 d d d d)()(lim t r tt ttta t rrrrr ==Δ −Δ+= →Δ vvv )t(vr )tt( Δ+vr v rΔ O (2) 加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。 • 注意 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 四.位移、速度矢量三角形 θΔrr 0 r(t) r(t+Δt ) rrΔA B C rr rΔ1. 位移矢量三角形 rrrr rrr Δ+Δ=Δ θ rvvv rrr += θ d rd θ r — 横向速度 d rd r r — 径向速度 A vrΔ § 1-3. 位移、速度三角形 16 2. 速度矢量三角形 3. 哈勃定律 τaaa n rrr += rH 0=rv dt dt 0 B (t)v r t)(tv Δ+r C τΔvrnv rΔ τΔΔΔ vvv rrr += n dt d nv r — 法向加速度 dt d τv r — 切向加速度 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 哈勃定律 rH 0=rv 哈勃常数意义：估算宇宙上限年龄 0 H 1t = § 1-3. 哈勃定律 17 0 0 H 宇宙年龄: 00 H1t = 亿年150≈ 哈勃半径： 00 ctR = 亿光年150≈ km10 23≈ 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 五.不同坐标系的位移、速度、加速度的表达式 任何坐标系 位移： 1. 直角坐标系： ktzjtyitxtrr rrrrr )()()()( ++== (t)rt)(trr rrr −Δ+=Δ •位矢： •速度: kdzjdyidxrd rrr rr ++v §1-3. 位移、速度、加速度在 不同坐标系中—直角坐标系 18 •速度: k dt j dt i dtdt ++==v kji zyx rrr vvv ++= •加速度： kajaia dt rd dt da zyx rrrrrr ++=== 2 2v 2 2 x x dt xd dt da == v 2 2 y y dt yd dt d a == v 2 2 dt zd dt da zz == v 4 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 2.自然坐标系: dt d dt d dt da ττ rrrr vvv +==加速度: 速度v方向是轨迹切线方向 τrr vv = p S n τ υ O• 轨道方程: S = f(t) 速度: dτr Pτ(t) τ(t+△t))t()tt( τΔττΔ rrr −+= §1-3. 位移、速度、加速度在 不同坐标系中—自然坐标系 19 ? dt d =τ o P1 P2 △θ τ(t) τ(t+△t) n θ△ τ(t) △τ τ(t+△t) θΔθΔττΔθΔ ==→ rr,0 nrr →的方向τΔ 因此 nnlimlim 00 rrrr dt d ttdt d tt θθ =Δ Δ=Δ Δ= →Δ→Δ ττ P1点的曲率半径为ρ θd ds ρ=定义: nrr θτ Δ→Δ 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 加速度： n 2 rrrr ρτ vvv +== dt d dt da nn dt ds ds dn dt d dt d rrrr ρ τ v=== θθ所以, §1-3. 位移、速度、加速度在 不同坐标系中—自然坐标系 20 naaa rrr += τ ττ rr dt da v= na 2 n rr ρ v= — 切向加速度 — 法向加速度 （向心加速度） 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 3.平面极坐标系： 位矢: retrtrr rrr )()( == erer dt edre dt dr dt rd r r r&r& rrrr θ+= +==v速度: Δeθ θ Δθ eθ err(t+Δt ) Δr r(t) p1 p2 §1-3. 位移、速度、加速度在 不同坐标系中—平面极坐标系 21 θerer r θ+= θ)err2(e)rr( dt rd td da r 2 2 2 r&&&&r&&& rrr θθθ ++−= == v加速度: er eθ Δθ Δθ Δer redt de dt d r& rr& r θθ θθ −== e;er ree rrrr θθ θθ Δ−=ΔΔ=Δ e;er 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 2 2 dt rd dt da ; dt rd rrrrr === vv )t(rr rr=1.已知运动学方程 ,求υ,a , ←⎯ 微分 §1-4. 质点运动学的两类问题 §1-4. 质点运动学的两类问题 22 ∫ ∫ += += t t t t dttt dttt 0 0 )(r)(r ;)(a)( 0 0 v vv rrr rrr 2.已知a 和某时刻t0 时的r0 ,υ0 ,求任意时刻 )(),( tt υrrr ←⎯ 积分 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 )SI(j 6 sin3i 6 cos3r rrr tt ππ +=例2: 质点运动的矢径为 求其轨迹, 速度, 加速度. 解： tytx 6sin3,6cos3 ππ == ⇒轨迹方程： 922 =+ yx 分量方程 §1-4. 质点运动学的两类问题例题 23 ⇒轨迹方程： 9=+ yx ⇒速度： t 6 cos 2dt dy ; t 6 sin 2dt dx yx ππυππυ ==−== t x y 6 cottan πυ υθυ −== 2 2 y 2 x πυυυ =+= →常量,匀速率圆周运动 ) tan 1( rθ−= v rr ⊥⇒ r 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 ⇒加速度： t dt d at dt da yyxx 6 sin 12 ; 6 cos 12 ππυππυ −==−== 大小： 12 2 22 π=+= yx aaa →常量 方向： ta y tantan πθ §1-4. 质点运动学的两类问题例题 24 方向： t a x a 6 tantanθ == 与 的方向一致?rr =−−= jtππitππa rrr 6 sin 126 cos 12 22 否! r 36 2 rπ− )SI(j 6 sin3i 6 cos3r rrr tt ππ += 5 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 2ka v−=例3.已知质点加速度和速度之间的关系为 求速度随距离的变化关系。 解： ddzdd vvv 减速运动，速度变化渐慢（流体中粒子）, 取速度方向为正z方向： §1-4. 质点运动学的两类问题例题 25 dz d dt dz dz d dt da vvvv === 代入a，有 vv k dz d −= ∫∫ −=⇒ zz0dzkdvv0 vv ( )[ ]0exp zzk −−= 0vv 即：速度随z指数衰减 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 §1-5. 圆周运动与一般曲线运动 O θ A(t) X ~k 一.圆周运动的角量描述 r固定, 质点位置是转角单值函数 角位置θ： t时刻OA与X轴夹角 Δθ B(t+Δt) r 角位移Δθ：经Δt由A到B的转角. §1-5.圆周运动和一般曲线运动 —圆周运动的角量描述 26 ~k 平均角速度： tΔ θΔω = (瞬时)角速度： (瞬时)角加速度： kk dt d z rrr ωθω == k d dk dt dk dt d dt d 2 2 z rrrrr θ ωωθωωβ ==== 规定为矢量! 角位移Δθ：经Δt由A到B的转角. 角速度演示 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 Δs O r Δθ ~k 二.圆周运动角量与线量的关系 t r t s tt Δ Δ=Δ Δ →Δ→Δ θ 00 limlim 或 n τ θΔΔ rs =如图，Δt内， §1-5.圆周运动和一般曲线运动 —圆周运动角量线量关系 27 ~k 2 n z z ra r dt d r dt da ω βωυττ = === naaa n rrr += ττ zrr ωω τ ==∴ vv 或 rrrr ×=ωv考虑方向后,可写成 同理，有 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 三.圆周运动 ¾ 匀速(率)圆周运动： 常量== vv r )t()tt( vvv rrr −+= ΔΔ 2 rrr v )( tt Δ+υr R Δθ XO )(tυr nr)(tυr Δθ )( tt Δ+υr υrΔ §1-5.圆周运动和一般曲线运动 —圆周运动具体结论 28 n R naa n rrr v== 即： 的方向恒沿该点半径指向圆心 ⇒向心加速度ar 或：匀速圆周运动实际上是一种(加速度大小不变的) 变加速运动。 ),0( 2nz zτ τ rωarβdt dω r dt dυa ===== 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 ¾ 变速(率)圆周运动： 常量≠= vv r )(tυr Δθ )( tt Δ+υr υrΔ τυrΔ nυrΔ )( tt Δ+υr R Δθ XO )(tυr )t()tt( vvv rrr −+= ΔΔ nvv rr ΔΔ τ += §1-5.圆周运动和一般曲线运动 —圆周运动具体结论 29 n Rdt daaa 2 n rrrrr vv +τ=+= τ 切向加速度 代表速度大小的改变τar 法向加速度 代表速度方向的改变nar 变速圆周运动时, 的方向一般不指向圆心ar )0( ≠τar 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 四.一般曲线运动 用曲率半径 ρ代替R n dt daaa 2 n rrrrr ρ υυ τ +τ=+= ρ ρ §1-5.圆周运动和一般曲线运动 —一般曲线运动 30 ρ是时间/质点位置的函数 ( )22 2 dtda v v − =ρ dt d dt daa vv ≠== rr •也可由 求ρ：arar •曲线运动中 的大小一般不等于υ对t的变化率！ar 6 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 一.牛顿的绝对时空观(经典力学的绝对 时空观) 绝对空间就其本质而言，是与任何外 牛顿《自然哲学之数学原理及其宇宙体系》： 第1章 质点运动学 §1-6.相对运动 31 “绝对空间就其本质而言，是与任何外 界事物无关的，它从不运动，而且永远不 变。” “绝对的真实的数学时间就其本质而言， 是永远均匀平静地流逝着，与任何外界事物 无关。” 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 空间间隔与参照系的运动无关 ll ′Δ=Δ 2. 时间是绝对的： 1. 空间是绝对的： 即 第2章 牛顿力学的基本原理 P r r' R O S x S' O' x' 32 tt ′Δ=Δ 2. 时间是绝对的： 事件经历的时间间隔与惯性参照系的运动 无关 即 3. 同时性是绝对的： 在某惯性系同时发生的事件，在其它惯性 系中也必然是同时发生的 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 “刻舟求剑”→不同参考系对运动的描述不同! 某运动在特定参考系中不一定最容易研究 二. 伽利略变换 (Galilean transformation) ⇒需要在不同参考系及其各坐标系之间进行变换 第1章 质点运动学 33 如图, S, S' 相对运动 P在S中: .a,,r,t rrr v P在S'中: .a,,r,t ′′′′ rrr v S'相对于S的位矢为Rr P r r' R O S x S' O' x' 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 S' 相对S运动: dt Rdu r r = 牵连速度 2 2 dt Rd dt udA rrr == 牵连加速度 经典时空观：运动与时间相互独立 O S P r' u R S' O' r x x' 第1章 质点运动学 34 经典时空观：运动与时间相互独立 P点在S'中有: 位矢： Rrr rrr −=′ 伽利略变换 速度： urrr −=′ vv 伽利略速度变换 加速度： A rrrrrr −=−=′=′ a dt ud dt d dt da vv BCCABA aaa →→→ += rrr或：对物体A、B、C，有 Rrr rrr +′=⇒ urrr +′=⇒ vv A rrr +′=⇒ aa 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 与速度合成与分解有何不同？ 垂直水平 vvv rrr += BCCABA →→→ += vvv rrr⇔ 对物体A、B、C，有 速度： urrr −=′ vv 思考： 例如： 第1章 质点运动学 35 区别：前式中两边是不同物体相对于不同参考系 后式中两边是同一物体相对于同一参考系 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 例5: 如图,车以10m⋅s-1水平前进，车上A向后上方以60° 斜抛一石块. 地面上B看到石块铅直向上. 求其上升高度. 解: 如图, 地面: S系; 平板车: S '系。 Y S υ′ 60° X ′ Y ′ S′S '中： , , yx υυ ′′ x y υ υα ′ ′=tanS 中： , , yx υυ u 第1章 质点运动学 36 X x 由速度变换有： ;u yyxx υυυυ ′=+′= S中石块铅直向上： 0=xυ 由匀变速直线运动/抛体运动公式得石块上升高度: 1sm3.1760tan10tan −⋅=°=⋅′=′= αυυυ xyy m3.15 80.92 3.17 2 22 =×== gy yυ 1sm10 ' −⋅−=−=⇒ uxυ 7 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 R 例6: 车轮在平直路面上作纯滚动，匀角速前进，求 轮缘上一点Ｐ的速度、加速度和运动轨迹。 ,y′ x′O′ u解：如图, t = 0时,Ｐ点位于Ｏ 地面⇔ S 系；轮轴⇔S'系 S系: y 2R 第1章 质点运动学 37 θ ,P纯滚动⇒轮轴每圈前进2π R, P点绕轴转角2π ⇒ tRRs ωθ == ∴车轴速度(牵连速度) iRi dt dRi dt dsu rrrr ωθ === (常量) 牵连加速度 0iR dt udA === r rr β O x 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 S'系: P点作匀速圆周运动, t = 0时恰与地面接触。 P点的运动学方程: tcosRy ,tsinRx ωω −=′−=′ R ,y′ x′O′ u y 2R 第1章 质点运动学 38 ⇒ P点相对速度分量: tsinR dt yd , tcosR dt xd yx ωωυωωυ =′=′−=′=′ ⇒ P点对地速度(绝对速度) 分量: ) tcos1(Ru xxx ωωυυ −=+′= P触地时 0=vr θ ,PO x tsinRu = yyy ωωυυ =+′ 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 因牵连加速度 0=Ar ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =′=′= =′=′= tcosR dt d aa tsinR dt d aa 2y yy 2x xx ωωυ ωωυ θ R ,P ,y′ x′O′ u O x y 2R 第1章 质点运动学 39 即: 对任意t 有 RRa 22 υω == 车轮P点在S系中的运动学方程： Ryy,utxx +′=+′= ⎩⎨ ⎧ −=−= −=−= )cos1(R)tcos1(Ry )sin(R)tsint(Rx θω θθωω 以θ(或ω t)为参数的轨迹方程⎯旋轮线(摆线) 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 O′ O P 从轮心Ｏ'上看： 轮上各点绕Ｏ'作圆周运动; 托勒蜜的“地心说”中行星运行的轨迹* 从轮外另一点Ｏ(≠O' )上看： Ｏ'绕Ｏ点作圆周运动，此时 第1章 质点运动学 40 Ｐ绕Ｏ'的转动+Ｏ'绕Ｏ 的转动⇒Ｐ点轨迹为绕 Ｏ圆轨道上的摆线。 Ｏ 绕Ｏ点作圆周运动，此时 轮上任一点Ｐ的运动可看作 两个圆运动的叠加: 地心参考系中金星的运动轨迹) 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 • • 1.1, 1.4, 1.5, 1.6, 1.8 • 1.11, 1.12 • 1.16, 1.18, 1.19 作业 41 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 请同学对次课作一个小结； 讨论：1。质点沿曲线运动，由Α→Β， 表示位矢， 则下列各式分别代表什么？ Β rr y∫B rdr∫ B rdr 关于位移的思考题1 42 rr Α x ∫ A rd ∫B A dr ∫B A rdr ∫ A rd 8 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 1。答：总位移的大小；总路程；末、初位矢大小之 差；总位移 yx υυυ rrr +=2。 与 在数学上都是矢量 合成，在物理上有何差别？ 3。 一质点做斜抛运动（忽略空气阻力），初始速率 urrr +′=υυ 关于速度、加速度的思考题2,3 43 为 υ0，抛射角为 θ0，dυ/dt是否变化？ 是否变 化？法向加速度是否变化？轨道顶点处曲率半径多大？ 何处轨道曲率半径最大？ 0υr θ0 gan = dtdυr 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 2答：1）前者为运动的分解（或合成），各量对同 一参考系而言；后者是两个参考系之间相对运动的 关系。 2）前者与速率大小无关，为普遍关系；后者是伽 利略变换（绝对时空），仅适用于低速情况。 3答：是；不是；是。 思考题2,3答案 44 3答：是；不是；是。 顶点处的速度为： 加速度为： 由向心加速度 θυυυ cos0== x gaa n == 得曲率半径ρ υ 2=na ( ) g 2 00 cosθυρ = 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 4。已经知道质点的运动方程是 )(tyy =)(txx = 为什么用下面两种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 计算的结果不一样？ 方法一： 2ddr 位移，速度，加速度思考题4 45 2 2 dt rda =;dt dr=υ;22 yxr += 方法二： )()( 2 2 2 2 dt yd dt xda +=;)()( 22 dt dy dt dx +=υ 理学院物理系陈强理学院物理系陈强 4答：dr/dt是位矢长短的变化率，不是质点的速率 思考题4答案 46