利用变量轮换对称性计算积分

第 23卷 第 12期 2007年 l2月 甘肃科技 Gansu Science and Technology 、，DZ．23 No．12 Dec． 2007 利用变量轮换对称性计算积分 李曼生，霍锦霞 (兰州城市学院数学系，甘肃 兰州 730030) 摘 要：给出了变量轮换对称的定义，讨论了二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的计算公式及应用实例。 关键词；变量轮换对称；积分；计算 中图分类号 ：0172．2 1引言 对称性是数学美学的一个重要特征 。利用积分 域关于坐标面、坐标轴 、坐标原点 的对称性，积分域 关于某点、某直线、某平面的广义对称性和被积函数 的奇偶性计算积分是简化积分计算的有效方法。在 此基础上，本文进一步给出了积分区域 同时具有几 种对称性时，相关的几种积分的计算公式。 2 定义 定义 1 ∈N)，有 一 号( a+ b) (x +y )dxdy 2、2。2 ⋯ 一 ( + ) d0foRp。doa b 2、 2 。 2 。 一 y R ( a+ b) 、 Z 。 Z 3．2 三重积分的轮换对称性 定理 2 设 f(x，Y，z)在空间有界闭区域 Q上连 续 ，Q关于变量轮换对称 ，则 (1) If If(x，Y，z)d ff ff(Y，z，x)d II If(z，Y， 若VP(x1，x2，⋯⋯，x )．∈DnCRn(n x)dV Pi(Xi，X ，⋯⋯ ，Xn，X1，X2，⋯⋯ ，XH )∈ D“(i 一 1，2，⋯ ⋯ ，n) 成立，则称 D“关于 X ，X：，⋯⋯，X 具 有轮换对 称 性 。 定义 2若函数 F(X1，X2，⋯⋯，X )--F(Xi，X_+l， ⋯ ⋯ ，Xn，Xl，X2，⋯ ⋯ ，X卜1)，(i= 1，2，⋯ ⋯ ，n)， 则称函数 F(Xl，X2，⋯⋯，X )关于 Xl，X2，⋯⋯，X 具 有轮换对称性 。 3 几类积分的计算公式 3．1 二重积分的轮换对称性 定理 1设函数 f(X，y)在有界闭区域 D上连续， D关于变量轮换对称，则 (1)，，f(x，y)da=j'j'f(y，x)do (2)IIf(X，y)do=~-Lsf(X，y)+f(y，x)do 例 1 求二重积分 ‘ XZ十 z)dxdy ，D ：x + y ≤R 解 积分域 D关于变量轮换对称 ，由定理 1 ‘ x2 T y2)dxdy一 1 ．．． x2 T y2 T y2 T x 2 )dxdy (2) IIIf(x，Y，z)dv=÷ IIIf(x，Y，z)+f(Y，z， n 0 n x)+f(z，Y，x)dv 例 2 计算三重积分IIIf(X，Y，z)dv，其中 Q由 平面 x+y+z一1及平面 x一0，y—O，z一0围成 解 因为 Q关于变量轮换对称，由定理 2 IIIf(X，Y，z)dv一3 IIIxdv 一3Io xdxIo卜 dylo 一Ydz 一3Io xdxIo 一 (1一x—y)dy 一 x(1-- x) dx一 例3 求 I=IyI(y +X )dv，其中 Q：X +y2+ Z ≤a。，x≥O，y≥O，z≥O 解 积分域 Q关于变量轮换对称，由定理 2 I=III(y +x )dv一÷，盯(Y +z +z +x +x n 0 n + Y )dv 一 ÷， (x2+Y +z )dv 0 n 一 2 dOI 。号 sin~dqclo"P dp ：=： 维普资讯 http://www.cqvip.com 128 甘 肃 科 技 第 23卷 以上两例中的积分域并不关于坐标面对称，一 般解法是直接用直角坐标，柱坐标将三重积分化为 三次积分，计算比较麻烦，而利用积分域关于变量轮 换对称性，可将被积函数的结构改变，大大简化积分 的计算。 3．3 曲线积分的轮换对称性 定理 3 设 L是 xoy面上的一条光滑的曲线 弧，L关予变量轮换对称，f(x，y)在L上连续，则 (1) f(x，y)ds=SLf(y，x)ds 1 (2) f(x，y)ds=÷h(f(x，y)+f(y，x))ds 厶 定理 4 设 L是 xoy面上的一条光滑或分段光 滑的有向曲线弧，L关于变量轮换对称，f(x，y)在 L 上连续，则 f(x，y)dx=j"Lf(y，x)dy 例4 计算 lJLydx+xdy，其中L为直线 x+y= R从点 A(R，O)到点 B(o，R)的一段 解 由于积分弧段 L关于变量轮换对称，有 hydx+xdy=0 例5 计算 y2 dx+)(2门dy，其中 L为双纽线 (x2+y2)。=2a。xy位于第一象限的部分取逆时针方 向解 由于积分弧段 L关于变量轮换对称，有 Ly2门dx+xZ舟dy=0 3．4 曲面积分的轮换对称性 定理 5 设∑是光滑曲面或分片光滑曲面，∑ 关于变量轮换对称，f(x，y，z)在∑上连续，则 (1)JIff(x，Y，z)ds—JI『f(y，z，x)ds一 f(z，x，y)ds 1 (2)JI『f(x，y,z)ds 专JIf(f(x，Y，z)+f(y，z，x)+f (z，x，y))ds 定理 6 设∑是光滑或分片光滑的有向曲面， ∑关于变量轮换对称，f(x，y，z)在∑上连续，则 f(x，Y，z)dydz：=：盯f(y，z，x)dydz一 f(z，x，y) dydz (上接第64页)在一些不足之处，没有做到经济、社 会效益最大化，有待进一步改进措施，切实实现干气 的综合利用。 参考文献： [13 内部资料，兰州石化公司 2004年技改项 目情况通报。 [23 内部资料．兰州石化公司 A、B、C燃煤锅炉改造技术协 议 [3] 谢恒。姜鹏．陈云生．等．3．OMt／a重油催化裂化联合装 一 寺 (x，y，z)dydz+f(y，z，x)dydz+f(z，x， u 厶 y)dydz 例6计算量xzdxdy+xydydz+yzdzdx，其中∑ 是平面 x=O，y=O，z=O，x+y+z=1所围成的空间 区域的整个边界曲面的外侧 解 因为积分曲面∑关于变量具有轮换对称性 (见图 1)，所以 g xzdxdy+xydydz+yzdzdx=3 8 xzdxdy -3( Y+ xz dy+ xzdxdy+ xzdxdy) 一3 (1一x—y)dxdy 一3So xdxj"。卜 (卜x—y)dy 专 图 1 积分计算是高等效学的基本计算，以上的结论 和实例 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ，在解题的过程中，根据问题的特点去发 掘潜在的对称性关系或构造其中的对称性，可以化 难为易，提高解题效率。 参考文献： [13 李曼生．利用积分域的对称性计算积分[J]．甘肃高师 学报．2002(2) [23 钱双平．对称性在高等数学解题中的应用口]．云南电 大学报．2004(2) [-33 胡适耕．大学数学解题艺术[M]．长沙．湖南大学出版 社．2001．141—168 置新技术的应用．合成橡胶工业。2005．12第 26卷 [4] 李红洲、司国孝等．炼化结合优化乙烯原料．合成橡胶 工业 ，2005．26(12) [53 兰州石化公司炼油厂技术科内部资料，炼厂干气平衡 。 情况． [63 王建，夏荣安。周天基，等．催化干气回收乙烯工艺的工 业应用．石化技术与应用。2006。24(5) 维普资讯 http://www.cqvip.com