抛物线

江苏省海安县李堡中学 高二文科 海安县李堡中学抛物线测试 一、选择题 1．抛物线 的焦点坐标是 （ ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 （ ） A． B． C． D． 3．抛物线 截直线 所得弦长等于 （ ） A． B． C． D．15 4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ） A． 或 B． 或 C． D． 5．点 到曲线 （其中参数 ）上的点的最短距离为 （ ） A．0　　　 B．1　　　 　 C． D．2 6．抛物线 上有 EMBED Equation.3 三点， 是它的焦点，若 成等差数列，则 （ ） A． 成等差数列 B． 成等差数列 C． 成等差数列 D． 成等差数列 7．若点A的坐标为（3，2）， 为抛物线 的焦点，点 是抛物线上的一动点，则 取得最小值时点 的坐标是 （ ） A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D． 8．已知抛物线 的焦点弦 的两端点为 , ,则关系式 的值一定等于 （ ） A．4p B．－4p C．p2 D．－p 9．过抛物线 的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是 ，则 （ ） A． B． C． D． 10．若AB为抛物线y2=2px (p>0)的动弦，且|AB|=a (a>2p)，则AB的中点M到y轴的最近距离是 （ ） A． a B． p C． a＋ p D． a－ p 二、填空题 11．抛物线 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12．已知圆 ，与抛物线 的准线相切，则 ___________． 13．如果过两点 和 的直线与抛物线 没有交点，那么实数a的取值范围是 ． 14．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件； （1）焦点在y轴上； （2）焦点在x轴上； （3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5； （5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）． 其中适合抛物线y2=10x的条件是(要求填写合适条件的序号） ______． 三、解答题 15．已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线 上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图） （1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标； （2）求线段BC中点M的坐标； （3）求BC所在直线的方程. 16．已知抛物线y=ax2－1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围. 17．抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程. 18．已知抛物线C： ，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线． （1）若C在点M的法线的斜率为 ，求点M的坐标（x0，y0）； （2）设P（－2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由. 19．已知抛物线y2=4ax(0＜a＜1＝的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点． （1）求｜MF｜+｜NF｜的值； （2）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由. 20．如图, 直线y= x与抛物线y= x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点. （1）求点Q的坐标； （2）当P为抛物线上位于线段AB下方 （含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值. 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B B A C B C D 二、填空题 11． 12． 2 13． 14． （2），（5） 三、解答题 15．[解析]：（1）由点A（2，8）在抛物线 上，有 ， 解得p=16. 所以抛物线方程为 ，焦点F的坐标为（8，0）. （2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的 定比分点，且 ，设点M的坐标为 ，则 ，解得 ， 所以点M的坐标为（11，－4）． （3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在 的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为： 由 消x得 ， 所以 ，由（2）的结论得 ，解得 因此BC所在直线的方程为： 16．[解析]：设在抛物线y=ax2－1上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(－y,－x)，则 ，由①－②得x+y=a(x+y)(x－y),∵P、Q为相异两点，∴x+y≠0，又a≠0， ∴ ，代入②得a2x2－ax－a+1=0，其判别式△=a2－4a2(1－a)＞0，解得 ． 17．[解析]：设R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB的中心为 ，L:y=kx－1,代入抛物线方程得x2－4kx+4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且△=16k2－16＞0，即|k|＞1 ①， ，∵C为AB的中点. ∴ EMBED Equation.3 ，消去k得x2=4(y+3),由① 得， ，故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)( )． 18． [解析]：（1）由题意设过点M的切线方程为： ，代入C得 ， 则 ， ，即M（－1， ）． （2）当a＞0时，假设在C上存在点 满足条件．设过Q的切线方程为： ，代入 EMBED Equation.3 ，则 ， 且 EMBED Equation.3 ．若 时，由于 ， ∴ 或 ；若k=0时，显然 也满足要求． ∴有三个点（－2＋ ， ），（－2－ ， ）及（－2，－ ）， 且过这三点的法线过点P（－2，a），其方程分别为： x＋2 y＋2－2a ＝0，x－2 y＋2＋2a ＝0，x＝－2. 当a≤0时，在C上有一个点（－2，－ ），在这点的法线过点P（－2，a），其方程为：x＝－2. 19．[解析]：（1）F（a,0）,设 ，由 ， ， （2）假设存在a值，使的 成等差数列，即 ①，∵P是圆A上两点M、N 所在弦的中点，∴ EMBED Equation.3 由①得 ，这是不可能的． ∴假设不成立．即不存在a值，使的 成等差数列． 20．[解析]：【解】(1) 解方程组 得 或 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB== ,直线AB的垂直平分线方程 y－1= (x－2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)． (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).∵点P到直线OQ的距离 d= = , ,∴SΔOPQ= EMBED Equation.3 = . ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴－4≤x<4 －4或4 －4