10.分离变量法

nullnull数学物理方法周浩淼 副教授 2010年9月5号 中国计量学院、信息 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 学院Methods of Mathmatical Physics第八章：分离变量法第八章：分离变量法第一节 齐次方程第一节 齐次方程考虑长为两端固定的弦的自由振动 null分离变量对于上面的定解问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，设其特解为 （1－4） 将（1-4）代入（1-1）中，得： （1－5） （1－6）null 条件（1－6）的意义很清楚：不论在什么时刻t，和总是零，这只能是：（1－7） 再看方程（1－5），用 遍除两边得：null 上式左边是t的函数，右边是x的函数，t和x是两个独立的变量，故只有两边都是常数时，此等式才能成立。令这常数为-λ，则 这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程，前者还附带有条件（1－7），（1－8） （1－7）（1－9）null求解X，将 ， 和 三种可能性逐一加以考察。 （1） ，方程（1－8）的解是 积分常数 和 由条件（1－7）确定，即 由此解出 ， ，从而 ，这是没有意义的，于是 的可能就排除了。 null（2） ，方程（1－8）的解是 积分常数 和 由条件（1－7）确定，即 由此解出 ， ，从而 ，于是的可能性也排除了。 null（3） ，方程（1－8）的解是 积分常数 和 由条件（1－7）确定，即 如果 ，则仍然解出 ， 从而 ，同样没有意义，应被排除。null 现只剩下一种可能性： ， ，于是， （n为正整数），亦即 当 取这样的数值时，（1－10） （1－11） null 分离变量过程中所引入的常数λ 不能为负数或零，甚至也不能是任意的正数，它必须取（1－10）所给出的特定数值，才可能从方程（1－8）和条件（1－7）求出有意义的解。常数λ的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作本征函数。方程（1－8）和条件（1－7）则构成所谓的本征值问题 本征值问题null本征值问题 现在看T的方程（1－9），按照（1－10），应该改写为 这个方程的解是 （1－12） 其中A和B是积分常数。null 将（1－11）和（1－12）代入（1－4），得到分离变量形式的解 ， 其中n是正整数，每一个n对应于一种驻波。 由叠加原理可知，各个本征振动的线性叠加仍然是定解方程的解，即 其中An和Bn为任意常数。（1－13） （1－14） null 下面就利用初始条件（1－3）来确定 An和Bn。将（1－14）代入（1－3）， 可以看出，上式左边是傅立叶正弦级数，这就提示我们把右边也展开为傅立叶正弦级数，然后比较两边的系数就可确定An和Bn， （1－15） （1－16） 至此，定解问题已经解出。 null稳定场问题 若边界条件由右图给定，试决定 区域内部静电电位分布。其定解 方程为：（1－17）（1－18） （1－19） 这是二维拉普拉斯方程的第一类边值问题。 null 方程不含初始条件，拉普拉斯方程的边界条件不可能全是齐次的，因为这种条件下的解只能是零。但是，尽可能把一些边界条件化为齐次，毕竟会带来一些方便。一个特殊的简便方法，就是令（1－20） 这只不过是把电位坐标移动一下，把原来的 作为新的位标 的零点。以上式代入（17）~(19)，得（1－21） （1－22） （1－23） null 以分离变量形式得试探解， 代入泛定方程（1－21）和齐次边界条件（1－22），可得X和Y的常微分方程以及X的边界条件：（1－24） （1－25） null （1－24）式构成本征值问题。不难解得本征值 （1－26） 本征函数（1－27） 将本征值（1－26）代入方程（1－25），解得null 这样，分离变量形式的解已求出为： 称为本征解。一般解 应是这些本征解的叠加， （1－28） 为确定系数An和Bn，将上式代入非齐次边界条件（1—23）， null 上式右边展开为傅立叶正弦级数，然后比较两边的系数，即得由此解出于是，得到 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 null总之，用分离变量法求解偏微分方程问题，一般要经历如下四项步骤： （I）对齐次方程和非齐次边界条件分离变量； （II）解关于空间因子的常微分方程的本征值问题； （III）求其他常微分方程的解，与本征函数相乘，得到特解； （IV）叠加，由初始条件或非齐次边界条件（后者求解狄氏问题将涉及到）确定叠加系数，而最后得到所求定解问题的解。作业P201，11、13、22第二节 非齐次方程第二节 非齐次方程现在考虑如下的定解问题 （2－1） （2－2） （2－3） 由于方程中非齐次项 的出现，所以若直接以 代入方程，不能实现变量分离。由此，我们自然想到解非齐次线性常微分方程的常数变易法，类似地先考虑与非齐次方程（2－1）所对应的齐次问题。 null1、对应齐次问题的本征函数 定解问题（2－1）～（2－3）所对应的齐次问题为： 通过分离变量 后，得到的本征值问题为 由此得到本征函数为：null2、 的方程的解仿照常数变易法，令（2－4） 并将之代入方程（2－1）得： 此等式的左边是右边的函数 对于变量x的傅立叶正弦展开，故由傅立叶级数的系数公式有（2－5） 其中（2－6） null 将（2－4）代入初始条件（2－3）得 比较两边的系数，有（2－7） null 由常微分方程的常数变易法可求得关于微分方程 的定解问题（2－5）和（2－7）的解为， 将（2－8）代入（2－4）得定解问题（2－1）～（2－3）的解为， 其中 由（2－6）给出。 （2－8） （2－9） null3、本征函数法 以上求解非齐次方程的方法，显然也适用于求解带有其他齐次边界条件的各类非齐次方程，其主要步骤是： （1）用分离变量法求得对应的齐次问题（即 对应的齐次方程连同齐次边界条件）的本征函数。 null（2）将未知函数 或按上面求得的本征函数展开，其展开系数为另一变量的函数，代入非齐次方程和初始条件（或另一变量的边界条件），得到关于时间因子的常微分方程的初值问题（或另一单元函数的常微分方程的边值问题），用常数变易法或拉氏变换法可求得其解。 （3）将所求得的解代入未知函数的展开式中，即得到原定解问题的解。这种分离变量的方法按其特点又叫本征函数法作业P215, 5.第三节 非齐次边界条件的处理第三节 非齐次边界条件的处理 以上两节所讨论的问题，基本上是基于边界条件是齐次的。但我们所遇到的实际问题，并非尽然，而往往是非齐次的边界条件更多。现以具有非齐次边界条件的一个定解问题为例来研究这一问题。即（3－1） （3－2） （3－3） null 此时，对于边界条件（3－2）无法应用分离变量法，因为若将分离变量形式的解 代入（3－2），就会得到 ， 两个不确定的值，即不能引出任何边界条件，所以首先必须把边界条件齐次化。null1、边界条件的齐次化 为此，我们引入新的未知函数和辅助函数，令 若你能找到函数 ，使他具备性质 则新的未知函数 ，便满足齐次边界条件（3－4） （3－5） null2.辅助函数 的选取 由此看来，问题的关键是寻找一个具有性质（3－5）的函数 。实际上，对于任 意固定的t，满足（3－5）的 所表示的是，过 x－w 平面上 和 两点的曲线。这种曲线有很多条，最简单的是直线，令之为 于是，由（3－5）有null 从而求得 故有 这样一来，定解问题（3－1）～（3－3）便化为关于 的定解问题。 （3－6） null（3－7） （3－8） （3－9） 这正是上节我们介绍过的带有齐次边界条件的非齐次方程的定解问题，可用上节介绍过的本征函数法来求解。null例研究右图所示的半带形区域内的电势 。已知边界 和 上的电势都是零， 而边界 上的电势为常数 解：其定解问题为（3－10） （3－11） （3－12） 为使关于变量x的边界条件齐次化，令null由（3－6）式，得 于是 的定解问题是 （3－14） （3－15） （3－13） 用分离变量法求得满足（3－13）和（3－14）式的解为null 其中 和 为待定常数，又因为当 时， 应是有限的（自然边界条件），即（3－16） 故由边界（3－15）和（3－16）可定出 于是最后可得原定解问题（3－10）～（3－12）的解为 需要指出的是，由于w的选取有一定的任意性，故选取不同的w所得到的解u在形式上困难很不相同，但根据解的唯一性可知这些解实质上是一样的。null 综上所述，在用分离变量法解偏微分方程时，为了使边界条件实现变量分离，应使非齐次边界条件齐次化。对于未知函数的 定解问题，具体做法是： （1）作变换 （2）适当选取 ，使关于 的边界条件齐次化，通常选 为x的一次式 但当两个边界条件均为第二类时，需选择 为x的二次式 ，其中 和 由 的边界条件定。 null（3）解关于 的带有齐次边界条件的定解问题，从而在最后可求得 。 作业P223，3、4.nullwww.cjlu.edu.cnThank you ！