第 �� 卷第 � 期
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控 制 理 论 与 应 用
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文章编号 � �。皿卜 � �� ����� � �� �一 � � � 一 � �
非线性时间序列建模的异方差混合双� � 模型
王红军‘, 田 铮�,� , 党怀义“
�� � 西北工业大学 理学院 应用数学系 , 陕西 西安 �� �� � �
� � 中国科学院 自动化研究所 模式识别国家重点实验室 , 北京 ��以〕��� � � 中国飞行试验研究院, 陕西 西安 �� �� � ��
摘要 � 研究 了可用 于非线性 时间序 列建模 的异方差混合双 自回归模型��� �� ��� � �� �� � ��� � �� �� ! �� �� � �� �� � �� ���� � � � � � �, �� �服�, 给出了� �� � � 模型的平稳性条件 , 利用� �� �� � �� ���� �� � � � 山��� � 日 � �� �而 �丽� � �
算法来估计模型的参数, 运用� �� �� ! �� �� �� �� �� � � �� � �� � �� 准则来选择模型 � � �� � �模型条件分布富于变化的
特征使它能够对具有非对称或多峰分布的序列进行建模 , 将��� � � 模型应用于几个模拟和实际数据集均得到了
较为满意的结果 , 特别是对波动较大的序列 , �� � � �模型能比其他模型更好地捕捉到数据序列的特征�
关键词 � 异方差混合双自回归模型 � 平稳性 � �� �准则 � � ��算法 � 非对称分布 � 多峰分布 � 条件异方差
中图分类号 �仰��� 、 � �� 文献标识码 � �
� ����� � � � � � ���� � �� ��代 � � � � �� ·� � ��代�代� ��� � � � � � �
�� � � � � ���� � � � �� �� �� � �� � � �� ���
认叭� � � � �� � � � , ��� � �� � � � � , � , 以� � � �滋一���
�� � � ���� � �� � � � � ��� �� � � �� � �� � � , � � �� � � � � �� ��� � , � � �� � ���� �� �� ����� � � �� � �� � �� � �� ���, � �’�� � ���� � � � �� � � , �� � � �� � � �� �� � � � � � ��� � �� �� �� �� �� �� �� � �� � � ����� � , �� ��� ���� � � � � � � � �� �� � , � � � � �� � �叱 �� � � � �� �� � � � , � ����� � � !洲�� � , ���� � �
� � �� �� � � � ��� � �� �� � �扭� � ��� � � �, �立’�� ���� � � � ��� � � , �� �� � �
� � �� �� �� � �� � � � �� �� � � � � � ���� � �� �� ! ∀ � �� !一 a u t o r e g re s s i v e ( H M D A R ) m o d e l , w h i c h 1 5 d e s i g n e d t o m o d e l n o n l i n e ar
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e o n d i ti o n al m ax i而zation (EC M )al gori th m ;asym m etri e distri bution:m ultim odal distri bu tion;eonditional hetero seeda stic-
ity
1 引言(In troduc tion) G au ss分布.但在工程和金融等大量实际问题中, 具
时间序列分析的主要 目的之一是为了预报. 时 有非G au ss 特征的序列却广为存在.由于混合模型提
间序列模型的最佳预报与最优控制是时序方法在工 供了一种可以逼近任何复杂分布形式的有效方法 ,
程应用中的一个重要方面.A R M A 模型已被成功的 该类模型受到研究者的广泛关注12] .一些研究者将
运用于工程系统的预测 , 并与控制理论相结合 , 用于 混合模型这一有力工具应用于时间序列分析 , 得到
工程系统 的控制[l] . 但是如果对工程中的非线性系 了一类可用简单结构描述复杂非线性现象的混合时
统仍然采用线性时间序列中的A R M A 模型来描述 , 间序列模型.
则不可能获得好的预报结果 , 继而也得不到最优控 为了对时间序列中的非G au ss 特征(如奇异点、 厚
制.线性时间序列模型的噪声项通常假定服从G au ss 尾 、 变 点等)进 行 描述 , Le , M art in 和R aft e司3〕提
分布.在该假 设下 , 序列的边缘及条件分布均服从 出G au ss 混合转移分布模型(G au ss m ix tu re tran sit ion
收稿日期:2(X) 5一07 一 2 8; 收修改稿日期:200 5一 12 一 0 8 .
基金项目:国家自然科学基金资助项 目(6037500 3) ;国家航空基金资助项 目(03巧3059) .
控 制 理
distri bo tion m odel, G M T D ) . 该模型对于一些非线性
特征给出了很好的解释 , 但是它不能描述具有循环
特征的数据 , 而且分布形式不够灵活. 为了克服这
些缺陷 ,
Wo
ng 和Li [a] 将其推广得到混合 自回归模型
(m ixture autore gre ssive m od el, M 从).Wa ng和Ti an[5]
进一步将该类模型推广得到了混合A R M A 模型(而x-
ture autore gre ssive m oving一 av e r a g e m o d e l , M A R M A ) .
G M T
D 模型 、 M A R 模型和M A R M A 模型有一个共同
的假定 , 即每个分量在不同的时刻具有 同方差 .将这
一假定用于 变化剧 烈 的时间序列(如某些工 程数
据或 金融市场数据)分析显然是不恰当的. 通过让
每个 分量 的标准差是 以往观测序列 的函数 , B er ch -
to ld [0] 进一步将该类模型推广得异方差混合转移分
布模 型(heteroseed astic m ixtu re transitio n d istri bution
m odel, H M T n ) .
B er ch to ld[
6
] 根据分量 的标准差与观测序列之间
的不 同函数关系 , 给出 了H M T D 模型不 同的定 义
形式. 本文 主要研究 了具有如下 结构的H M T D模
型 , 称 为异方 差 混合 双 自回归模型(he te ro see d as tic
m ixture do ub le一 a u t o re g r e s s i v e m o d e l , H M D A R ) . H M -
D A R 模型的定义如下 :
论 与 应 用 第 23 卷
文中利用B IC准则选择和确定H M D A R模型的阶数.
通过对两个波动较大序列的实例分析 , 演示 了H M -
D A R 模型的建模方法 , 及分布形式灵活多变 、 具有
描述多峰等复杂分布形式的优势.
2 H M D A R 模型的平稳性(stat ion如ty of the
H M D A R m ode l)
基于模型(l ), 可 以得到x , 的条件期望为
KE (x*{式一‘) = 又 a。拜。 , * ·
如果序列{茂 , t 任 N } 的波动较大 , x , 的条件分布
可能呈现多峰.此刻x , 的条件期望往往得不到好的
预报结果.
H M D A R模型 另一个重要的特征是可 以描述变
化的条件方差.x , 的条件方差为
va r(x , } x 互一 ‘) =
又% 心, 十军a。嵘‘ - ( 艺a 。拜。, , ) 2 .
g = 1
K ~
_
尹 . 攀 1 、 , , ~ 叫,
_
,
J
沪于 — 声乙 。 资 、户 ’ ( X , { X 七一 上 ) = 》 a 。 毋(.-二- - - 二二进止二 ) .、 ‘ , l / 日‘.. 目‘ 沙 、 一 I ,。一 I U 八 子汀 ~ 之, , .
p
g
户g , ‘ = 沪g , 0 + 艺沪g , * x , 一 、, 尸。 ) l , ( l )
止 _ ,
气!一双口卯 + 置“·声梦一 , , % ) ‘·
1 一 艺(E % 沪。 、) : 一‘ = 0
乞= 1 9 = l
的解:1 , … , 今都在单位圆内 , 其中沪。 , 二 0( 乞> p司.
定理 2. 2 假定{茂 , t 任 N 提由一个们M DA 风K ;1 ,… , 1 ; q l ,… , q K ) 模型所产生的一阶平稳过程 , 则
该过程X 亡二阶平稳的充分必要条件是方程
瓦 q K
1 一 [艺a 、(沪茸, , + 0 。 , , ) ] 厂‘ 一 军(艺 aoo, , , ) : 一 , = O夕= 1 一 j = 2 9 = 1
的解 ;1 , … , 今都在单位圆内 , 其中凡, , = o (j > 外).
定理 2. 3 假定凡 , t 〔 N 是 由一个H M D A R (K ;
2 , … , 2; q l , … , q K ) 模型所产生的一 阶平稳过程 ,
则该过程凡二阶平稳的充分必要条件是方程
l 一 !又 a。 (沪茸, , + e 。 , 1 ) ] : 一 ‘
门J一、尹甲一K一,一
其中: F (x 亡}x 犷‘)表 示x , 的条件 分布函数 , x 至一 ‘ =
a ( xt
一 1 , x , 一 2 , … )是 由(x t一 1 , x , 一 2 , … )生 成 的a 一域 ,
少(
·
)
是标准正态分布函数 , a 。是第g 个分量的权重系
无
数 , 艺 a , = 1 , a 。 > 0; 拜。 , ‘和 , 。, ‘是第g个分量在‘时g= 1
刻的条件期望和标准差 .模型(l )简记为H M D A R (K ;
P l , P Z , … , P 兀 ;q l , q Z , … , q 兀).
H M D A R 模型实际上是 由K 个具有异方差的A R
分量混合得到的.若假定各分量的标准差是常数 , 它
就是M A R模型.文中给出了H M D A R模型的平稳性
条件.通过模拟说明几个平稳与非平稳分量经混合
可 以得到一个平稳序列. 由于H M D A R模型的结构
较M A R 模型更为复杂 , 其中某些参数对应 的似然方
程无显式解 , 运用EM 算法估计参数得不到满意的估
计结果.本文运用G E M 算法匡s] 中的E C M 算法来估
计H M D A R模型 的参数. 模拟及实例分析的结果都
表明E C M 算法可 以得到较好的估计结果.H M D A R
模型建模中另一个重要的步骤是阶数的确定 问题.
下面给出H M D A R模型的平稳性条件.定理的证
明运用 了L e et al(1996)[3]以及wo ng和Li (2000 )[4]中
所用 的方法 , 用 到B en es (1% 7) 图中的结论.定理 2.1
给 出H M DA R( K ;p l
, … , p 、; q l , … , q 司模型一 阶
平 稳的充分 必 要 条件.定 理2. 2和 定 理2. 3中给 出
H M D A R (凡 1,… , 1 ;q 1 ,… ,奴)模型和H M D A R (K ;
2 , … , 2; ql , … , q 动二阶平稳的充分必要条件.
定理 2. 1 过程 {X ‘, t 任 N }一阶平稳的充分必
要条件是方程 p K
(军% 代, 2 + 一
,
=
1
1 一
) : 一 2
a g 沪g , 2
第6 期 王红军等:非线性时间序列建模的异方差混合双A R 模型
q 兀又 (又aoo。, , ) z 一 , = O 其中=3 夕= 1
的解:1, … , z 。都在单位圆内 , 其中氏, ; = 0( J > q , ) .
3 H M D A R 模 型 的 参 数 估 计 及 模 型 的
选择(Par am eter estim at ion of th e H M D A R
m ode lan d the m odelseleetion)
由于H M D A R模型的一些参数对应的似然方程
不存在显式解 , 运用普通E M 算法往往得不到好的估
计结果.文中采用G EM 算法中的EC M 算法来估计模
型的参数. 假定X = (x l, 勿 , … , x 刁是产生于
H M D A R模型的一组观测值.2 = (:1, … , : 二 )是
不 可观 测 的添 加 随机变量序 列 , : 亡( t = 1 , … , n)
K是K 维随机变量 , 又截 , , = 1 . 若夕, 来自模型(l )中第g= 1
1 ,
x 亡一 j ,
J
二 0 ,
J 笋0.
参数0 二 O弄)T满足方程
全t=r+1
全t=了 + 1
几‘巧 _qg艺 0。 , , 二 ,
8 = 0
几 , ( x , 一拼。 , , ) 2 。:
q g
( E e 。
, 、 。、
)
,
( 3 )
j = 0
,
s
= O
. ’ ,
q
g
其 中
g个分量 , 则勺 , * = 1 ; 否则今 , 亡 = 0; 。 一 (a l , … ,
a 、一 1 ) T
, 沪。 = (沪。
, 。, … , 沪。 , , 。 ) T , a 。 = ( 0 。 , 。 , … ,
气q, ) T , 毋 一 (鲜 , … , 功翠几群 , … , 瑕)T , 曰 一
(。T , 沪了, … , 沪奚, 群 , … , 畔)T, g = 1 , … , K . 令r = m ax {pl, … , p 、 ; q l , … , 奴 }, 则引入添加
数据Z 后 , 完整数据的对数似然 函数为
L L 。 =
= O
,
并0.
;J.,J
厂一
,几乙孟‘
11X
f
户、
l
、
一一内」U
当分量的方差为一常数时(即为M A R 模型),
艺 几*(x , 一 气‘) 2
乡, , 。 = 艺二r + 1 全二.tt= r+ 1
E 10 9 %g= 1 E
“g, ‘ -
t = r 十 1
了L K
艺 艺z。 , , l o g a 。, * 一
亡二r + 1夕二 1
全 ~2己 ~ 子~ y , ‘石 门 子竺- - ;: 一沙 , . ‘】一‘‘口 。 于沙 , ‘
n 一 r
2
10 9 (2 二)
.
(2 )
否则 , 式(3 )的解是不 唯 一 的 , 因此采用 更 为广 义
的EC M 算法. EC M 算法保留了EM 算法的简单性和
稳定性 , 它将原先EM 算法中的M 步分解为K K饥 = ZK + E p 。十 E 如g= 1 9= 1
次条件极大化:在第 乞+ 1迭代中 , 记
r+ 19= 训。 = 刚。 , … , 劝纷
兀艺同
EM 算法由下面E步和 M 步构成:
E步 模型的参数假定 已知 , 不可观测变量:*的
期望为
几:= E (z0, ‘IX , 印 =
(a。/ 。, , * ) 九(:。 , : / 。。, : )
K
E (
a 。/ a
, , ,
) 几(:。 , 亡/ , , , , )
在得到Q (毋 }少“,
,
x
)
后 , 首先在劝罗,… , 劝纷保持不
变条件下求使Q (少 }少(i) , x ) 达 到最大的诚‘十 ‘’, 然
后在劝, = 诚i+‘, , 叻, 一 议。 , j = 3 , … , 二的条件
下求使Q (少】少(‘, , X ) 达到最大的姚’十‘’, 如此继续 ,
经过饥次条件极大化 , 就得到少(汁‘’二 (诚许”, … ,
g = 1
, … , K ·
M 步 把几*代入式(2 ) ,
数的估计值
又
通过极大化式(2 )得到参
几 , 亡云二r 十 1
n 一 r
参数叻= (功了, … , 价奚)T满足方程
全 几 , 亡x t叨 ,
劝黔‘)) , 完成一次迭代.
将E步和M 步反复迭代直到 收敛 , 便可得到 参
数曰的估计值.
H M D A R模型的选择包含两个方面的问题:一方
面是确定模型 的混合元个数K ;另一方面是确定每
个混合元 自身的阶数p l, … , p K; q l , … , q K . 文中
运用BI C 准则选择模型.H M D A R模型(1)中混合元数
目K 及模型阶数pl , … , p K; q l , … , q K 可 由使如下
B IC 值达到最小而得到
B IC =
亡= r + 1
P g
E 沪。,
a 了, :
全
亡= r + 1
K 开
马 , , 叨7切s
一2L + (Z K 一 1 + 又p。+ 艺叼 10 9(n 一 r).g = 1 9=
一2(声 门 争
吕 , ‘
J 一 O , … , p 。
(4 )
控 制 理 论 与 应 用 第 23 卷
其中
L =
州x , }城一 ‘) =
x , 一 0. 2 x , _ 1 、 _ . _ x , 一 0. 3 x , _ 1 、。‘ 5 少(而丽丽不)+。’“少又一了而一)+
(6)
,
!
J .
1
、
r,
E
fo g
亡= r 十1
K 。
, , ~~ . ,
t 戈八、 汀 ~ 月 ~一之曰 —U入Pg二1 几 , 无
r 了_ . 、2l 飞访 子 一 灿。 子 声
i 一丽i分丫109(27T).4 仿真与实例分析(Sim ulation and exam ple
an alysis)4.1 仿真分析(Sim ulat ion analysis)
由前面的定理可知 , 平稳性条件既要依赖于混
合元 的权重系数a 、, 又要依赖于各H M D A R 分量 自
回归部分 的系数. 几个平稳A R 过程 的混合仍然为
平稳过程 , 但几个平稳与非平稳线性A R过程的混
合也可能为平稳过程. 对于 这个性质 , 将通过 下
面H M D A R模型(5 )和(6 )模拟产生 的数据 进行说明.
由模型式(5) 易见 , 第1个分量对应的是一个非平稳且
具有异方差 的A R (l) 过程 , 第2个分量对应的是一个
平稳的带有异方差的AR (l) 过程
, 但如图1(a) 这两个
带有异方差的A R模型混合后模拟产生的序列却是
平稳的;由模型(6) 可知 , 第1个分量对应的是一个非
平稳 且具有异方差的AR (1)过程
, 第2 , 3 个分量对应
的是平稳A R (1)过程 , 如图1(b) 这 3个AR 模型混合后
模拟产生的序列却是平稳的.
0 · ‘, 亡竺湍匕
111 1 1 1 1 1 1 1 111
妙妙卿福脚砂咧洲洲111.11.11!III
图 1(a ) 模型(5) 模拟产生的随机数序列
Fig.l(a) Sim ulated tim e series ofm odel(5)
20
l0
111 1 1 1 1 1 1 ! lll
妇妇渺柳恤钟呻呻... , 1 1 1 1 1 1 11100nIJ1.几勺‘一
2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0
t
图 1(b) 模型(6) 模拟产生的随机数序列
Fig.l(b) Sim ulated tim e series ofm odel(6)
F( x ‘}二{一 ‘) 一_ _ _ x , 一 1 .3 x , _ 1 、 _ _ _ x * 一 0. 2 x , _ ,。·”少(又万而蒸西)+ 。· 了毋仁又辰舀不丽疥(5)
下面运用EC M 算法通过H M D A R模型模拟产生
数据 对其参 数进行估计. 实验 共进行500 次 , 每
次模拟 产生50 0个样本点 表 1和表2分别给出模
型(5 )和(6 )模拟产生数据的估计结果. 由表中结果
可知EC M 算法对H M DA R 模型参数估计的结果精度
较高.
表 l 模型 (5)模拟产生数据的估计结果
Ta ble 1 R esults of the sim ulation study
w ith m odel(5)
k a 、 价、1 0 * , 0 8 、 1
真值 0. 30( 旧 1.30 00 5. 00 00 0. 200 0
估计均值 0 .3034 1.2740 5.0234 0.1903
估计值标准差 0 .0753 0.2222 1.04 97 0.0729
真值 0 .7000 0.2000 0.6000 0.5000
估计均值 0 .6966 0.1948 0 5910 0 4869
估计值标准差 0.0753 0.0974 0.1444 0.1009
表 2 模型 (6) 模拟产生数据的估计结果
肠ble 2 R esults ofth e sim ulation study
w ith m odel(6)
k a、 价、1 0 、, 0 0 、, 1
真值 0.50() 0 0 20() 0 0.6000 0.5000
估计均值 0.4799 0.2124 0.58 13 0.5 109
估计值标准差 0.1563 0.1576 0.2909 0.3823
真值 0. 4000 0. 3(X) 0 0. 5000
估计均值 0.4 153 0.2976 0.5227
估计值标准差 0.1496 0.1149 0.27 10
真值 0.1000 1.1000 5.0000
估计均值 0.1(j4 8 1.10 14 4名5 76
估计值标准差 0.0707 0.8592 2.8394
4 .2 实例分析(E xam ple an alysis)
化工过程温度读数序列(226 个观测值[l0]) 是一组
曾被许多研究者用不 同模型分析过 的数据. 原始
序列见 图2(a ), 显 然是非平稳 的;一阶差分序列见
图2(b) , 该序列难 以确定其是否平稳 , 许多研究者
曾对 该序列进行了建模分析 , 将在 一 F 面介绍; 也有
研究者认为有必要对该序列进行二阶差分 , 以得到
图2( c) 中的平稳序列.
第 6 期 王红军等:非线性时间序列建模的异方差混合双A R模型
(a ) 原始数据序列
卜
袱
0
.
5
0
一 0
.
5
一 l
(b ) 一阶差分序列
l哎.nf公-
住住一望梦1.、局!、从
(c ) 二阶差分序列
图2 化工过程温度读数序列
F ig.2 C hem iealPro eess te m pe ratu re seri es
自t = 50 至 t 一 75 时刻内波动较大 , 这与前面观测
到的信息一致.表明该模型能够描述化工温度读
数序列具有的条件异方差.2 厂一一~ -百一 r - - - - - - - - - 下- - - - - - - - - -尸一一一一一门
.‘U
今,
]
尸,‘一一口
一,
2 2 2 2 5 2 3
( a ) t = 5 9
!
l
ee
jls
5150 20l
0
.
1 7 3 3 必声
‘+ 0
.
0 8 1 4-- 1
.
3 8 2 6 x *一 z + 0
.
3 8 2 6 x t一2 、
.
卜一洒而面布万衷葬, 一 , +
0
·
3 0 9 4 毋(
X 尤一 X 亡一 1
了0.7070(x*一 , 一 x 卜2)’
(7 )
图3给出模型(7) 在亡二 59 ~ 6 4上的一步预报的条件密度函数. 由图可知序列在区间t 二 59 、
64上的一步预报条件密度函数的分布形状灵活多
变 , 并且除了在t二 61 , 63 时刻呈现出非对称的分
布形式 , 在t 二 59 , 60 , 62 , 6 4 时刻均有明显的双
峰特征.说明化工温度在该区间上变化剧烈. 这
与图2所反映的原数据序列 自t = 50 至 t = 75 时
刻 内序列波动性较大是吻合 的. 拟合模型得到
的 x‘的条件方差 var (x ‘!x 犷‘)见 图4. 由图可 见 ,
该序列波动 的大小是随时间而变化的 , 并且在
21.6 21.8 22 222 224
(b) t二6 0
lll ! ! 二二……厂伙 ---(e)t=61
控 制 理 论 与 应 用 第 23 卷
0 匕二一一一一J ee 一
2 ( )石 2 0 .8 2 1 2 1 2 2 1 4 2 1 .6
( d ) t“6 2
2 1 2 1.2 2 1.4 2 1 .6 2 1.8 2 2
( f ) t 二6 4
2 l
( e ) t = 6 3
图 3 模型(7) 在 t= 59 ~ 64 区间上各时刻
对应的一步预报的条件密度函数
Fi g.3 O ne一s t e P P r e d i e t i v e d i s t ri b u t i o n s o f
t h e s e r i e s fr o m 艺= 5 9 to t = 6 4
j4I一汽‘哎,一亡JI工八曰|4、飞l,‘1l、人0产0 户0 尹“0·O义n0nU0CU
一‘ 一兰爸川补
图4 用H M D A R模型拟合的化工温度序列
Fig .4 VO latility con1Puted fr om th e fitted H M I〕A R m od el fo r th e ehe m ieal Pro ee ss tem P erat u re serie s
B ox [l0] 用A R IM A 模型分别对化工温度读数一
阶差分序列和二阶差分序列进行建模 , 得到最优
A R IM A (1 , 1 , O ) 模型为
梦‘ 一 1 .8 2夸‘一 + 0 .8 2夕*一 2 = ‘t ·
其中:, ~ N ( O , 0 . 0 1 8 ) . 得到最优
A R IM A (o , 2 , 2 ) 模型为
夕, 一 2夕t一 x + 夕t一 2 = “ 一 0 .1 3 ‘t一i 一 0 .1 2 6 , 一2 .
其中:, ~ N ( O , 0 . 0 1 9 ) .
wo
ng 和Li [aJ 运用A R 一 A R c H 模型对一阶差分
序列建模 , 得到如下模型:
夕‘ = 1 .8 4 2 7 夕, 一 1 一 0 .8 4 2 7夕, 一: + : ‘ , : ‘~ N ( O , h 。)
h , 一 E (:矛…x{一 ‘) = O · 0 0 9 8 + 0 · 4 1 0 1 : 乏, ·
在表3中给出对各模型对应的B IC 值.从表3可
见 , 仅从B le值来比较 , H M D A R ( 3 : 1 , 1 , O ; O , 1 , 1 ) 模
型显然要优于其他模型.
表 3 一些模型对应的BI C值
工王b le 3 B IC v a lu e o f so m e m o d e l s
模型 A RI M A A RI M A A R 一
AR
c H
HM
D A R
( l
,
l
,
0 ) ( 0
,
2
,
2 ) ( 3
: l
,
l
,
O ; 0
,
l
,
l )
B I C
一2 5 4 一2 3 0 一2 9 3 一5 4 1
下面在表4中给出上述模型由模拟实验得到的
基于整个序列一 步预报的结果比较. 由表4可知上
述4种模型基于整个序列一步预报的结果难分优
劣, 在不同的置信水平上各有胜负.
表 4 不 同模型基于整个序列的一步
预报结果的比较
肠ble 4 E m piri ealeoverages ofth e (1 一 a )1 0 0 %
P re d ie tio n in te rv al s fo r th e s erie s %
模型 95 90 80 70 60 50
H M D A R 94石2 9 1.03 84 .7 5 7 3 0 9 65 .9 2 5 5 .64
A R 一A R C H 9 2 名3 88 .7 9 82 .9 6 7 6 .6 8 5 9 .19 50 .2 2
A R IM A (1 , l , 0 ) 9 6
.
8 6 9 3
.
7 2 8 2
.
5 1 7 7 5 8 6 9
.
5 1 5 7
.
4 0
A R
IM
A
(
0
,
2
,
2
)
9 4
.
6 2 9 3
.
7 2 8 1
.
1 7 7 8
.
0 3 7 2
.
6 5 5 3
.
3 6
下面在表5中给出对这几个模型在波动较大的
区间t= 30 、 7 5上的预报结果.由表5可见H M D A R
模型和A R 一A R C H 模型在区间t 二 30 、 75 上的
预报结果明显优于A R IM A (1 , 1 , 0) 模型和A R IM A
(o , 2 , 2 ) 模型. 这是因为H M D A R模型和A R 一 A R C H
模型都能描述条件异方差.同时由于A R 一 A R C H 模
型的分布形式相对H M D A R模型比较简单 , H M -
D A R 模型的预报结果又明显优于A R 一A R C H 模型.
由于H M D A R 模型既可以描述异方差 , 又可以描述
复杂的分布形式 , 因此在波动较大的区间云二 30 、
7 5上给出了相对其他3个模型较好的预报结果.
第 6 期 王红军等:非线性时间序列建模的异方差混合双A R模型 885
表 5 不同模型在 区间 t 二 30 、 75 上的
一步预报结果的比较
Ta ble 5 E m Piri ealeoverag esofthe (1 一 a ) 1 0 0 %
P re d ietio n in te rv al s fo r th e se ri e s
fr o m t = 3 O to 亡= 7 5 %
模型 95 90 80 70 60 50
H M D A R 89.13 82.61 78.26 65.22 63.04 56 .52
A R 一A R C H 8 9 . 1 3 7 8 . 2 6 7 9 . 3 1 6 7 . 3 9 5 0 . 0 0 3 6 .9 6
A RI M A ( 1
,
1
,
0
)
8 4
.
7 8 7 6
.
0 9 6 9
.
5 7 5 4
.
3 5 4 7
.
8 3 3 8
.
2 7
A R I M A (
0
,
2
,
2
)
7 8
.
2 6 7 3
.
9 1 6 5
.
2 2 6 0
.
8 7 5 0
.
0()
4 1
.
3 0
5 结论(C onelusion)
本文研究得到 了H M D A R 模型的平稳性条件
及建模方法 . 通过仿真分析 , 说明在满足一定条
件下 , 几个具有异方差的平稳与非平稳A R 过程
的混合可得到一个平稳过程. 运用E C M 算法来估
计H M D A R模型的参数 , 得到 了较好 的估计结果.
由实例分析结果可见 , H M D A R 模型结构简单 , 易
于建模.条件分布形式灵活 , 能够根据数据的特征
及时实现从单峰到多峰或从多峰到单峰的相互转
化 , 并能描述条件异方差 .特别是对于波动较大的
序列 , H M D A R 模型能够更好的抓住数据 的特征 ,
给出了较好的预报结果.
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4 3 6
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H a l l
.
1 9 9 4 二 1 0 1 一 10 2 .
作者简介:
王红军 (19 75 一), 男 , 西北工业大学理学院应用数学系博士
研究生, 主要研究方向为非线性时间序列分析与信息处理 , E 一m ail :
hj w an g
一
9 9 @ 1 6 3
. c o m :
田 铮 (19 48 一), 女 , 教授 , 博士生导师 , 主要从事非线性时间
序列分析与信息处理 、 非线性多尺度随机模型与图像处理等方面的
研究 , E 一 m ai l : Z h t i an @ n w P u 君d u .en ;
党怀义 (l 967 一), 男, 研 究员, 主要从事航空 遥测数据处
理技术 、 大型工程数据库系统技术 、 分布式网络数据处理技术
研 究等工作 , 曾主持研究开发了多项大型工程网络应用系统 , 曾
获省 、 部级科技成果进步二等奖2项 , 发表学术论文数篇 , E 一 m ail :
曲yZ000 @ sina£o m ·
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