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非线性时间序列建模的异方差混合双AR模型

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非线性时间序列建模的异方差混合双AR模型 第 �� 卷第 � 期 � �� � 年 � � 月 控 制 理 论 与 应 用 � � � �� ��� � � �� � � ������� �� � 从〕�� �� � � � � � �� � ��� � 文章编号 � �。皿卜 � �� ����� � �� �一 � � � 一 � � 非线性时间序列建模的异方差混合双� � 模型 王红军‘, 田 铮�,� , 党怀义“ �� � 西北工业大学 理学院 应用数学系 , 陕西 西安 �� �� � � � � 中国科学院 自动化研究所 模...

非线性时间序列建模的异方差混合双AR模型
第 �� 卷第 � 期 � �� � 年 � � 月 控 制 理 论 与 应 用 � � � �� ��� � � �� � � ������� �� � 从〕�� �� � � � � � �� � ��� � 文章编号 � �。皿卜 � �� ����� � �� �一 � � � 一 � � 非线性时间序列建模的异方差混合双� � 模型 王红军‘, 田 铮�,� , 党怀义“ �� � 西北工业大学 理学院 应用数学系 , 陕西 西安 �� �� � � � � 中国科学院 自动化研究所 模式识别国家重点实验室 , 北京 ��以〕��� � � 中国飞行试验研究院, 陕西 西安 �� �� � �� 摘要 � 研究 了可用 于非线性 时间序 列建模 的异方差混合双 自回归模型��� �� ��� � �� �� � ��� � �� �� ! �� �� � �� �� � �� ���� � � � � � �, �� �服�, 给出了� �� � � 模型的平稳性条件 , 利用� �� �� � �� ���� �� � � � 山��� � 日 � �� �而 �丽� � � 算法来估计模型的参数, 运用� �� �� ! �� �� �� �� �� � � �� � �� � �� 准则来选择模型 � � �� � �模型条件分布富于变化的 特征使它能够对具有非对称或多峰分布的序列进行建模 , 将��� � � 模型应用于几个模拟和实际数据集均得到了 较为满意的结果 , 特别是对波动较大的序列 , �� � � �模型能比其他模型更好地捕捉到数据序列的特征� 关键词 � 异方差混合双自回归模型 � 平稳性 � �� �准则 � � ��算法 � 非对称分布 � 多峰分布 � 条件异方差 中图分类号 �仰��� 、 � �� 文献标识码 � � � ����� � � � � � ���� � �� ��代 � � � � �� ·� � ��代�代� ��� � � � � � � �� � � � � ���� � � � �� �� �� � �� � � �� ��� 认叭� � � � �� � � � , ��� � �� � � � � , � , 以� � � �滋一��� �� � � ���� � �� � � � � ��� �� � � �� � �� � � , � � �� � � � � �� ��� � , � � �� � ���� �� �� ����� � � �� � �� � �� � �� ���, � �’�� � ���� � � � �� � � , �� � � �� � � �� �� � � � � � ��� � �� �� �� �� �� �� �� � �� � � ����� � , �� ��� ���� � � � � � � � �� �� � , � � � � �� � �叱 �� � � � �� �� � � � , � ����� � � !洲�� � , ���� � � � � �� �� � � � ��� � �� �� � �扭� � ��� � � �, �立’�� ���� � � � ��� � � , �� �� � � � � �� �� �� � �� � � � �� �� � � � � � ���� � �� �� ! ∀ � �� !一 a u t o r e g re s s i v e ( H M D A R ) m o d e l , w h i c h 1 5 d e s i g n e d t o m o d e l n o n l i n e ar ti m e s e ri e s , 1 5 i n v e s t i g a t e d i n t h i s P ap e r’ Fi rs ti y, th e st a ti o n ary eo n d it io n s are d eri v e d . S e e o n d l y , th e P ar a me te r s are e s t i - m a t e d v i a ex P e e t a t i o n e o n d i t i o n al m ax i m i z at i o n ( E C M ) al g o ri t h m . Th i rd l y, th e B ay e s i n fo rm ati o n e ri te ri o n ( B I C ) 1 5 u se d to s e le e t th e m o d e l . T h e v ari e d fe a t u re o f e o n d i ti o n a l d i s tri b u ti o n s m ak e s th e H M D A R m o d e l e a Pa b l e o f m o d e li n g t im e s e ri e s w ith a sy n ll l le tri e o r m u l ti m o d a l d is tri b u tio n . Fi n ai l y, th e m od e l w a s a P Pl ie d t o se ve ral s im u la t ed an d re a l d a ta se ts w it h s a ti s fac to ry re s u l ts . E sPe e i al l y to a hi g h l y t im e 一v ari an t s e ri e s , t h e H M D A R m o d e l s h o w s b e tte r P e d b r 们。a n c e th an o th e r e o ll lP e ti n g m o d e ls in d a ta c a P t u ri n g . K e y wo r d s : h e te r o s e e d a s ti e 而xtu re do uble一a u to re g re s s i v e m o d e l : s t a t i on ari t y ; B a y e s i n fo rm ati o n e ri te ri o n ; e x P e c tat i o n e o n d i ti o n al m ax i而zation (EC M )al gori th m ;asym m etri e distri bution:m ultim odal distri bu tion;eonditional hetero seeda stic- ity 1 引言(In troduc tion) G au ss分布.但在工程和金融等大量实际问题中, 具 时间序列分析的主要 目的之一是为了预报. 时 有非G au ss 特征的序列却广为存在.由于混合模型提 间序列模型的最佳预报与最优控制是时序方法在工 供了一种可以逼近任何复杂分布形式的有效方法 , 程应用中的一个重要方面.A R M A 模型已被成功的 该类模型受到研究者的广泛关注12] .一些研究者将 运用于工程系统的预测 , 并与控制理论相结合 , 用于 混合模型这一有力工具应用于时间序列分析 , 得到 工程系统 的控制[l] . 但是如果对工程中的非线性系 了一类可用简单结构描述复杂非线性现象的混合时 统仍然采用线性时间序列中的A R M A 模型来描述 , 间序列模型. 则不可能获得好的预报结果 , 继而也得不到最优控 为了对时间序列中的非G au ss 特征(如奇异点、 厚 制.线性时间序列模型的噪声项通常假定服从G au ss 尾 、 变 点等)进 行 描述 , Le , M art in 和R aft e司3〕提 分布.在该假 设下 , 序列的边缘及条件分布均服从 出G au ss 混合转移分布模型(G au ss m ix tu re tran sit ion 收稿日期:2(X) 5一07 一 2 8; 收修改稿日期:200 5一 12 一 0 8 . 基金项目:国家自然科学基金资助项 目(6037500 3) ;国家航空基金资助项 目(03巧3059) . 控 制 理 distri bo tion m odel, G M T D ) . 该模型对于一些非线性 特征给出了很好的解释 , 但是它不能描述具有循环 特征的数据 , 而且分布形式不够灵活. 为了克服这 些缺陷 , Wo ng 和Li [a] 将其推广得到混合 自回归模型 (m ixture autore gre ssive m od el, M 从).Wa ng和Ti an[5] 进一步将该类模型推广得到了混合A R M A 模型(而x- ture autore gre ssive m oving一 av e r a g e m o d e l , M A R M A ) . G M T D 模型 、 M A R 模型和M A R M A 模型有一个共同 的假定 , 即每个分量在不同的时刻具有 同方差 .将这 一假定用于 变化剧 烈 的时间序列(如某些工 程数 据或 金融市场数据)分析显然是不恰当的. 通过让 每个 分量 的标准差是 以往观测序列 的函数 , B er ch - to ld [0] 进一步将该类模型推广得异方差混合转移分 布模 型(heteroseed astic m ixtu re transitio n d istri bution m odel, H M T n ) . B er ch to ld[ 6 ] 根据分量 的标准差与观测序列之间 的不 同函数关系 , 给出 了H M T D 模型不 同的定 义 形式. 本文 主要研究 了具有如下 结构的H M T D模 型 , 称 为异方 差 混合 双 自回归模型(he te ro see d as tic m ixture do ub le一 a u t o re g r e s s i v e m o d e l , H M D A R ) . H M - D A R 模型的定义如下 : 论 与 应 用 第 23 卷 文中利用B IC准则选择和确定H M D A R模型的阶数. 通过对两个波动较大序列的实例分析 , 演示 了H M - D A R 模型的建模方法 , 及分布形式灵活多变 、 具有 描述多峰等复杂分布形式的优势. 2 H M D A R 模型的平稳性(stat ion如ty of the H M D A R m ode l) 基于模型(l ), 可 以得到x , 的条件期望为 KE (x*{式一‘) = 又 a。拜。 , * · 如果序列{茂 , t 任 N } 的波动较大 , x , 的条件分布 可能呈现多峰.此刻x , 的条件期望往往得不到好的 预报结果. H M D A R模型 另一个重要的特征是可 以描述变 化的条件方差.x , 的条件方差为 va r(x , } x 互一 ‘) = 又% 心, 十军a。嵘‘ - ( 艺a 。拜。, , ) 2 . g = 1 K ~ _ 尹 . 攀 1 、 , , ~ 叫, _ , J 沪于 — 声乙 。 资 、户 ’ ( X , { X 七一 上 ) = 》 a 。 毋(.-二- - - 二二进止二 ) .、 ‘ , l / 日‘.. 目‘ 沙 、 一 I ,。一 I U 八 子汀 ~ 之, , . p g 户g , ‘ = 沪g , 0 + 艺沪g , * x , 一 、, 尸。 ) l , ( l ) 止 _ , 气!一双口卯 + 置“·声梦一 , , % ) ‘· 1 一 艺(E % 沪。 、) : 一‘ = 0 乞= 1 9 = l 的解:1 , … , 今都在单位圆内 , 其中沪。 , 二 0( 乞> p司. 定理 2. 2 假定{茂 , t 任 N 提由一个们M DA 风K ;1 ,… , 1 ; q l ,… , q K ) 模型所产生的一阶平稳过程 , 则 该过程X 亡二阶平稳的充分必要条件是方程 瓦 q K 1 一 [艺a 、(沪茸, , + 0 。 , , ) ] 厂‘ 一 军(艺 aoo, , , ) : 一 , = O夕= 1 一 j = 2 9 = 1 的解 ;1 , … , 今都在单位圆内 , 其中凡, , = o (j > 外). 定理 2. 3 假定凡 , t 〔 N 是 由一个H M D A R (K ; 2 , … , 2; q l , … , q K ) 模型所产生的一 阶平稳过程 , 则该过程凡二阶平稳的充分必要条件是方程 l 一 !又 a。 (沪茸, , + e 。 , 1 ) ] : 一 ‘ 门J一、尹甲一K一,一 其中: F (x 亡}x 犷‘)表 示x , 的条件 分布函数 , x 至一 ‘ = a ( xt 一 1 , x , 一 2 , … )是 由(x t一 1 , x , 一 2 , … )生 成 的a 一域 , 少( · ) 是标准正态分布函数 , a 。是第g 个分量的权重系 无 数 , 艺 a , = 1 , a 。 > 0; 拜。 , ‘和 , 。, ‘是第g个分量在‘时g= 1 刻的条件期望和标准差 .模型(l )简记为H M D A R (K ; P l , P Z , … , P 兀 ;q l , q Z , … , q 兀). H M D A R 模型实际上是 由K 个具有异方差的A R 分量混合得到的.若假定各分量的标准差是常数 , 它 就是M A R模型.文中给出了H M D A R模型的平稳性 条件.通过模拟说明几个平稳与非平稳分量经混合 可 以得到一个平稳序列. 由于H M D A R模型的结构 较M A R 模型更为复杂 , 其中某些参数对应 的似然方 程无显式解 , 运用EM 算法估计参数得不到满意的估 计结果.本文运用G E M 算法匡s] 中的E C M 算法来估 计H M D A R模型 的参数. 模拟及实例分析的结果都 表明E C M 算法可 以得到较好的估计结果.H M D A R 模型建模中另一个重要的步骤是阶数的确定 问题. 下面给出H M D A R模型的平稳性条件.定理的证 明运用 了L e et al(1996)[3]以及wo ng和Li (2000 )[4]中 所用 的方法 , 用 到B en es (1% 7) 图中的结论.定理 2.1 给 出H M DA R( K ;p l , … , p 、; q l , … , q 司模型一 阶 平 稳的充分 必 要 条件.定 理2. 2和 定 理2. 3中给 出 H M D A R (凡 1,… , 1 ;q 1 ,… ,奴)模型和H M D A R (K ; 2 , … , 2; ql , … , q 动二阶平稳的充分必要条件. 定理 2. 1 过程 {X ‘, t 任 N }一阶平稳的充分必 要条件是方程 p K (军% 代, 2 + 一 , = 1 1 一 ) : 一 2 a g 沪g , 2 第6 期 王红军等:非线性时间序列建模的异方差混合双A R 模型 q 兀又 (又aoo。, , ) z 一 , = O 其中=3 夕= 1 的解:1, … , z 。都在单位圆内 , 其中氏, ; = 0( J > q , ) . 3 H M D A R 模 型 的 参 数 估 计 及 模 型 的 选择(Par am eter estim at ion of th e H M D A R m ode lan d the m odelseleetion) 由于H M D A R模型的一些参数对应的似然方程 不存在显式解 , 运用普通E M 算法往往得不到好的估 计结果.文中采用G EM 算法中的EC M 算法来估计模 型的参数. 假定X = (x l, 勿 , … , x 刁是产生于 H M D A R模型的一组观测值.2 = (:1, … , : 二 )是 不 可观 测 的添 加 随机变量序 列 , : 亡( t = 1 , … , n) K是K 维随机变量 , 又截 , , = 1 . 若夕, 来自模型(l )中第g= 1 1 , x 亡一 j , J 二 0 , J 笋0. 参数0 二 O弄)T满足方程 全t=r+1 全t=了 + 1 几‘巧 _qg艺 0。 , , 二 , 8 = 0 几 , ( x , 一拼。 , , ) 2 。: q g ( E e 。 , 、 。、 ) , ( 3 ) j = 0 , s = O . ’ , q g 其 中 g个分量 , 则勺 , * = 1 ; 否则今 , 亡 = 0; 。 一 (a l , … , a 、一 1 ) T , 沪。 = (沪。 , 。, … , 沪。 , , 。 ) T , a 。 = ( 0 。 , 。 , … , 气q, ) T , 毋 一 (鲜 , … , 功翠几群 , … , 瑕)T , 曰 一 (。T , 沪了, … , 沪奚, 群 , … , 畔)T, g = 1 , … , K . 令r = m ax {pl, … , p 、 ; q l , … , 奴 }, 则引入添加 数据Z 后 , 完整数据的对数似然 函数为 L L 。 = = O , 并0. ;J.,J 厂一 ,几乙孟‘ 11X f 户、 l 、 一一内」U 当分量的方差为一常数时(即为M A R 模型), 艺 几*(x , 一 气‘) 2 乡, , 。 = 艺二r + 1 全二.tt= r+ 1 E 10 9 %g= 1 E “g, ‘ - t = r 十 1 了L K 艺 艺z。 , , l o g a 。, * 一 亡二r + 1夕二 1 全 ~2己 ~ 子~ y , ‘石 门 子竺- - ;: 一沙 , . ‘】一‘‘口 。 于沙 , ‘ n 一 r 2 10 9 (2 二) . (2 ) 否则 , 式(3 )的解是不 唯 一 的 , 因此采用 更 为广 义 的EC M 算法. EC M 算法保留了EM 算法的简单性和 稳定性 , 它将原先EM 算法中的M 步分解为K K饥 = ZK + E p 。十 E 如g= 1 9= 1 次条件极大化:在第 乞+ 1迭代中 , 记 r+ 19= 训。 = 刚。 , … , 劝纷 兀艺同 EM 算法由下面E步和 M 步构成: E步 模型的参数假定 已知 , 不可观测变量:*的 期望为 几:= E (z0, ‘IX , 印 = (a。/ 。, , * ) 九(:。 , : / 。。, : ) K E ( a 。/ a , , , ) 几(:。 , 亡/ , , , , ) 在得到Q (毋 }少“, , x ) 后 , 首先在劝罗,… , 劝纷保持不 变条件下求使Q (少 }少(i) , x ) 达 到最大的诚‘十 ‘’, 然 后在劝, = 诚i+‘, , 叻, 一 议。 , j = 3 , … , 二的条件 下求使Q (少】少(‘, , X ) 达到最大的姚’十‘’, 如此继续 , 经过饥次条件极大化 , 就得到少(汁‘’二 (诚许”, … , g = 1 , … , K · M 步 把几*代入式(2 ) , 数的估计值 又 通过极大化式(2 )得到参 几 , 亡云二r 十 1 n 一 r 参数叻= (功了, … , 价奚)T满足方程 全 几 , 亡x t叨 , 劝黔‘)) , 完成一次迭代. 将E步和M 步反复迭代直到 收敛 , 便可得到 参 数曰的估计值. H M D A R模型的选择包含两个方面的问题:一方 面是确定模型 的混合元个数K ;另一方面是确定每 个混合元 自身的阶数p l, … , p K; q l , … , q K . 文中 运用BI C 准则选择模型.H M D A R模型(1)中混合元数 目K 及模型阶数pl , … , p K; q l , … , q K 可 由使如下 B IC 值达到最小而得到 B IC = 亡= r + 1 P g E 沪。, a 了, : 全 亡= r + 1 K 开 马 , , 叨7切s 一2L + (Z K 一 1 + 又p。+ 艺叼 10 9(n 一 r).g = 1 9= 一2(声 门 争 吕 , ‘ J 一 O , … , p 。 (4 ) 控 制 理 论 与 应 用 第 23 卷 其中 L = 州x , }城一 ‘) = x , 一 0. 2 x , _ 1 、 _ . _ x , 一 0. 3 x , _ 1 、。‘ 5 少(而丽丽不)+。’“少又一了而一)+ (6) , ! J . 1 、” r, E fo g 亡= r 十1 K 。 , , ~~ . , t 戈八、 汀 ~ 月 ~一之曰 —U入Pg二1 几 , 无 r 了_ . 、2l 飞访 子 一 灿。 子 声 i 一丽i分丫109(27T).4 仿真与实例分析(Sim ulation and exam ple an alysis)4.1 仿真分析(Sim ulat ion analysis) 由前面的定理可知 , 平稳性条件既要依赖于混 合元 的权重系数a 、, 又要依赖于各H M D A R 分量 自 回归部分 的系数. 几个平稳A R 过程 的混合仍然为 平稳过程 , 但几个平稳与非平稳线性A R过程的混 合也可能为平稳过程. 对于 这个性质 , 将通过 下 面H M D A R模型(5 )和(6 )模拟产生 的数据 进行说明. 由模型式(5) 易见 , 第1个分量对应的是一个非平稳且 具有异方差 的A R (l) 过程 , 第2个分量对应的是一个 平稳的带有异方差的AR (l) 过程 , 但如图1(a) 这两个 带有异方差的A R模型混合后模拟产生的序列却是 平稳的;由模型(6) 可知 , 第1个分量对应的是一个非 平稳 且具有异方差的AR (1)过程 , 第2 , 3 个分量对应 的是平稳A R (1)过程 , 如图1(b) 这 3个AR 模型混合后 模拟产生的序列却是平稳的. 0 · ‘, 亡竺湍匕 111 1 1 1 1 1 1 1 111 妙妙卿福脚砂咧洲洲111.11.11!III 图 1(a ) 模型(5) 模拟产生的随机数序列 Fig.l(a) Sim ulated tim e series ofm odel(5) 20 l0 111 1 1 1 1 1 1 ! lll 妇妇渺柳恤钟呻呻... , 1 1 1 1 1 1 11100nIJ1.几勺‘一” 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 t 图 1(b) 模型(6) 模拟产生的随机数序列 Fig.l(b) Sim ulated tim e series ofm odel(6) F( x ‘}二{一 ‘) 一_ _ _ x , 一 1 .3 x , _ 1 、 _ _ _ x * 一 0. 2 x , _ ,。·”少(又万而蒸西)+ 。· 了毋仁又辰舀不丽疥(5) 下面运用EC M 算法通过H M D A R模型模拟产生 数据 对其参 数进行估计. 实验 共进行500 次 , 每 次模拟 产生50 0个样本点 表 1和表2分别给出模 型(5 )和(6 )模拟产生数据的估计结果. 由表中结果 可知EC M 算法对H M DA R 模型参数估计的结果精度 较高. 表 l 模型 (5)模拟产生数据的估计结果 Ta ble 1 R esults of the sim ulation study w ith m odel(5) k a 、 价、1 0 * , 0 8 、 1 真值 0. 30( 旧 1.30 00 5. 00 00 0. 200 0 估计均值 0 .3034 1.2740 5.0234 0.1903 估计值标准差 0 .0753 0.2222 1.04 97 0.0729 真值 0 .7000 0.2000 0.6000 0.5000 估计均值 0 .6966 0.1948 0 5910 0 4869 估计值标准差 0.0753 0.0974 0.1444 0.1009 表 2 模型 (6) 模拟产生数据的估计结果 肠ble 2 R esults ofth e sim ulation study w ith m odel(6) k a、 价、1 0 、, 0 0 、, 1 真值 0.50() 0 0 20() 0 0.6000 0.5000 估计均值 0.4799 0.2124 0.58 13 0.5 109 估计值标准差 0.1563 0.1576 0.2909 0.3823 真值 0. 4000 0. 3(X) 0 0. 5000 估计均值 0.4 153 0.2976 0.5227 估计值标准差 0.1496 0.1149 0.27 10 真值 0.1000 1.1000 5.0000 估计均值 0.1(j4 8 1.10 14 4名5 76 估计值标准差 0.0707 0.8592 2.8394 4 .2 实例分析(E xam ple an alysis) 化工过程温度读数序列(226 个观测值[l0]) 是一组 曾被许多研究者用不 同模型分析过 的数据. 原始 序列见 图2(a ), 显 然是非平稳 的;一阶差分序列见 图2(b) , 该序列难 以确定其是否平稳 , 许多研究者 曾对 该序列进行了建模分析 , 将在 一 F 面介绍; 也有 研究者认为有必要对该序列进行二阶差分 , 以得到 图2( c) 中的平稳序列. 第 6 期 王红军等:非线性时间序列建模的异方差混合双A R模型 (a ) 原始数据序列 卜 袱 0 . 5 0 一 0 . 5 一 l (b ) 一阶差分序列 l哎.Žn”f公- 住住一望梦1.、局!、从 (c ) 二阶差分序列 图2 化工过程温度读数序列 F ig.2 C hem iealPro eess te m pe ratu re seri es 自t = 50 至 t 一 75 时刻内波动较大 , 这与前面观测 到的信息一致.表明该模型能够描述化工温度读 数序列具有的条件异方差.2 厂一一~ -百一 r - - - - - - - - - 下- - - - - - - - - -尸一一一一一门 .‘U 今, ] 尸,‘一一””口” 一Ž,” 2 2 2 2 5 2 3 ( a ) t = 5 9 ! l ee jls 5150 20l 0 . 1 7 3 3 必声 ‘+ 0 . 0 8 1 4-- 1 . 3 8 2 6 x *一 z + 0 . 3 8 2 6 x t一2 、 . 卜一洒而面布万衷葬, 一 , + 0 · 3 0 9 4 毋( X 尤一 X 亡一 1 了0.7070(x*一 , 一 x 卜2)’ (7 ) 图3给出模型(7) 在亡二 59 ~ 6 4上的一步预报的条件密度函数. 由图可知序列在区间t 二 59 、 64上的一步预报条件密度函数的分布形状灵活多 变 , 并且除了在t二 61 , 63 时刻呈现出非对称的分 布形式 , 在t 二 59 , 60 , 62 , 6 4 时刻均有明显的双 峰特征.说明化工温度在该区间上变化剧烈. 这 与图2所反映的原数据序列 自t = 50 至 t = 75 时 刻 内序列波动性较大是吻合 的. 拟合模型得到 的 x‘的条件方差 var (x ‘!x 犷‘)见 图4. 由图可 见 , 该序列波动 的大小是随时间而变化的 , 并且在 21.6 21.8 22 222 224 (b) t二6 0 lll ! ! 二二……厂伙 ---(e)t=61 控 制 理 论 与 应 用 第 23 卷 0 匕二一一一一J ee 一 2 ( )石 2 0 .8 2 1 2 1 2 2 1 4 2 1 .6 ( d ) t“6 2 2 1 2 1.2 2 1.4 2 1 .6 2 1.8 2 2 ( f ) t 二6 4 2 l ( e ) t = 6 3 图 3 模型(7) 在 t= 59 ~ 64 区间上各时刻 对应的一步预报的条件密度函数 Fi g.3 O ne一s t e P P r e d i e t i v e d i s t ri b u t i o n s o f t h e s e r i e s fr o m 艺= 5 9 to t = 6 4 ”j4”I一汽‘哎†,一亡JI”工”八曰|4、”飞l,‘1”l、人0产0 户”0 尹“0·O义n†0nU0CU ƒ一‘ 一兰Ž爸川补 图4 用H M D A R模型拟合的化工温度序列 Fig .4 VO latility con1Puted fr om th e fitted H M I〕A R m od el fo r th e ehe m ieal Pro ee ss tem P erat u re serie s B ox [l0] 用A R IM A 模型分别对化工温度读数一 阶差分序列和二阶差分序列进行建模 , 得到最优 A R IM A (1 , 1 , O ) 模型为 梦‘ 一 1 .8 2夸‘一 + 0 .8 2夕*一 2 = ‘t · 其中:, ~ N ( O , 0 . 0 1 8 ) . 得到最优 A R IM A (o , 2 , 2 ) 模型为 夕, 一 2夕t一 x + 夕t一 2 = “ 一 0 .1 3 ‘t一i 一 0 .1 2 6 , 一2 . 其中:, ~ N ( O , 0 . 0 1 9 ) . wo ng 和Li [aJ 运用A R 一 A R c H 模型对一阶差分 序列建模 , 得到如下模型: 夕‘ = 1 .8 4 2 7 夕, 一 1 一 0 .8 4 2 7夕, 一: + : ‘ , : ‘~ N ( O , h 。) h , 一 E (:矛…x{一 ‘) = O · 0 0 9 8 + 0 · 4 1 0 1 : 乏, · 在表3中给出对各模型对应的B IC 值.从表3可 见 , 仅从B le值来比较 , H M D A R ( 3 : 1 , 1 , O ; O , 1 , 1 ) 模 型显然要优于其他模型. 表 3 一些模型对应的BI C值 工王b le 3 B IC v a lu e o f so m e m o d e l s 模型 A RI M A A RI M A A R 一 AR c H HM D A R ( l , l , 0 ) ( 0 , 2 , 2 ) ( 3 : l , l , O ; 0 , l , l ) B I C 一2 5 4 一2 3 0 一2 9 3 一5 4 1 下面在表4中给出上述模型由模拟实验得到的 基于整个序列一 步预报的结果比较. 由表4可知上 述4种模型基于整个序列一步预报的结果难分优 劣, 在不同的置信水平上各有胜负. 表 4 不 同模型基于整个序列的一步 预报结果的比较 肠ble 4 E m piri ealeoverages ofth e (1 一 a )1 0 0 % P re d ie tio n in te rv al s fo r th e s erie s % 模型 95 90 80 70 60 50 H M D A R 94石2 9 1.03 84 .7 5 7 3 0 9 65 .9 2 5 5 .64 A R 一A R C H 9 2 名3 88 .7 9 82 .9 6 7 6 .6 8 5 9 .19 50 .2 2 A R IM A (1 , l , 0 ) 9 6 . 8 6 9 3 . 7 2 8 2 . 5 1 7 7 5 8 6 9 . 5 1 5 7 . 4 0 A R IM A ( 0 , 2 , 2 ) 9 4 . 6 2 9 3 . 7 2 8 1 . 1 7 7 8 . 0 3 7 2 . 6 5 5 3 . 3 6 下面在表5中给出对这几个模型在波动较大的 区间t= 30 、 7 5上的预报结果.由表5可见H M D A R 模型和A R 一A R C H 模型在区间t 二 30 、 75 上的 预报结果明显优于A R IM A (1 , 1 , 0) 模型和A R IM A (o , 2 , 2 ) 模型. 这是因为H M D A R模型和A R 一 A R C H 模型都能描述条件异方差.同时由于A R 一 A R C H 模 型的分布形式相对H M D A R模型比较简单 , H M - D A R 模型的预报结果又明显优于A R 一A R C H 模型. 由于H M D A R 模型既可以描述异方差 , 又可以描述 复杂的分布形式 , 因此在波动较大的区间云二 30 、 7 5上给出了相对其他3个模型较好的预报结果. 第 6 期 王红军等:非线性时间序列建模的异方差混合双A R模型 885 表 5 不同模型在 区间 t 二 30 、 75 上的 一步预报结果的比较 Ta ble 5 E m Piri ealeoverag esofthe (1 一 a ) 1 0 0 % P re d ietio n in te rv al s fo r th e se ri e s fr o m t = 3 O to 亡= 7 5 % 模型 95 90 80 70 60 50 H M D A R 89.13 82.61 78.26 65.22 63.04 56 .52 A R 一A R C H 8 9 . 1 3 7 8 . 2 6 7 9 . 3 1 6 7 . 3 9 5 0 . 0 0 3 6 .9 6 A RI M A ( 1 , 1 , 0 ) 8 4 . 7 8 7 6 . 0 9 6 9 . 5 7 5 4 . 3 5 4 7 . 8 3 3 8 . 2 7 A R I M A ( 0 , 2 , 2 ) 7 8 . 2 6 7 3 . 9 1 6 5 . 2 2 6 0 . 8 7 5 0 . 0() 4 1 . 3 0 5 结论(C onelusion) 本文研究得到 了H M D A R 模型的平稳性条件 及建模方法 . 通过仿真分析 , 说明在满足一定条 件下 , 几个具有异方差的平稳与非平稳A R 过程 的混合可得到一个平稳过程. 运用E C M 算法来估 计H M D A R模型的参数 , 得到 了较好 的估计结果. 由实例分析结果可见 , H M D A R 模型结构简单 , 易 于建模.条件分布形式灵活 , 能够根据数据的特征 及时实现从单峰到多峰或从多峰到单峰的相互转 化 , 并能描述条件异方差 .特别是对于波动较大的 序列 , H M D A R 模型能够更好的抓住数据 的特征 , 给出了较好的预报结果. 参考文献(R ere re nees): ll] 杨叔子 , 吴雅.时间序列分析的工程应用(第二册)l M ].武汉:华中 理工大学出版社, 19 94 : l 一 47 . (丫A N G S u z i, W U 介.万m e Se nes A n a lxs 行 认 En g in e erin g 月PP li ca - ti o n (Th e se c o nd vo lu m e )[M ] . W uh an : H u az h o n g U ni v ersity o f Se i- e ne e a nd T 七ch n o lo g y P re ss , 1 9 9 4 : l 一 4 7 〕 【2] M C L A C H L A N G J, P E E I D . 月刀ire M 止龙t“re M O de l [M j // S H E - W H A R T W A , W I L K S 5 5 . Ne w Yo r k : J o hn Wi l e y & S o n s , I n e , 2 00 1 : l 一 3 7 . [3 』 LE N D , M A R I , I N R , R A FF E R Y A E . M o de l i n g fl at s tre t e h e s , bo r s t s , a n d o u t l i e rs i n t i m e s e ri e s u s i n g m i x tu re t r a n s i t i o n d i s tri bu t i o n m o d - e l s [ J 1 . J of th e A m e ri e a n S ta t is r i e a l A s s o e ia r i o , 1 9 9 6 , 9 1 ( 4 3 6 ) : 1 5 04 一 1 5 1 5 . 【41 W O N G C S , L l W K . o n a m i x tu re a u t o re g r e s s i v e m o d e l l J I . J of th e R 仍‘ 1 5 t‘Iis ri e a l So e ie 却一 B , 2 0 0() , 6 2 ( P art l ) : 9 5 一 1 1 5 . t5] 王红军 , 田铮.非线性时间序列建模的混合A R M A模型IJ] .控制理 论与应用 , 2 0 0 5 , 2 2 ( 6 ) : 8 7 5 一 8 8 1 . ( W A N G H o n 自un.T】A N Z h en g . M ix tu re a uto reg re ssive m o v in g av - erag e m ed e l fo r m o d e lin g n o n line ar tim e seri e [J] . CO n rro l Th eo尽 左 A 尸刀lica tio n s , 2 0 0 5 , 2 2 ( 6 ) : 8 7 5 一 8 8 1 . ) [6 1 B E R C H T O L D A . M ix t u re tr a n s i tio n d is tr ib u tio n (M T D ) m o d e lin g o f h e te ro s e e d a s ti e tim e s e ri e IJ I . Co 尹”P u ta rio 刀a l S ta tis ti c s 左 D a ta A 刀a l- y s is , 2 (X) 3 , 4 1 ( 3 ) : 3 9 9 一 4 1 1 . 17 ] M C L A C H L A N G J , K R I S H N A N T Th e E M A lg o ri th m a n d Ex r e n - s io n s [ M ] // S H E W H A RT W A , W I L K S 5 5 . N e w Yo rk : J o h n W i l e y & S o n s , I n e , 1 9 9 7 : 1 6 6 一 1 7 5 . l8J 茹诗松 , 王静龙 , 蹼小龙.高等数理统计汇M ].北京:高等教育出版 社;柏林:S pri nge几 19 9 8 : 4 2 8 一 44 3 . (M A O S h is o n g , 认叭N G Jin g lon g , P U X i a o l o n g . A dy 朗eed M 口th e - m a tica l S ta tis 瓦cs [M ] . B eij in g : C h in a H ig h er E d uc ati o n P re ss : H ei- d e lb erg , B e r l i n : S P ri n g e r- Ve ri a g , 1 9 9 8 : 4 2 8 一 44 3 ) [9 ] B E N E S v E . E x is te n e e o f F in ite in v ari an t m e a s u re s fo r M ar ko v P ro - e e s s e s [J ] . P ro e e e d i刀9 5 of zh e A m e 月。Jn 朋dth ema ti ca l s o c ie以 19 6 7 , 1 8 ( 6 ) : 1 0 5 8 一 1 0 6 1 . 【101 B O X G E P, JE N KINS G M , R E I N S E L G C . 万m e se ri e s A n a lys is: FO re ca sring a nd Co n tro l【M ]. 3rd ed .E ngle一 w o o d C l i ffs : Pr e n ti e e - H a l l . 1 9 9 4 二 1 0 1 一 10 2 . 作者简介: 王红军 (19 75 一), 男 , 西北工业大学理学院应用数学系博士 研究生, 主要研究方向为非线性时间序列分析与信息处理 , E 一m ail : hj w an g 一 9 9 @ 1 6 3 . c o m : 田 铮 (19 48 一), 女 , 教授 , 博士生导师 , 主要从事非线性时间 序列分析与信息处理 、 非线性多尺度随机模型与图像处理等方面的 研究 , E 一 m ai l : Z h t i an @ n w P u 君d u .en ; 党怀义 (l 967 一), 男, 研 究员, 主要从事航空 遥测数据处 理技术 、 大型工程数据库系统技术 、 分布式网络数据处理技术 研 究等工作 , 曾主持研究开发了多项大型工程网络应用系统 , 曾 获省 、 部级科技成果进步二等奖2项 , 发表学术论文数篇 , E 一 m ail : 曲yZ000 @ sina£o m ·
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分类:经济学
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