从一元二次方程求根公式谈起

第 1 页 共 4 页 从一元二次方程求根公式谈起（一） 靳卫军 山西省长治市华北机电学校图书馆 没有什么比看到发明的源泉更重要的了。就我看来，它比发明本 身更有趣。 ──Gottfried Wilhelm von Leibniz 对早已正确认定的定理做进一步的研究，探索它的新证法，只不 过是因为现有的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 欠缺美的魅力。 —— Morris Kline 科学绝不是，也永远不会是一本写完了的书。每一项重大的成就 都会带来新的问题。任何一个发展随着时间的推移都会出现新的严重 困难。 —— Albert Einstein 前面的话：…… 1、问题的提出 关于实系数一元二次方程 02 =++ cbxax ⑴的求根公式传统的推导方法是这 样的：⑴式两边同除以 a得： 02 =++ a cx a bx ⑵ ,配方得： 2 2 2 4 4) 2 ( a acb a bx -=+ ⑶…… 这样做固然正确但却违反常理而且也较麻烦，重要的是在深层应用上会暴露出 不足。 1.1.为什么⑴式两边要同除以 a，把二次项系数化为 1？我们在解方程或不 等式时，例如 03 2 1 3 2 2 =++ xx 一般原则是把分数系数化为整系数，再如用公式法 解一元二次方程 012 2 =-+ xx ，并非把二次项系数化为 1 才代入求根公式的，这 样做反而麻烦。公式推导过程和应用应该是一致的。 1.2.由⑵式为什么要配方？为什么和怎样想到要采取这一步？这在学习过 程中是一非常重要的问题，是解一元二次方程的核心问题。 1.3.当 042 ³- acb 时，⑶式两边开方得： |2| 4 4 4 2 2 2 2 a acb a acb a bx -±=-±=+ ⑷。 由此得到的求根公式应为： |2| 4 2 2 21 a acb a bx -±-=、 ⑸，而非我们的经典结果： a acbbx 2 42 21 -±- =、 ⑹。但要把求根公式⑸统一为⑹确有些麻烦。 第 2 页 共 4 页 一线教师经常抱怨学生犯 aa =2 这样类似的错误，我们的教材及教师不亦 犯同样的错误？而且这么多年竟没有引起人们的高度重视…… 1.4.学了一元二次方程求根公式，人们都知道⑴式若有二根，其可分解为： ))(( 21 2 xxxxacbxax --=++ 。这一结果在解题中应用广泛。为什么分解结果是这 样 ？ 传 统 方 法 是 这 样 的 ： ú ú û ù ê ê ë é - -÷ ø ö ç è æ -=÷ ø ö ç è æ ++=++ a acb a bxa a cx a bxacbxax 4 4 2 22 22 ， 当 （ 042 ³- acb 时），由平方差公式可得分解结果。沿袭传统推导一元二次方程求 根公式过程去说明不仅麻烦，而且无法揭示说明问题的根源。由于搞不清问题 的来龙去脉就导致仅能停留在一种机械、生硬、 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面的应用上，本文例 3、例 4 就暴露了传统方法之不足。 2、对一元二次方程求根公式的反思 怎样才能自然、合理、简明地得到一元二次方程的求根公式？我们会解形 如（Ⅰ）： bax =2 、（Ⅱ）： cbax =+ 2)( 两种类型的方程。怎样求 02 =++ cbxax 的根？ 我们不妨先把问题具体化。 例 1．解方程 0142 =-+ xx ． 简析：怎么解这个方程？回到已知去！我们会解（Ⅰ）（Ⅱ）型的一元二次 方程。新的方程不好解是因为方程中多了一次项。如果没有一次项就很简单了。 方程如何变形就可消去一次项？由此配方法的出现就顺理成章，解题过程略。 例 2．解方程 012 2 =-+ xx ． 简析：如何配方消去一次项？两边同除 2 和我们的常识相违背。我们知道 2)2(2 = 。所以可由 01)2( 2 =-+ xx 配方得： 8 9) 22 12( 2 =+x 。这样虽自然合情理， 但配方过程还需根式运算也略麻烦。我们把 2 化为 2)2( 实质就是希望把整个二 次项变为一完全平方式。若两边同乘以 2 得： 022)2( 2 =-+ xx 这样配方就更简便 了。 由以上探索过程，我们便很自然地得出一元二次方程的求根公式。 02 =++ cbxax ，两边同乘以 a得： 0)( 2 =++ acabxax ，配方得： 4 4) 2 ( 2 2 acbbax -=+ 。 当 042 ³- acb 时，两边开方得： 2 4 2 2 acbbax -±=+ ，故 a acbbx 2 42 21 -±- =、 ；当 042 <- acb 时，方程无实根。 当然为配方更简便，我们亦可 02 =++ cbxax 两边同乘以 a4 ，这样与上述推导 第 3 页 共 4 页 相比又略有改进。但是这一小步的改进是很难取得的，而且意义并不是很大— —除非我们遇上特殊的问题迫不得已这样做才会显露出其意义、价值——方程 两边同乘以 a，问题已经得到完美、完满解决。思维一般到此就终止了，为什么 还要考虑两边同乘以 a4 ？…… 知道每一步推理是正确的，却不知为什么这样做，这是数学中的常见现象， 也是数学难以掌握的原因。解一元二次方程为什么要消去一次项？如何消去一 次项？方程的二次项是不是一完全平方式、如何变为完全平方式？清晰地把握 这一系列问题是我们打破、超越传统方法契的机。 我们用现在的观点来解读一下传统推导方法的理由。我们还是以例 2 为例。 如何配方消去方程的一次项？因为方程的二次项不是一完全平方式。如果二次 项系数为 1 就很简单了。由此⑴式两边同除以 a方法的出现就顺理成章，这便是 教材中传统推导方法应该说明而又没有说明的理由。这一方法有其合理的一面， 但要把求根公式⑸统一为⑹确有些麻烦。方程的二次项表面上看不是一完全平 方式，把一非负实数化为一完全平方式却是初中生熟知的，即 2)2(2 = 却是我们 熟悉知的，方程的二次项实质上是一完全平方式。怎么没想到这点？再有，方 程两边同乘以二次项系数 a并不比两边同除以二次项系数 a复杂…… “难以置信：结果，一旦发现，是如此自然、简明；而到达的途径却漫长 又艰辛” 。搞清解一元二次方程的方法实质这一核心问题，一切问题迎刃而解。 3、英国下议院：一元二次方程式在现代科学中地位的讨论 有些人认为只要记住求根公式会用就可以了，无需管公式的推导。就连教 师都疑惑：简单公式刊物上众多的文章有什么可研究的？为应付职称晋升而写 文章的人，连自己的文章都不想看更别说他人了，外行的评判就更别提。激进 者认为中学教育中根本没有必要讲解这一内容。二次方程在人类文明史上是否 无足轻重？ 2003 年英国下议院曾对其价值展开了激烈的辩论。有议员认为二次 方程及其解的原理支撑了现代科学。之后英国有数学家作出积极回响，并用较 为普及的方式向外界介绍一元二次方程式在现代科学中的应用……英国数学家 的观点确实很高，貌似简单的二次方程在量子物理中却蕴含着深奥的哲理！别 说普通大众恐怕物理系的也很少有人知道。数学大师 David Hilber 说“……对 科学极端无知的表现，其理由是不值一驳的……”，人们应如何正确理解这句 话？ 英国下议院对一元二次方程式的激烈争论，马里奥·利维奥在其书中《无 法解出的方程》及台湾“数学博物馆”（ 2009 年）专题文章对之作了介绍。 有兴趣的话在网上点击台湾“数学博物馆”可以查找到“数学主題上了国会殿 堂？”一文。 4、数学家为什么要不断的对已有的数学定理给出新的证明？ 其实，这里面有两个问题。第一，数学究竟有什么用？这是大众比较关心 的问题。其次，数学家为什么要不断的对已有的数学定理给出新的证明？这个 问题较大三言两语谈不清楚，我们仅引用两段话，大家从数学家的论述中可以 找到更为详尽的论述。 对早已正确认定的定理做进一步的研究，探索它的新证法，只不过是因为 现有的证明欠缺美的魅力。—— Morris Kline 许多结果首先是靠蛮力证明的。一些人坚韧不拔地一直往下算，不在乎它 是否优美，最后得到答案。接下去，对此结论感兴趣的人会继续考虑，试图理 第 4 页 共 4 页 解它，最后把它打扮得很漂亮，富于感染力。当然，这并非简单的粉饰门面。 因为优美是一种评价标准，若想让数学继续保持旺盛的活力，坚持这一标准是 非常重要的。如果你想让其他人理解某个论证的实质，原则上它必须是简单和 优美的；这显示了质量：表达最明朗，最容易被人类的心智在数学框架内所理 解。事实上，庞加莱将简明性视为数学理论的定向力，使我们选择某个方向而 不是另一个方向前进。──M.阿蒂亚 5、数学的传播、普及 Morris Kline 在《数学：确定性的丧失》中谈到“然而，即使是伟人的号召， 也不会得到非常迅速的回应”。这句话从侧面反映出学术 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 的传播并非想象 的简单、容易。真理掌握在孤寂的少数人手中。 ………… 6、 7、 8、 9、 10…………