随机过程(一)

随机过程(一)null应用随机过程*应用随机过程肖争艳中国人民大学统计学院 zhengyanxiao@gmail.com教材与参考书*教材与参考书教材张波、张景肖编著，《应用随机过程》 A.G Malliaris and W.A.Brock, Stochastic Methods in Economics and Finance, Elsevier Science B .V. 参考书劳斯 S M著，何声武等译《随机过程》，中国统计出版社。 Samiuel Karlin, Howard M. Taylor, A first ...

null应用随机过程*应用随机过程肖争艳中国人民大学统计学院 zhengyanxiao@gmail.com教材与参考书 *教材与参考书教材张波、张景肖编著，《应用随机过程》 A.G Malliaris and W.A.Brock, Stochastic Methods in Economics and Finance, Elsevier Science B .V. 参考书劳斯 S M著，何声武等译《随机过程》，中国统计出版社。 Samiuel Karlin, Howard M. Taylor, A first course in stochastic processes, Academic Press. Sheldon M. Ross, Introduction to probability models, Academic Press.（强烈推荐****）什么是随机过程*什么是随机过程随机过程是概率空间上一族取值于S的随机变量{X(t), t∈T}，其中t为参数，它属于某个指标集T。T称为参数集。S称为状态空间常见的参数集T：常见的状态空间S：有限状态空间、可数状态空间、连续状态空间随机过程的特点*随机过程的特点随机过程{X(t,w), t∈T, w ∈ W}是定义在T× W的二元函数。对于固定时刻t0∈T，X(t0,w)是概率空间上的随机变量。固定样本点w0 ∈ W， X(t,w0)是定义在T上的函数；null*X(t1,ω)X(t2,ω)X(t,ω1)X(t,ω2)X(t,ω3)t1t2tn也称轨道,路径,现实.定义对每一固定w∈W，称X(t,w)是随机过程 {X(t,w), t∈T, w ∈ W}的一个样本函数.随机过程的分布*随机过程的分布一维分布二维分布均值函数协方差函数自相关函数null*n维分布有限维分布族随机过程的一维分布、二维分布，…，n维分布的全体，称为{X(t,w), t∈T, w ∈ W}的有限维分布族。 null*有限维分布族的性质对称性：对(1, 2, …, n)的任何一个排列（j1, j2, …, jn），有相容性：对m 分析随机过程作为时间的函数的性质，如连续性、收敛性、可微性、可积性等分析性质.随机过程的收敛性**随机过程的收敛性*几乎处处收敛设{Xn, n≥1}是随机变量序列，若存在随机变量X使得则称{Xn, n≥1}几乎处处收敛到X，记为依概率收敛设{Xn, n≥1}是随机变量序列，若存在随机变量X使得则称{Xn, n≥1}依概率收敛到X，记为null*r阶矩收敛设随机变量序列{Xn} Lr ，若存在随机变量X Lr使得则称{Xn, n≥1}r阶收敛到X，记为依分布收敛设{Xn, n≥1}是随机变量序列，{Fn(x)}是其分布函数列，如果在随机变量X的分布函数的所有连续点上有则称{Xn, n≥1}依分布收敛到X，记为null*4种收敛性的关系几乎处处收敛依概率收敛依分布收敛r阶矩收敛1、所有反方向都不成立； 2、几乎处处收敛与r阶矩收敛没有蕴含关系； 3、在学习随机过程的收敛性一定要注意是哪种含义下的收敛。 null*例：设X1，X2，…，独立同分布，且E(X1)=m, 则对任意e>0,除上述条件外，若Var(X1)=s2<∞，则弱大数定律强大数定律中心极限定理习题 *习题请举出几乎处处收敛但不均方收敛的例子。请举出均方收敛但不几乎处处收敛的例子。几种常见的随机过程*几种常见的随机过程平稳过程平稳独立增量过程：布朗运动、泊松过程马氏过程鞅 Ito积分过程进度安排*进度安排随机过程基本概念和平稳过程泊松过程的概念泊松过程的性质 Markov链的定义和基本性质常返性极限定理连续时间Markov链 Markov过程的应用——MCMC方法、机制转换模型测度论基础鞅的定义和基本性质鞅的收敛性和应用鞅的应用——工作寻找模型随机积分和Ito引理随机微分方程随机微分方程应用——增长模型和BlackScholes期权定价模型第二章平稳过程*第二章平稳过程平稳过程的定义*平稳过程的定义严平稳过程：如果对任意t1,…,tn∈T,和任意h（使得ti＋h ∈T ）有宽平稳过程：如果{X(t,w), t∈T}的所有二阶矩都存在，并且E(X(t))=m,协方差函数g(s,t)只与时间差t-s有关。g(s,t)的性质*g(s,t)的性质（1） g(s, t)＝ g(0，t-s) ，s, t∈R，因此记为g(t－s) ；（2） g(-t) = g(t) ; （3） g(0) =Var(X(t)); （4）(习题)非负定性：对任意时刻tk和实数ak，k＝1，2，…，N有平稳过程例子*平稳过程例子独立同分布随机序列 AR(1)过程滑动平均序列现实生活中的例子null*例1：AR(1)序列定理：若|r<1|，则AR(1)过程是平稳过程。因为（1）（2）（3）null*证明：因为所以null*思考：当r＝1时，AR(1)是否平稳性？null*看图识平稳null*null*null*null*例2：MA（k）序列练习：请同学们证明MA(k) 是平稳序列。null*例3：请问下面两个过程是否为平稳过程 {Xn，n=0,1,2,…}, 其中{Xn}是二阶矩存在的独立同分布序列。 {Yn=Y, n=0,1,2,…}，其中Y是二阶矩存在随机变量。课堂讨论:请举出现实生活中平稳序列的例子.平稳过程的遍历性*平稳过程的遍历性思考：如何确定随机过程的均值m和协方差函数g(s, t) ？在统计学中，样本分布的均值和方差可以通过简单随机抽样，计算样本均值和样本方差获得。在平稳过程中，只要加一些条件，通过一次观察就可以估计m和g(t) 。这就是遍历性。 null*定义2.1 设{X(t), -∞

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