第一次集体讨论材料(微积分)
一、 极限,函数的连续性与可导性,导数
(1)设 ( ) , ( )f a c f a d ,求
1
( )
lim[ ]
( )
t
t
f a
t
f a
.
(2) ( )f x 在 0x 点连续,且
1
3
0
( )
lim(1 ) x
x
f x
x e
x
.求
20
( )
lim
x
f x
x
.
(3)设 0, 1a a .试确定 p的值使得
1 1
1lim ( )p x x
x
x a a
存在且非零.
(4)设
1 2, , , na a a 均为正实数,记
1
1 2( )
p p p
pn
p
a a a
M
n
.
求证: 1 2
0
lim np n
p
M a a a
, 1 2lim max{ , , , }p n
p
M a a a
.
(5)求 !
1
lim (1 )
n n
n n
的值.
(6)
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
下列两个函数在R上均处处连续处处不可导:
①
0
1
( ) cos( ),(0 1, 1 , )
2 2
n n
n
b
f x a b x a ab
Z
②
0
(10 )
( ) ,
10
n
n
n
x
f x
( ) min{ [ ], }x x x x x .
其中[ ]( )x x
表
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示不大于(不小于) x的最大(小)整数.
二、中值定理的运用
(7)已知 0 1 0
1 2 1
na aa
n
,求证 10 1( )
n n
nf x a x a x a
在(1, ) 上至少有一个零点.
(8)若 ( )f x 在 ( , )a b 上有非负连续导数,且 ( , ), ( ) 0u a b f u ,求证
( ) ( )f b f a .
(9)设 ( )f x 在[ , ]a b 上有 p q 阶连续导数,且 1( , )p qf D a b .若已知
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0p qf a f a f a f b f b f b ,
求证: ( 1)( , ), ( ) 0p qa b f .
(10)设可导函数 :[ , ] ( , )f a b a b 满足
( , )
max | ( ) | 1
x a b
f x M
.
求证: ①
1
( ) ( ( ))
2
g x x f x 在 ( , )a b 上恰有一个不动点 ;
②
0 [ , ]x a b , 1 ( )n nx g x ( 0)n .求证有 lim n
n
x
.
(11)若 ( , )f D , lim ( ( ) ( )) 0
x
f x f x
.求证 lim ( ) 0
x
f x
.
(12)设 [ , ], ( , )f C a b f D a b ,且 ( ) ( ) 0f a f b .
求证:对于 R , ( , )a b 满足 ( ) ( )f f .
(13)设 2[ , ], ( , ), ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0f D a b f D a b f a f b f a f b .
求证:对于 0, ( , )a b 满足 ( ) ( )f f .
(14)设 ( ) [0,1], (0) 0, ( ) 0( 0)f x D f f x x .
求证:对于 0, (0,1) 满足
(1 ) ( )
(1 ) ( )
f f
f f
.
(15)若 [0,1], (0) 0, ( ) | | ( )( [0,1])f D f f x M f x x .
求证: ( ) 0( [0,1])f x x .
三、 凹凸函数性质及应用
(16) 已知 [ , ]f D a b ,且 ( ) 0( ( , ))f x x a b .
求证: ( ) ( ) 2 ( )
2
a b
f a f b f
.
(17) 已知 ( ) 0( ( , ))f x x a b ,且 ( , ), 0( 1,2, , )i ix a b i n .
求证: 1 1
1 1
( )
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
f x x
f
.
(18) 已知 , 0( 1,2, , )i ia p i n .
求证: 1 21 2 1 1 2 21 2
1 2
( )n n
p p p pp p n n
n
n
p a p a p a
a a a
p p p
.
(19) , ( 1,2, ; 1,2, , )ij ja b i m j n 均为正且 1 2 1nb b b .
求证: 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( )n n
m m m m
b bb b b b
k k kn k k kn
k k k k
a a a a a a
(20)若
1 1
, 0, 1r s
r s
,且 , 0( 1,2, , )i ia b i n .
求证:
11
1 1 1
( ) ( )
n n n
r s sr
k k k k
k k k
a b a b
.
(21) pM 定义见(4).求证: pM 关于 p在R上单调不减.
(22) pM 定义见(4).求证:对0 r s t 有
( ) ( ) ( )s t r r t s t s r
s r tM M M
.
(23)已知 ( 1,2, , ; 1,2, , )ija i m j n 均为正.试证明以下两个不等
式成立(已知 0r ):
①
1 1 1
1 2 1
1 1 1
{ ( ) } ( ) ( ) , 1
m m m
r r r r
k k kn k kn
k k k
a a a a a r
②
1 1 1
1 2 1
1 1 1
{ ( ) } ( ) ( ) , 1
m m m
r r r r
k k kn k kn
k k k
a a a a a r