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微积分习题 第一次集体讨论材料(微积分) 一、 极限,函数的连续性与可导性,导数 (1)设 ( ) , ( )f a c f a d  ,求 1 ( ) lim[ ] ( ) t t f a t f a  . (2) ( )f x 在 0x  点连续,且 1 3 0 ( ) lim(1 ) x x f x x e x    .求 20 ( ) lim x f x x . (3)设 0, 1a a  .试确定 p的值使得 1 1 1lim...

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第一次集体讨论材料(微积分) 一、 极限,函数的连续性与可导性,导数 (1)设 ( ) , ( )f a c f a d  ,求 1 ( ) lim[ ] ( ) t t f a t f a  . (2) ( )f x 在 0x  点连续,且 1 3 0 ( ) lim(1 ) x x f x x e x    .求 20 ( ) lim x f x x . (3)设 0, 1a a  .试确定 p的值使得 1 1 1lim ( )p x x x x a a    存在且非零. (4)设 1 2, , , na a a 均为正实数,记 1 1 2( ) p p p pn p a a a M n      . 求证: 1 2 0 lim np n p M a a a    , 1 2lim max{ , , , }p n p M a a a    . (5)求 ! 1 lim (1 ) n n n n  的值. (6) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 下列两个函数在R上均处处连续处处不可导: ① 0 1 ( ) cos( ),(0 1, 1 , ) 2 2 n n n b f x a b x a ab            Z ② 0 (10 ) ( ) , 10 n n n x f x     ( ) min{ [ ], }x x x x x    . 其中[ ]( )x x 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示不大于(不小于) x的最大(小)整数. 二、中值定理的运用 (7)已知 0 1 0 1 2 1 na aa n       ,求证 10 1( ) n n nf x a x a x a     在(1, ) 上至少有一个零点. (8)若 ( )f x 在 ( , )a b 上有非负连续导数,且 ( , ), ( ) 0u a b f u   ,求证 ( ) ( )f b f a . (9)设 ( )f x 在[ , ]a b 上有 p q 阶连续导数,且 1( , )p qf D a b  .若已知 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0p qf a f a f a f b f b f b          , 求证: ( 1)( , ), ( ) 0p qa b f     . (10)设可导函数 :[ , ] ( , )f a b a b 满足 ( , ) max | ( ) | 1 x a b f x M     . 求证: ① 1 ( ) ( ( )) 2 g x x f x  在 ( , )a b 上恰有一个不动点 ; ② 0 [ , ]x a b , 1 ( )n nx g x  ( 0)n  .求证有 lim n n x    . (11)若 ( , )f D   , lim ( ( ) ( )) 0 x f x f x    .求证 lim ( ) 0 x f x   . (12)设 [ , ], ( , )f C a b f D a b  ,且 ( ) ( ) 0f a f b  . 求证:对于 R  , ( , )a b  满足 ( ) ( )f f    . (13)设 2[ , ], ( , ), ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0f D a b f D a b f a f b f a f b      . 求证:对于 0, ( , )a b     满足 ( ) ( )f f   . (14)设 ( ) [0,1], (0) 0, ( ) 0( 0)f x D f f x x    . 求证:对于 0, (0,1)     满足 (1 ) ( ) (1 ) ( ) f f f f          . (15)若 [0,1], (0) 0, ( ) | | ( )( [0,1])f D f f x M f x x     . 求证: ( ) 0( [0,1])f x x   . 三、 凹凸函数性质及应用 (16) 已知 [ , ]f D a b ,且 ( ) 0( ( , ))f x x a b    . 求证: ( ) ( ) 2 ( ) 2 a b f a f b f    . (17) 已知 ( ) 0( ( , ))f x x a b    ,且 ( , ), 0( 1,2, , )i ix a b i n    . 求证: 1 1 1 1 ( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i f x x f              . (18) 已知 , 0( 1,2, , )i ia p i n   . 求证: 1 21 2 1 1 2 21 2 1 2 ( )n n p p p pp p n n n n p a p a p a a a a p p p           . (19) , ( 1,2, ; 1,2, , )ij ja b i m j n   均为正且 1 2 1nb b b    . 求证: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )n n m m m m b bb b b b k k kn k k kn k k k k a a a a a a          (20)若 1 1 , 0, 1r s r s    ,且 , 0( 1,2, , )i ia b i n   . 求证: 11 1 1 1 ( ) ( ) n n n r s sr k k k k k k k a b a b       . (21) pM 定义见(4).求证: pM 关于 p在R上单调不减. (22) pM 定义见(4).求证:对0 r s t   有 ( ) ( ) ( )s t r r t s t s r s r tM M M    . (23)已知 ( 1,2, , ; 1,2, , )ija i m j n   均为正.试证明以下两个不等 式成立(已知 0r  ): ① 1 1 1 1 2 1 1 1 1 { ( ) } ( ) ( ) , 1 m m m r r r r k k kn k kn k k k a a a a a r              ② 1 1 1 1 2 1 1 1 1 { ( ) } ( ) ( ) , 1 m m m r r r r k k kn k kn k k k a a a a a r             
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分类:理学
上传时间:2012-02-25
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