1
第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章第四章 应变疲劳应变疲劳应变疲劳应变疲劳应变疲劳应变疲劳应变疲劳应变疲劳
4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 单调应力单调应力单调应力单调应力单调应力单调应力单调应力单调应力--------应变响应应变响应应变响应应变响应应变响应应变响应应变响应应变响应
4.24.24.24.24.24.24.24.2 滞后环和循环应力滞后环和循环应力滞后环和循环应力滞后环和循环应力滞后环和循环应力滞后环和循环应力滞后环和循环应力滞后环和循环应力--------应变响应应变响应应变响应应变响应应变响应应变响应应变响应应变响应
4.3 4.3 4.3 4.3 4.3 4.3 4.3 4.3 材料的记忆特性与变幅循环材料的记忆特性与变幅循环材料的记忆特性与变幅循环材料的记忆特性与变幅循环材料的记忆特性与变幅循环材料的记忆特性与变幅循环材料的记忆特性与变幅循环材料的记忆特性与变幅循环
响应计算响应计算响应计算响应计算响应计算响应计算响应计算响应计算
4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 应变疲劳性能应变疲劳性能应变疲劳性能应变疲劳性能应变疲劳性能应变疲劳性能应变疲劳性能应变疲劳性能
4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 缺口应变分析缺口应变分析缺口应变分析缺口应变分析缺口应变分析缺口应变分析缺口应变分析缺口应变分析
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2
4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 4.4 应变疲劳性能应变疲劳性能应变疲劳性能应变疲劳性能应变疲劳性能应变疲劳性能应变疲劳性能应变疲劳性能
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 应变应变应变应变应变应变应变应变--------寿命曲线寿命曲线寿命曲线寿命曲线寿命曲线寿命曲线寿命曲线寿命曲线
lgNlgNlgNlgN0000
lglglglg εεεε
a
a
a
a
R=-1R=-1R=-1R=-1
-N-N-N-Nεεεε
a
a
a
a
1111
bbbb
-N-N-N-Nεεεεeaeaeaea
cccc
-N-N-N-Nεεεεpapapapa
低周疲劳 高周疲劳
弹、塑性应变幅为：
εεεεeaeaeaea====σσσσaaaa/E, /E, /E, /E, εεεεpapapapa====εεεεaaaa----εεεεeaeaeaea
实
验
曲
线
分别讨论分别讨论 lglglglglglglglgεεεεεεεεeeeeeeeeaaaaaaaa-lg(2N-lg(2N-lg(2N-lg(2N-lg(2N-lg(2N-lg(2N-lg(2Nffffffff), lg), lg), lg), lg), lg), lg), lg), lgεεεεεεεεppppppppaaaaaaaa-lg(2N-lg(2N-lg(2N-lg(2N-lg(2N-lg(2N-lg(2N-lg(2Nffffffff))))))))关系，有：关系，有：
ε
σ
ea
f
b
E
N=
′
( )2
ε ε
pa f
c
N= ′ ( )2高周疲劳 低周疲劳
高周应力疲劳高周应力疲劳高周应力疲劳高周应力疲劳(S/E=εea>εpa，S103)
低周应变疲劳低周应变疲劳低周应变疲劳低周应变疲劳低周应变疲劳低周应变疲劳低周应变疲劳低周应变疲劳(εpa>εea，S>Sys，N<104)
1
1
CNS
m = 2
2
CN
m
pa
=ε
3
σσσσf’’’’ - 疲劳强度系数，应力量纲；
b - 疲劳强度指数，无量纲；
εεεεf’’’’ - 疲劳延性系数，无量纲；
c - 疲劳延性指数，无量纲。
大多数金属材料，b=b=b=b=-0.060.060.060.06∼∼∼∼-0.14, c=0.14, c=0.14, c=0.14, c=-0.50.50.50.5∼∼∼∼-0.70.70.70.7。
近似估计时取： b b b b ≈≈≈≈-0.1, c 0.1, c 0.1, c 0.1, c ≈≈≈≈-0.6 0.6 0.6 0.6 。
ε ε ε
σ
ε
a ea pa
f
b
f
c
E
N N= + =
′
+ ′( ) ( )2 2
应变应变应变应变应变应变应变应变--------寿命曲线可写为：寿命曲线可写为：寿命曲线可写为：寿命曲线可写为：寿命曲线可写为：寿命曲线可写为：寿命曲线可写为：寿命曲线可写为：
在以εεεεpapapapa为主的低周应变疲劳低周应变疲劳低周应变疲劳低周应变疲劳低周应变疲劳低周应变疲劳低周应变疲劳低周应变疲劳阶段，有 εεεεpapapapa====εεεεffff’’’’ (2N)(2N)(2N)(2N)cccc
这就是著名的Manson-CoffinManson-CoffinManson-CoffinManson-Coffin公式公式公式公式 (1963(1963(1963(1963年) ) ) ) 。
4
2N2N2N2Ntttt为转变寿命转变寿命转变寿命转变寿命转变寿命转变寿命转变寿命转变寿命，大于2222NNNNtttt，εεεεeaeaeaea为主，是应力疲劳；
寿命小于2N2N2N2Ntttt，εεεεpa为主，是低周应变疲劳。
lgNlgNlgNlgN0000
lglglglg εεεε
a
a
a
a
R=-1R=-1R=-1R=-1
-N-N-N-Nεεεε
a
a
a
a
1111
bbbb
-N-N-N-Nεεεεeaeaeaea
cccc
-N-N-N-Nεεεεpapapapa
低周疲劳 高周疲劳
讨论讨论讨论讨论讨论讨论讨论讨论11111111：转变寿命：转变寿命：转变寿命：转变寿命：转变寿命：转变寿命：转变寿命：转变寿命
′
= ′
σ
ε
f
t
b
f t
c
E
N N( ) ( )2 2
若εεεεea=εεεεpa，N=Nt , 有：
εεεεεεεε σσσσσ
σσσ
ea
ea
ea
ea
ea
ea
ea
ea
f
f
f
f
f
f
f
f
b
b
b
b
b
b
b
b
E
E
E
E
E
E
E
E
N
N
N
N
N
N
N
N
========
′′′′′′′′
(((((((( ))))))))22222222
εεεεεεεε εεεεεεεε
pa
pa
pa
pa
pa
pa
pa
pa
f
f
f
f
f
f
f
f
c
c
c
c
c
c
c
c
N
N
N
N
N
N
N
N
======== ′′′′′′′′ (((((((( ))))))))22222222
高周疲劳高周疲劳
低周疲劳低周疲劳
由此可得： 2222 1111NNNN EEEE
t
t
t
t f
f
f
f f
f
f
f
b
b
b
b c
c
c
c==== ′′′′ ′′′′ −−−−(((( )))) (((( ))))εεεε σσσσ
5
显然，二式中εεεε
pa
pa
pa
pa
的项的系数和指数应分别相等，
故六个系数间有下述关系：
′ = ′ ′K
f f
b c
σ ε/ ( ) ;/′ =n b c/
讨论讨论讨论讨论讨论讨论讨论讨论22222222：：材料循环和疲劳性能参数之关系材料循环和疲劳性能参数之关系材料循环和疲劳性能参数之关系材料循环和疲劳性能参数之关系材料循环和疲劳性能参数之关系材料循环和疲劳性能参数之关系材料循环和疲劳性能参数之关系材料循环和疲劳性能参数之关系
由σσσσ
a
a
a
a
-εεεε
a
a
a
a
曲线有： 和
σ
σ
σ
σ ε
ε
ε
ε
a
a
a
a ea
ea
ea
ea
E
E
E
E
==== σσσσ εεεε
a
a
a
a pa
pa
pa
pa
n
n
n
n
K
K
K
K
==== ′′′′ ′′′′(((( ))))
由εεεε
a
a
a
a
-2N -2N -2N -2N曲线有： 和εεεε
σσσσ
ea
ea
ea
ea
f
f
f
f
b
b
b
b
E
E
E
E
N
N
N
N
====
′′′′
(((( ))))2222 εεεε εεεε
pa
pa
pa
pa f
f
f
f
c
c
c
c
N
N
N
N
==== ′′′′ (((( ))))2222
前二个方程消去σσσσ
a
a
a
a
，后二个方程消去2N，可得：
E K
ea pa
n
ε ε− ='( ) ' 0
E
ea f f
b c
pa
b c
ε σ ε ε− =( / )( )' '
/ / 0
6
注意 b、c＜0；同样可知，拉伸平均应力有害，
压缩平均应力有利。
2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. εεεεεεεε-N-N-N-N-N-N-N-N曲线的近似估计及平均应力的影响曲线的近似估计及平均应力的影响曲线的近似估计及平均应力的影响曲线的近似估计及平均应力的影响曲线的近似估计及平均应力的影响曲线的近似估计及平均应力的影响曲线的近似估计及平均应力的影响曲线的近似估计及平均应力的影响
高应变范围，材料延性 ；寿命 ；
低应变长寿命阶段，强度 ，寿命 。
一般金属材料，εεεεaaaa=0.01=0.01=0.01=0.01，NNNN≈≈≈≈1000100010001000。
εεεε
a
a
a
a
高强度材料高强度材料高强度材料高强度材料
高延性材料高延性材料高延性材料高延性材料
2N2N2N2N
0.010.010.010.01
2000
∆ε ε= +− −3 5 012 0 6 0 6. ( ) ( ). . .
S
E
N N
u
f
由拉伸性能估计材料的εεεε-N-N-N-N曲线曲线曲线曲线：
式中，Su为极限强度；
εεεεf是断裂真应变。
考虑平均应力的影响有：
(SAE(SAE(SAE(SAE疲劳手册1968)1968)1968)1968) ε
σ σ
ε
a
f m
b
f
c
E
N N=
′ −
+ ′( ) ( )2 2
7
特例：恒幅对称应变循环特例：恒幅对称应变循环((σσσσσσσσmmmmmmmm=0)=0)=0)=0)=0)=0)=0)=0)，，可直接由已可直接由已
知的应变幅知的应变幅εεεεεεεε
a
a
a
a
a
a
a
a
估算寿命。估算寿命。
3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 应变疲劳寿命估算应变疲劳寿命估算应变疲劳寿命估算应变疲劳寿命估算应变疲劳寿命估算应变疲劳寿命估算应变疲劳寿命估算应变疲劳寿命估算
考虑平均应力：
ε
σ σ
ε
a
f m
b
f
c
E
N N
=
′ −
+ ′( ) ( )2 2
循环循环循环循环
响应响应响应响应
计算计算计算计算
εεεε
a
a
a
a
和和和和
σσσσ
m
m
m
m
稳稳稳稳
态态态态
环环环环
估算估算估算估算
寿命寿命寿命寿命
2N2N2N2N
ε ε ε
σ
ε
a ea pa
f
b
f
c
E
N N= + =
′
+ ′( ) ( )2 2应变应变应变应变应变应变应变应变--------寿命曲线：寿命曲线：寿命曲线：寿命曲线：寿命曲线：寿命曲线：寿命曲线：寿命曲线：
（（（（（（（（R=-1R=-1R=-1R=-1，，，， σσσσmmmm=0=0=0=0 ））））））））
基本方程：基本方程：
已知已知已知已知
εεεε 、、、、σσσσ
历程历程历程历程
计计
算算
方方
法法
8
例例例例例例例例4.24.24.24.24.24.24.24.2 已知某材料已知某材料 E=210E=210E=210E=210E=210E=210E=210E=210××10101010101010103 3 3 3 3 3 3 3 MPa, K'=1220 MPa, MPa, K'=1220 MPa, MPa, K'=1220 MPa, MPa, K'=1220 MPa, MPa, K'=1220 MPa, MPa, K'=1220 MPa, MPa, K'=1220 MPa, MPa, K'=1220 MPa,
n'=0.2, n'=0.2, n'=0.2, n'=0.2, n'=0.2, n'=0.2, n'=0.2, n'=0.2, σσσσσσσσffffffff''''''''=930 MPa, b=-0.095, c=-0.47, =930 MPa, b=-0.095, c=-0.47, =930 MPa, b=-0.095, c=-0.47, =930 MPa, b=-0.095, c=-0.47, =930 MPa, b=-0.095, c=-0.47, =930 MPa, b=-0.095, c=-0.47, =930 MPa, b=-0.095, c=-0.47, =930 MPa, b=-0.095, c=-0.47,
εεεεεεεεffffffff''''''''=0.26, =0.26, =0.26, =0.26, =0.26, =0.26, =0.26, =0.26, 估计图示三种应变历程下的寿命。估计图示三种应变历程下的寿命。
0.020.020.020.02
0.0050.0050.0050.005
0000
-0.005-0.005-0.005-0.005
-0.02-0.02-0.02-0.02
(A) (B) (C)(A) (B) (C)(A) (B) (C)(A) (B) (C)
tttt
εεεε
1111
2 4 2 4 32 4 2 4 32 4 2 4 32 4 2 4 3
3 3 23 3 23 3 23 3 2
0 0 0 0
1111
0000
1111
解解解解：
A) A) A) A) εεεε
a
a
a
a
=0.005=0.005=0.005=0.005； σσσσmmmm=0=0=0=0。
直接由
估算寿命，得：
2222N=11716, N=11716, N=11716, N=11716, N=5858N=5858N=5858N=5858次
ε
σ σ
ε
a
f m
b
f
c
E
N N=
′ −
+ ′( ) ( )2 2
9
2-3 2-3 2-3 2-3 ∆ε∆ε∆ε∆ε2-32-32-32-3=0.01, =0.01, =0.01, =0.01, 由滞后环曲线得 ∆σ∆σ∆σ∆σ2222-3-3-3-3=772MPa=772MPa=772MPa=772MPa
∴∴∴∴ ε ε ε ε3333=0.005, =0.005, =0.005, =0.005, σ σ σ σ3333=342MPa=342MPa=342MPa=342MPa。
3-4 3-4 3-4 3-4 注意2-3-42-3-42-3-42-3-4形成封闭环。故 εεεε4444====εεεε2222, , , , σσσσ4444====σσσσ2222。
B）1.1.1.1. 计算σσσσ-εεεε响应：
0-1 0-1 0-1 0-1 εεεε1111=0.02==0.02==0.02==0.02=σσσσ1111/E+(/E+(/E+(/E+(σσσσ1111/K')/K')/K')/K')1/n'1/n'1/n'1/n'
∴ σ∴ σ∴ σ∴ σ1111=542 MPa=542 MPa=542 MPa=542 MPa
0.020.020.020.02
0.0050.0050.0050.005
0000
-0.005-0.005-0.005-0.005
-0.02-0.02-0.02-0.02
(B) (B) (B) (B)
tttt
εεεε
2 4 2 4 2 4 2 4
3 3 3 3
1111
1-2 1-2 1-2 1-2 ∆ε∆ε∆ε∆ε1-21-21-21-2====∆σ∆σ∆σ∆σ1-21-21-21-2/E+2(/E+2(/E+2(/E+2(∆σ∆σ∆σ∆σ1-21-21-21-2/2K')/2K')/2K')/2K')1/n' 1/n' 1/n' 1/n'
∆ε ∆ε ∆ε ∆ε1-21-21-21-2=0.025 =0.025 =0.025 =0.025 ∆σ∆σ∆σ∆σ1-21-21-21-2=972MPa =972MPa =972MPa =972MPa
有：εεεε2222====εεεε1111----∆ε∆ε∆ε∆ε1-21-21-21-2=-0.005=-0.005=-0.005=-0.005；
σσσσ2222====σσσσ1111----∆σ∆σ∆σ∆σ1-21-21-21-2=-430MPa=-430MPa=-430MPa=-430MPa。
10
拉伸高载后拉伸高载后拉伸高载后拉伸高载后拉伸高载后拉伸高载后拉伸高载后拉伸高载后引入了引入了引入了引入了残余压应力残余压应力残余压应力残余压应力残余压应力残余压应力残余压应力残余压应力((((σσσσmmmm＜0),0),0),0),
疲劳寿命延长，是有利的。是有利的。是有利的。是有利的。((((情况情况情况情况AAAA：：：：N=5858N=5858N=5858N=5858次)
2.2.2.2. 画σσσσ-εεεε响应曲线。
0000
1111
2,42,42,42,4
3333
σσσσ
εεεε
(B)(B)(B)(B)
由稳态环求得：
εεεε
a
a
a
a
=( =( =( =(εεεε3-εεεε4)/2=0.005)/2=0.005)/2=0.005)/2=0.005；
σσσσmmmm=(=(=(=(σσσσ3+σσσσ4)/2=-44MPa)/2=-44MPa)/2=-44MPa)/2=-44MPa。
3. 3. 3. 3. 估算寿命，有：εεεε σσσσ σσσσ εεεε
a
a
a
a
f
f
f
f
m
m
m
m
b
b
b
b
f
f
f
f
c
c
c
c
E
E
E
E
N
N
N
N N
N
N
N
====
′′′′ −−−−
++++ ′′′′(((( )))) (((( ))))2222 2222
代入数值后解得： 2 2 2 2N=12340N=12340N=12340N=12340
所以， N=6170 N=6170 N=6170 N=6170 次循环。
11
CCCC）1.1.1.1. 循环响应计算：
0-10-10-10-1： εεεε1=0.02=0.02=0.02=0.02，∴σ∴σ∴σ∴σ1=542MPa=542MPa=542MPa=542MPa。
注意注意注意注意到拉压对称性且此处是压缩，
故： εεεε1=-0.02=-0.02=-0.02=-0.02时，σσσσσσσσ11=-542MPa=-542MPa=-542MPa=-542MPa=-542MPa=-542MPa=-542MPa=-542MPa。
0.020.020.020.02
0.0050.0050.0050.005
0000
-0.005-0.005-0.005-0.005
-0.02-0.02-0.02-0.02
(c) (c) (c) (c)
tttt
εεεε
2 4 2 4 2 4 2 4
3 3 3 3
1111
0000
1111
2,42,42,42,4
3333
σσσσ
εεεε
(C)(C)(C)(C)
2. 2. 2. 2. 画σσσσ----εεεε响应曲线得：
εεεεaaaa =0.005 =0.005 =0.005 =0.005；σσσσmmmm=(=(=(=(σσσσ3333++++σσσσ4444)/2=44 Mpa)/2=44 Mpa)/2=44 Mpa)/2=44 Mpa
3. 3. 3. 3. 求寿命： N=5565 N=5565 N=5565 N=5565 次循环。
压缩高载引入残余拉应力压缩高载引入残余拉应力压缩高载引入残余拉应力压缩高载引入残余拉应力, N , N , N , N ，是有害的是有害的是有害的是有害的。
由滞后环曲线计算后续响应得：
εεεε2=0.005=0.005=0.005=0.005， σσσσ2=430MPa=430MPa=430MPa=430MPa
εεεε3=-0.005=-0.005=-0.005=-0.005， σσσσ3=-342MPa=-342MPa=-342MPa=-342MPa
12
问题成为：已知缺口问题成为：已知缺口名义应力名义应力名义应力名义应力名义应力名义应力名义应力名义应力S,eS,eS,eS,eS,eS,eS,eS,e和弹性应力集和弹性应力集
中系数中系数KKKKKKKKtttt；； 缺口缺口局部应力局部应力局部应力局部应力局部应力局部应力局部应力局部应力σσσσσσσσ，，ε ε ε ε ε ε ε ε ? ?
4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 4.5 缺口应变分析缺口应变分析缺口应变分析缺口应变分析缺口应变分析缺口应变分析缺口应变分析缺口应变分析
““““若缺口根部承受与光滑件相同的
应力应变历程，则将发生与光滑
件相同的疲劳损伤””””。
基本假设：基本假设：
缺口根部材料元在局部应力σσσσ或应变εεεε循环下的
寿命，可由承受同样载荷历程的光滑件预测。
PPPP
pppp
S=P/(W-d)tS=P/(W-d)tS=P/(W-d)tS=P/(W-d)t
σσσσ
13
1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 缺口应力集中系数和应变集中系数缺口应力集中系数和应变集中系数缺口应力集中系数和应变集中系数缺口应力集中系数和应变集中系数缺口应力集中系数和应变集中系数缺口应力集中系数和应变集中系数缺口应力集中系数和应变集中系数缺口应力集中系数和应变集中系数
已知缺口名义应力已知缺口名义应力SSSSSSSS；；名义应变名义应变eeeeeeee则由应力则由应力--------应变应变
方程给出。方程给出。
设缺口局部应力为设缺口局部应力为σσσσσσσσ，，局部应变为局部应变为εεεεεεεε；；
若若 σσσσσσσσ＜＜σσσσσσσσysys, , 属弹性阶段，则有：属弹性阶段，则有：
σσσσσσσσ=K=K=K=K=K=K=K=KttttttttSSSSSSSS εεεεεεεε==KKKKKKKKtttttttteeeeeeee
若若 σσσσσσσσ＞＞σσσσσσσσysysysysysysysys, , 不可用不可用KKKKKKKKtttttttt描述。描述。 重新定义重新定义
应力集中系数：应力集中系数：KKKKKKKKσσσσσσσσ==σσσσσσσσ/S/S/S/S/S/S/S/S；；应变集中系数：应变集中系数：KKKKKKKKεεεεεεεε==εεεεεεεε/e/e/e/e/e/e/e/e
则有：则有： σ=σ=σ=σ=σ=σ=σ=σ=KKσσσσσσσσSS；； ε=ε=ε=ε=ε=ε=ε=ε=KKεεεεεεεεee。。
若能再补充若能再补充KKσσσσσσσσ，，KKεεεεεεεε和和KKtt间一个关系，即求解间一个关系，即求解σσσσσσσσ、、εεεεεεεε。。
14
再由应力-应变关系
εεεε=σσσσ/E+(/E+(/E+(/E+(σσσσ/K)/K)/K)/K)1/n1/n1/n1/n
计算局部应力σσσσ。
图中C点即线性理论给出的解。
已知
SSSS
或eeee
应力
应变
关系
求SSSS
或eeee εεεε=K=K=K=Ktttteeee
2) 2) 2) 2) 2) 2) 2) 2) 线性理论线性理论线性理论线性理论线性理论线性理论线性理论线性理论 （平面应变）（平面应变）
应变集中的不变性假设应变集中的不变性假设应变集中的不变性假设应变集中的不变性假设：
KKKKεεεε====εεεε/e=K/e=K/e=K/e=Ktttt σσσσ
σ−εσ−εσ−εσ−ε
εεεε0000
曲线
CCCCAAAA
ssss
缺口局部应力缺口局部应力缺口局部应力缺口局部应力----应变应变应变应变
S-eS-eS-eS-e
K eK eK eK etttt
ε
σσσσ
BBBB
应变集中的应变集中的应变集中的应变集中的应变集中的应变集中的应变集中的应变集中的
不变性不变性不变性不变性不变性不变性不变性不变性
15
图中，Neuber双曲线与材料σσσσ-εεεε曲线的交点D，就
是Neuber理论的解答，比线性解答保守。
33333333））NeuberNeuberNeuberNeuberNeuberNeuberNeuberNeuber理论理论理论理论理论理论理论理论 ((((((((平面应力平面应力))))))))
如带缺口薄板拉伸。
假定： KKKKεεεεKKKKσσσσ=K=K=K=Ktttt2 2 2 2
二端同乘eSeSeSeS，有：
(K(K(K(Kεεεεe)(Ke)(Ke)(Ke)(KσσσσS)=(KS)=(KS)=(KS)=(KttttS)(KS)(KS)(KS)(Ktttte), e), e), e),
得到双曲线： σεσεσεσε=K=K=K=Ktttt2222eS eS eS eS
NeuberNeuberNeuberNeuber双曲线
应力----应变关系
已知SSSS
或eeee 应力----应变
关系
求SSSS
或eeee
联立求解
σσσσ和εεεε
σσσσ
σ−εσ−εσ−εσ−ε
εεεε0000
曲线
CCCCAAAA
ssss
缺口局部应力缺口局部应力缺口局部应力缺口局部应力----应变应变应变应变
S-eS-eS-eS-e
K eK eK eK etttt
ε
σσσσ
BBBB
NeuberNeuberNeuberNeuber
双曲线
DDDD
ε
σσσσ
16
1) 线性理论线性理论：
有: εεεε=K=K=K=Ktttte=3e=3e=3e=3×0.01=0.030.01=0.030.01=0.030.01=0.03
由应力-应变曲线：
εεεε=0.030.030.030.03=σσσσ/60000+(60000+(60000+(60000+(σσσσ/2000)2000)2000)2000)8888
可解出: σσσσ=1138 MPa=1138 MPa=1138 MPa=1138 MPa
例例例例例例例例4.34.34.34.34.34.34.34.3 已知已知 E=60GPa, K=2000MPa, n=0.125; E=60GPa, K=2000MPa, n=0.125; E=60GPa, K=2000MPa, n=0.125; E=60GPa, K=2000MPa, n=0.125; E=60GPa, K=2000MPa, n=0.125; E=60GPa, K=2000MPa, n=0.125; E=60GPa, K=2000MPa, n=0.125; E=60GPa, K=2000MPa, n=0.125; 若若
缺口名义应力缺口名义应力S=600MPa, KS=600MPa, KS=600MPa, KS=600MPa, KS=600MPa, KS=600MPa, KS=600MPa, KS=600MPa, Ktttttttt=3=3=3=3=3=3=3=3，，求缺口局求缺口局
部应力部应力σσσσσσσσ 、、应变应变εεεεεεεε 。。
解解解解：已知 S=600MPa, S=600MPa, S=600MPa, S=600MPa, 由应力----应变曲线：
e=S/60000+(S/2000)e=S/60000+(S/2000)e=S/60000+(S/2000)e=S/60000+(S/2000)1/0.1251/0.1251/0.1251/0.125
求得名义应变为： e=0.01+0.3e=0.01+0.3e=0.01+0.3e=0.01+0.38888≈≈≈≈0.010.010.010.01
17
可见，NeuberNeuberNeuberNeuber理论估计的σσσσ,εεεε大于线性理论，是
偏于保守的，工程中常用。
2) 2) 2) 2) NeuberNeuberNeuberNeuberNeuberNeuberNeuberNeuber理论理论: : : :
有NeuberNeuberNeuberNeuber双曲线: : : : σεσεσεσε=K=K=K=Ktttt2222eS =9eS =9eS =9eS =9×0.010.010.010.01×600=54 600=54 600=54 600=54
和应力-应变曲线： εεεε=σ/σ/σ/σ/60000+(60000+(60000+(60000+(σ/σ/σ/σ/2000)2000)2000)2000)8888
联立得到： σσσσ/60000+(σ/2000)60000+(σ/2000)60000+(σ/2000)60000+(σ/2000)8888=54=54=54=54/σσσσ
可解出： σσσσ=1245 Mpa1245 Mpa1245 Mpa1245 Mpa；
且有： εεεε=54/σσσσ=0.043=0.043=0.043=0.043
线性理论结果：εεεε=0.03=0.03=0.03=0.03，σσσσ=1138 MPa=1138 MPa=1138 MPa=1138 MPa
18
对于循环载荷作用的情况，第一次加
载用循环应力- 应变曲线；其后各次载荷
反向，应力-应变响应由滞后环描述。
4.5.2 4.5.2 4.5.2 4.5.2 4.5.2 4.5.2 4.5.2 4.5.2 循环载荷下的缺口应变分析和寿命估算循环载荷下的缺口应变分析和寿命估算循环载荷下的缺口应变分析和寿命估算循环载荷下的缺口应变分析和寿命估算循环载荷下的缺口应变分析和寿命估算循环载荷下的缺口应变分析和寿命估算循环载荷下的缺口应变分析和寿命估算循环载荷下的缺口应变分析和寿命估算
问题问题：已知应力SSSS或应变eeee的历程, 已知Kt；
计算缺口局部应力σσσσ、εεεε。
找出稳态环及εεεε
a
a
a
a
和σσσσ
m
m
m
m
，进而估算寿命。
无论名义应力SSSS、应变eeee或缺口应力σσσσ、
应变εεεε，都应在材料的应力----应变曲线上。思思
路路
19
1)1)1)1)1)1)1)1)第一次加载，已知第一次加载，已知SSSSSSSS11111111或或eeeeeeee11111111，求，求eeeeeeee11111111或或SSSSSSSS11111111 ；；
由循环应力由循环应力--------应变曲线和应变曲线和NeuberNeuberNeuberNeuberNeuberNeuberNeuberNeuber双曲线双曲线::::::::
εεεεεεεε11=(=(=(=(=(=(=(=(σσσσσσσσ11//E)+(E)+(E)+(E)+(E)+(E)+(E)+(E)+(σσσσσσσσ11//K')K')K')K')K')K')K')K')1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'
σσσσσσσσ11εεεεεεεε11=K=K=K=K=K=K=K=Ktttttttt22222222SSSSSSSS11111111eeeeeeee11111111
分析计算步骤为：分析计算步骤为：
联立求解联立求解
σσσσσσσσ11和和εεεεεεεε11。。
2) 2) 2) 2) 2) 2) 2) 2) 其后反向，已知其后反向，已知∆∆∆∆∆∆∆∆SSSSSSSS或或∆∆∆∆∆∆∆∆eeeeeeee，，由滞后环曲线由滞后环曲线
∆∆∆∆∆∆∆∆e=(e=(e=(e=(e=(e=(e=(e=(∆∆∆∆∆∆∆∆S/E)+2(S/E)+2(S/E)+2(S/E)+2(S/E)+2(S/E)+2(S/E)+2(S/E)+2(∆∆∆∆∆∆∆∆S/K')S/K')S/K')S/K')S/K')S/K')S/K')S/K')1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n' 求求∆∆∆∆∆∆∆∆eeeeeeee或或∆∆∆∆∆∆∆∆SSSSSSSS；；
再由滞后环曲线和再由滞后环曲线和NeuberNeuberNeuberNeuberNeuberNeuberNeuberNeuber双曲线双曲线::
∆σ∆ε∆σ∆ε∆σ∆ε∆σ∆ε∆σ∆ε∆σ∆ε∆σ∆ε∆σ∆ε=K=Ktt22∆∆∆∆∆∆∆∆SS∆∆∆∆∆∆∆∆ee
∆ε∆ε∆ε∆ε∆ε∆ε∆ε∆ε=(=(=(=(=(=(=(=(∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ//E)+2(E)+2(E)+2(E)+2(E)+2(E)+2(E)+2(E)+2(∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ//K')K')K')K')K')K')K')K')1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'
联立求解
∆σ∆σ∆σ∆σ、∆ε∆ε∆ε∆ε。
20
3)3)3)3)3)3)3)3) 第第iiiiiiii点对应的缺口局部点对应的缺口局部σσσσσσσσ
i
i
i
i
i
i
i
i
、、εεεεεεεε
i
i
i
i
i
i
i
i
为：为：
σσσσσσσσ
i
i
i
i
i
i
i
i+1+1==σσσσσσσσ
i
i
i
i
i
i
i
i
±±±±±±±±∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ∆σ
i
i
i
i
i
i
i
i--------iiiiiiii++11111111；；
εεεεεεεε
i
i
i
i
i
i
i
i+1+1==εεεεεεεε
i
i
i
i
i
i
i
i
±±±±±±±±∆ε∆ε∆ε∆ε∆ε∆ε∆ε∆ε
i
i
i
i
i
i
i
i--------iiiiiiii+1+1
式中，加载时用式中，加载时用““““““““++””””””””，卸载时用，卸载时用““““““““--””””””””。。
4) 4) 4) 4) 4) 4) 4) 4) 确定稳态环的应变幅确定稳态环的应变幅εεεεεεεε
a
a
a
a
a
a
a
a
和平均应力和平均应力σσσσσσσσ
m
m
m
m
m
m
m
m
。。
εεεεεεεε
a
a
a
a
a
a
a
a
=(=(=(=(=(=(=(=(εεεεεεεεmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmax--------εεεεεεεεminminminminminminminmin)/2)/2)/2)/2)/2)/2)/2)/2；； σσσσσσσσmmmmmmmm=(=(=(=(=(=(=(=(σσσσσσσσmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmax++++++++σσσσσσσσminminminminminminminmin)/2)/2)/2)/2)/2)/2)/2)/2
5) 5) 5) 5) 5) 5) 5) 5) 利用利用εεεεεεεε-N-N-N-N-N-N-N-N曲线曲线估算寿命。估算寿命。
εεεεεεεε
σσσσσσσσ σσσσσσσσ
εεεεεεεε
a
a
a
a
a
a
a
a
f
f
f
f
f
f
f
f
m
m
m
m
m
m
m
m
b
b
b
b
b
b
b
b
f
f
f
f
f
f
f
f
c
c
c
c
c
c
c
c
E
E
E
E
E
E
E
E
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
========
′′′′′′′′ −−−−−−−−
++++++++ ′′′′′′′′(((((((( )))))))) (((((((( ))))))))22222222 22222222
21
解解解解解解解解：：1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 缺口应力缺口应力--------应变响应计算应变响应计算
0-1 S0-1 S0-1 S0-1 S0-1 S0-1 S0-1 S0-1 S11111111=400MPa, =400MPa, =400MPa, =400MPa, =400MPa, =400MPa, =400MPa, =400MPa, 计算计算eeeeeeee11111111, , , , , , , , 有有::::::::
e e e e e e e e11111111=S=S=S=S=S=S=S=S11111111/E+(S/E+(S/E+(S/E+(S/E+(S/E+(S/E+(S/E+(S11111111/K')/K')/K')/K')/K')/K')/K')/K')1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'=0.00202.=0.00202.=0.00202.=0.00202.=0.00202.=0.00202.=0.00202.=0.00202.
联立得到：联立得到： ((σσσσσσσσ11//E)+(E)+(E)+(E)+(E)+(E)+(E)+(E)+(σσσσσσσσ11//K')K')K')K')K')K')K')K')1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'1/n'=7.272=7.272=7.272=7.272=7.272=7.272=7.272=7.272//σσσσσσσσ1 1
解得：解得： σσσσσσσσ11==820MPa820MPa820MPa820MPa820MPa820MPa820MPa820MPa；； εεεεεεεε11==0.00890.00890.00890.00890.00890.00890.00890.0089。。
例例例例例例例例4.44.44.44.44.44.44.44.4 某容器受图示名义应力谱作用。焊缝某容器受图示名义应力谱作用。焊缝KKKKKKKKtttttttt=3, =3, =3, =3, =3, =3, =3, =3,
E=2 E=2 E=2 E=2 E=2 E=2 E=2 E=2××101010101010101055555555MPa, n'=1/8, b=-0.1, c=-0.7, MPa, n'=1/8, b=-0.1, c=-0.7, MPa, n'=1/8, b=-0.1, c=-0.7, MPa, n'=1/8, b=-0.1, c=-0.7, MPa, n'=1/8, b=-0.1, c=-0.7, MPa, n'=1/8, b=-0.1, c=-0.7, MPa, n'=1/8, b=-0.1, c=-0.7, MPa, n'=1/8, b=-0.1, c=-0.7, εεεεεεεεffffffff''''''''=0.6, =0.6, =0.6, =0.6, =0.6, =0.6, =0.6, =0.6,
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