一种改进的结构可靠度分析中响应面法

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第47卷第1期 2 0 0 7 年 1 月 大 连 理 工 大 学 学 报 Journa l of Da l ian Un iversity of Technology Vol. 47, No. 1 Jan. 2 0 0 7 船舶、土木工程 文章编号: 100028608 (2007) 0120057204 收稿日期: 2005206210; 　修回日期: 2006212210. 作者简介: 张　哲3 (19442) , 男, 教授, 博士生导师. 一种改进的结构可靠度分析中响应面法 张 　 哲3 , 　李 生 勇, 　滕 启 杰 ( 大连理工大学 土木水利学院, 辽宁 大连　116024 ) 摘要: 在实际工程结构的可靠度分析中, 极限功能函数通常很难用明确的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式表达, 响应 面法因其自身的优点得到了广泛的应用. 为进一步提高求解效率, 提出了一种改进措施, 在 迭代求解过程中, 不同于通常的每次都在插值点处展开 2n + 1 个样本点, 而是用插值点逐步 替代距离极限状态曲面最远的点, 直至收敛到给定的精度要求. 通过算例进行的对比分析证 明, 改进的响应面法在没有降低计算精度的前提下, 使有限元分析次数显著减少. 该方法尤 其适用于大型复杂结构的可靠度分析. 关键词: 结构可靠度; 响应面法; 极限功能函数; 插值点; 极限状态曲面 中图分类号: TU 311. 2 文献标识码: A 0　引　言 在结构可靠性分析中, 一次二阶矩法及其改 进方法都是针对功能函数能够明确表达的结构. 对于复杂结构而言, 常难以写出功能函数的显式 形式. 以M on te Carlo 方法为基础的各种数值模 拟方法在处理复杂结构的极限功能函数方面有其 相当的优点, 但对于实际工程的结构失效概率通 常小于 10- 3 以下量级的范畴时[1 ] , 虽然随着高速 计算机的发展和数值模拟方法的改进, 数值模拟 工作量仍然很大. 随机有限元方法是另一种手 段, 但是需要对确定性结构分析程序加以改造, 要 形成一个通用的随机有限元程序来描述工程实际 中各种随机性, 目前尚有一定困难. 值得指出的 是文献[ 2 ] 提出了一种结构可靠指标通用计算方 法, 该方法也无需知道功能函数的明确表达. 响 应面法由于其可以直接利用已经广泛应用的确定 性有限元分析程序, 通过对二次多项式系数的迭 代调整来近似模拟真实极限状态曲面, 一般都能 满足实际工程精度要求, 具有较高的效率, 是一个 很有发展前景的计算方法[3 ]. 但是, 以往响应面法在进行每步迭代过程中, 样本点 (输入) 都是依据插值点展开得到的, 通过 2n + 1 次确定性的有限元分析, 计算出结构的响 　　 应 (输出) , 形成 2n + 1 个方程. 在应用AN SYS、 SA P、AD INA 等大型有限元结构分析程序进行计 算分析时非常耗时, 而且比较麻烦. 本文在已有 的响应面方法基础上进行一些改进, 在迭代模拟 极限状态曲面过程中, 将距离真实极限状态曲面 验算点处较近的好的样本点保留, 逐渐剔除距离 极限状态曲面验算点处较远的不好的样本点, 直 至收敛到真实极限状态曲面 (小于给定精度). 通 过改进使有限元分析次数减少, 并很快收敛到能 够反映真实极限状态曲面的响应面, 同时确定验 算点及可靠指标. 1　响应面法 响应面法 ( respon se su rface m ethod, R SM ) 最早是由Box 和W ilson 于 1951 年提出来的. 就 是通过一系列的确定性的“试验”拟合一个响应 面来模拟真实极限状态曲面. 将响应面法应用到 结构可靠性分析中, 基本思想是假设一个包括一 些未知参量的极限状态函数与基本变量之间的解 析表达式 (通常用不含交叉项的二次多项式) 代 替实际的不能明确表达的结构极限状态函数, 从 而很容易利用一次二阶矩法或者几何法求解可靠 指标. 结构响应Z 与变量X 1, X 2, ⋯, X n 具有未知 　　 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 的、不能明确表达的函数关系 Z = g (X 1, X 2, ⋯, X n). 要得到这个“真实”的函数关系通常需要大 量的模拟, 而响应面则是用有限的试验来回归拟 合一个关系Zθ = gθ (X 1, X 2, ⋯, X n) , 以代替真实极 限状态曲面Z = g (X 1, X 2, ⋯, X n) , 应用于可靠度 分析中. 选择响应面表达式的形式时, 对 n 个随 机变量 x 1、x 2、⋯、x n 情况, 文献[ 4 ] 建议取不含交 叉项的二次多项式: Zθ = gθ (X ) = a + ∑n i= 1 bix i + ∑ n i= 1 cix 2 i 其中 a、bi、ci ( i = 1, 2, ⋯, n ) 为待定因子. 响应面方法是一项统计学的综合试验技术, 用于处理多个变量对一体系或结构的作用问题, 也就是体系或结构的输入 (变量值) 与输出 (响 应) 的转换关系问题. 国外许多学者对响应面法 进行了研究: Bucher 和Bou rgund 建议的迭代内 插技术具有很好的效率[4 ]; 文献 [ 5 ] 探讨了其精 度. 1　改进的结构可靠度分析响应面法 在工程实际中许多极限状态方程不能用明确 的表达式表示, 因此直接采用结构可靠度分析中 的几何法就会遇到困难. 应用响应面法的近似极 限状态方程, 就可以很容易地使用几何法求解验 算点和可靠指标. 极限状态曲面是近似的, 因此 需要迭代求解. 具体步骤如下: (1) 假定初始点X 1 = (x 11, x 12, ⋯, x 1i , ⋯, x 1n) , 一般取均值点. (2) 计算功能函数G (x 11, x 12, ⋯, x 1i , ⋯, x 1n) 以 及G (x 11, x 12, ⋯, x 1i ± f Ρix i, ⋯, x 1n) 得到 2n + 1 个 点的估计值. 其中 f 为任意值, Ρi 为随机变量 x i 的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差. (3) 由于响应面表达式中只有 2n + 1 个待定 因子, 利用这 2n + 1 个点估计值便可确定待定因 子a、bi、ci ( i = 1, 2, ⋯, n ) , 得到以二次多项式表达 的近似功能函数, 从而确定极限状态方程. (4) 用结构可靠度分析中几何法求解验算点 x k D 和可靠指标 Βk , 其中上标 k 表示第 k 步迭代. (5) 计算 ûΒk - Βk- 1û < Ε(给定精度). 如果 条件满足则计算失效概率 P f = <(- Βk ) , 输出 P f 及 Β, 计算结束; 如果条件不满足, 则用插值得到 新 的 展 开 点 X km = X k + (X kD - X k) × G (X k) G (X k ) - G (X kD ) , 此插值点可使 X k m 较快地接近 真实极限状态曲面[4 ]. (6) 重复 (2)～ (5) 过程, 在返回 (2) 进行下 一步迭代时, 为充分利用每个有限元的计算结果, 加入判断条件: 当迭代步 k ≥ 3 时, 将 X km 插值点 与 (x k- 11 , x k- 12 , ⋯, x k- 1i , ⋯, x k- 1n ) 以及 (x k- 11 , x k - 12 , ⋯, x k- 1i ± f Ρix i, ⋯, x k- 1n ) 2n + 1 个点作比较, 并 用X km 点替换与其距离最远的点, 共同组成2n + 1 个点计算待定因子, 而不是以通常的在 X km 插值 点处展开的点, 进行下一轮迭代. 这样, 可以充分 利用有限元程序所分析的结果. 需要说明的是, 随机变量 X 如果不服从正态 分布或相关, 应该将其当量正态化且映射到独立 随机变量空间中[6 ]. 在步骤 (2) 中关于 f 取值, 根 据工程中的 3Ρ原则, 第一次展开时 f 取 3, 而在以 后的迭代过程中 f 取 1[7 ]. 另外, 在计算过程中, 由于输入 (样本) 到输出 (响应) 之间存在二次非 线性的映射关系, 可能会使输出比较离散, 本文将 输出作了归一化变换, 将其映射到 0. 2～ 0. 8 内[8 ] , 这对于可靠指标的计算精度也起到了一定 的改善作用. 2　算　例 为了便于说明和比较改进的响应面法的计算 效率和精度, 在例 1、例 2 和例 3 中极限状态方程 是非线性程度较高的明确表达式, 例 4 是对于极 限状态方程不能明确表达的算例. 例 1　极限状态方程 Z = x 31 + x 32 - 4. 0, 其 中随机变量 x 1 ～ N (3. 0, 1. 0) , x 2 ～ N (2. 9, 1. 0). 例 2　极限状态方程 Z = exp (1 + x 1 - x 2) + exp (5 - 5x 1 - x 2) - 1, 其中随机变量 x 1、x 2 均 服从标准正态分布. 例 3　 极限状态方程 Z = 18. 461 54 - 74 769. 23x 1öx 32, 随机变量 x 1 ～ N ( 1 000. 0, 200. 0) kN , x 2～ N (250. 0, 37. 5) mm. 例 4　图 1 为某三跨十二层建筑的平面框架 结构计算简图. 各单元的弹性模量均为 E = 2. 0 × 107 kPa, 单元截面惯性矩与截面面积的关系为 I i = ΑiA 2i ( i = 1, 2, ⋯, 5). 各单元的截面特征、截 面面积A i 以及外荷载 P 的统计特征见表 1. 极限 状态方程 Z = 0. 096 - uA = 0. 计算结果见表 2. 85 大 连 理 工 大 学 学 报 第47 卷　 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 图 1　算例 4 计算简图 F ig11　Calcu lat ion model of Examp le 4 表 1　例 4 随机变量统计参数表T ab11　Param eters of random variab les (Examp le 4)单元类型号 Αi Aϖiöm 2 ∆A i 概率分布类型1 0. 083 33 0. 25 0. 1 对数正态2 0. 083 33 0. 16 0. 1 对数正态3 0. 083 33 0. 36 0. 1 对数正态4 0. 266 70 0. 20 0. 1 对数正态5 0. 200 00 0. 15 0. 1 对数正态P ökN 30. 0 0. 25 极值 I型 表 2　计算结果比较 T ab12　Comparison of calcu lat ion resu lts 方法 算例 1 　 可靠指标　 失效 概率 ö% 　 　验算点　　　 迭代次数 有限元计算次数 算例 2　 可靠指标　 失效概率 ö% 　 　验算点　　　 迭代次数 有限元计算次数 文献[ 2 ] 2. 390 9 0. 840 35 — 5 20 2. 299 5 1. 073 80 — 13 52 文献[ 7 ] 2. 395 2 0. 830 56 (1. 272 1, 1. 241 3) 6 35 2. 332 3 0. 984 24 (0. 863 5, 2. 166 6) 10 59 本文 2. 390 9 0. 840 35 (1. 273 3, 1. 246 2) 9 17 2. 299 5 1. 073 80 (0. 862 8, 2. 131 6) 28 36 方法 算例 3 　 可靠指标　 失效 概率 ö% 　 　验算点　　　 迭代次数 有限元计算次数 算例 4　 可靠指标　 失效概率 ö% 　 　验算点　　　 迭代次数 有限元计算次数 文献[ 2 ] 2. 331 2 0. 987 13 — 12 48 1. 454 3 7. 293 5 — 6 72 文献[ 7 ] 2. 334 4 0. 978 73 (1 101. 138, 164. 533) 8 47 1. 453 7 7. 301 8 (0. 243 3, 0. 158 0) (0. 352 9, 0. 191 5) (0. 147 4, 40. 726 6) 3 69 本文 2. 335 6 0. 975 60 (1 082. 254, 163. 783) 21 29 1. 450 5 7. 346 3 (0. 243 4, 0. 158 0) (0. 352 9, 0. 191 7) (0. 147 4, 40. 737 1) 5 41 3　结　论 对于工程中常见的功能函数不能明确表达的 情况, 采用二次多项式的响应面法进行结构可靠 度分析, 较其他方法更为简便. 本文在响应面法 与几何法相结合的基础上加以改进. 通过在迭代 求解极限状态方程时引入判断条件, 使距离极限 状态曲面验算点处较近的好的样本点得以保留, 95　第1 期　　 张　哲等: 一种改进的结构可靠度分析中响应面法 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 逐渐取代离极限状态曲面验算点处较远的不好的 样本点, 而不是每次在插值点处重新展开生成样 本点. 由计算结果可见, 在达到相同精度的情况 下, 本文方法迭代次数较多, 但确定性的有限元计 算次数显著减少. 这样在大型复杂结构的可靠度 计算中提高了计算效率, 具有一定的实际应用意 义. 参考文献: [1 ] 赵国藩, 金伟良, 贡金鑫. 结构可靠度理论 [M ]. 北 京: 中国建筑工业出版社, 2000 [2 ] 贡金鑫, 仲伟秋, 赵国藩. 结构可靠指标计算的通用 方法[J ]. 计算力学学报, 1993, 20 (1) : 12218 [3 ] 赵国藩. 工程结构可靠性理论与应用 [M ]. 大连: 大 连理工大学出版社, 1996 [4 ] BU CH ER C G, BOU R GUND U. A fast and efficien t response su rface app roach fo r structu ral reliab ility p rob lem s [J ]. Struct Safety, 1990, 7 (1) : 57266 [5 ] RA JA SH EKHA R M R , ELL IN GWOOD B R. A new look at the response surface app roach fo r reliab ility [J ]. 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In every itera t ion step , on ly one po in t, tha t is of the largest d istance betw een it and in terpo la t ion po in t, is rep laced. Con sequen t ly, the respon se su rfaces m ake fu ll u se of every samp le po in t tha t is ca lcu la ted by fin ite elem en t m ethod p rogram. Examp les are given to dem on stra te that the p ropo sed m ethod enhances the calcu la tion eff iciency great ly, esp ecia lly fo r reliab ility analysis of large and comp lex structu re. Key words: st ructu ra l reliab ility; respon se su rface m ethod; lim ited perfo rm ance funct ion; in terpo la t ion po in t; lim it sta te su rface 06 大 连 理 工 大 学 学 报 第47 卷