第五讲 因子分析（暑期学校）谢小燕

null第五讲 因子分析第五讲 因子分析null 主成分分析告诉我们原始变量可以由更少的一些不相关的指标来解释，这启发我们思考一个问题，一些有相关性的指标是否可以由少数的几个潜在的不相关的因子引起。 例如，在企业形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一个有24个指标构成的评价体系，评价百货商场的24个方面的优劣。但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商店的服务和商品的价格。因子分析方法可以通过24个变量，找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子，对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为：第一节 什么是因子分析null 称 是不可观测的潜在因子。24个变量共享这三个因子，但是每个变量又有自己的个性，不被包含的部分 ，称为特殊因子。 因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。null 为了客观评价全国各地区的竞争能力水平，现选择了8项竞争力评价指标。它们是 X1：城镇居民人均全年家庭可支配收入（元） X2：财政收入（万元） X3：地区生产总值（亿元） X4：城市用水普及率（%） X5：城市燃气普及率（%） X6：每万人拥有公共汽车车辆（标台） X7：人均城市道路面积（平方米） X8：人均公园绿地面积（平方米）。 利用因子分析法对全国31个地区的竞争力水平进行综合评价。数据文件“竞争力”null 因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明确的实际意义； 主成分分析分析与因子分析也有不同，主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。 主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分； 因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。 因子分析（探索）与结构方程模型（验证）第二节 因子分析的数学模型 第二节 因子分析的数学模型 一、数学模型 1.R型因子分析数学模型（按列） 设 个变量，如果表示为 null 称为 公共因子，是不可观测的变量，他们的系数称为因子载荷。 是特殊因子，是不能被前m个公共因子包含的部分。并且满足： ， 即不相关； 即 互不相关，方差为1。 null即互不相关，方差不一定相等， 。null 2. Q型因子分析数学模型(按行）null 称为 公共因子，是不可观测的变量，他们的系数称为因子载荷。 是特殊因子，是不能被前m个公共因子包含的部分。并且满足： 即不相关；null即互不相关，方差不一定相等， 。null 二、因子分析中的几个统计特征 1、因子载荷的统计意义 ,再求数学期望 根据公共因子的模型性质，有 （载荷矩阵中第i行，第j列的元素）反映了第i个变量与第j个公共因子的相关重要性。绝对值越大，相关的密切程度越高。null 2、变量共同度的统计意义 定义：变量 的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元素的平方和。记为 统计意义： 两边求方差 所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为1。如果 非常靠近1， 非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因子空间的转化性质好。null（三）因子分析模型的性质（三）因子分析模型的性质 1、原始变量X的协方差矩阵的分解 D的主对角线上的元素值越小，则公共因子共享的成 分越多。2、模型不受计量单位的影响2、模型不受计量单位的影响 将原始变量X做变换X*=CX,这里 C＝diag(c1,c2,…,cn),ci>0。null原始变量变换后的因子也满足条件因子模型的条件 3、因子载荷不是惟一的 3、因子载荷不是惟一的 设T为一个p×p的正交矩阵，令A*=AT，F*=T’F，则模型可以表示为 null新的因子也满足条件因子模型的条件第三节 因子载荷矩阵的估计方法第三节 因子载荷矩阵的估计方法 设随机向量 的均值为，协方差为, 为的特征根， 为对应的 标准化特征向量。一、主成分法null 上式给出的表达式是精确的，然而它实际上是毫无价值的，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释。考虑到后面的特征根均非常小，故略去后面的p-m项的贡献。 null 例 假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率 ，失业率 ，相关系数矩阵为 试用主成分分析法求因子分析模型。null 特征根为： null 可取前两个因子F1和F2为公共因子，第一公因子F1物价就业因子，对X的贡献为1.55。第一公因子F2为投资因子，对X的贡献为0.85。二、主因子法二、主因子法 主因子方法是对主成分方法的修正，假定我们首先对变量进行标准化变换。则 R=AA’+D R*=AA’=R-D 称R*为约相关矩阵， R*对角线上的元素是 , 而不是1。即nullnull 我们在前面已经讨论了因子载荷矩阵A的列平方和是 null 称Sj为Fj对所有的Xi（i=1，2，…，p)的方差贡献，用来衡量Fj的相对重要性。因此我们希望先求出贡献大的因子，然后在依次求出贡献相对较小的因子。由因子模型可知R*=AA’,即 为R*=AA’中的元素,ai(i=1，2，…，p)是载荷矩阵的第i行。null 设使S1最大的向量为 ，显然向量必须满足p2个约束条件， 因此这是一个条件极值的问题，用拉格朗日乘数法有目标函数 null 可以证明，使目标函数T最大的 S1是R*=AA’的最大的特征根，其单位特征向量为u1 ，有 即列平方和是第一个最大的特征根。类推，在不同的约束条件下，可以求的载荷矩阵的其他列，一次为按降幂排列的特征根，其列为 。 null 若 ， 。而有非零特征根对应得特征向量分别为 null 直接求R*的前p个特征根和对应的正交特征向量。 得如下的矩阵：nullnullnullnull 在实际的应用中，个性方差矩阵一般都是未知的，可以通过一组样本来估计。估计的方法有如下几种： 1）取 ，在这个情况下主因子解与主成分解等价； null 2）取 ， 为xi与其他所有的原始变量xj的复相关系数的平方，即xi对其余的p-1个xj的回归方程的判定系数，这是因为xi 与公共因子的关系是通过其余的p-1个xj 的线性组合联系起来的； 3）取 ,这意味着取xi与其余的xj的简单相关系数的绝对值最大者； 4）取 ，其中 是 的对角元素。 null 假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率 ，失业率 ，相关系数矩阵为 试用主因子分析法求因子分析模型。假定用 代替初始的 ， 。null 特征根为： 对应的非零特征向量为：null 第四节 因子旋转（正交变换） 第四节 因子旋转（正交变换） 建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化。有三种主要的正交旋转法。四次方最大法、方差最大法和等量最大法。一、为什么要旋转因子null直角坐标系由两个因子张成。x1x2x5x9x4x3x7x8x10x6null 因素旋转的目的是想通过改变坐标轴的位置，重新分配各个因素所解释变异的比例，使因素结构更为简单，更易于解释。因素旋转不会改变模型对数据的拟合程度，也不会改变每个变量的共通性，但却会改变因素的变异数贡献。所谓「简单的因素结构」是指每个变量在尽可能少的因素上有比较高的负荷。以因素为轴，因素负荷为坐标而做图，则每个变量是该空间中的一个点，该图称为因素负荷图。如图1和图2所示。null 百米跑成绩 跳远成绩 铅球成绩 跳高成绩 400米跑成绩 百米跨栏 铁饼成绩 撑杆跳远成绩 标枪成绩 1500米跑成绩 奥运会十项全能运动项目 得分数据的因子分析 nullnull 因子载荷矩阵可以看出，除第一因子在所有的变量在公共因子上有较大的正载荷，可以称为一般运动因子。其他的3个因子不太容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比，似乎是长跑耐力和短跑速度的对比。于是考虑旋转因子，得下表 nullnull 通过旋转，因子有了较为明确的含义。 百米跑， 跳远和 400米跑，需要爆发力的项目在 有较大的载荷， 可以称为短跑速度因子； 铅球， 铁饼和 标枪在 上有较大的载荷，可以称为爆发性臂力因子； 百米跨栏， 撑杆跳远， 跳远和为 跳高在 上有较大的载荷， 爆发腿力因子； 长跑耐力因子。 1、变换后因子的共同度1、变换后因子的共同度设正交矩阵，做正交变换，B是新的载荷矩阵 （二）旋转方法ai是A第i行，rj是的第j列。null变换后因子的共同度没有发生变化！2、变换后因子贡献2、变换后因子贡献设正交矩阵，做正交变换 变换后因子的贡献发生了变化！null 方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列出发，使载荷矩阵每列的元素向两极（0或1）分划，或等价的使载荷矩阵每列的元素平方的方差最大。因为当只有少数几个变量在某个因子上又较高的载荷时，对因子的解释最简单。 （1）方差最大法3、旋转方法nullnullnullnullnullnull 四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行出发，通过旋转初始因子，使每个变量只在一个因子上又较高的载荷，而在其它的因子上尽可能低的载荷。如果每个变量只在一个因子上又非零的载荷，这是的因子解释是最简单的。 四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因子载荷平方的方差达到最大。 (2) 四次方最大旋转nullnull 等量最大法把四次方最大法和方差最大法结合起来求Q和V的加权平均最大。 权数等于m/2，与因子数有关。(3) 等量最大法 最终的简化规则为： (4) 旋转的步骤 (4) 旋转的步骤 当公共因子数m>2时，我们可以逐次对每两个公共因子进行上述的旋转，一轮两列配对，旋转共m(m-1)/2次，记旋转矩阵为T1。然后进行第二轮，记旋转矩阵为T2。如此类推记下第s轮的因子旋转矩阵，如果记Vs是每轮的各列元素平方的相对方差之和，则必然有， V1 V2  …  Vs－1  … 当Vs 收敛了，或稳定了，则旋转停止了。旋转矩阵则是这矩阵T1， T2， Ts－1和 Ts 的乘积。null第i列和第j列的旋转矩阵 第五节 因子得分 第五节 因子得分 （一）因子得分的概念 前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示一组观测变量的有关问题。如果我们要使用这些因子做其他的研究，比如把得到的因子作为自变量来做回归分析，对样本进行分类或评价，这就需要我们对公共因子进行测度，即给出公共因子的值。 null 人均要素变量因子分析。对我国31个省市自治区的要素状况作因子分析。指标体系中有如下指标： X1 ：人口（万人） X2 ：面积（万平方公里） X3 ：GDP（亿元） X4 ：人均水资源（立方米/人） X5：人均生物量（吨/人） X6：万人拥有的大学生数（人） X7：万人拥有科学家、 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 师数（人） Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.21522 -0.27397 0.89092 X2 0.63973 -0.28739 -0.28755 X3 -0.15791 0.06334 0.94855 X4 0.95898 -0.01501 -0.07556 X5 0.97224 -0.06778 -0.17535 X6 -0.11416 0.98328 -0.08300 X7 -0.11041 0.97851 -0.07246 null X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3 X2=0.63973F1-0.28739F2-0.28755F3 X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.94855F3 X4=0.95898F1-0.01501F2-0.07556F3 X5=0.97224F1-0.06778F2-0.17535F3 X6=-0.11416F1+0.98328F2-0.08300F3 X7=-0.11041F1+0.97851F2-0.07246F3null Standardized Scoring Coefficients FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.05764 -0.06098 0.50391 X2 0.22724 -0.09901 -0.07713 X3 0.14635 0.12957 0.59715 X4 0.47920 0.11228 0.17062 X5 0.45583 0.07419 0.10129 X6 0.05416 0.48629 0.04099 X7 0.05790 0.48562 0.04822 F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7 F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7 F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7null前三个因子得分null 因子分析的数学模型为： 原变量被表示为公共因子的线性组合，当载荷矩阵旋转之后，公共因子可以做出解释，通常的情况下，我们还想反过来把公共因子表示为原标量的线性组合。 因子得分函数： 可见，要求得每个因子的得分，必须求得分函数的系数，而由于p>m，所以不能得到精确的得分，只能通过估计。 1、巴特莱特因子得分(加权最小二乘法） 1、巴特莱特因子得分(加权最小二乘法） 巴特莱特因子得分计算方法的思想 ： 把 看作因变量； 把因子载荷矩阵 看成自变量的观测； 把某个个案的得分 看着最小二乘法需要求的系数 。null 由于特殊因子的方差相异，所以用加权最小二乘法求得分。null 用矩阵表达：满足上式的F是相应个案的因子得分。null 2、回归方法 2、回归方法 1) 思想null 则，我们有如下的方程组： nullj=1,2,…,mnullnull 2)矩阵表示回归方法 2)矩阵表示回归方法 (1) 在因子模型中，假设 服从（m+p)元的正态分布，有nullnullnull国民生活质量的因素分析 国家发展的最终目标，是为了全面提高全体国民的生活质量，满足广大国民日益增长的物质和文化的合理需求。在可持续发展消费的统一理念下，增加社会财富，创自更多的物质文明和精神文明，保持人类的健康延续和生生不息，在人类与自然协同进化的基础上，维系人类与自然的平衡，达到完整的代际公平和区际公平(即时间过程的最大合理性与空间分布的最大合理化)。 从1990年开始，联合国开发计划署(UYNP)首次采用“人文发展系数”指标对于国民生活质量进行测度。人文发展系数利用三类内涵丰富的指标组合，即人的健康状况(使用出生时的人均预期寿命表达)、人的智力程度(使用组合的教育成就表达)、人的福利水平(使用人均国民收入或人均GDP表达)，并且特别强调三类指标组合的整体表达内涵，去衡量一个国家或地区的社会发展总体状况以及国民生活质量的总水平。null在这个指标体系中有如下的指标： X1——预期寿命 X2——成人识字率 X3——综合入学率 X4——人均GDP（美圆） X5——预期寿命指数 X6——教育成就指数 X7——人均GDP指数 null 旋转后的因子结构 Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.38129 0.41765 0.81714 X2 0.12166 0.84828 0.45981 X3 0.64803 0.61822 0.22398 X4 0.90410 0.20531 0.34100 X5 0.38854 0.43295 0.80848 X6 0.28207 0.85325 0.43289 X7 0.90091 0.20612 0.35052 FACTOR1为经济发展因子 FACTOR2为教育成就因子 FACTOR3为健康水平因子null 被每个因子解释的方差和共同度 Variance explained by each factor FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 2.439700 2.276317 2.009490 Final Communality Estimates: Total = 6.725507 X1 X2 X3 X4 X5 0.987530 0.945796 0.852306 0.975830 0.992050 X6 X7 0.994995 0.976999 null Standardized Scoring Coefficients标准化得分系数 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.18875 -0.34397 0.85077 X2 -0.24109 0.60335 -0.10234 X3 0.35462 0.50232 -0.59895 X4 0.53990 -0.17336 -0.10355 X5 -0.17918 -0.31604 0.81490 X6 -0.09230 0.62258 -0.24876 生育率的影响因素分析生育率的影响因素分析 生育率受社会、经济、文化、计划生育政策等很多 因素影响，但这些因素对生育率的影响并不是完全独立 的，而是交织在一起，如果直接用选定的变量对生育率 进行多元回归分析，最终结果往往只能保留两三个变量， 其他变量的信息就损失了。因此，考虑用因子分析的方 法，找出变量间的数据结构，在信息损失最少的情况下 用新生成的因子对生育率进行分析。 选择的变量有：多子率、综合节育率、初中以上文化 程度比例、城镇人口比例、人均国民收入。下表是1990 年中国30个省、自治区、直辖市的数据。nullnull特征根与各因子的贡献null没有旋转的因子结构nullnull 在这个例子中我们得到了两个因子，第一个因子是社会经济 发展水平因子，第二个是计划生育因子。有了因子得分值后，则 可以利用因子得分为变量，进行其他的统计分析。方差最大旋转后的因子结构标准化得分函数第六节 因子分析的步骤和建议 第六节 因子分析的步骤和建议 计算所选原始变量的相关系数矩阵 相关系数矩阵描述了原始变量之间的相关关系。可以 帮助判断原始变量之间是否存在相关关系，这对因子分析 是非常重要的，因为如果所选变量之间无关系，做因子分 析是不恰当的。并且相关系数矩阵是估计因子结构的基础。 选择分析的变量 用定性分析和定量分析的方法选择变量，因子分析的前 提条件是观测变量间有较强的相关性，因为如果变量之间 无相关性或相关性较小的话，他们不会有共享因子,所以 原始变量间应该有较强的相关性。一、 因子分析通常包括以下五个步骤null 提取公共因子 这一步要确定因子求解的方法和因子的个数。需要根据研究者的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 或有关的经验或知识事先确定。因子个数的确定可以根据因子方差的大小。只取方差大于1(或特征值大于1)的那些因子，因为方差小于1的因子其贡献可能很小；按照因子的累计方差贡献率来确定，一般认为要达到60％才能符合要求； 因子旋转 通过坐标变换使每个原始变量在尽可能少的因子之间有密切的关系，这样因子解的实际意义更容易解释,并为每个潜在因子赋予有实际意义的名字。 null 计算因子得分 求出各样本的因子得分，有了因子得分值，则可以在许多分析中使用这些因子，例如以因子的得分做聚类分析的变量，做回归分析中的回归因子。 二、建议 二、建议 在因子分析研究中，必须做出许多决策。大概最重要的决策是选择公共因子数m。最为常见的是，m最后的选定基于下述考虑的综合： (1) 所解释的样本方差的比例； (2) 题材知识； (3) 结论的“合理程度”。 null 因子分析是十分主观的，在许多出版的资料中，因子分析模型都用少数可阐述因子提供了合理解释。实际上，绝大多数因子分析并没有产生如此明确的结果。不幸的是，评价因子分析质量的法则尚未很好量化，质量问题只好依赖一个 “哇”准则 如果在仔细检查因子分析的时候，研究这能够喊出“哇，我明白这些因子”的时候，就可看着是成功运用了因子分析方法。