拉伸变形应变硬化指数的力学解析 3
宋玉泉① 海锦涛② 管志平①
( ①吉林大学超塑性与塑性研究所 , 长春 130025 ; ②机械科学研究院 , 北京 100083)
摘要 实验上已判明应变硬化指数具有很强的结构敏感性 ,而且精确实验测量结
果表明 : nυ(恒速度应变硬化指数) 、nÛε(恒应变速率应变硬化指数) 和 np (恒载荷应变
硬化指数) 随ε(应变) 的变化规律是完全不相同的. 从拉伸变形的状态方程出发 ,并
考虑超塑性与塑性变形的结构敏感性 (即应变硬化指数不仅与应变有关而且与应变
速率有关) ,从理论上导出了 nυ, nÛε和 np 的解析表达式 ,揭示了 nυ, nÛε和 np 随ε变化
的力学本质 ,并解释了典型材料 Zn-5 %Al (质量分数)的实验结果 ,证明了理论的可信
性.
关键词 超塑性 塑性 拉伸变形 应变硬化指数
Lüdwick 提出了应变硬化指数 n 值的概念[1 ] ,Hollomon 从经验上建立了包含 n 值的金属
拉伸变形的指数方程[2 ] ,把金属塑性变形由单纯的现象观察推进到理论
分析
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阶段. 文献[3 ,4 ]
提出了一些关于 n 值的测量公式 ,文献[5 ]研究了 n 值的力学涵义及其精确测量
方法
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. 根据
文献[5 ]提出的精确测量方法和 n 值
规范
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测量公式 :
恒应变速率的应变硬化指数
nÛε = (5lgσ/ 5lgε) | Ûε , (1)
恒变形速度的应变硬化指数
nυ = (5lgσ/ 5lgε) |υ, (2)
定载荷的应变硬化指数
np = (5lgσ/ 5lgε) | p , (3)
针对 Zn-5 %Al (质量分数 ,下同) 共晶合金得到如图 1 的一组实验曲线. 为什么 nυ, nÛε和 np 随
应变ε的变化具有不同的规律 ? 本文的目的就是要从基本理论出发 ,建立 nυ, nÛε , np 与ε(应
变) 的函数关系 ,从而解答文献[5 ]所提出的问
题
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,并进一步揭示应变硬化指数 n 的力学本质.
1 n 值的力学解析
1. 1 n 与 m 的约束方程
为了能用数学语言表达变形的力学量 ,假设 :
( ⅰ) 试样材料不可压缩 ,即服从体积不变定律. 变形处于均匀塑性变形阶段 ,且应力σ
2000204206 收稿 ,2000207203 收修改稿
3 国家自然科学基金重点资助项目 (批准号 : 59835190)
中国科学 ( E 辑)
第 31 卷 第 2 期 SCIENCE IN CHINA (Series E) 2001 年 4 月
图 1 Zn-5 %Al 不同拉伸变形路径 n-ε曲线
(a) 常态 (18 ℃) , (b) 最佳超塑状态 (340 ℃) . 1 示恒 Ûε拉伸 ,2 示恒 v 拉伸 ,3 示恒 p 拉伸
在横截面 S 上均匀分布.
( ⅱ) 真应力σ,真应变ε,真应变速率 Ûε为拉伸变形的力学状态参数.
于是可把拉伸变形的状态方程写为
σ = σ(ε, Ûε, T , E , H , R) . (4)
如果试验是在恒温 T 的条件下拉伸 ,且不受电场 E ,磁场 H 和辐射场 R 的影响 ,则应力σ
便只是应变ε和应变速率Ûε的函数 ,于是状态方程 (4) 化为
σ = σ(ε, Ûε) . (5)
对上式微分 ,再同除以σ,并用对数形式表达 ,则有
dlgσ =
5lgσ5lgε Ûεdlgε+ 5lgσ5lg Ûεεdlg Ûε. (6)
上式可化为
dlgσ
dlgε =
5lgσ5lgε Ûε + 5lgσ5lg Ûεε dlg Ûεdlgε , (7)
dlgσ
dlg Ûε = 5lgσ5lgε Ûε dlgεdlg Ûε + 5lgσ5lg Ûεε, (8)
其中 ,
dlgσ
dlgε和
dlgσ
dlg Ûε分别定义为广义应变硬化指数 n 和广义应变速率敏感性指数 m , 5lgσ5lgε Ûε和5lgσ5lg Ûεε分别定义为恒应变速率 Ûε的应变硬化指数 nÛε和恒应变ε的应变速率敏感性指数 mε,
dlg Ûε
dlgε
和 dlg
ε
dlg Ûε均由变形路径决定.
把以上关系分别代入 (7) 和 (8) 式 ,则得
n = nÛε + mε dlg Ûεdlgε , (9)
m = nÛε dlgεdlg Ûε + mε. (10)
104 中 国 科 学 ( E 辑) 第 31 卷
联立 (9) 和 (10) 式 ,则得
n ·m = n ·mε + m ·nÛε. (11)
(11) 式即为在任意变形路径下 n 与 m 的约束方程.
1. 2 典型变形路径下 n 值的解析表达
根据假设 ( ⅰ) ,有
dlgS = - dlg l . (12)
根据假设 ( ⅱ) ,并注意到 (12) 式 ,便得应力σ与载荷 p 和试样长度 l 的关系
dlgσ = dlg p + dlg l . (13)
根据真实应变的定义ε= ln ll0 ( l0 为试样的初始长度) ,有
dlgε = dlg lε . (14)
根据变形速度υ和应变速率 Ûε的关系 Ûε=υ/ l ,有
dlg Ûε = dlgυ - dlg l . (15)
把 (13) 和 (14) 式代入广义应变硬化指数的定义式中 ,便得
dlgσ
dlgε
= Ûε·dlg P + dlg l
dlg l
. (16)
由于载荷 p ,试样标距长度 l 和试验机十字头速度υ为拉伸过程的实验参数 ,应力σ,应变
ε和应变速率 Ûε为拉伸过程的力学参数 ,而且恒应变ε和定长度 l 在实质上是等价的 ,由 (9) 式
可知在恒应变ε条件下 , n 值便失去意义. 因此典型变形路径只有Ûε= const , p = const 和υ=
const 三种.
( ⅰ) Ûε= const 时 ,由 (1) 和 (9) 式知
n = nÛε. (17)
( ⅱ) p = const 时 ,由 (3) 和 (16) 式知
np = ε. (18)
( ⅲ) 在恒υ条件下 ,把 (14) 和 (15) 式代入 (9) 式 ,得
n = nÛε + mε·ε·dlgυ - dlg ldlg l . (19)
当υ= const 时 ,注意到 nυ的定义 (2) 式 , (19) 式化为
nυ = nÛε - mεε. (20)
2 讨论
文献[5 ]从实验上得出如图 1 (a)和 (b)的曲线 ,由曲线可知 nÛε , np 和 nυ随ε的变化规律各
不相同 ,为了从理论上解答 nÛε , np 和 nυ随ε的变化为什么有不同规律 ,本文从力学的基本理论
出发导出 (17) 、(18) 和 (20) 式.
( ⅰ) 由状态方程 (5) 可知 ,当Ûε为常数时 ,已知ε和σ便可确定拉伸变形的力学状态 ;由
(9) 式可知广义应变硬化指数 n 蜕化为恒应变速率应变硬化指数 nÛε. 因此 (1) 式是应变硬化
指数的基本定义 ,而由 (1) 式测得的 nÛε随ε的变化规律 ,应该是 n 的基本变化规律. 对 Zn-5 %
第 2 期 宋玉泉等 : 拉伸变形应变硬化指数的力学解析 105
Al 合金而言 ,图 1 (a)的曲线 1 是该合金在常态 (18 ℃) 时 ,恒Ûε( Ûε= 0. 01 s - 1) 均匀拉伸的 nÛε-ε曲
线 ,由该曲线可知 nÛε随ε的增加而减小 ,当试样出现颈缩时 , nÛε趋近于零. 图 1 (b) 的曲线 1 是
该合金在超塑性状态 (340 ℃)时 ,恒Ûε( Ûε= 0. 01 s - 1) 均匀拉伸的 nÛε-ε曲线. 由于超塑拉伸在载
荷失稳时不伴随颈缩产生 ,而是可以持续相当长的一段均匀变形 ,因此 nÛε不但随ε的增大而减
小 ,且可以由正值变到负值.
( ⅱ) 图 1 (a) 的曲线 3 是 Zn-5 %Al 合金在常态时 ,定载荷 ( p = 3. 5 kN) 均匀拉伸的 np-ε曲
线 ,而且 np 随ε单调增大. 图 1 (b) 的曲线 3 是 Zn-5 %Al 合金在超塑性状态 ,定载荷 ( p = 30 N)
的 np-ε曲线 ,而且 np 随ε也单调增大. (18) 式是从基本力学理论导出的 np 变化规律 np =ε.
把图 1 (a)和 (b) 的曲线 3 转化到纵坐标和横坐标相等的坐标平面上 ,便得到图 2 (a) 和 (b) 的曲
线 2 ,由图可知是两条斜率为 1 的直线 ,它们与 np =ε的理论直线 1 完全重合. 由此可见 , np
的变化服从 np =ε的规律.
图 2 等坐标平面 Zn-5 %Al 的 np-ε曲线
(a) 常态 (18 ℃) 的 np 曲线 , (b) 超塑状态 (340 ℃) 的 np 曲线. 1 ———理论值 ,2 ———实验值
( ⅲ) 图 1 (a)和 (b) 的曲线 2 分别为 Zn-5 %Al 合金在常态和超塑状态的恒速度 (υ= 6 mm/
min) 均匀拉伸的 nυ-ε曲线. (20) 式是从力学基本理论导出的理论关系式 nυ = nÛε - mεε. 虽然
理论关系与实验曲线具有相同的变化趋势 ,但是要作出定量的判断 ,还必须从实验上测得恒应
变的应变速率敏感性指数 mε. 在 mε的多种测量方法中 ,以根据其定义直接测量最为精确 ,即
mε =
5lgσ5lg Ûεε≈ΔlgσΔlg Ûεε. (21)
Zn-5 %Al 在常态 (18 ℃) 时 : 利用文献[6 ]的实验装置由实验测得Ûε1 = 0. 01 s - 1和Ûε2 = 0. 008 s - 1
的两条 lgσ- lgε曲线 (如图 3 (a) 所示) . 再用计算机模拟这两条曲线 ,得到以下多项式 :
lgσ = 102. 413 - 2945. 52lgε+ 122263 (lgε) 2 - 613018 (lgε) 3 , Ûε1 = 0. 01 s - 1 , (22)
lgσ = 392. 736 - 11436. 5lgε+ 200806 (lgε) 2 - 855710 (lgε) 3 , Ûε2 = 0. 008 s - 1 . (23)
因Δlg Ûε恒等于 lg (0. 01) - lg (0. 008) ,对应于不同的ε可由 (22) 和 (23) 式求得Δlgσ,把Δlg Ûε和
Δlgσ代入 (21) 式 ,可得
mε = 0. 209025 + 5. 76113ε - 26. 2165ε2 . (24)
由 (24) 式便可作出如图 4 (a) 所示的 mε-ε曲线. 把 (24) 式和对应的ε值代入 (20) 式 ,便得
到图 5 (a) 所示的 nυ-ε理论曲线 1.
106 中 国 科 学 ( E 辑) 第 31 卷
图 3 Zn-5 %Al 恒 Ûε的 lgσ- lgε曲线
(a) 18 ℃, (b) 340 ℃; 1 示 Ûε= 0. 01 s - 1 , 2 示 Ûε= 0. 008s - 1
图 4 Zn-5 %Al 的 mε-ε曲线
(a) 18 ℃, (b) 340 ℃
Zn-5 %Al 在超塑状态 (340 ℃)时 :与前同理 ,先由实验测得如图 3 (b) 所示的两条恒Ûε曲线 ,
再用计算机模拟求得两条曲线的多项式
图 5 Zn-5 %Al 的 nυ-ε曲线
(a) 18 ℃, (b) 340 ℃; 1 示理论曲线 ,2 示实验曲线
第 2 期 宋玉泉等 : 拉伸变形应变硬化指数的力学解析 107
lgσ = 4. 76083 + 20. 1915lgε - 0. 008301 (lgε) 2
- 4. 67247 (lgε) 3 + 1. 05168 (lgε) 4 , Ûε = 0. 01 s - 1 , (25)
lgσ = 2. 73731 + 23. 0813lgε - 8. 46264 (lgε) 2 + 0. 778756 (lgε) 3 , Ûε2 = 0. 008 s - 1 . (26)
把Δlg Ûε= lg 0. 01 - lg 0. 008 和由 (25) 和 (26) 式求得的Δlgσ代入 (21) 式 ,便得 mε和ε的关系式
mε = 0. 605876 + 0. 182095ε - 0. 146980ε2 + 0. 024033ε3 + 0. 0017452ε4 . (27)
把 (27) 式和对应的ε值代入 (20) 式 ,便得到图 5 (b) 所示的 nυ-ε理论曲线 1. 由上可知 :
( ⅰ) 由于理论公式 (20) 中ε是理想均匀应变 ,而实测的ε,即使在标距范围内也不是完全
均匀的 (因在试样标距根部受横向约束) ,因此图 5 中的 nυ-ε理论曲线与实测曲线之间存在偏
差. 在常态下因均匀应变很小 ,故受不均匀的影响也小. 在超塑性状态下因均匀应变较大 ,故
受应变的影响也较大 ,而且偏差随ε增加而增大.
( ⅱ) 图 1 (a)中恒υ的 nυ-ε曲线与恒 Ûε的 nÛε-ε曲线偏差甚小 ,是由于在常态下 mε甚小 (见
图 4 (a) ) ,而 (20) 式中 ( mεε) 亦甚小 ,所以 nυ≈ nÛε. 图 1 (b) 中恒υ的 nυ-ε曲线与恒 Ûε的nÛε-ε曲线
的偏差较大 ,而且随ε增加而增大. 是由于在超塑状态下 mε较大 (见图 4 ( b) ) ,而 (20) 式中
( mεε) 亦较大 ,且偏差随ε增加而增大.
3 结论
应变硬化指数 n 不仅与变形路径有关 ,而且在不同的变形路径下 n 随应变ε的变化具有
不同的规律. 以典型材料变形路径恒应变速率的 nÛε ,恒变形速度的 nυ和定载荷的 np 为例 :
( ⅰ) nÛε随ε的变化反映 n 值的基本变化规律. 材料在常态下 , nÛε随ε的增加而减小 ,当颈
缩出现时 , nÛε趋于零. 材料在超塑状态下 , nÛε也随ε的增加而减小 ,但 nÛε在颈缩出现前可以减
小到负值.
( ⅱ) nυ随ε的变化 ,服从 nυ= nÛε - mεε的变化规律.
( ⅲ) np 随ε的变化 , 服从 np =ε的变化规律.
( ⅳ) 本文所用的 nÛε , nυ和 np 规范测量公式是用σ和ε表达的 ,而σ和ε是力学参量 ,但是
在实验中所直接
记录
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的实验参量为试样标距长度 l ,试样变形速度υ和变形载荷 p ,于是提出
新的问题 :用实验参量表达的测量公式和方法是怎么样的 ? 从中又会揭示出些什么样的更为
精细的问题 ? 将在以后工作中中予以解答.
参 考 文 献
1 Lüdwick P. Elemente der Techologischen Mechanik. Berlin : Zulius Stringer , 1909
2 Hollomon J H. The effect heat treatment and carbon content on the work hardening characteristics of several steels. Transactions of
ASM , 1944 , 32 : 123~133
3 何肇基. 金属力学性能试验. 北京 : 冶金工业出版社 , 1988. 5
4 熊大田 ,谢云青 ,钟鸿儒. 超塑性拉伸时 m 和 n 的测量方法———曲线斜率法. 锻压技术 , 1983 , (2) : 11~19
5 宋玉泉 ,程永春 ,刘 颖. 拉伸变形应变硬化指数的力学涵义及其规范测量. 中国科学 , E辑 , 2000 , 30 (3) : 200~207
6 宋玉泉 ,程永春 ,侯 磊. 恒应变速率拉伸试验机的控制系统. 中国机械工程 , 1999 , 10 (7) : 782~784
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