+++++自感与互感的定义及耦合系数的讨论

第 31卷第 1期　　　　　　　　　　　　　　上海师范大学学报(自然科学版) Vol. 31, No. 1 2 0 0 2年 3 月　　　　　　　　　Journal of Shanghai Teach ers U niversity( Natural S ciences) M ar . 2 0 0 2 自感与互感的定义及耦合系数的讨论 朱顺泉, 郑仁蓉 (上海师范大学 数理信息学院, 上海 200234) 摘　要: 提出了一种自感系数和互感系数的定义方法, 有利于理解它们的静态定义与动 态定义的区别与联系, 同时对线圈串接时的常见错误进行了讨论. 关键词: 自感;互感; 耦合系数 中图分类号: O441　　文献标识码: C　　文章编号: 1000-5137( 2002) 01-0087-04 0　引　言 　　　　　　　　　　 收稿日期: 2001-10-08 基金项目: 普通物理课程建设( K200123) 作者简介: 朱顺泉( 1944-) ,男, 上海师范大学数理信息学院教授. 自感与互感是电磁感应现象的重要实例,在电路中有广泛的应用,其中涉及的一些知识是很成 熟的,但仍有一些模糊观点,散见于一些教材和文章,其实有些错误不来自复杂难懂的数学,而是对 最基本的定义和概念理解不深, 本文用这种方法讨论两个最常见的问题. 1　自感与互感的定义 一般普物教材 [ 1]是这么定义自感系数的:由于磁感应强度与激发它的电流强度成正比, 因此通 过线圈的磁通量正比于电流强度 � = L I . ( 1) 对非铁磁物质来说, L 与线圈中的电流强度无关,当穿过回路自身的电流强度随时间变化时. L 是 一个常数,求自感电动势时,可得: �= d( N � ) dt = - d( L I ) dt = - L dI dt . ( 2) 定义自感系数: L = - � dI dt . ( 3) 由推导过程看,此式似不适于线圈中有铁磁物质的情况, 而有另一些教材和参考书[ 2]在解释上式时 特别强调: 这是自感系数的动态定义,它不论回路是不是密绕,也不论回路周围有没有铁磁质都能 应用, 但没有说明原因, 且也未见有关教材论述这一问题, ( 3)式适用条件 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面上不一致的症结何 在? 本文用一特例说明这一个问题. 对形状特殊的长直螺旋管, 其磁通量为: � = �nIS . ( 4) 式中磁导率 �, 对非铁磁质来说是一个不随电流强度而变的常数, 所以磁通量是电流强度的线性函 数;而对铁磁质来说, �是电流强度的复杂函数,所以磁通量通常是电流强度的非线性函数, 总之, 不管哪种情况,磁通量总是关于电流强度的函数,利用法拉弟电流感应定律可得: �= d[ � ( � ( t) ) ] dt = - d[ � ( t ) ] dI dI dt . ( 5) 　　定义: L = d� dI . ( 6) 由( 5) , ( 6)两式亦可得( 3)式,但此时 L 确是电流强度有关的物理量,可以认为( 3)式是自感系数的 广义定义,基于这个广义定义, ( 3)式当然也适用于含有铁磁质的情况,此外,当无铁磁质时, � 与 I 是线性关系, ( 6)可化为: L = � I . ( 7) 这就是式( 1) ,它是自感系数的静态定义,且与常见的普物教材提法一致. 这种定义自感系数的方法也可用来定义互感系数,若有两个相邻的回路 1, 2,设第 2个电路的 电流强度为 I 2, 它在第一各回路引起的磁通量为,其互感电动势为: �12 = - d�12dt = - d� 12dI 2 �dI 2dt . ( 8) 　　定义 M = d� 12 dI 2 . ( 9) 根据互感的性质, 亦可写成: M = d� 21 dI 1 . ( 10) 互感系数的动态定义为: M = - �12 dI 2 dt = - �21 dI 1 dt . ( 11) 上式对回路中有无铁磁质均适用, 若回路中无铁磁质, 互感磁通与电流成线性关系, ( 9) , ( 10)可化 成: M = � 12 I 2 = � 21 I 1 . ( 12) 这就是通常所说的互感系数的静态定义. 在一般普物教材中,特别强调回路中若无铁磁质,则L ,M 是不随电流强度而变化的常数,在这 个基础上定义了感抗, 并导出了一系列极为重要的应用公式, 但在日常生活中所碰到的回路中又往 往有铁磁质, 这些公式能否适用是我们必须正视的问题. 铁磁材料有软磁、硬磁、矩磁、压磁之分,但在电工试验中,最常用的为软磁材料,有的教材[ 3]指 出,软磁材料磁滞现象不明显, 可用起始磁化曲线代替磁滞回线,而起始磁化曲线在一定范围内又 接近于直线,于是可作如图 1所示的一系列简化, 这种简化使软磁介质的回路中自感系数 L、互感 系数 M 也可近似认为是不随电流强度而变的常数,于是把 L ,M 当常数而导出的某些重要公式也 能适用与一些常见电气回路了. 88 　　　　　　　　　　　　　　　　　　上海师范大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　　2002年 图 1　软磁材料B-H 曲线的简化 2　两长直螺线管串接时耦合情况的分析 两长直螺线管串联顺接(以下简称串接)后等效自感系数的计算有不少文章或教材进行了讨 论,由于论证方法上的原因,有的结论不妥,有的接受起来比较困难.若用无漏磁的定义讨论这个问 题,则相当简单明了. 两线圈无漏磁的定义如下:当两个线圈中的每一个线圈所产生的磁通量对于 每一匝来说都相等并且全部穿过另一个线圈的每一匝,这种情况叫做无漏磁 [ 4] . 现在利用这个概念 讨论以下几个问题: ( 1)螺线管中磁感应强度, 但端口附近的小于此值, 有的文章[ 5]称这种现象谓漏磁, 言下之意, 在非端口处处处相等, 则无漏磁.根据以上定义,一个线圈各匝之间有无漏磁,不但是每匝线圈产生 的磁通对其他各匝均相等, 并且还要全部通过其他各匝线圈,就最简单的情况而论,某匝线圈所产 生的在轴线分布也是不均匀的, 其函数表达式为: B (轴) ( X ) = �R2I 2( R 2 + x 2) 3/ 2 . 式中R为线圈半径, X 为轴上各点的位置. 显示,当各匝线圈沿轴线排列时,某匝线圈在邻近各匝处 产生磁通随 X 增大而减少,所以是有漏磁的. 螺线管内各处 B的值是全部线圈产生 B 的迭加,只不 过迭加后非端口附近处处相等. 接近端口处逐步减弱.此例说明,各匝磁通相等,未必无漏磁. ( 2)有观点认为[ 2] ,两长直全同直螺线管串接后,其等值自感为单个自感的 4倍,其推导过程如 下: 顺接时: 　　　 L总 = L1 + L 2 + 2M , 互感系数为: 　M = K L 1L 2, 无漏磁　　　　k = 1, 则　　　　　　L = L 1 + L 2 + L 1L 2 = 4L , 推导中,关键错误就是 k = 1,用无漏磁定义, k为多少,一目了然,若忽略端口效应,第一个通电 螺线管在其内部产生的磁强度为 B 1 = �nI , 若 k = 1, 则在与它顺接的第二个线圈产生的磁感应强 度亦为B2 = �nI. 同理对第二个线圈也可这样分析, 于是串接后每个螺线管中的总磁感应强度应为 2�nI ,再加上串接后总匝数翻倍, 由磁通及自感定义, 马上可得总自感系数应为串接前单个线圈自 感的 4倍. 但实际顺接后,更长螺线管中的每一处(端口除外) ,当然也包括原先单独存在的哪二个 89　第 1期　　　　　　　　　　　　朱顺泉,郑仁蓉:自感与互感的定义及耦合系数的讨论 螺线管而现在都作为整体中一部分的螺线管内的磁感应强度仍为 �N I 1,即串接对每一个螺线管磁 通无影响,翻译为数学语言即为 k = 0, 但由于串接后总匝数翻番, 总自感为原单个螺线管的两倍. 用以下公式也可论证此结果: L总 = �n2V总 = �n2 ( V 1 + V 2 ) = �n22V 1 = 2L 1. 　　( 3)有观点[ 5]认为: 把顺接螺线管的耦合系数看作 0是忽略端头效应(原文称漏磁)时所得出 的,应对不同参数条件进行具体讨论,并得出结论:线圈越细越长, 相对误差越小, 越短越粗,相对误 差越大,所以粗而短的螺线管串接时要讨论耦合系数的大小. 这种观点无疑是对的,但对粗而短的 螺线管,其本身的自感系数已无法用精确的数学公式表达. 当然其耦合系数也难以用解析式表示, 于是串接值不用理论计算而用实测值了. 粗短细长是相对的,我们还是用相对误差讨论这个问题. 设 L 0为理想模型自感, �L 为线圈每一端因 B 减少而引起的自感减少,其实际自感为: L = L 0 - 2�L . 用理论模型代替后,产生的相对误差为 �= 2�L L 0 . 当说到这个长螺线管的自感值为 L 0时,我们就默认上述误差是允许的,当两长螺线管顺接后,由于 耦合作用,接口处 2�L 的误差消除了, 此时总自感的相对误差为: �总 = 2�L2L 0 = �LL 0 = �2 . 由此可见,串接后,用理想模型代替实物后的相对误差为接前的一半,无论接后相对误差,或者接后 相对误差的改变都在默认范围内,结论是: 两长直螺线管顺接后,虽然相互间有耦合,但可以忽略不 计,甚至可以说耦合系数为 0, 反而更简洁明了. 参考文献: [ 1]　程守洙,江之永. 普通物理学[ M ] . 北京:高等教育出版社, 1982. [ 2]　华东师大普通物理教研组. 普通物理思考题解[ M ] .上海: 上海科学技术文献出版社. [ 3]　梁灿彬,等. 电磁学[ M ] . 北京: 高等教育出版社, 1980. [ 4]　赵凯华, 陈熙谋. 电磁学(上册) [ M ] . 北京:人民教育出版社, 1978. [ 5]　徐志和. 耦合系数到底是多少[ J] . 物理通报, 2000( 12) . A Discussion to the Definitions of Self Inductance and Mutual Inductance and the Coeff icient of Coupling ZHU Shun-quan, ZHENG Ren-rong ( Mathematical and Science College, Shanghai Teachers University , Shanghai 200234, China) Abstract: N ew self and mut ual induct ance definit ions that benefit to under stand the relationship between their static and dynamic definitions ar e g iven. T he causes of some usual mist akes pertained to coupling are discussed. Key words: self inductance ; mutual inductance ; coefficient of coupling 90 　　　　　　　　　　　　　　　　　　上海师范大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　　　　　2002年