正规矩阵的标准型

第五章 方阵的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形 §5.1 §5.2 §5.3 §5.4 Schmidt 正交化 本节介绍把向量几何化的方法, 以便于进行形象思维及处理更广泛的问题. 在本节, 设所考虑的数域为复数域或实数域. 定义 4.1 设 α = (a1, a2, . . . , an)T , β = (b1, b2, · · · , bn)T 都是 n 元列向量, 规定 (α, β) = a1b1 + · · ·+ anbn, 称之为 α 与 β 的内积. 由定义易知 (α, β) = βHα. 进一步, 内积还有如下性质： 1. (β, α) = (α, β)； 2. (aα1 + bα2, β) = a(α1, β) + b(α2, β), (α, aβ1 + bβ2) = a¯(α, β1) + b¯(α, β2), 其中 a, b ∈ C； 3. 对于任意非零的 α 均有 (α, α) > 0. 定义 4.2 令 |α| = √(α, α), 称为 α 的长度. 长度为 1 的向量称为 单位向 量. 如果 (α, β) = 0, 则称 α 与 β正交. 若一个向量集合中的任意两个不同的向 量均正交, 则称该向量集为正交组；由单位向量组成的正交组称为规范正交组 显然,α 与 β 正交当且仅当 βHα = 0 当且仅当 αHβ = 0. 由定义 4.2, 非零向量的长度必大于 0; 零向量与任何向量均正交; 一个向量 总是正交组. 命题 4.1 不含零向量的正交组必为线性无关的向量组. 107 108 第五章 方阵的标准形 证明 设 α1, α2, · · · , αs 为不含零向量的正交组, 且 a1α1 + a2α2 + · · ·+ asαs = 0. 用 α1 做内积可得, a1(α1, α1) + a2(α2, α1) + · · ·+ as(αs, α1) = 0. 由正交性可得 a1(α1, α1) = 0. 由 α1 6= 0 知 αH1 α1 6= 0, 故 a1 = 0. 类似地可证 a2 = a3 = · · · = an = 0. 定义 4.3 设 A 为复方阵, 如果 AHA = I, 则称 A 为酉矩阵. 显然, A 为酉矩阵当且仅当 AH = A−1. 正交矩阵恰为实的酉矩阵. 命题 4.2 方阵 A 为酉矩阵当且仅当 A 的列向量组为规范正交组. 证明 将 A按列分块, A = (α1, . . . , αn),则 AHA = (αHi αj). 于是, A是酉矩 阵当且仅当 (αHi αj) = I, 当且仅当 αHi αj = δij , 即 α1, . . . , αn 是规范正交组. 按命题 4.1, 规范正交组必为线性无关向量组. 反过来, 一个线性无关向量 组显然未必是正交组, 但我们可以按下述方法求出与之等价的规范正交向量组. 命题 4.3 (Schmidt 正交化) 设 α1, α2, . . . , αt 为一组线性无关向量, 令 β1 = α1, β2 = α2 − (α2,β1)(β1,β1)β1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · βt = αt − (αt,β1)(β1,β1)β1 − (αt,β2) (β2,β2) β2 − · · · − (αt,βt−1)(βt−1,βt−1)βt−1, 再令 γi = 1|βi|βi, 1 ≤ i ≤ t, 则 β1, β2, . . . , βt 是正交组, γ1, γ2, . . . , γt 是规范正交 组, 并且它们都与向量组 α1, α2, . . . , αt 等价. 证明 首先证明 β1, . . . , βt 是正交组. 对向量个数 t 用数学归纳法. 当 t = 1 时,结论显然成立. 假设 t = k > 1时结论也成立. 现在设 t = k+1,我们只需证 明 βk+1 和每个 βj 都正交, 1 ≤ j ≤ k. 实际上, (βk+1, βj) = (αt, βj)− k∑ i=1 (αk+1, βi) (βi, βi) (βi, βj) = (αk+1, βj)− (αk+1, βj)(βj , βj) (βj , βj) = 0. § 5.4 Schmidt 正交化 109 其次证明向量组 β1, . . . , βt 与向量组 α1, . . . , αt 等价. 因为 α1 = β1, α2 = (α2,β1) (β1,β1) β1 + β2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · αt = (αt,β1) (β1,β1) β1 + (αt,β2) (β2,β2) β2 + · · ·+ (αt,βt−1)(βt−1,βt−1)βt−1 + βt, 所以 α1, . . . , αt 可由向量组 β1, . . . , βt 线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示, 将其写成矩阵形式 (α1, . . . , αt) = (β1, . . . , βt)C, 其中 C 是上三角矩阵, 且对角线元素均为 1. 故 C 可逆, 从而量组 β1, . . . , βt 也 可由 α1, . . . , αt 线性表示. 于是, 向量组 β1, . . . , βt 与 α1, . . . , αt 等价. 最后考虑向量组 γ1, . . . , γt. 显然, (γ1, . . . , γt) = (α1, . . . , αt)D, 其中 D 是对 角矩阵, 其对角线元素依次为 1|βi| , . . . , 1|βt| . 于是, (γ1, . . . , γt) = (β1, . . . , βt)CD. 因为 CD是上三角矩阵,且对角线元素是正数,所以 CD可逆. 于是, (γ1, . . . , γt) 和 (β1, . . . , βt) 等价. 对角线上的元素皆为正数的上 (下) 三角矩阵称为正线上 (下) 三角矩阵. 从上命题的证明立即可得下面的结果. 命题 4.4 对于列满秩 (实) 矩阵 G, 必有正线上三角 (实) 矩阵 pi, 使 Gpi 的列向量组为规范正交组. 引理 4.1 两个正线上 (下) 三角矩阵之积仍为正线上 (下) 三角矩阵. 正线 上 (下) 三角矩阵必为可逆矩阵, 且其逆也是正线上 (下) 三角矩阵. 若正线上 (下) 三角矩阵同时还是酉矩阵, 则其必为单位矩阵. 证明 我们只证明最后一个结论.设 A = (aij)是一个正线上三角酉矩阵,则 AH = A−1, 而且 AH 是下三角矩阵, A−1 是上三角矩阵, 所以 A 必为对角矩阵, 而且 aii = a−1ii . 因为 aii > 0, 所以 aii = 1, 从而 A 必为单位矩阵. 定理 4.1 (QR 分解) 设 A 是一个可逆矩阵, 则 1) A 可唯一地分解成一个酉矩阵和一个正线上三角矩阵之积; 2) A 可唯一地分解成一个酉矩阵和一个正线下三角矩阵之积; 3) A 可唯一地分解成一个正线上三角矩阵和一个酉矩阵之积; 110 第五章 方阵的标准形 4) A 可唯一地分解成一个正线下三角矩阵和一个酉矩阵之积. 进一步, 若 A 是可逆实矩阵, 则上面的分解中矩阵可取作实矩阵. 证明1) 设 A 是一个可逆矩阵, 则由命题 4.4, 有正线上三角矩阵 pi 使得 Api 是酉矩阵. 令 Q = Api,R = pi−1, 则 A = QR, 且 Q 是酉矩阵, R 是正 线上三角矩阵. 设 A = Q1R1 是 A 也是 A 的 QR 分解, 则 QR = Q1R1, 从而 Q−1Q1 = RR−11 , 这是一个正线上三角酉矩阵, 所以是单位矩阵. 于是, Q1 = Q,R1 = R, 故分解唯一. 进一步, 设 A 是实矩阵. 由 A = QR 可得 A = A = QR = QR, 这仍为 A 的 QR 分解. 由分解唯一性可知, Q = Q,R = R, 故 Q,R 都是实矩阵. 对 1)中的分解取共轭转置再取逆可得 2),取逆可得 3),取共轭转置可得 4). 当 A 是实矩阵时, A = A. 习 题 1. 用 Schmidt 正交化方法将向量组 (1, 1, 0), (1,−1, 0), (0, 1, 2) 规范正交化. 2. 设矩阵 A, B 的列向量组都是规范正交的, 如果 A, B 可乘, 则 AB 的列向量组也是规 范正交的. 3. 证明矩阵 A 的属于特征根 λ 的一组线性无关的特征向量经 Schmidt 正交化以后仍为 属于 λ 的特征向量. 定义 4.4 设 A,B 是两个 n 阶矩阵, 若有酉矩阵 U , 使 UHAU = B, 则称 A 与 B 酉相似. 酉相似是一个等价关系. 酉相似的矩阵一定是相似的. 定理 4.2 (Schur 三角化定理) 设 A 是 n 阶矩阵, λ1, . . . , λn 是 A 的全部 特征值, 则 A 酉相似于一个上 (下) 三角矩阵, 其对角线元素依次为 λ1, . . . , λn. 证明 对矩阵阶数用数学归纳法. 对于一阶矩阵结论显然成立. 假设对于 n − 1 阶矩阵结论也成立. 现在设 A 是 n 阶矩阵, 再设 α 是 A 的属于特征 根 λ1 一个特征向量. 令 ξ1 = α|α| , 则 ξ1 是单位向量, 并且仍为属于 λ1 的特 征向量. 取 η2, . . . , ηn 使得 (ξ1, η2, . . . , ηn) 为可逆矩阵. 对向量组 ξ1, η2, . . . , ηn 进行 Schmidt 正交化可得规范正交组 ξ1, ξ2, . . . , ξn. 每个 n 元列向量均可由 ξ1, . . . , ξn 线性表示,特别地,向量组 Aξ1, . . . , Aξn 也可由其线性表示. 有矩阵 B § 5.5 正规矩阵的标准形 111 使得 (Aξ1, . . . , Aξn) = (ξ1, . . . , ξn)B. 因为 Aξ1 = λ1ξ, 故 B 的第一列除第一行 为 λ1 之外, 其余元素均为 0. 令 T = (ξ1, . . . , ξn), 则 T 为酉矩阵, 而且 AT = A(ξ1, . . . , ξn) = (Aξ1, . . . , Aξn) = (ξ1, . . . , ξn)B = TB, 从而 THAT = B. 将 B 分块, B = ( λ1 ∗ 0 A1 ) . 则 A1 为 n − 1 阶矩阵, 而且 |λI − B| = (λ − λ1)|λI − A1. 因此, λ2, . . . , λn 是 A1 的全部特征值. 由归纳假设有 n− 1 阶酉矩阵 T1 使 TH1 A1T1 为上三角矩阵, 且对角线元素依次为 λ2, . . . , λn. 令 U = T ( 1 0 0 T1 ) , 则 U 为酉矩阵, 且有 UHAU = ( 1 0 0 T1 )H THAT ( 1 0 0 T1 ) = ( 1 0 0 TH1 )( λ1 ∗ 0 A1 )( 1 0 0 T1 ) = ( λ1 ∗∗ 0 TH1 A1T1 ) , 这最后矩阵是上三角矩阵, 而且对角线元素依次为 λ1, . . . , λn. 通过取转置可得 出下三角情形的结论. 习 题 1. 设 A 是方阵，互换 A 的第 i 行和第 j 行，再互换 A 的第 i 列和第 j 列，则所得矩阵 与 A 酉相似. 2. 设 Ai 酉相似于 Bi, i = 1, 2, 则 ( A1 0 0 A2 ) 酉相似于 (B1 00 B2 ). §5.5 正规矩阵的标准形 §5.3讨论了方阵的 Jordan标准形. 在本节中我们将研究可以酉相似于对角 矩阵的矩阵, 它们的标准形也同样有着深刻的背景和重要的应用. 112 第五章 方阵的标准形 定义 5.1 满足条件 AAH = AHA 的方阵称为正规矩阵. 由定义易知, Hermite 矩阵, 斜 Hermite 矩阵以及酉矩阵皆为正规矩阵, 特 别地, 实对称矩阵, 实反对称矩阵及正交矩阵也都是正规矩阵. 命题 5.1 与正规矩阵酉相似的矩阵必为正规矩阵. 证明设 A 酉相似于正规矩阵 B, 则有酉矩阵 U 使得 A = UBUH . 于是, AAH = UBUHUBHUH = UBBHUH = UBHBUH = UBHUHUBUH = AHA. 引理 5.1 设 A = (aij) 为 n 阶正规矩阵. 若 A 的第 i 行(列)元素除 aii 外 其余全为零, 那么 A 的第 i 列(行)元素除 aii 外其余也全为零. 证明比较 AHA 和 AAH 的第 i 行第 i 列的元素. 定理 5.1 设 A 是 n 阶正规矩阵, λ1, . . . , λn 是 A 的全部特征根, 则 A 酉 相似于 diag(λ1, . . . , λn). 证明 由 Schur三角化定理, A酉相似于一个上三角矩阵 R,且 R 的对角线 元素依次为 λ1, . . . , λn. 由命题 5.1, R 是正规矩阵. 再由引理 5.1 可知, R 是对 角矩阵, 故 R = diag(λ1, . . . , λn). 推论 5.1 一个方阵是正规矩阵当且仅当酉相似于一个对角矩阵. 证明 设 A 酉相似于对角矩阵 D. 因为对角矩阵都是酉矩阵, 故由命题 5.1 可知 A 是正规矩阵, 这证明了充分性. 必要性由上面的定理立即可得. 上面的结果表明, n阶正规矩阵有 n个规范正交的特征向量,它们组成了 A 的一个规范正交的完全特征向量系.我们已经知道,属于不同特征根的特征向量 线性无关, 对于正规矩阵我们还有更进一步的结论. 推论 5.2 正规矩阵的属于不同特征根的特征向量必正交. 证明 设 A是 n阶正规矩阵,设 λ1, λ2 是 A的两个不同的重特征根, α, β 是 相应的两个特征向量. A 有一个规范正交的完全特征向量系, 其中有一部分向 量, 设为 α1, . . . , αs, 是 λ1 的特征子空间的基底; 同样有另外一部分向量, 设为 β1, . . . , βt, 是 λ2 的特征子空间的基底. 因此, α = a1α1 + · · ·+ asαs, β = b1β1 + · · ·+ btβt, § 5.5 正规矩阵的标准形 113 而且 α1, . . . , αs, β1, . . . , βt 是规范正交组. 于是, (α, β) = ( s∑ i=1 t∑ j=1 aibj(αi, βj) = 0. 定理 5.2 1) Hermite矩阵恰为特征根全是实数的正规矩阵； 2) 斜Hermite矩阵恰为特征根零或纯虚数的正规矩阵； 3) 酉矩阵恰为特征根的模都是 1 的正规矩阵. 证明 只证明 (1), 余者类似. 设 A是正规矩阵, λ1, . . . , λn 为其全部特征根. 所以由定理 5.1, 有酉矩阵 U 使得 A = Udiag(λ1, . . . , λn)UH , 从而 AH = Udiag(λ1, . . . , λn)UH ,进而 A是 Hermite矩阵当且仅当 AH = A,当 且仅当 λi = λi, i = 1, 2, . . . , n, 即 λ1, . . . , λn 全为实数. 因为正规矩阵未必是实矩阵, 而且即使它是实矩阵其特征根也未必全是实 数. 所以上一节的讨论应在复数域上进行, 但是对于实正规矩阵我们自然希望 能在实数域上确定出它的标准形, 即实正规矩阵的正交相似标准形. 下面主要 讨论这一问题. 定理 5.3 设 A是实正规矩阵, λ1, . . . , λr 是 A的实特征根, a1±b1i, . . . , as± bsi 是 A 的复特征根, 则有正交矩阵 T , 使得 TTAT =  D A1 . . . As  = ∆, 其中 D = diag(λ1, . . . , λr), Ai = ( ai bi −bi ai ) , i = 1, 2, . . . , s. 证明 因 A 是实矩阵, 故 A 的特征多项式是实系数多项式. 因此, A 的 复特征根成对出现 (互为共轭), 且二者重数相同. 对于特征根 µi = ai + bii, (µiI −A)x = 0 当且仅当 (µiI −A)x = 0, 所以 ρ1, . . . , ρk 是属于 µi 的特征子空 间的基底当且仅当 ρ1, . . . , ρk 是属于 µi = ai − bii 的特征子空间的基底. 因 A 114 第五章 方阵的标准形 酉相似于对角矩阵, 故 A 有由规范正交特征向量组成的完全特征向量系, 因此 可取 n 个规范正交特征向量并将它们如下排列 η1, . . . , ηr, ρ1, ρ1, . . . , ρs, ρs, 使得它们分别属于特征值 λ1, . . . , λr, a1 + b1i, a1 − b1i, . . . , as + bsi, as − bsi. 取 αi = 1√ 2i (ρi − ρi), βi = 1√ 2 (ρi + ρi). 则 αi, βi 都是实向量. 因为 ρ, ρ 是正交的规范组, 所以直接计算可得 (αi, αj) = (βi, βj) = δij , (αi, βj) = 0. 故 η1, . . . , ηr, α1, β1, . . . , αs, βs 规范正交组. 令 T = (η1, . . . , ηr, α1, β1, . . . , αs, βs), 则 T 是正交矩阵. 因为 Aαi = aiαi − biβi, Aβi = biαi + aiβi, 所以 AT = (Aη1, . . . , Aηr, Aα1, Aβ1, . . . , Aαs, Aβs) = (η1, . . . , ηr, α1, β1, . . . , αs, βs)  λ1 . . . λr a1 b1 −b1 a1 . . . as bs −bs as  = T∆. 于是, TTAT = ∆. 由定理 5.1知,实对称矩阵的特征根必为实数；实的反对称矩阵的特征根必 为纯虚数；正交矩阵特征根的模必为 1. 作为定理 5.3 的直接推论, 便可得到下 面的结果. § 5.5 正规矩阵的标准形 115 定理 5.4 (谱分解定理) 对于 n 阶实对称矩阵 A, 必有正交矩阵 T , 使得 TTAT = diag(λ1, . . . , λn) 其中 λ1, · · · , λn 恰为 A 的全部特征根. 定理 5.5 设 A 的实的反对称矩阵, 0为其 r 重特征根, ±b1i, . . . ,±bti 为其 复特征根, 则必有正交矩阵 T , 使得 TTAT =  A1 . . . At 0r×r  , 其中 Ai = ( ai bi −bi ai ) , i = 1, 2, . . . , t. 定理 5.6 设 A 为正交矩阵, 则必有正交矩阵 T , 使得 TTAT 为如下形式 的矩阵  Ir −Is A1 . . . At  其中 Ai = ( cos θi sin θi − sin θi cos θi ) , i = 1, 2, . . . , t. 定理 5.3, 定理 5.4, 定理 5.5, 定理 5.6 最后得到的矩阵分别称为实正规矩 阵, 实对称矩阵, 实反对称矩阵以及正交矩阵在正交变换下的标准形. 例 5.1 设 A 是三阶矩阵, 其每个元素都是 1, 求正交矩阵 T 使得 TTAT 是对角矩阵. 解 A 的特征多项式为∣∣∣∣∣∣∣∣ λ− 1 −1 −1 −1 λ− 1 −1 −1 −1 λ− 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = λ 2(λ− 3). 116 第五章 方阵的标准形 故 A 的特征根为 0, 0, 3. 对于特征值 λ = 0, 解方程组 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 x = 0 的基础解系 α1 = (1,−1, 0)T , α2 = (1, 1,−2)T . 使用 Schmidt 正交化得规范正交 组 β1 = ( 1√2 ,− 1√2 , 0)T , β2 = ( 1√6 , 1√6 ,− 2√6 )T . 对于特征值 λ = 3, 解方程组 2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2 x = 0 得基础解系 α3 = (1, 1, 1)T . 使用 Schmidt正交化得规范正交组 β3 = ( 1√3 , 1√3 , 1√3 )T . 令 T =  1√ 2 1√ 6 1√ 3 − 1√ 2 1√ 6 1√ 3 0 − 2√ 6 1√ 3  则 T 是正交矩阵, 且 TTAT = diag(0, 0, 3) 习 题 1. 求出下列矩阵在正交变换下的标准形及相应的正交矩阵 1 0 00 1 1 0 1 1  ;  1 2 − 1 2 1 − 1 2 1 2 1 1 1 −1  . 2. 设 λ 是 A 的一个特征根, µ 是 AH 的一个特征根, 若 λ 6= µ, 则 A 的属于 λ 的特征向 量与 AH 的属于 µ 的特征向量正交. 3. 设 A,B 均为正规矩阵, 则 A ∼ B 当且仅当 A 和 B 的特征多项式相同. 4. 设为 n 阶正规矩阵, 将其分块 A = (Aij) 使得对角线上的子块都是方块. 若 A 的第 i 行子块除 Aii 外其余全为零, 那么 A 的第 i 列子块除 Aii 外其余也全为零. 5. 设 A 是正规矩阵, 则线性方程组 Ax = 0 和 AHx = 0 同解. 6. 设 A 是实正规矩阵, ρ = α+ βi 为 A 的特征向量, 其中 α, β 是实向量, 则 α, β 正交.