线性代数6

线性代数6nullnull（P35第7题（6））计算解法 1 （递推法）按最后一行拆项，建立递推公式nullnull解法 2 （加边法）null解法 3 null证法 1 （递推法）按第1列展开，建立递推公式（P34第5题（5））证明null证法 2 （化为（下）三角行列式）证法 3 （展开法）按第 n 行展开（这里略）。证法 4 （归纳法）类似于递推法（这里略）。null证法 5null 一些概念对称矩阵、反对称矩阵、伴随矩阵、逆矩阵、非奇异矩阵、方阵的幂前次课内容回顾伴随矩阵有如下重要性质：定理...

nullnull（P35第7题（6））计算解法 1 （递推法）按最后一行拆项，建立递推公式nullnull解法 2 （加边法）null解法 3 null证法 1 （递推法）按第1列展开，建立递推公式（P34第5题（5））证明null证法 2 （化为（下）三角行列式）证法 3 （展开法）按第 n 行展开（这里略）。证法 4 （归纳法）类似于递推法（这里略）。null证法 5null 一些概念对称矩阵、反对称矩阵、伴随矩阵、逆矩阵、非奇异矩阵、方阵的幂前次课内容回顾伴随矩阵有如下重要性质：定理方阵A可逆的充要条件是，且在A可逆时，有。一些结论求逆运算所满足的规律。null⑸ 分块矩阵求逆（仅考虑两个特殊情形）思考：A何时可逆？且A的逆等于什么？null结论：当皆可逆时，A 也可逆，且有：特别当此结论易证时，有null② 结论证因为为求A的逆，我们用待定法。null证毕null例1 设例2null ，解将 A 分块如下：nullnull附：两种特殊的分块法按行分块按列分块null对于线性方程组：null可用矩阵形式表示为：可用向量形式表示如下：则线性方程组：线性方程组的三种不同表示形式：null 主要内容矩阵的运算：加（减）、数乘、矩阵乘以矩阵、转置、方阵的行列式、求逆。一些特殊矩阵：零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、分块对角阵、上（下）三角阵。同型矩阵、对称阵、反对称阵、伴随矩阵。本章重点矩阵可逆的判别、伴随矩阵的性质。第二章小结 null附：如何判别矩阵可逆(A,B皆为方阵)null1 设A为 n 阶方阵，B为 n× m 矩阵，，试证若AB=0 ，则必有 B=0。null1 设A为 n 阶方阵，B为 n× m 矩阵，，试证若AB=0 ，则必有 B=0。证法 1 在 AB= 0 两边用左乘即可。证法 2 将矩阵B按列分块由AB= 0，得即B的每一列都是线性方程组AX= 0的解，因为故方程组只有零解，即从而B= 0。证毕null2 设，且AB=A+2B，求 B 。见P55 习题19解由 AB=A+2B，得null3. (P55习题15) 设方阵A满足，证明 A 及A+2E都可逆,并求。要证A可逆，只要证存在矩阵B，使AB=E即可。分析：null设方阵A满足，证明 A 及A+2E都可逆,并求。证null4 已知 n 阶方阵A满足求证。证证毕null 5 设A是3 阶方阵，A*是A的伴随矩阵，求行列式的值。解null教材 P55 第 18 题1. 设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 A*，证明：（1）若│A│=0，则│A*│=0；（2）证（1）反证□第三章矩阵的初等变换与线性方程组第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩线性方程组的解本章介绍：null 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．内容丰富，难度较大. §1 矩阵的初等变换一、引例用消元法解线性方程组矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组，求逆阵及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用.§1 矩阵的初等变换null解null用“回代”的方法求出解：null于是解得null小结：1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．null3．上述三种变换都是可逆的．　　由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．null　　因为在上述对方程组的变换过程中，仅仅只是对系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．故对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B的变换．若记称B为方程组（1）的增广矩阵．二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是把“r”换成“c”)．null定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换null等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价关系．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价null用矩阵的初等行变换解方程组（1）：nullnullnull特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．null注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．null例如，null三、小结三、小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质

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