中国科技大学概率论与数理统计习题集

目录 符号表 2 第一章 事件的概率 1 第二章 随机变量及其分布 7 第三章 随机变量的数字特征 16 第四章 参数估计 23 第五章 假设检验 29 1 符号表 IA(x) 集合 A的示性函数, IA(x) = 1,当 x ∈ A; IA(x) = 0,当 x /∈ A B(n, p) 二项分布, 0 < p < 1 P (λ) 参数为 λ的泊松分布 U(a, b) 区间 (a, b) (−∞ < a < b <∞)上的均匀分布, 概率密度函数 f(x) = 1(b−a)I(a < x < b) N(µ, σ2) 均值为 µ, 方差为 σ2的正态分布 Exp(λ) 指数分布, 均值为 1/λ. 概率密度函数为 f(x) = λe−λxI(0 < x <∞) 第一章 事件的概率 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 随机抽查 10 户居民, 记录家中有计算机的户数. (2) 统计某本书中印刷错误的字数. (3) 同时掷 n 枚硬币, 观察国徽向上的个数. (4) 以原点为圆心的单位圆内随机抽取一点. 2. 设有 A, B, C 三个事件, 试用集合运算表示下列事件. (1) 只有 B 发生. (2) A, B 发生, 但 C 不发生. (3) 至少一个事件发生. (4) 至少两个事件发生. (5) 仅有两个事件发生. (6) 至多一个事件发生. (7) 至多两个事件发生. 3. 设 X 为随机变量, 其样本空间 [0, 2], 记事件 A = {1/2 < x ≤ 1}, B = {1/4 < x ≤ 3/2}, 写出下列各事件 (1) AB (2) A ∪B (3) AB (4) A B. 4. 证明: 若 A,B 为两事件, 则 (1) A+B = A+ (B −A), 右边两事件互斥. (2) A+B = (A−B) + (B −A) +AB, 右边三事件互斥. 5. 试把任意 n个事件 A1, · · · , An之和表示为 n个互斥事件之和. 6. 根据英国某地区居民调查的材料知: 父子都是黑眼睛 (AB)的人数占调查人数的比例 为 5%, 父亲是黑眼睛但儿子为浅色眼睛 (AB¯) 的比例为 7.9%, 父亲是浅色眼睛而儿 子为黑眼睛 (A¯B) 的比例为 8.9%, 父子都是浅色眼睛 (A¯B¯) 的比例为 79.2%. 试问这 一调查材料是否有误? 7. 一种彩票游戏规则如下: 每张彩票可以从 1 - 33 中不重复的任选 7个数字, 开奖时由 摇奖机在 1 - 33 中开出 7 个基本号和 1 个特别号 (均不重复). 彩票号码如果与基本 1 号全部对上 (不计次序), 为一等奖; 对上 6 个基本号和特别号, 为二等奖; 对上 6 个基 本号, 为三等奖; 对上 5 个基本号和特别号, 为四等奖. 试分别求一、二、三、四等奖 的获奖概率. 8. 考虑上题彩票游戏的一个变种: 开奖方式不变, 每张彩票只填两个不重复的号码, 如 果这两个号码出现在基本号中即为中奖. 问此时中奖的概率是多少? 如果每张彩票可 以填三个不同的号码, 中奖的概率又是多少? 9. 一间宿舍内住有 6位同学, 其中至少有 2个人生日在同一个月份的概率. 10. 现投掷三枚均匀骰子, 试求恰好有两枚出现相同点数的概率. 11. 盒子中放有 10个分别标有号码 1, 2, · · · , 10的小球, 从中随机抽取 3个球. 试对有放 回和无放回两种抽取方式分别求 (1) 三个球的号码都不大于 7的概率. (2) 球上的最大号码为 7的概率. 12. ∗ 设有 n个人随机地坐到礼堂第一排的 N 个座位上, 试求下列事件的概率: (1) 任何人都没有邻座. (2) 每人恰有一个邻座. (3) 关于中央对称的两个座位至少有一个空着. 13. 考虑一元二次方程 x2 +Bx+C = 0, 其中 B,C 分别是将一枚均匀骰子连掷两次先后 出现的点数. 求该方程有实根的概率和有重根的概率. 14. ∗ 抛掷一枚均匀硬币 2n+ 1次, 试求正面出现的次数多于反面的概率. 15. 甲投掷 n+ 1枚均匀硬币, 乙投掷 n枚均匀硬币. 试求甲的正面比乙的正面多这一事 件的概率. 16. ∗ 设两个赌徒的赌技相同, 每赌一局都可分出胜负. 现在两人各出 500元赌资, 事先约 定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了, 此时第一个赌徒还 需赢得m局才能获胜, 第二个赌徒还需赢得 n局才能获胜, 问此时应如何划分赌本才 比较合理. 17. 父亲为了鼓励儿子打网球, 宣称如果儿子能够赢得与父亲和教练的三场比赛中的连续 两场, 就可获得一笔奖金. 儿子可以选择比赛的顺序为: 父亲 – 教练 – 父亲, 或者教 练 – 父亲 – 教练. 已知教练比父亲打得好. 为了增加获得奖金的机会, 儿子应该选择 哪个顺序? 2 18. 甲乙两选手进行乒乓球单打比赛, 已知在每局中甲胜的概率为 0.6, 乙胜的概率为 0.4. 比赛可采用三局两胜制或五局三胜制, 问哪一种比赛 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 对甲更有利? 19. 一栋 20层楼中的一架电梯在底层 (第一层) 上来 8位乘客. 电梯在每一层都停, 设每 位乘客在每层离开是等可能的, 求没有两位乘客在同一层离开的概率. 20. 某路公共汽车共有 11个停车站, 由始发站开车时车上共有 8名乘客. 假设每人在各站 (始发站除外) 下车的概率相同. 试求下列各事件的概率: (1) 8人在不同的车站下车. (2) 8人在同一车站下车. (3) 8人中恰有 3 人在终点站下车. 21. 在一种双骰子博弈中, 玩家投两枚骰子, 如果其和是 7或 11, 则玩家赢; 如果其和是 2, 3或者 12, 玩家输; 若是其他结果时就继续玩, 直到玩家输或者赢为止. 计算玩家赢的 概率. 22. 掷三枚硬币, 已知其中有一枚出现了正面, 求至少出现一枚反面的概率. 23. 掷三颗骰子, 已知所得三个数都不相同, 求含有 1点的概率. 24. 投掷两枚骰子, 问至少有一个是 6的概率是多少? 若这两个面不一样, 求至少有一个 是 6的概率. 25. 在某个社区, 60%的家庭拥有汽车, 30%的家庭拥有房产, 而 20%的家庭既有汽车又 有房产, 随机选取一个家庭, 求此家庭或有汽车或有房产但不是两者都有的概率. 26. 甲和乙两人同时独立地射击同一目标. 假设甲射中目标的概率是 0.7, 乙射中目标的概 率是 0.4. 已知恰有一个子弹射中目标, 求它是甲射中的概率. 27. 对于三个事件 A,B,C, 若 P (AB|C) = P (A|C)P (B|C) 成立, 则称 A 与 B 关于 C 条件独立. 若已知 A 与 B 关于 C 与 C¯ 条件独立, 且 P (C) = 0.5, P (A|C) = P (B|C) = 0.9, P (A|C¯) = 0.2, P (B|C¯) = 0.1, 试求 P (A), P (B), P (AB)并证明 A与 B不独立. 28. 证明 P (A|B) = P (A|B)成立的充分必要条件是 P (AB) = P (A)P (B). 试对此结论给 出直观的解释. 29. 如果 B的发生使得 A更可能发生, 那么 A的发生是否使得 B更可能发生? 3 30. 求下列各系统能正常工作的概率, 其中框图中的字母代表元件, 字母相同但下标不同 的都是同一种元件, 只是装配在不同的位置上, A,B,C,D类元件能正常工作的概率 分别为 pA, pB, pC , pD. (1) A B C (2) B C A (3) B1 C1 A1 C2 A2 B2 (4) D1 B C A D2 (5)∗ C A2 A1 B2 B1 31. 有 4个一年级男生, 6个一年级女生, 6个二年级男生共上一门课, 为了使在随机选取 一个学生时性别与班级独立, 在这个班还需要出现多少个二年级女生? 32. 设敌机俯冲时被步枪击落的概率是 0.008, 求当 25只步枪同时开火时, 击落敌机的概 率. 4 33. 对同一目标进行三次独立射击, 第一、二、三次射击的命中率分别为 0.5, 0.6和 0.8, 试求: (1) 在这三次射击中, 恰好有一次射中的概率. (2) 在这三次射击中, 至少射中一次的概率. 34. 设事件 A1, · · · , An相互独立, 记 P (Ai) = pi > 0, i = 1, 2, · · ·n, 假设 ∑n i=1 pi = 1. 求 (1) 这些事件至少有一件不发生的概率. (2) 这些事件均不发生的概率. (3) 这些事件恰好发生一件的概率. 35. 假设某厂家生产的每台仪器以概率 0.7可以直接出厂, 以概率 0.3需进一步调试. 经调 试后的仪器以概率 0.8可以出厂, 以概率 0.2被定为不合格品不能出厂. 假设该厂生 产了 n (n > 2)台仪器 (各台生产过程相互独立). 试求下列事件的概率: (1) 全部能出厂. (2) 恰有两件不能出厂. (3) 至少有两件不能出厂. 36. 要验收一批乐器, 共 100件, 从中随机地抽取 3件进行测试 (设 3件乐器的测试相互独 立), 如果 3件中任意一件音色不纯, 就拒绝接收这批乐器. 设一件音色不纯的乐器经 测试查出的概率为 0.95, 而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 0.01. 如 果这 100件乐器中有 4件是音色不纯的. 问这批乐器被接收的概率是多少? 37. 有甲、乙两只口袋, 甲袋中有 5只白球 2只黑球, 乙袋中有 4只白球 5只黑球. 先从甲 袋中任取两球放入乙袋, 然后再从乙袋中任取一球, 求此球是白球的概率. 38. 某工厂的第一、二、三号车间生产同一种产品, 产量各占总产量的 1/2, 1/3, 1/6, 次品 率分别为 1%, 1%和 2%. 现从该厂产品中随机抽取一件产品 (1) 求该产品是次品的概率. (2) 若发现该产品是次品, 求它是一号车间生产的概率. 39. 考卷中的某选择题有四个 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 , 其中只有一个是正确的. 某考生可能知道哪个是正确 的, 也可能是乱猜一个. 假设此考生知道正确答案的概率为 p , 而且在不知答案的情 况时是随机地选择一个答案. 如果已知他答对了这道题, 问他确实知道正确答案的概 率是多少? 40. 设有来自三个地区的考生报名表共 50份, 三个地区分别有 10 , 15和 25份, 其中女生 的报名表分别为 3份, 7份和 5份, 现随机地选一个地区, 从该地区的报名表中先后抽 出 2份. 5 (1) 求先抽到的 1份是女生报名表的概率. (2) 已知后抽到的 1份是男生报名表, 求先抽到的 1份是女生报名表的概率. 41. 装有 m (m > 3)个白球和 n个黑球的罐子中失去一球, 但不知是什么颜色的球. 为 猜测它是什么颜色, 随机地从罐中摸出两个球, 结果都得到的是白球, 试求失去的球 是白球的概率. 42. 假设患乙肝的人通过检查能被诊断出来的概率为 0.98, 而正常人经检查被误诊为有乙 肝的概率为 0.05, 设某城市乙肝患病率为 0.05. 现从该城市居民中随机抽出一人进行 检查, 如果其被诊断为乙肝患者, 求该人确实患有乙肝的概率. 43. 盒中有三枚硬币, 一枚是双正面的硬币, 另外两枚是正反面硬币 (其中一枚是均匀的 硬币, 一枚是正面出现概率为 75% 的不均匀硬币). 当从这三枚硬币中随机选取一枚 抛掷时, 它出现正面. 问它是双正面硬币的概率是多少? 44. 假定某种病菌在群体中的带菌率为 10%. 在检测时, 带菌者和不带菌者被检测出阳性 的概率分别为 0.95和 0.01 . (a) 现有某人被测出呈阳性反应, 该人确为带菌者的概率是多少? (b)∗ 该人又独立地做了一次检测, 检测结果依然是阳性, 问在两次检测均呈阳性的情 况下, 该人确为带菌者的概率是多少? 计算机模拟题 45. 从区间 [0, 1] 中任取两个数, 由理论计算知此两数的积小于 14 的概率为 14 + 12 ln 2, 试利用此结论与概率的统计定义, 通过计算机模拟对 ln 2进行估计, 比较模拟次数 n = 1000, 5000, 10000, 100000时与实际值的误差, 从这个比较中你是否可以在误差与 模拟次数之间建立一个关系? 46. (Buffon 试验) 平面上划有间隔为 d 的等距离平行线, 向平面上任意投一个长度为 l (l < d) 的针, 由理论计算知针与平行线相交的概率为 2lpid , 试利用此结论与概率的统 计定义, 通过计算机模拟对 pi进行估计. 6 第二章 随机变量及其分布 1. 一个罐子装有m个白球和 n个黑球, 无放回地抽取 r个球 (r ≤ m + n), 记抽到的白 球的个数为 X , 试求 X 的概率分布. 2. 一台设备由三大部件构成, 假设各部件的状态相互独立, 在设备运转过程中各部件需 要调整的概率分别为 0.10, 0.20, 0.30. 令 X 表示同时需要调整的部件数. 试求 X 的 分布律和至少有一个部件需要调整的概率. 3. 袋子中有 a个白球, b个黑球. 现不放回地每次从袋子中取出一球, 直到取出黑球为 止, 设此时已经取出了 ξ个白球, 求 ξ的概率分布. 4. 将一颗骰子连掷两次, 以 ξ表示掷出的最小数, 求 ξ的概率分布. 5. 一射手的命中率为 p, 现其不断地向一目标射击, 假设各次射击相互独立. (1) 以 ξ表示第一次命中目标所需的次数, 求 ξ的概率分布. (2) 以 ξr 表示第 r次命中目标所需的次数, 求 ξr 的概率分布. (3) 设共射击了 n次, 且第 n次射击是命中的, 以 η表示这 n次射击中命中的次数, 求 η的概率分布. 6. 同时掷两枚均匀骰子直到至少出现一个 6点为止, 求所掷次数 ξ的概率分布. 7. 某旅馆服务部统计旅客住宿的天数 X 及其概率分布如下: X 1 2 3 4 P 0.34 0.25 0.25 0.16 试计算 X 的分布函数, P (X ≤ 3), P (X > 1), P (1 < X ≤ 4)和 P (X = 2). 7 8. 试确定下列 p(x)能否成为概率分布 (1) p(x) = 1 3 , x = 0, 1, 2, 3. (2) p(x) = x− 5 10 , x = 0, 5, 10, 15. (3) p(x) = 1 x(x+ 1) , x = 1, 2, · · · . (4) p(x) = ∫ x+1 x f(u)du, x = 0, 1, · · · , 其中 ∫ ∞ 0 f(u)du = 1. 9. 设 F1(x) 与 F2(x) 分别为随机变量 X1 与 X2 的分布函数. 为使 F (x) = aF1(x) + bF2(x) + c是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中可取 (A) a = 3 5 , b = −2 5 , c = 4 5 . (B) a = 1, b = 1, c = −1. (C) a = −1 2 , b = 3 2 , c = 0. (D) a = 2 3 , b = 2 3 , c = 1 3 . 10. 假定 X 服从参数为 n和 p的二项分布, 即 X ∼ B(n, p). 在下述情形证明当 k取值从 0到 n时, P (X = k)先是单调递增, 然后单调递减, 且最大值点 k满足: (1) 在 (n+ 1)p是整数的情形, k等于 (n+ 1)p− 1或者 (n+ 1)p. (2) 在 (n+ 1)p是非整数的情形, k满足 (n+ 1)p− 1 < k < (n+ 1)p. 11. 设 X ∼ B(2, p), Y ∼ B(3, p), 若 P (X ≥ 1) = 5 9 . 试求 P (Y ≥ 1). 12. 设昆虫产卵个数服从参数为 λ的泊松分布, 而每个卵孵化成幼虫的概率为 p, 试求一 个昆虫产生m个后代的概率. 13. 假定 X 服从参数 λ的泊松分布, 证明当 i增加时, P (X = i)先是单调递增, 然后单调 递减, 当 i取不超过 λ 的最大整数时得到其最大值. 14. 有一繁忙的车站, 每天有大量的汽车通过, 设在一天的某段时间内汽车事故发生率为 0.001. 若某天的该段时间内有 1000辆汽车通过, 问发生事故的次数不少于 2的概率 是多少? 15. 航空公司知道预定航班的人有 5%的人最终不来搭乘航班, 因此他们的政策是对于一 个能容纳 50个顾客的航班预售 52张票, 问每个出现的旅客都有位置的概率是多少? 16. ∗ 设 ξ 为取非负整数值的随机变量, 试证明它服从几何分布的充分必要条件是, 对任 意非负整数m和 n有 P (ξ = m+ n|ξ ≥ n) = P (ξ = m). 8 17. 试确定下列各式中的常数 c, 使这些函数成为概率密度函数: (1) f(x) = ce−|x|,−∞ < x <∞. (2) f(x) = { c|x− a|, b ≤ x ≤ d 0, 其他. (3) f(x) = { c√ 1− x2 , |x| < 1 0, 其他. (4) f(x) = { cx2e−x2/α, x > 0, α > 0 0, x ≤ 0. 18. 设随机变量 X 的密度函数为 f(x) = { c(4x− 2x2), 0 < x < 2 0, 其他. (1) 求常数 c. (2) 求 P (1/2 < X < 3/2). 19. 设随机变量 X 只在 (0, 1)中取值, 其累积分布函数 F (x)满足: 对任意 0 < a < b < 1, F (b)− F (a)仅与 b− a有关. 试证明 X 服从 (0, 1)上的均匀分布. 20. 设随机变量 ξ服从参数为 1的指数分布, 求方程 4x2 + 4ξx+ ξ + 2 = 0 有实根的概率. 21. (1) 设随机变量 ξ ∼ N(0, 1), 试求 P (ξ < 2), P (|ξ| ≤ 2). (2) 设随机变量 ξ ∼ N(µ, σ2), 试求 P (|ξ − µ| ≤ σ), P (|ξ − µ| ≤ 2σ). (3) 设随机变量 ξ ∼ N(3, 4), 试求 P (2 < ξ ≤ 5), P (ξ > 3), 并确定常数 c 使得 P (|ξ − c| < c) = 0.01. 22. 设随机变量 ξ ∼ N(60, 9),试求分点 x1, x2, x3,使得 ξ落在 (−∞, x1), (x1, x2), (x2, x3), (x3,∞) 内的概率之比为 3 : 2 : 2 : 3. 9 23. ∗ 设 ξ 为取正值的连续型随机变量, 试证明它服从指数分布的充分必要条件是: 对任 意 t > 0和 x > 0, 有 P (ξ ≤ t+ x|ξ > t) = P (ξ ≤ x). 24. ∗ 若分布函数 F (x)的密度函数 f(x)满足微分方程: df dx = (x− a)f(x) b0 + b1x+ b2x2 则称 F (x)为 Pearson型分布. 证明正态分布及 Γ分布均为 Pearson型分布. 25. 设随机变量 ξ的概率分布律为 ξ −2 −1 0 1 3 P 1 5 1 6 1 5 1 15 11 30 试求随机变量 η = ξ2的概率分布律. 26. 设圆的直径服从区间 (0, 1)上的均匀分布, 求圆的面积的密度函数. 27. 设随机变量 X 服从 (0, 1)上的均匀分布. (1) 求 Y = eX 的概率密度. (2) 求 Y = −2 lnX 的概率密度函数. 28. 设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) = { 2x pi2 , 0 < x < pi 0, 其他. 求 Y = sinX 的概率密度函数. 29. 设随机变量 ξ 服从参数为 2的指数分布, 试求 η = 1− e−2ξ 的概率密度函数. 30. 设随机变量 ξ ∼ N(µ, σ2), 试求 η = eξ 的概率密度函数. 31. 在电炉上安装了 4 个温控器, 其显示温度的误差是随机变量. 在使用过程中, 只要有 两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0, 电炉就断电. 以 E 表示事件 “电炉断电”, 而 T(1) ≤ T(2) ≤ T(3) ≤ T(4)为 4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值, 则事件 E 等于 (选择其一) (A) {T(1) ≥ t0}. (B) {T(2) ≥ t0}. (C) {T(3) ≥ t0}. (D) {T(4) ≥ t0}. 10 32. 设 P (X ≥ 0, Y ≥ 0) = 3 8 , P (X ≥ 0) = P (Y ≥ 0) = 1 2 . 求 P (max(X,Y ) ≥ 0). 33. 在一个袋中装有 n个球, 其中有 n1 个红球和 n2 个白球, 且 n1 + n2 ≤ n, 现从中任意 取出 r个球 (r ≤ min{n1, n2}),设取出的红球数为X,取出的白球数为 Y,试求 (X,Y ) 的联合分布及其边际分布. 34. 设随机变量X 与 Y 相互独立, 下表列出了二维随机变量 (X,Y )的联合分布及关于X 和关于 Y 的边缘分布中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处. ``` ``` ``` ``` X Y x1 x2 P{Y = yj} = p·j y1 y2 y3 P{X = xi} = pi· 1 8 1 8 1 6 1 35. 设随机向量 (X,Y, Z)的概率密度函数为 f(x, y, z) = { 1 8pi (1− sinx sin y sin z), 0 ≤ x, y, z ≤ 2pi 0, 其他. 证明 X,Y, Z 两两独立但不相互独立. 36. 设随机变量 (X,Y )的联合概率密度函数为 f(x, y) = { ke−(3x+4y), x > 0, y > 0 0, 其他. (1) 求常数 k. (2) 求 (X,Y )的联合分布函数 F (x, y). (3) 求 P (0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2). 37. 设随机变量 X,Y 的联合概率密度函数为: f(x, y) = { 4xy, 0 < x < 1, 0 < y < 1 0, 其他. 11 试求: (1) X 与 Y 的边缘概率密度函数. (2) X = 0.4时 Y 的条件概率密度函数. (3) P (ξ < η), P (ξ = η), 及 P (0 < ξ < 0.5, 0.25 < η < 1). 38. 设二维连续随机变量 (X,Y )的联合概率密度函数为 p(x, y) = { 21 4 x 2y, x2 ≤ y ≤ 1 0, 其他. 求条件概率 P (Y ≥ 0.75|X = 0.5). 39. 设随机变量 X 服从 (1, 2)上的均匀分布, 在 X = x的条件下, 随机变量 Y 的条件分 布是参数为 x的指数分布, 证明: XY 服从参数为 1的指数分布. 40. 从一副扑克牌 (共 52 张)中任取 13张牌, 以 ξ记其中的黑桃张数, η 记其中的红桃张 数. 试求 (1) (ξ, η)的联合概率分布函数. (2) 已知取出的牌中只有 1张黑桃, 求此时 η的条件概率分布. 41. 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 λ (λ > 0)的泊松分布, 每位乘客在中途下车 的概率为 p (0 < p < 1), 且中途下车与否相互独立. 以 Y 表示中途下车的人数, 求 (1) 在发车时有 n个乘客的条件下, 中途有m个人下车的概率. (2) 二维随机变量 (X,Y )的概率分布. 42. 设随机变量 Y 服从参数为 λ = 1的指数分布, 定义随机变量 Xk, k = 1, 2 如下 Xk = { 0, Y ≤ k 1, Y > k 求 X1与 X2的联合概率分布函数. 43. 设 ξ, η各有概率分布律 ξ −1 0 1 P 0.25 0.5 0.25 η 0 1 P 0.5 0.5 已知 P (ξη = 0) = 1. 试求: (1) (ξ, η)的联合概率函数. (2) (ξ + η, ξ − η)的联合概率函数. (3) Z = max(ξ, η) 的概率分布函数. 12 44. 设二元离散型随机变量 (X,Y )的联合分布为: PP PP PP PX Y 1 2 3 1 0.15 0.05 0.20 2 0.11 0.07 0.22 3 0.07 0.04 0.09 (1) 求 ξ = max(X,Y )的概率分布. (2) 求 η = min(X,Y )的概率分布. (3) 求 (ξ, η)的联合概率分布. 45. 设随机变量 ξ和 η的联合分布是正方形 G = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 3}上的均匀 分布, 试求随机变量 ζ = |ξ − η|的概率密度 f(z). 46. 设 X 与 Y 的联合密度函数为 f(x, y) = { e−(x+y), x > 0, y > 0 0, 其他. 试求 U = (X + Y )/2和 V = Y −X 概率密度函数. 47. 设 (X,Y )的概率密度函数为 f(x, y) = { 1 2(x+ y)e −(x+y), x > 0, y > 0 0, 其他. (1) X 与 Y 是否独立? (2) 求 Z = X + Y 的概率密度函数. 48. ∗ 设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) = 3(x− 1)2I(1,2)(x), 其中 I(1,2)(x) = { 1, 1 < x < 2 0, 其他. 随机变量 Y 的概率函数是 P (Y = −1) = 1/6, P (Y = 0) = 1/3, P (Y = 1) = 1/2, 13 并且 X 与 Y 独立. 设 Z = X + Y , 问 Z 是否为连续随机变量? 若是, 请给出概率密 度函数; 若否, 请说明理由. 49. 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 试在以下情况下求 Z = X + Y 的密度函数: (1) X ∼ U(0, 1), Y ∼ U(0, 1). (2) X ∼ U(0, 1), Y ∼ Exp(1). 50. 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 都服从 (θ − 1/2, θ + 1/2)上的均匀分布, 试证 X − Y 的分布与 θ无关. 51. ∗ 设随机变量 X1, · · · , Xn 相互独立, 且 Xi ∼ Exp(λi), 记 X(1) = min(X1, · · · , Xn). 试证明 (1) X(1) ∼ Exp(λ1 + · · ·+ λn). (2) P (Xi = X(1)) = λi/(λ1 + · · ·+ λn). 52. 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 且均服从参数为 1的指数分布, (1) 求 U = X + Y 与 V = X/(X + Y )的联合概率密度函数. (2) 以上的 U 和 V 独立吗? 53. 假设随机变量 X 和 Y 的联合概率密度函数为 f(x, y) = { c(2x+ y), 2 < x < 6, 0 < y < 5 0, 其他. 求 (1) 常数 c. (2) X 和 Y 的边缘密度函数. (3) P (3 < X < 4, Y > 2). (4) P (X + Y > 4). (5) X 和 Y 是否独立? 54. 设X1, X2, X3, X4是来自正态总体N(0, 22)的简单随机样本, 令 T = a(X1 − 2X2)2 + b(3X3 − 4X4)2. 试求 a, b使统计量 T 服从 χ2分布. 55. 设 X1, X2, · · · , X9为独立同分布的正态随机变量, 记 Y1 = 1 6 (X1 + · · ·+X6), Y2 = 13(X7 +X8 +X9), S 2 = 1 2 9∑ i=7 (Xi − Y2)2. 14 试求 Z = √ 2(Y1 − Y2) S 的分布. 56. 设 X1, X2, · · · , X15是独立同分布的随机变量, 服从正态分布 N(0, 22). 试求 Y = X21 + · · ·+X210 2(X211 + · · ·+X215) 的概率分布. 15 第三章 随机变量的数字特征 1. 下面列出了三个随机变量 ξ1, ξ2, ξ3的概率分布 ξ1 0 10 20 30 P 1/4 1/4 1/4 1/4 ξ2 0 10 20 30 P 1/8 1/8 3/8 3/8 ξ3 0 30 P 1/2 1/2 试分别求 ξ1, ξ2, ξ3的数学期望. 2. 设离散型随机变量 X 的概率函数为 P ( X = (−1)k 2 k k ) = 1 2k , k = 1, 2, · · · , 问 X 是否有数学期望? 3. 用天平称某种物品的重量 (砝码仅容许放在一个秤盘中) , 物品的重量为 1 克、2 克、· · ·、10 克的概率是等可能的. 现有三组砝码 (单位: 克) : (A) 1, 2, 2, 5, 10. (B) 1, 2, 3, 4, 10. (C) 1, 1, 2, 5, 10. 称时只可以使用一组砝码. 试计算使用哪一组砝码 时所需的平均砝码数最少. 4. ∗ 设 ξ为只取非负整数值的随机变量, 证明: Eξ = ∞∑ n=1 P (ξ ≥ n) = ∞∑ n=0 P (ξ > n). 5. 分别求服从下列概率密度函数之随机变量的数学期望: (1) f(x) = 1 2a exp { −|x− b| a } , −∞ < x <∞,其中参数 a > 0,−∞ < b <∞. (2) f(x) =  x, 0 < x ≤ 1; 2− x, 1 < x < 2; 0, 其他. 16 (3) f(x) = { 2 pi cos2 x, |x| < pi 2 ; 0, |x| ≥ pi 2 . 6. 有 N 个人, 每个人都将自己的帽子放入同一个箱子中, 经充分混合后, 每人再随机从 中选取一顶. 求选中自己帽子的人数的期望. 7. 一共有 300个白球和 100个黑球, 现在将这 400个球随机分到 200个盒子中, 每个盒 子放两个球. 记 X 为恰有一个黑球与白球的盒子数目, 求 EX. 8. 设 ξ服从参数为 λ的指数分布, 试计算其中位数m以及 E|ξ −m|. 9. ∗ 设 ξ有概率密度函数 f(x), 令 h(a) = E|ξ− a|. 证明当 a等于 ξ的中位数m时, h(a) 达到最小 (注: 这是中位数的一个重要性质). 10. 某路公共汽车在相距 100公里的甲乙两城之间行驶. 如果公共汽车出故障地点到甲城 的距离服从 (0, 100)上的均匀分布, 现在甲城, 乙城和甲乙两城间路线的中点各有一 个修车站. 有人建议将这三个修车站分别改设在距离甲城 25公里, 50公里及 75公里 处将更有效, 你赞成这一建议吗? 为什么? 11. 已知分子的运动速度 V 服从马克斯威尔分布, 其概率密度为 f(x) =  4x2 a3 √ pi exp (−x 2 a2 ) , x > 0 0, x ≤ 0, 其中 a > 0是常数, 试求分子的平均速度和平均动能 (分子的质量为m). 12. 假设国际市场每年对我国某种出口产品的需求量 X (单位: 吨)服从区间 (2000, 4000) 上的均匀分布. 设每售出商品 1吨, 可为国家挣得外汇 3万元, 但是若销售不出而囤积 在仓库中, 则每吨需花保养费 1万元. 问要组织多少货源, 才能使国家受益最大? 13. 某工厂生产的钢珠直径 D (单位: 厘米)服从 [9.9, 10.1]上的均匀分布, 试求钢珠的表 面积 S 和钢珠重量W 的数学期望 (设钢的比重为 7.8 g/cm3). 14. ∗ 设随机变量 ξ具有概率密度函数: f(x) = 1 pi(1 + x2) , 求 E[min(|ξ|, 1)]. 15. 试求第 1 题中随机变量 ξ1, ξ2, ξ3的方差. 17 16. 试求第 5题中各随机变量的方差. 17. 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p (0 < p < 1), 各产品合格与否相互独立, 当出现一个不合格产品时即停机检修. 设第一次停机时已生产了 X 个产品. 求 X 的 数学期望和方差. 18. 一商店经销某种商品, 每周进货的数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是相互独 立的随机变量, 且都服从区间 [10, 20]上的均匀分布. 商店每售出一件商品可得利润 1000元. 若需求量超过进货量, 商店可从其他商店调剂供应, 这时每件商品获利润为 500元. 试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值. 19. 设二元离散型随机变量 (X,Y )的联合分布为: PP PP PP PX Y 0 1 2 3 4 5 0 0.01 0.05 0.12 0.02 0 0.01 1 0.02 0 0.01 0.05 0.02 0.02 2 0 0.05 0.1 0 0.3 0.05 3 0.01 0 0.02 0.01 0.03 0.1 (1) 求 X, Y 的数学期望与方差. (2) 求 X + Y, X − Y, XY 的数学期望与方差. (3) 求 X 与 Y 之间的协方差与相关系数. (4) 求 E(X2|Y = 1). 20. 设随机变量 ξ 与 η 独立, 对任何给定的非负整数 k ≤ m, 在下列各情形下分别求 P (ξ = k | ξ + η = m)及 E(ξ | ξ + η = m). (1) ξ与 η服从泊松分布, 参数分别为 λ与 µ. (2) ξ与 η都服从二项分布 B(n, p). (3) ξ与 η都服从参数为 p的几何分布. 21. ∗ 设随机变量 ξ与 η独立, 且服从相同的分布. 试在以下各情形求 E(ξ | ξ + η = z). (1) ξ为离散型随机变量. (2) ξ为连续型随机变量. 18 22. 设二元离散型随机变量 (ξ, η) 的联 合分布如右表, 试验证 ξ 与 η 不相 关, 且 ξ与 η也不独立. PP PP PP Pξ η −1 0 1 −1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 23. 在长为 a的线段上任取两点 A和 B, 试求线段 AB长度的数学期望. 24. 设二元随机变量 (X,Y )的概率密度函数为 f(x, y) = { 1, |y| ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1 0, 其他. 求: (1) fX(x), fY (y); (2) EX, EY, V ar(X), V ar(Y ); (3) Cov(X, Y). 25. 设两个随机变量 X、Y 相互独立, 且都服从均值为 0, 方差为 0.5的正态分布, 求随机 变量 |X − Y |的方差. 26. 掷两颗均匀骰子, 以 ξ 表示第一颗骰子掷出的点数, η 表示两颗骰子所掷出的点数中 的最大值. (1) 求 ξ, η的数学期望与方差. (2) 求 Cov(ξ, η). 27. 设随机变量 ξ, η相互独立, 具有共同分布 N(µ, σ2). 设 α, β 为两个常数. (1) 求 Cov(αξ + βη, αξ − βη). (2) 当 α, β 取何值时, αξ + βη与 αξ − βη相互独立. 28. 投资组合是将总资本按一定比例分配于各种投资, 以分散和降低风险, 所谓风险通常 以方差来度量. 现假设某两种投资的回报率 X,Y 都是随机变量, 投资的风险 (即方 差)为 V ar(X) = V ar(Y ) = σ2. 假设 ρXY = −0.5, 即两种投资呈负相关. 记投资组 合中两种投资的比例分别为 pi 和 1− pi, 则投资组合的回报率为 Z = piX + (1− pi)Y . (1) 试证明该投资组合 Z 的风险小于将所有资本投资于其中一个的风险. (2) 求使得投资组合风险最小的分配比例 pi. 29. 设 (X,Y )服从二维正态分布, 且有 V ar(X) = σ21, V ar(Y ) = σ22. 证明当 a2 = σ21/σ22 时随机变量W = X − aY 与 V = X + aY 相互独立. 30. 设二元随机向量 (ξ, η)的概率密度为 f(x, y) = 1 2 [ϕ1(x, y) + ϕ2(x, y)] 19 其中 ϕ1(x, y)、ϕ2(x, y) 分别是二元正态 N(µ1, µ2, σ21, σ22, ρ) 与 N(µ1, µ2, σ21, σ22,−ρ) 的概率密度函数, 其中 0 < ρ < 1 (1) 试分别计算 ξ, η的边缘分布. (2) 试计算 ξ, η之间的相关系数. (3) 试确定 ξ, η之间是否独立? 31. 设随机变量 (ξ, η)服从区域 A = {(x, y) : |x|+ |y| ≤ 1}中的均匀分布. (1) 求 Cov(ξ, η). (2) ξ与 η 是否独立? 32. 设随机变量 (X,Y )的概率密度函数为 f(x, y) = { 1 4 (1 + xy), |x| < 1, |y| < 1 0, 其他, 求证 X 与 Y 不独立但 X2与 Y 2相互独立. 33. 假设二维随机变量 (X,Y )服从矩形 G = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}上的均匀分 布. 记 U = { 0, 若 X ≤ Y 1, 若 X > Y V = { 0, 若 X ≤ 2Y 1, 若 X > 2Y. (1) 求 U 和 V 的联合分布. (2) 求 U 和 V 的相关系数. 34. 设 A,B 是两个随机事件, 且 P (A) = 1/4, P (B|A) = 1/3, P (A|B) = 1/2, 令 X = { 1, 若A发生 0, 若A不发生, Y = { 1, 若B发生 0, 若B不发生, 试求 (1) 二维随机变量 (X,Y )的概率分布, (2) X 与 Y 的相关系数. 35. 设随机变量 X1, X2, · · · , X2n 相互独立 (n ≥ 2), 皆服从正态分布 N(µ, σ2), 其中 σ > 0, 定义 Y = n∑ i=1 (Xi +Xn+i − 2X)2 其中 X = 1 2n 2n∑ i=1 Xi.试求 Y 的数学期望 E(Y ). 20 36. ∗ 设 ξ1, ξ2, · · · , ξn为正的、独立同分布的随机变量, 证明当 1 ≤ k ≤ n时 E ( ξ1 + · · ·+ ξk ξ1 + · · ·+ ξn ) = k n . 37. 设随机变量 X、Y 的期望分别为 −2和 2, 方差分别为 1和 4, 相关系数为 −0.5, 试根 据切比雪夫不等式估计 P{|X + Y | ≥ 6}. 38. 某保险公司多年的统计资料表明, 在索赔户中被盗索赔户占 20%, 以 X 表示随机抽查 100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. 求被盗索赔户不少于 14户且不多于 30户的概率的近似值. 39. 某电子计算机主机有 100个终端, 每个终端有 15%的可能处于闲置状态, 若各终端被 使用与否是相互独立的, 试求至少有 15个终端空闲的概率. 40. 某餐厅每天接待 400名顾客, 设每位顾客的消费额 (元)服从 (300, 1500)上的均匀分 布, 且顾客的消费额是相互独立的. 试求 (1) 该餐厅每天的平均营业额. (2) 该餐厅每天的营业额在平均营业额 ±400元内的概率. 41. (1) 一个复杂的系统由 100个相互独立起作用的部件所组成. 在整个运行期间每个部 件损坏的概率为 0.10. 为了使整个系统起作用, 至少必须有 85个部件正常工作, 求整 个系统起作用的概率. (2) 一个复杂的系统由 n个相互独立起作用的部件所组成, 且必须至少有 80%的部件 工作才能使整个系统正常工作. 每个部件的可靠性为 0.90. 问 n至少为多大才能使系 统的可靠性不低于 0.95? 42. 一生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重量是随机的. 假定每箱平均重 50千克, 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差为 5千克. 若用最大载重量为 5吨的汽车承运, 试利用中心极限定理计算每辆车最 多可以装多少箱, 才能保障不超载的概率大于 0.977? 43. 设各零件的重量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布, 其数学期望为 0.5kg, 标准差为 0.1kg, 问 5000只零件的总重量超过 2510kg的概率是多少? 44. 某种计算机在进行加法时, 要对每个加数进行取整. 设每次取整的误差相互独立且服 从 (−0.5, 0.5)上的均匀分布. (1) 若现要进行 1500次加法运算, 求误差总和的绝对值超过 15的概率. (2) 若要保证误差总和的绝对值不超过 10的概率不小于 0.90, 至多只能进行多少次 加法运算? 21 45. 进行 1000次独立重复试验, 每次试验中事件 A发生的概率为 0.25. 试问能以 95%的 把握保证 1000次试验中事件 A发生的频率与概率相差不超过多少? 此时 A 发生的 次数在什么范围内? 46. 设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布, 平均需要 10分钟, 且各产品的组装 时间是相互独立的. (1) 试求组装 100件产品需要 15小时至 20小时的概率. (2) 保证有 95%的可能性, 问 16小时内最多可以组装多少件产品. 47. 一家有 500间客房的旅馆的每间客房装有一台 2kw (千瓦)的空调. 若开房率为 80%, 需要多少 kw的电力才能有 99%的可能性保证有足够的电力使用空调机. 48. 为调查某城市人口中的吸烟率 p, 独立调查了 n个人, 其中 n0 个人抽烟. 现用频率 n0/n来估计 p. 问至少需要调查多少人, 才能以 95%的把握保证误差不超过 0.01? (提示: p(1− p) ≤ 1/4) 22 第四章 参数估计 1. 随机地取 8只活塞环, 测得它们的直径为 (以 mm 计) 74.001, 74.005, 74.003, 74.000, 73.908, 74.006, 74.002. 试求总体均值 µ和方差 σ2的矩估计值, 并求样本方差 S2. 2. 设总体 X 的概率分布如右表, 其中 p > 0为未知 参数. 现从此总体中抽出一样本量为 n的简单随 机样本, 其中 1出现了 n1 次, 2出现了 n2 次, 3 出现了 n3次. 试求 p1, p2的矩估计. X 1 2 3 P p1 p2 1− p1 − p2 3. 设 X1, · · · , Xn是总体 X 的一个简单随机样本, 试求在 X 具有下列概率分布时参数 θ 的矩估计. (1) p(x; θ) = 1 θ , x = 0, 1, 2, · · · , θ − 1, 其中 θ (正整数) 是未知参数. (2) p(x; θ, n) = ( n x ) θx(1− θ)n−x, x = 0, 1, · · · , n. (3) p(x; θ) = (x− 1)θ2(1− θ)x−2, x = 2, 3, · · · ; 0 < θ < 1. (4) p(x; θ) = − 1 ln(1− θ) θx x , x = 1, 2 · · · . (5) p(x; θ) = θx x! e−θ, x = 0, 1, 2, · · · . 4. 设 X1, · · · , Xn是总体 X 的一个简单随机样本, 试求在 X 具有下列概率密度时参数 θ 的矩估计. (1) f(x; θ) = { 2 θ2 (θ − x), 0 < x < θ 0 其他. (2) f(x; θ) = { (θ + 1)xθ, 0 < x < 1, θ > 0 0 其他. 23 (3) f(x; θ) = { √ θx √ θ−1 0 < x < 1, θ > 0 0 其他. (4) f(x; θ) = { θcθx−(θ+1) x > c (c > 0已知), θ > 1 0 其他. 5. 总体 X 的概率密度函数为 f(x) = { 4x2 θ3 √ pi e− x2 θ2 , x ≥ 0 0 其他 . 设 X1, X2, · · · , Xn是取自总体 X 的简单随机样本. (1) 求 θ的矩估计量 θˆ. (2) 求 θˆ的方差. 6. (1) 设X1, X2, · · · , Xn是来自总体X 的一个样本, 且X 服从参数为 λ的泊松分布. 求 P (X = 0)的极大似然估计. (2) 下表统计了某铁路局 122个扳道员五年内由于操作失误引起的严重事故情况, 其 中 r表示一扳道员某五年内引起严重事故的次数, s表示扳道员人数. 假设扳道员由 于操作失误在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布. 求一个扳道员在五年内 未引起严重事故的概率 p的极大似然估计. r 0 1 2 3 4 5 ≥ 6 s 44 42 21 9 4 2 0 7. 试求第 3题各情形下参数的极大似然估计. 8. 试求第 4题各情形下参数的极大似然估计. 9. 人体中某个基因的形态有三种, 分别是 AA,Aa, aa, 每个人的基因型只可能为这三种 形态之一. 设总体中该基因的基因型概率分布律如下表, 其中 θ > 0为未知参数. 现从 总体中随机抽取 n个人, 其中 n1 个人具有基因型 AA, n2 个人为 Aa, n3 个人为 aa. 试求 θ的极大似然估计. 基因型 AA Aa aa 概率 θ2 2θ(1− θ) (1− θ)2 24 10. 设总体的概率密度函数如下, 试求未知参数的极大似然估计: (1) f(x; θ) = 1 2θ e−|x|/θ, −∞ < x <∞, θ > 0. (2) f(x; θ) =  1, θ − 1/2 < x < θ + 1/20, 其它. (3) f(x; θ1, θ2) =  1 θ2 − θ1 , θ1 < x < θ2 0, 其它. 11. 设X1, · · · , Xn是抽自正态总体N(µ, σ2)的简单随机样本,其中−∞ < µ < +∞, σ2 > 0 为未知参数. 求 θ = P (X ≥ 2)的极大似然估计. 12. 设总体的数学期望为 µ, X1, · · · , Xn 是来自总体 X 的样本. 假设 a1, · · · , an 是任意 常数, 且∑ni=1 ai 6= 0. 验证∑ni=1 aiXi/∑ni=1 ai是 µ的无偏估计量. 13. 设 X1, · · · , Xn是来自总体 X 的一个样本