范里安-微观经济学现代观点-第8版-第八版-ch4-效用（含全部习题解答）-东南大学曹乾

4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 1 Intermediate Microeconomics: A Modern Approach (8th Edition) Hal R. Varian 范里安 中级微观经济学：现代方法（第第第第 8 版版版版） 完美中文翻译版 第第第第 4 章章章章：：：：效用效用效用效用（（（（含全部习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 详细解答含全部习题详细解答含全部习题详细解答含全部习题详细解答）））） 曹乾 译 （东南大学 caoqianseu@163.com） 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 2 4 效用 在维多利亚时代，哲学家和经济学家轻率地把“效用”作为衡量一个人总体福利 （well-being）的指标。他们用效用数值衡量一个人的幸福程度。在这种思想下，自然可认 为消费者做出选择的目的是使他们的效用最大（使他们尽可能地幸福）。 问题在于这些古典经济学家从未真正地阐述过怎样衡量效用。我们应该如何量化不同消 费选择下的效用“数额”？某人的效用与另外一人的效用相同吗？额外一颗糖块的效用是额 外一根胡萝卜效用的两倍，这句话到底是什么意思？效用是人们希望最大化的“东西”，这 里的“东西”是指什么？ 由于这些概念难以准确界定，现代经济学家已经抛弃了上述老套的观点，即他们不再 把效用看成幸福的衡量指标。取而代之的是，他们用消费者偏好．．．．．（consumer preferences） 重新改写了消费者行为理论，效用仅仅被当作为一种描述偏好的方法一种描述偏好的方法一种描述偏好的方法一种描述偏好的方法．．．．．．．．．。 经济学家逐渐认识到，对于选择行为而言，效用最要紧的事情是一个商品束的效用是 否比另外一个商品束的高，至于高多少并不重要。 起初，偏好是用效用定义的：说一个商品束 ),( 21 xx 比另外一个商品束 ),( 21 yy 更受偏好， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 x商品束比 y商品束效用更高。但现在我们的观点正好反过来。消费者的偏好偏好偏好偏好．．是研究选 择行为的最基本工具，效用只是描述偏好的一种方法。 效用 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ．．．．（utility function）是对每个可能的消费束都赋予数值的一种方法，这种方法 要做到对于更受偏好的消费束，赋值更大。也就是说，消费束 ),( 21 xx 比 ),( 21 yy 更受偏好当 且仅当前者的效用值要比后者大：用符号表示， ),(),( 2121 yyxx f 当且仅当 ),(),( 2121 yyuxxu > . 效用赋值的唯一重要性能是它是如何对商品束排序排序排序排序．．的。效用函数的重要性就在于它将不 同商品束排了顺序。两个消费束效用值的差额有多大并不重要。由于强调排序，这种效用称 为序数效用．．．．（ordinal utility）。 表 4.1:赋予效用值的不同方法 例如，在表 4.1中，我们对三个商品束用三种方法赋予了效用值，在这些方法中，三个 商品束的排序是相同的。在本例中，消费者偏好 A胜过 B，偏好 B胜过 C。这三种方法（三 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 3 种效用函数）都描述了相同的偏好，都是可行的，因为它们对 A的赋值大于 B的，对 B的 赋值大于 C的。 由于重要的事情只是商品束的排列顺序，对商品束赋予效用值不可能只有一种方法。如 果我们能找到赋予效用值的一种方法，我们就能找到无数多方法。如果 ),( 21 xxu 代表对商品 束 ),( 21 xx 赋值的一种方法，那么将 ),( 21 xxu 乘以 2（或者乘以任何正数）就是另外一种赋 值方法。 将 ),( 21 xxu 乘以 2是单调变换．．．．（monotonic transformation）的一个例子。单调变换是将 一组数字转换为另外一组数字的方法，这种方法要保留转换前后数字的顺序不变。 通常用函数 )(uf 表示单调变换，它将每一个u的数值转换为其他的数值 )(uf ，而且 要保留数字的顺序，即 21 uu > 意味着 )()( 21 ufuf > 。单调变换和单调函数是一回事。 单调变换的例子有：乘以一个正数（例如 uuf 3)( = ；加上任一常数（例如， 17)( += uuf ）；变为自身的奇数次幂（例如， 3)( uuf = ）；等等（一）。 )(uf 随u变化的变化率可以这样衡量：先求 )( 2uf 与 )( 1uf 的差，然后除以 2u 与 1u 的 差，即： 12 12 )()( uu ufuf u f − − = ∆ ∆ . 对于单调变换来说，上式右端的分子与分母同号。因此，单调函数总有正的变化率。这表明， 单调函数图形的斜率总是正的，如图 4.1A所示。 图图图图 4.1:一个正单调变换一个正单调变换一个正单调变换一个正单调变换。A图为单调函数，它是递增的函数。B图的函数不是单调的，因为 它有时增有时减。 （一）此处的单调变换，严格地说，应称为“正单调变换”（positive monotonic transformation），以便和“负单 调变换”（negative monotonic transformation）区分开。负单调变换使得变换后数字的顺序与原顺序相反相反相反相反．．。单 调变换有时称为“乏味的变换”（monotonous transformations），这似乎不公平，因为它们实际上很有趣。 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 4 如果 )(uf 是任何一个效用函数（代表某种特殊的偏好）的单调变换，那么 )),(( 21 xxuf 这个效用函数代表的偏好与上述偏好是相同的。 为什么？论证过程可以用下面三句话表示： 1. ),( 21 xxu 代表某种特殊的偏好，这句话的意思是： ),(),( 2121 yyuxxu > 当且仅当 ),(),( 2121 yyxx f 。 2. 但 是 如 果 )(uf 是 单 调 变 换 ， 那 么 ： ),(),( 2121 yyuxxu > 当 且 仅 当 )),(()),(( 2121 yyufxxuf > 。 3.因此， )),(()),(( 2121 yyufxxuf > 当且仅当 ),(),( 2121 yyxx f ，因此 )(uf 代表的偏 好与原效用函数 ),( 21 xxu 代表的偏好是一样的。 我们将以上的讨论总结为下列原理：效用函数的单调变换是一个新的效用函数效用函数的单调变换是一个新的效用函数效用函数的单调变换是一个新的效用函数效用函数的单调变换是一个新的效用函数，，，，它代它代它代它代 表的偏好与原效用函数相同表的偏好与原效用函数相同表的偏好与原效用函数相同表的偏好与原效用函数相同。 在几何图形上，效用函数是标记无差异曲线的一种方法。因为位于同一条无差异曲线 的所有商品束必然有相同的效用，所以可用效用函数为无差异曲线赋值，位置更高的无差异 曲线，赋值应越大。从这个视角看，单调变换只是重新标记无差异曲线的一种方法。只要将 含有更受偏好商品束的无差异曲线标记更大的数值，那么任何一种标记方法代表的偏好都是 相同的。 4.1 基数效用 有些效用理论认为效用大小很重要，这样的理论称为基数效用．．．．（cardinal utility）理论。 基数效用理论认为，两个商品束效用的差值大小多少有些意义。 我们已知道，如何判断某人是否偏好某个商品束胜过另一个：我们只要让他在这两个商 品束之间做出选择即可。这样我们就知道如何对两个商品束赋予序数效用值：只要被选中的 商品束的赋值大于放弃的那个商品束即可。任何这样的赋值方法都是一个效用函数。于是我 们就得到了一个便于操作的判断 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ，用于判断对某人来说一个商品束的效用是否高于另一 个。 但是，我们如何判断某人喜欢一个商品束的程度是否是另一个的两倍？以你为例，你怎 么判断自己喜欢一个商品束的程度是否是另一个的两倍？ 你可能提出几种方法对上述情形进行赋值：对于更喜欢的那个商品束——我愿意支付两 倍的价格；我愿意跑两倍的距离；我愿意等待两倍的时间；我愿意以两倍的输赢机率为它下 注。 上述方法都没错，每种方法赋予的效用值都有一定程度的可操作性。但是这些方法也都 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 5 不对。尽管每种方法都能说明喜欢一个商品束的程度是另一个的两倍这层意思，但是每种方 法的说服力都不够强大。 即使我们找到了一种能对上述情形赋值的方法，而且该方法很有说服力，它对我们描述 选择行为有什么好处？为了判断是选择这个还是那个商品束，我们只要知道哪个商品束更受 偏好（具有较高的效用值）即可。知道这个商品束的效用值比那个商品束大了多少，对于我 们的分析选择行为毫无用处。既然我们分析选择行为时不需要基数效用，而且也没有好的方 法对商品束赋予基数效用值，我们坚持完全使用序数效用理论。 4.2 构造一个效用函数 但是，我们真能找到赋予序数效用值的方法吗？给定一个偏好排序关系，我们总能找到 某个效用函数使得它对商品束的排序和这个偏好排序相同吗？是否存在能刻画任何合理偏 好排序的效用函数？ 不是所有的偏好都能用效用函数刻画。例如，假设某人的偏好是非传递的，比如 ACBA fff 。如果某个效用函数能刻画这个偏好关系，那么它必然含有数值 )(),( BuAu 和 )(Cu 使得 )()()()( AuCuBuAu >>> ，但这是不可能的。 然而，只要我们去除掉非传递性偏好这样的反例，我们通常可以找到代表偏好的效用函 数。此处我们构造一个效用函数，在第 14章我们将构造另外一个。 图 4.2：从无差异曲线构造一个效用函数从无差异曲线构造一个效用函数从无差异曲线构造一个效用函数从无差异曲线构造一个效用函数。画出一条对角线，测量对角线与每条无差异曲线 交点到原点的距离，将这些距离标记在相应的无差异曲线上。 假设我们有图 4.2所示的无差异曲线。我们知道，效用函数是标记无差异曲线的一种方 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 6 法，使得更高位置的无差异曲线赋值更大。我们如何进行标记？ 一种简便的方法是画出一条如图所示的对角线，测量对角线与每条无差异曲线的交点到 原点的距离，然后把这些距离标记在相应的无差异曲线上。 我们怎样知道这是一个效用函数？不难知道，如果偏好是单调的，那么对角线与每条无 差异曲线的交点只有一个。因此，每个商品束都得到了标记，位于更高无差异曲线上的商品 束标记的数值越大，这样就得到了一个效用函数。 这样我们就有了一种标记无差异曲线的方法，至少只要偏好是单调时该法可行。在具体 情形中，这种方法未必是最自然的方法，但至少它表明了序数效用函数的通用性：几乎任何 “合理的”偏好都能用效用进行刻画。 4.3 效用函数的一些例子 在第 3章，我们已分析了一些偏好的例子，知道用什么样的无差异曲线表示这些偏好。 我们也可以使用效用函数来表示这些偏好。如果给你一个效用函数 ),( 21 xxu ，画出一条无差 异曲线就比较容易：你只要画出所有的 ),( 21 xx 使得 ),( 21 xxu 等于一个常数即可。在数学上， 满足 ),( 21 xxu 等于一个常数的所有 ),( 21 xx 称为水平集．．．（level set）。对于每个不同的常数值， 你得到一条不同的无差异曲线。 例子：从效用到无差异曲线 假设效用函数为 2121 ),( xxxxu = 。那么它的无差异曲线的形状是什么样的？ 图图图图 4.3：：：：无差异曲线无差异曲线无差异曲线无差异曲线。。。。不同 k值时的无差异曲线 21xxk = 。 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 7 我们知道，无差异曲线是满足 21xxk = （其中 k为常数）的所有 1x 和 2x 的集合。将 2x 视 为 1x 的函数解之可得 1 2 x k x = 上面的式子就是典型无差异曲线的表达式。 3,2,1=k 时的相应无差异曲线请见图 4.3. 我们分析另一个例子。假设效用函数为 22121 2),( xxxxv = 。无差异曲线形状如何？由代 数的标准法则可知 2 21 2 21 22 121 )],([)(),( 2 xxuxxxxxxv === 因此，效用函数 ),( 21 xxv 只是效用函数 ),( 21 xxu 的平方。因为 ),( 21 xxu 不能为负，所以 ),( 21 xxv 是效用函数 ),( 21 xxu 的一个单调变换。这表示效用函数 22121 2),( xxxxv = 无差异曲 线的形状，与图 4.3中 ),( 21 xxu 的无差异曲线形状相同。这两个函数的无差异曲线的标记是 不同的，原先的标记为 1，2，3…，现在则为 1，4，9…,但满足 9),( 21 =xxv 的商品束恰好 就是满足 3),( 21 =xxu 的商品束。这样， ),( 21 xxv 代表的偏好和 ),( 21 xxu 代表的偏好是相同 的，因为它们对所有商品束的排序排序排序排序．．是相同的。 将上面的事情反过来做，即根据一些无差异曲线找到效用函数，比较困难。有两种方法 可做此事。一是数学方法。给定无差异曲线，我们试图找到一个函数，这个函数沿着每条无 差异曲线的函数值必须为常数，而且更高的无差异曲线上的函数值必须更大。 第二种方法更直观一些。给定偏好的描述，我们考虑消费者试图最大化的是什么——什 么样的商品束刻画了消费者的选择行为。这种方法暂时有些模糊，在我们分析几个例子之后， 它就会明朗化。 完全替代 还记得红铅笔和蓝铅笔的例子吗？对消费者来说，只有铅笔总数才是最重要的。于是， 自然可用铅笔总数衡量效用。因此我们暂时选择一个效用函数 2121 ),( xxxxu += 。这个函 数可行吗？就问下面两个问题即可：该函数沿着无差异曲线的函数值是常数吗？更受偏好的 商品束赋予了更大的数值了吗？这两个问题的答案都是肯定的，因此我们就得到了一个效用 函数。 当然，这不是唯一可行的效用函数。我们也可以使用铅笔总数的平方。于是效用函数 2 221 22 2121 2)(),( 1 xxxxxxxxv ++=+= 同样可以表示完全替代的偏好，当然 ),( 21 xxu 的其 他任何单调变换都可以表示这一偏好。 如果两种商品不是 1：1替代的，结果会怎样？例如，假设消费者要求得到两两两两．单位的商 品 2，他才愿意放弃一单位的商品 1。这表示对消费者来说，商品 1的价值是商品 2的两倍两倍两倍两倍．．。 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 8 因此效用函数的形式为 2121 2),( xxxxu += 。注意，由该效用函数产生的无差异曲线的斜率 为 2− 。 一般来说，完全替代类型的偏好可用下列形式的效用函数表示 2121 ),( bxaxxxu += . 此处，a和 b均为正数，分别表示商品 1和 2的“价值”。注意，它的无差异曲线的斜 率为 ba /− 。 完全互补 这是左鞋和右鞋的情形。在这种偏好中，消费者只关心他有多少双双双双．鞋子，因此自然可以 选择鞋子的双数作为效用函数。鞋子的双数取决于右鞋数量 1x 和左鞋数量 2x 中最小最小最小最小．． （minimum）的那个。于是，完全互补的效用函数采取的形式为 },min{),( 2121 xxxxu = 。 为证实该函数实际可行，选择一个商品束比如（10,10）。若商品 1 增加一单位则得到 （ 11,10），它应该和（ 10,10）位于同一条无差异曲线上。是不是？是的，因为 10}10,11min{}10,10min{ == 。 因此，用效用函数 },min{),( 2121 xxxxu = 刻画 1:1完全互补的偏好是可行的。通常，该 效用函数的任何单调变换同样可以刻画上述偏好。 如果完全替代商品不是 1:1替代的，比如消费者每喝一杯茶时总是放入 2茶匙糖，结果 会如何？如果用 1x 表示茶的杯数， 2x 表示糖的茶匙数，那么糖茶的杯数为 }2 1 ,min{ 21 xx 。 这样的问题有点麻烦，所以我们停下来思考一下。如果茶的杯数大于糖的茶匙数的一半 即 21 )2/1( xx > ，则不可能做到每杯茶里都放入 2 茶匙糖。在这种情形，糖茶的数量等于 2)2/1( x 。（你可以用某些具体数字代替 1x 和 2x 验证一下。） 当然，该效用函数的任何单调变换仍然能刻画这个偏好。例如，我们可以乘以 2消灭掉 分数，这样得到的效用函数为 },2min{ 21 xx 。 一般地，刻画完全互补类型偏好的效用函数具有下列形式 },min{),( 2121 bxaxxxu = . 其中a和b是正数，表示两商品的搭配比例。 拟线性偏好 我们以前未见过拟线性偏好（quasilinear utility）的无差异曲线。假设消费者的无差异曲 线族是由无差异曲线互相垂直移动得到，如图 4.4所示。这表明将一条无差异曲线垂直移动 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 9 就可以得到所有的无差异曲线。由此可推知，无差异曲线的表达式为 )( 12 xvkx −= ，其中 k 为常数，不同的无差异曲线 k值不同。这个式子是说，每条无差异曲线的高度等于 1x 的函 数 )( 1xv− 加上某个常数 k。 k值越大，无差异曲线位置越高。（ )( 1xv− 中的负号只是一种 惯例做法；下面我们将知道为什么加了负号比较方便。） 图 4.4:拟线性偏好拟线性偏好拟线性偏好拟线性偏好。所有的无差异曲线都可由一条无差异曲线垂直移动得到。 标记这种无差异曲线自然的方法是使用 k进行标记。大致来说，k值是无差异曲线沿着 纵轴的高度。解出 k并令其等于效用，可得 2121 )(),( xxvkxxu +== . 上述效用函数对于商品 2来说是线性的，但对于商品 1来说（可能）是非线性的；因此， 拟线性．．．效用．．（quasilinear utility）的意思是“部分为线性”的效用。拟线性效用具体的例子 有 2121 ),( xxxxu += 或者 2121 ln),( xxxxu += 等等。拟线性效用函数可能不太符合实际， 但便于分析，我们在以后章节的例子中就会知道它比较简便。 柯布-道格拉斯偏好 另外一种常用的效用函数类型是柯布．．-．道格拉斯．．．．（Cobb-Douglas）效用函数 dc xxxxu 21 ),( 21 = . 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 10 其中 c和 d为正数，表示消费者对两商品的偏好（一）。 柯布-道格拉斯效用函数在一些情形下比较有用。柯布-道格拉斯效用函数描述的偏好通 常具有图 4.5所示的形状。在图 4.5A中，我们画出了当 c=1/2，d=1/2时的无差异曲线；在 图 4.5B中，画出了 c=1/5，d=4/5时的无差异曲线。注意一下当参数 c和 d变化时无差异曲 线的形状怎样变化。 图 4.5：柯布柯布柯布柯布-道格拉斯无差异曲线道格拉斯无差异曲线道格拉斯无差异曲线道格拉斯无差异曲线。当 c=1/2,d=1/2时的无差异曲线（图 A）；当 c=1/5,d=4/5 时的无差异曲线（图 B）。 柯布-道格拉斯无差异曲线的形状类似于凸且单调的无差异曲线，我们在第 3 章把后者 称为“具有良好性状的无差异曲线”。柯布-道格拉斯偏好是性状良好无差异曲线的标准例子， 事实上，它的表达式大概是能产生良好性状偏好的最简单的代数表达式。在以后章节你会发 现，使用柯布-道格拉斯函数表达经济思想很是方便。 当然，柯布-道格拉斯效用函数的任何单调变换也能表示同样的偏好，此处分析几个变 换的例子比较有好处。 首先，如果取效用函数的自然对数，项的乘积将变成项的加和，于是我们有 212121 lnln)ln(),( xdxcxxxxv dc +== . 该效用函数的无差异曲线的形状和 dc xxxxu 2121 ),( = 的无差异曲线的形状类似，因为取对数 是单调变换。(对自然对数知识的简要回顾，请见本 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 末的数学附录。) （一）保罗.道格拉斯（Paul Douglas）是 20世纪的经济学家，在芝加哥大学任教，后来成为美国的参议员；查 尔斯.柯布（Charles Cobb）为阿默斯特学院（Amherst College）的数学家。柯布-道格拉斯函数最初用于分 析生产行为。 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 11 第二个例子，假设柯布-道格拉斯效用函数为 dc xxxxu 2121 ),( = . 将效用变为原来的 )/(1 dc + 次幂，即 dc d dc c xx ++ 21 . 现在令 dc c a + = ，我们得到下列新的效用函数 aa xxxxv −= 12121 ),( . 这意味着我们总可以将柯布-道格拉斯效用函数进行单调变换，使得指数的总和等于 1. 以后我们将看到这样的处理有个有用的解释。 柯布-道格拉斯效用函数的表达形式很多，你应该学会识别它们，因为这类偏好很有用。 4.4 边际效用 假设某消费者消费的商品束为 ),( 21 xx ，如果我们多给他一点商品 1，他的效用将怎样 变化？这个变化比率称为商品 1的边际．．效用．．（marginal utility）。我们将其记为 1MU ，它是 一个比率 1 21211 1 1 ),(),( x xxuxxxu x UMU ∆ −∆+ = ∆ ∆ = . 它衡量效用变化 u∆ 与商品 1数量变化 1x∆ 的比率（一）。 这个定义表明，为了计算商品 1消费数量的微小变化引起的效用变化，只要将消费的变 化量乘以该商品的边际效用即可： 11 xMUU ∆=∆ . 类似地，可以定义商品 2的边际效用： 2 21221 2 2 ),(),( x xxuxxxu x UMU ∆ −∆+ = ∆ ∆ = . 注意，当计算商品 2的边际效用时，我们保持商品 1的消费量不变。我们可以用下式计算商 品 2消费量变化引起的效用变化 22 xMUU ∆=∆ . 很重要的一点，是要知道边际效用的大小取决于效用的大小。因此，边际效用取决于我 （一）使用微积分处理边际效用的内容请见本章后的附录。 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 12 们选取的效用衡量方法。如果我们将效用（函数）乘以 2，则边际效用也乘以 2。这样处理 我们仍可得到一个完全有效的效用函数，因为它表示同样的偏好，区别仅在于标记的数值不 同。 这表明边际效用本身不含有选择行为的内容。我们如何根据消费者的选择行为计算边际 效用？无法计算。选择行为仅仅揭示了消费者如何将不同商品束排序的信息。边际效用取决 于我们使用什么样的效用函数来反映偏好排序，边际效用本身没有特别意义。然而，我们可 以使用边际效用，计算含有选择行为内同的其他事情，在下一节我们将看到这一点。 4.5 边际效用和边际替代率 可以使用效用函数 ),( 21 xxu 计算第 3 章定义的边际替代率（MRS）。我们已知道 MRS 衡量无差异曲线在给定商品束那一点的斜率；可以认为MRS是一个比率，消费者恰好愿意 按此比率用一定数量的商品 2替代商品 1。 这样我们就有了计算 MRS 的一种简便方法。假设两种商品消费量的变化（ 21, xx ∆∆ ） 恰好使效用不变，即消费量沿着一条无差异曲线变动。于是必然有 02211 =∆=∆+∆ UxMUxMU . 解出无差异曲线的斜率，可得 2 1 1 2 12 MU MU x xMRS −= ∆ ∆ = . (注意上式左端 2在 1的上边，而在上式右端 1在 2的上边。别搞混了！) MRS的代数符号为负：如果你增加商品 1的消费那么你必须减少．．商品 2的消费，才能 使效用不变。然而，时刻牢记这个负号让人厌烦，因此经济学家通常将MRS的绝对值（即 一个正数）当作MRS。在不至于混淆的前提下，我们遵循这种惯例。 关于MRS的计算有个有趣的事情：可以通过观察某人的实际行为来计算MRS——我们 找到恰好使他不愿买也不愿卖的那个交换率，我们已在第 3章探讨过这个问题。 效用函数，从而边际效用函数，不是唯一的。某个效用函数任何单调变换得到的效用 函数同样可行。例如，如果我们将效用乘以 2，则边际效用也乘以 2。因此，边际效用函数 的大小取决于我们主观选取的效用函数。边际效用不依赖于选择行为，而是依赖于我们用于 刻画选择行为而选取的效用函数。 然而，边际效用比率提供了一个可观测的尺度，即边际替代率。对效用函数进行单调变 换不会影响边际效用比率大小。举例验证，例如如果你将效用函数乘以 2，此时 12MRS 变为 2 1 12 2 2 MU MUMRS −= . 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 13 消去分子分母中的 2，可知边际替代率的大小没变。 这个结论对任何单调变换都成立。进行单调变换只是对无差异曲线重新标记，MRS 的 计算仍然沿着同一条无差异曲线进行。尽管单调变换改变了边际效用数值，但边际效用的比 率与你标记偏好的方法无关。 4.6 交通效用 效用函数在本质上是描述选择行为的方法：如果可买得起商品束 Y，但却选择了商品束 X，则 X 的效用一定比 Y 大。对消费者的选择行为进行分析，就可以估计出描述他们行为 的效用函数。 上述想法广泛应用于交通经济学，用来研究消费者的交通行为。在多数大城市，人们可 以选择乘公交车或者开车上班。每一种选择代表了一个消费束，这个消费束由不同的特征变 量组成：行程时间，等待时间，花费的现金费用，舒适度，便利性等等。令 1x 表示行程时 间， 2x 表示等待时间，等等。 如果令 ),...,,( 21 nxxx 表示开车的 n个不同特征变量， ),...,,( 21 nyyy 表示乘公交车的相应 特征变量，我们可以用一个模型分析人们选择开车还是乘公交，他们做出选择的依据为是否 更偏好其中的一个消费束。 更具体地说，假设典型消费者对上述特征变量的偏好可用下列效用函数表示 nnn xxxxxxU βββ +++= ...),...,,( 221121 . 其中，系数 nβββ ,..., 21 为 n个未知参数。当然，上述效用函数的任何单调变换可以同样地描 述人们的选择行为，但是线性形式的函数更容易用统计方法处理。 假设我们获得了若干消费者基于上述 n个变量的交通方式选择的数据。可使用统计方法 找到 iβ （i=1,…n）的数值，使得这些数值最好地拟合了消费者们的上述选择。这些统计方 法可以估计出不同交通模式的效用函数。 研究发现效用函数具有下列形式（一） CTTTWCTTTWU 24.20411.0147.0),,( −−−= （4.2） 其中，TW=步行往返公交车或自驾车的总时间 TT=行程总时间（分钟） C=行程总成本（元） Domenich-McFadden 的书中估计出的效用函数，正确地刻画了家庭样本中 93%家庭的 （一）请见 Thomas Domenich and Daniel McFadden, Urban Travel Demand (North-Holland Publishing Company, 1975)。该书中的统计估计除了包括我们上述列举的变量外，还包括家庭的若干人口学特征。Daniel McFadden 因为研发了估计这类模型的方法，于 2000年获得了诺贝尔经济学奖。 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 14 交通方式选择行为。 方程（4.2）中变量的系数刻画了典型家庭对交通行程不同特征变量赋予的权重；即每 种特征变量的边际效用。两个系数之间的比率衡量两个特征变量之间的边际替代率。例如， 步行往返时间的边际效用与行程总时间的边际效用的比值，表明对于典型消费者来说，步行 时间代表的劳累程度大约是行程时间劳累程度的 3倍。换句话说，消费者为了少步行 1分钟， 愿意增加 3分钟的行程。 类似地，行程总成本与行程总时间的比率，表明典型消费者对于这两个变量的权衡选择。 在该研究中，消费者认为每分钟交通时间的价值为 0.0411/2.24=0.0183元，即每小时的价值 为 1.10元。而同期（1967年）的每小时工资大约为 2.85元。 这样估计出的效用函数对于下列决策非常重要：对公交系统做出某些改变是否值得。例 如，在上面的效用函数中，影响交通方式选择的一个显著变量是行程时间。城市交通管理部 门可以花钱增加公交车的数量，以减少乘客行程时间。但是，因此增加的乘客能弥补公交系 统额外增加的成本吗？ 给定效用函数和消费者样本数据，我们可以预测出哪些消费者将自己开车，哪些消费者 将搭乘公交车。这样我们就可以大体计算出收入是否能够弥补额外的成本。 而且，我们可以使用边际替代率估计行程时间减少对每个消费者的价值价值价值价值．．。在上面的交通 行为研究中，我们已知道，1967年人们认为交通时间的价值是每小时 1.10元。因此，如果 将行程减少 20分钟，人们愿意支付 0.37元。这个数字衡量了提供更准时公交服务的金钱收 益。这个收益必须与提供更准时服务的成本相比较，以便确定这样的服务是否值得做。对收 益进行量化，无疑有助于管理部门作出交通政策的合理决策。 附录 首先，我们解释一下“边际效用”的意思。在经济学中，“边际”表示导数。因此，商 品 1的边际效用就是 1 21 1 21211 01 ),(),(),(lim 1 x xxu x xxuxxxuMU x ∂ ∂ = ∆ −∆+ = →∆ . 注意，此处我们使用的是偏导数，因为计算商品 1的边际效用时，我们保持商品 2的数量不 变。 现在我们使用微积分重新推导课文中的 MRS。我们使用两种方法：第一种方法为微分 法；第二种方法是使用隐函数。 对于微分法，假设消费量变动 ),( 21 dxdx 使得效用不变，因此 0),(),( 2 2 21 1 1 21 = ∂ ∂ + ∂ ∂ = dx x xxudx x xxudu . 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 15 第一项表示由商品 1的消费量微小变动（ 1dx ）引起的效用变动量；第二项的解释类似。我 们选取的 1dx 和 2dx 恰好使效用变化量之和（du）等于 0。解出 21 / dxdx 可得 221 121 2 1 /),( /),( xxxu xxxu dx dx ∂∂ ∂∂ −= ， 这个式子正好等价于课文中的（4.1）式。 对于隐函数方法，假设无差异曲线可由函数 )( 122 xxx = 刻画。也就是说，对于 1x 的每 个值， )( 12 xx 相应给出了 2x 的值，恰好使所有的 ),( 21 xx 位于给定的无差异曲线上。因此 )( 12 xx 必须满足下列恒等式 kxxxu ≡))(,( 121 ， 其中，k表示那条给定的无差异曲线标记的效用值。 上面的恒等式两端分别对 1x 微分，可得 0)(),(),( 1 12 2 21 1 21 = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ x xx x xxu x xxu . 注意，在恒等式 kxxxu ≡))(,( 121 中， 1x 出现在两个地方，因此， 1x 的变动将对函数有双重 影响，我们必须在 1x 出现的地方都求导数。 在上面的微分等式中求出 112 /)( xxx ∂∂ ，可得 221 121 1 12 /),( /),()( xxxu xxxu x xx ∂∂ ∂∂ −= ∂ ∂ ， 这个式子和第一种方法（微分法）得到的式子是一样的。 隐函数方法稍微严格些，但是微分法比较直接，在计算时小心些即可。 假设我们对某个效用函数进行单调变换，比如 )),((),( 2121 xxufxxv = 。我们计算一下 该效用函数的MRS。使用链式法则 2 1 2 1 2 1 12 / / / / / / / / xu xu xu xu uf uf xv xvMRS ∂∂ ∂∂ −= ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ −= ∂∂ ∂∂ −= 因为分子和分母中的 uf ∂∂ / 可以约去，这表明MRS不受单调变换的影响。 上面这一结论，可以帮助我们识别不同效用函数代表的偏好是否相同：给定两个效用函 数，只要分别计算边际替代率，看看它们是否相等。如果相等，那么这两个效用函数具有同 样的无差异曲线。如果这两个效用函数的偏好增加的方向相同，那么潜在的偏好必然是一样 的。 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 16 例子例子例子例子：：：：柯布柯布柯布柯布-道格拉斯偏好道格拉斯偏好道格拉斯偏好道格拉斯偏好 使用上面推导出的式子，很容易就能计算出柯布-道格拉斯偏好的MRS。 如果我们使用对数形式的表达式 2121 lnln),( xdxcxxu += ， 则有 1 2 2 1 221 121 12 / / /),( /),( x x d c xd xc xxxu xxxuMRS −=−= ∂∂ ∂∂ −= 注意，MRS仅取决于两个参数(c和 d)的比率以及两种商品的数量。 如果我们选取的是下列指数表达式，MRS为多大？ dc xxxxu 2121 ),( = 计算MRS如下： 1 2 1 21 2 1 1 221 121 12 /),( /),( dx cx xdx xcx xxxu xxxuMRS dc dc −=−= ∂∂ ∂∂ −= − − 这个结果和前面的计算结果是一样的。当然，你自始至终都知道，单调转换不会改变边际替 代率！ 1.效用函数只是偏好排序的一种表示方法。效用水平的数值大小没有实质含义。 2.因此，给定任何一个效用函数，它的任何单调变换仍然表示相同的偏好。 3. 边 际 替 代 率 MRS ， 可 由 效 用 函 数 计 算 出 ， 计 算 公 式 为 211212 // MUMUxxMRS −=∆∆= . 总结总结总结总结 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 17 1.课文中说，将某数字变为它的奇次幂是一种单调变换。那么，将其变为它的偶次幂是 单调变换吗？（提示：要考虑类似 2)( uuf = 的情形。） 2.下列哪些是单调变换？（1） 132 −= vu ；（2） 2/1 vu −= ；（3） 2/1 vu = ；（4） vu ln= ； （5） veu −−= ；（6） 2vu = ；（7） 2vu = （其中 0>v ）；（8） 2vu = （其中 0v ）；（）；（）；（）；（8）））） 2vu = （（（（其中其中其中其中 0=dvdu 。以下题目的原因请类推。 （2） 0>v 时是（正的）单调变换， 0v 时不是。 （4）是单调变换（顺便指出，此题暗含着 0>v 的假设，否则 vu ln= 无定义）。 （5）是单调变换。 （6） 0≥v 时是单调变换， 0≤v 时不是。 （7）和（8）请见（6）。 3.课文中有个结论课文中有个结论课文中有个结论课文中有个结论，，，，即如果偏好是单调的即如果偏好是单调的即如果偏好是单调的即如果偏好是单调的，，，，那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有 一个交点一个交点一个交点一个交点。。。。你能严格证明这个结论吗你能严格证明这个结论吗你能严格证明这个结论吗你能严格证明这个结论吗？（？（？（？（提示提示提示提示：：：：如果它与某条无差异曲线有两个交如果它与某条无差异曲线有两个交如果它与某条无差异曲线有两个交如果它与某条无差异曲线有两个交点点点点，，，，结结结结 果会如何果会如何果会如何果会如何？）？）？）？） 【复习内容】单调偏好的定义；无差异曲线的特征 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 19 【参考答案】 反证法。假设这条对角线与一条无差异曲线交于两个不同的点： ),( 21 xx ； ),( 21 yy 。由 于这两个点在同一条无差异曲线上，因此 ),(~),( 2121 yyxx 。另外，这两个点都在该对角线 上，因此必有 2211 , yxyx >> 或者 2211 , yxyx << 。不妨设 2211 , yxyx >> ，由于偏好是单 调的，这意味着 ),(),( 2121 yyxx f 。显然 ),(),( 2121 yyxx f 和刚才得到的 ),(~),( 2121 yyxx 矛盾。所以如果偏好是单调的，那么经过原点的对角线与每条无差异曲线只能有一个交点。 4.效用函数效用函数效用函数效用函数 2121 ),( xxxxu += 表示什么类型的偏好表示什么类型的偏好表示什么类型的偏好表示什么类型的偏好？？？？效用函数效用函数效用函数效用函数 2121 1313),( xxxxv += 呢呢呢呢？？？？ 【复习内容】单调变换；完全替代类型的偏好 【参考答案】 对效用函数 ),( 21 xxu 作单调变换 2)( uuf = ，可得新的效用函数 212)( xxuuf +== ； 不妨令 2121 ),( xxxxw += 。 对 效 用 函 数 ),( 21 xxv 作 单 调 变 换 vvg 13 1)( = ， 可 得 新 的 效 用 函 数 ),( 13 1)( 2121 xxwxxvvg =+== 。 由于单调变换不改变原有的偏好关系，因此可知 2121 ),( xxxxu += ， 2121 1313),( xxxxv += 和 2121 ),( xxxxw += 这三个效用函数代表的偏好关系是相同的。而 我们已知道 2121 ),( xxxxw += 表示 1:1 完全替代的偏好类型。所以 2121 ),( xxxxu += 和 2121 1313),( xxxxv += 都表示 1:1完全替代的偏好类型。 5. 效 用 函 数效 用 函 数效 用 函 数效 用 函 数 2121 ),( xxxxu += 表 示 什 么 类 型 的 偏 好表 示 什 么 类 型 的 偏 好表 示 什 么 类 型 的 偏 好表 示 什 么 类 型 的 偏 好 ？？？？ 效 用 函 数效 用 函 数效 用 函 数效 用 函 数 221 2 121 2),( xxxxxxv ++= 是是是是 ),( 21 xxu 的单调变换吗的单调变换吗的单调变换吗的单调变换吗？？？？ 【复习内容】拟线性偏好；单调变换。 【参考答案】 2121 ),( xxxxu += 表示拟线性的偏好类型。 因为 0,0 21 ≥≥ xx （消费数量不能为负），所以 0),( 2121 ≥+= xxxxu ，对效用函数 ),( 21 xxu 做单调变换 2)( uuf = （请参考第 2 题第（ 6）小题的答案），可得 221 2 1 2)( xxxxuf ++= ，而这正是效用函数 ),( 21 xxv ，因此 2212121 2),( xxxxxxv ++= 是 ),( 21 xxu 的单调变换。 6.假设效用函数为假设效用函数为假设效用函数为假设效用函数为 2121 ),( xxxxu = 。。。。它表示什么类型的偏好它表示什么类型的偏好它表示什么类型的偏好它表示什么类型的偏好？？？？函数函数函数函数 22121 ),( xxxxv = 是是是是 ),( 21 xxu 的单调变换吗的单调变换吗的单调变换吗的单调变换吗？？？？ 212121 ),( xxxxw = 是是是是 ),( 21 xxu 的单调变换吗的单调变换吗的单调变换吗的单调变换吗？？？？ 4效用 曹乾（东南大学 caoqianseu@163.com） 20 【复习内容】柯布—道格拉斯型偏好；单调变换 【参考答案】 （1） 2121 ),( xxxxu = 表示柯布—道格拉斯型偏好。 （2）判断一个函数是否为另一个函数的单调变换，有时使用一个小技巧反而更方便。这个 小技巧就是第 7 题的结论，即对一个效用函数进行单调变换不会改变边际替代率。 2121 ),( xxxxu = 的边际替代率 1 2 2 1 12 x x MU MUMRS −=−= ； 22121 ),( xxxxv = 的边际替代率 1 2 2 1 12 2 x x MU MUMRS −=−= ，二者不等，因此 22121 ),( xxxxv = 不是 ),( 21 xxu 的单调变换。 （3）因为 0),( 2121 ≥= xxxxu （请参考第 2 题第（6）小题的答案），所以对该函数作单 调变换 4)( uuf = 可得 2122214 ,()( xxwxxuuf === ），所以答案为:是。 7.你能说明为什么对一个效用函数进行单调变换不会改变边际替代率你