高中数学
高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点
竞赛训练题
1.设全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M=
,N={(x,y)|y≠x+1},那么CIM∩CIN等于( )
A.
B.{(2,3)}
C.(2,3)
D.{(x,y)|y=x+1}
2.函数
=
(x2-2x-3)的单调递增区间是( )
A.(-∞,-1)
B.(-∞,1)
C.(1,+∞)
D.(3,+∞)
3.设全集是实数集,若A={x|
≤0},B={x|
=10x},则A∩
是( )
A.{2}
B.{-1}
C.{x|x≤2}
D.
4.集合A,B的并集A∪B={a1,a2,a2},当A≠B时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对的个数有( )
A.8
B.9
C.26
D.27
5.若非空集事A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A
A∩B成立的所有a的集合是( )
A.{a|1≤a≤9}
B.{a|6≤a≤9}
C.{a|a≤9}
D.
6.函数
( )
A.是偶函数但不是奇函数
B.是奇函数但不是偶函数
C.既是偶函数又是奇函数
D.既不是偶函数也不是奇函数
7.设
是一个函数,使得对所有整数x和y,都有
=
+
+6xy+1和
则
———————————
8.如果在区间[1,2]上,函数
=x2 + px +q(p∈[-4, -2])与
在同一点取相同的最小值,那么
在该区间上的最大值是———————————
9.一次函数
=ax+b的图象经过点(10,13),它与x轴的交点为(p,0),与y轴的交点为(0,q),其中p是质数,q是正整数,则满足条件所有一次函数为 .
10.已知
=sinx+cos(x+t)为偶函数,且t满足不等式t2 - 3t -40 < 0,则t的值为 .
11.设M={1,2,…,1995},A是M的子集且满足条件:当x∈A时,19x
A,是A中元素的个数最多是 .
12.已知
的定义 在R上的函数,
=1且对任意x∈R都有
≥
+5
≤
+1 若
=
+1- x,则g(2002)= .
13.若函数
=
在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求[a,b].
14.设a∈R,求函数
=
在区间
上的最大值.
15.设函数
=ax2 + 8x +3(a<0),对于给定的负数a,有一个最大的正数
,使得在整个区间[0,
]上,不等式|
|≤5都成立.
问:a为何值时
最大?求出这个最大的
.
证明
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你的结论.
16.设x∈[-1,1]时,恒有|ax2+bx+c|≤1,求证:当x∈[-1,1]时,有|cx2±bx+a|≤2.
17.设y=
是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:①
;②对任意的u,v
都有|
|≤|u-v|.
(1)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤
≤1-x
(2)证明:对任意的u,v∈[-1,1],都有|
|≤1;
(3)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=
,使得
若
存在,请举一例;若不存在,请说明理由。
18. 设An={1,2,…,n},证明或否定下列命题对所有正整数n≥2,存在函数 f:An→An 和 g:An→An,满足条件:
,k=1,2,…,n,
k=1,2,…,n-1.
19.A1,A2,…,A30是集合{1,2,…,2 003}的子集,且|Ai|≥660,i=1,2,…,30.证明:存在
,
∈{1,2,…30},
≠
,使得|
∩
|≥203.
20.函数
对一切x>0有定义且取正值,又当a,b,c为三角形三边时,
,
,
仍可构成三角形的三边长.证明:存在正数A和B,使得对一切x>0,都有
≤Ax+B.
21.若A是S={1,2,…,n}的一k元子集,m为正整数,满足条件n>(m-1)(
+1),则存在S中的元素t1,…,tm,使得:
={x+
|x∈A},j=1,…,m中任意两个的交集为空集.
22。数集M由2003个不同的实数组成,对于M中任何两个不同的元素a和b,数
都是有理数。证明:对于数集M的任何一个数都是有理数。
23.称有限集S的所有元素的乘积为的“积数”。给定数集M=
。求数集M的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和。
24. 设集合
。如果X是Sn的子集,把X中的所有数的和称为的容量(规定空集的容量为0)。如果X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集。
(1)。求证:Sn的奇子集与偶子集个数相等。
(2)。求证:当
时,Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等。
(3)。当
时,求Sn的所有奇子集的容量之和。
25 求
的图像与x轴的交点坐标
26.设a>0,
,讨论函数r(x)在(0,∞)上的单调性,最小值,最大值。
27.设二次函数
满足条件:
(1) 当
时,且
≥0。
(2) 当
时,
≤
。
(3) 在R上的最小值为0。
求最大的m(
,使得存在
,只要
,就有
≤x
28.设f为
的函数,对任意的正实数x,
且
1≤x≤3求最小的实数x,使得
(2004).
29. k是实数,
, 对任意三个实数a,b,c, 存在一个以为f(a), f(b), f(c)三边长的三角形,求k的取值范围。
30. 设N是非负整数集,
是一个函数,使得对任意
,都有
≥
问:
中有多少个元素小于2003 ?
31. 已知二次函数
(1)。若方程
无实根,求证:b>0.
(2). 若方程
有两实根,且两实根是相邻的两个整数,求证:
。
(3)。若方程
有两个非整数实根,且这两实根都在相邻的两个整数之间,求证:存在整数k,使得
成立。
(4)。若方程
有两个非整数实根,且这两实根在相邻的两个整数之间,请你探求当a,b满足什么条件时,一定存在整数k,使得
成立。
32.设
sin1>5 cos1+1,则n的最小值是( )
A. 4 B . 5 C. 6 D. 7
33. M . N在Rt△ABC的斜边AB上,
那么M,N两点分别到两直角边的距离之和与
ABC的周长之比的最大可能值是( )
A.
B。
C。
D。
34.如果函数
EMBED Equation.3 对任意
使
为常数,则正整数n应为( )
A.1 B。3 C。3或1 D。不存在
35.关于x的方程
至少有一个解,则实数a取值范围是( )
A. (-1, 2 ) B .(-1,2) C。[-1,2 ] D。[-1,2]
36.设
=
,
,
,
EMBED Equation.3 那么
A.
>
>
>
B.
>
>
>
C.
>
>
>
D.
>
>
>
37. 锐角
满足
<
。则a=
与b=
的大小关系是
A. a>b B. a
0恒成立,求实数m的取值范围。
48.△ABC的内角满足a
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 cos2C+bsinC=1,试判定△ABC的形状.
49.平面上四边形ABCD中,AB=
,AD=CD=BC=1,△ABD和△BCD的面积分别为S、T,求S2+T2的最大值和最小值.
50.体积为V的圆锥体中,求侧面积的最小值.
51.设00,Sn为其前n项之和,则Sn(n∈N+)中最大的是
A.S10
B.S11
C.S20
D.S21
73.等比数列{
}中,a1=1536,公比
,用Ⅱn表示它的前n项之积,则Ⅱn(n∈N+)中最大的是
A.Ⅱ9
B.Ⅱ11
C.Ⅱ12
D.Ⅱ13
74.已知数列
中满足xn+1=xn-xn-1(n≥2). x1=a, x2=b, 记Sn=x1+x2+…+xn,则下列结论正确的是
A.x100= -a,S100=2b-a
B.x100=-b, S100=2b-a
C.x100=-b, S100=b-a
D.x100=-a,S100=b-a
75.各项均为实数的等比数列{
}的前n项之和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于
A.150
B.-200
C.150或-200
D.400或-50
76.给定公比为q(q≠1,q∈R)的等比数列
,设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…,则数列
A.是等差数列
B.是公比为q的等比数列
C.是公比为q3的等比数列
D.既非等差数列又非等比数列
77.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不小于3,且各项为972,则这样的数列共有 个.
.78.设数列a1,a2…,an,…满足a1=a2=1,a3=2,且对任意自然数n,都有an·an+1·an+2≠1,又an·an+1·an+2·an+3=an+an+1+an+2+an+3,则a1+a2+…+a100的值是 .
79.各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有 项.
80.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是 .
81.设正数a0,a1,a2,…,an,…满足
,且a0=a1=1,则数列
的通项
公式
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是 .
82.设Sn=1+2+3+…+n,n∈N+,则
的最大值是 .
83.求数列
:1,3,8,20,43,81,…的一个通项表达式.
84.设数列
满足an+1=a
+1,n=1,2,3,….
(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式;
(2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有
(ⅰ)an≥n+2;
(ⅱ)
.
85.数列
由下列条件确定:x1=a>0,xn+1=
,n∈N+.
(1)证明:对n≥2,总有
(2)证明:对n≥2,总有
(3)若数列
的极限存在,且大于零,求
的值.
86.已知
是由负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1·an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,….
(1)求a3;
(2)证明an=an-2+2,n=3,4,5,…;
(3)求
的通项公式及其前n项和Sn.
87.在1与2之间插入n个正数a1,a2,…,an,使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,…,bn,使这n+2个数成等差数列.记An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+…+bn.
(1)求数列
和
的通项;
(2)当n≥7时,比较An与Bn的大小,并证明你的结论.
88.(1)设
是集合{2t+2s|0≤sr>0)
(1)求bn;
(2)求
.
97.在数列
和
中,a1=b1=10,且
(n=1,2,…),求an,bn.
98.已知a1=1,nan+1=(n+2)an+n,求an.
99.数列
满足:a1=1,an+1=an+
n∈N+,求a100的整数部分.
100.3个数列,
存在下列关系:a1=1,b1=
,bn=an+1-an,cn=bn+1-bn=3n-1-np(n=1,2,3,…),这里p为正常数.
(1)求an;
(2)证明:若cn≥0,必有cn+1>0;
(3)若数列
的最小项为b4,求p的取值范围.
101.两个数列
,
满足a1=2,b1=1,
(n=1,2,3,…)试求通项an和bn.
102.数列
,
满足0an+!;
(3)对任意整数n≥2,有bn1有
108.设实数x1,x2满足
≤1,证明:对任意实数y1,y2均有(x1y1+x2y2-1)2≥(
)(
).
109.设x1,x2,x3∈R+且
=1,求证:
≥
110.设x,y,z∈R,且x2+y2+z2=2,求证:x+y+z≤xyz+2.
111.已知a,b,c>0,求证:
≥
112.设0≤a≤b≤c≤d≤e,且a+b+c+d+e=1,求证:ad+dc+cd+be+ea≤
113.设a,d≥0,b,c>0,且b+c>a+d,求:
的最小值.
114.设a1≥a2≥…≥an≥0(n≥3),且
>n2,a1+a2+…+an=3n,求证:a1+a2+a3>n.
115.设xi≥0(i=1,2,…,n),且
+2
,求
的最大值与最小值.
116.求最大的正实数a,使
+
+
对一切实数x,y,z均成立.
117.设N+是正整数集,R是实数集,S是满足以下两个条件的函数f:N+→R的集合.
(1)
(2)
≥
≥
EMBED Equation.3 (n=1,2,…)试求最小的正整数M,使得对任何f∈S及任何n∈N+,都有
118.设a1,a2,a3≥0,求证:a1+a2+a3+
≥2(
+
+
),并确定等号成立的条件.
119、设
为至少含有两项的、公差为正的等差数列,其项都在S中,且添加S的其它元素于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列,求这种A的个数(两项也看作等差数列).
120、数列
定义如下:
,求它的通项公式
121、设数列
和
满足
且
EMBED Equation.3 证明:
是完全平方数。
122、设数列
定义如下:
+
试求
的最简表达式。
123、设
对一切自然数n有
,求所有被11整除的
的值。
124、设数列
定义如下:
证明:对
均为自然数。
125、设数列
满足
,求
。
126 、已知数列
分别满足下列条件,求它的通项公式
(1)、
(2)、
(3)、
(4)、
127、已知数列
分别满足下列条件,求它的通项公式
EMBED Equation.3
128、一次竞赛在n轮中共发了m枚奖章.第一轮发了1枚及余下的
枚的
,第二轮发了2枚及余下的
,…,直至第n轮正好发了n枚而没有余下的奖章.这个竞赛共包括几轮?共发了多少枚奖章。
129、把一个圆分成n个不同的扇形(n>1),依次记为S1,S2,…,Sn,每个扇形都可以用红、蓝、白三种颜色中的任意一种颜色涂色,要求相邻的扇形颜色互不相同,问有多少种涂法?
130、设
为常数,且
(1)、证明:对任意的
1,有
(2)、假设对任意n≥1有,求
的取值范围
131、设
为等差数列,
为等比数列,且
,又
,试求
的公差与首项.
132、设
,求证:
133、设
满足
求证:
134、
使
,试确定乘积
的最大值.
135、设
和
是给定的正整数
,已知正实数
,试确定正实数
使得和式
最小.
136、已知
求证:
137、已知
是正数,对任意
有
,证明:
138、
且
EMBED Equation.3 求证:
139、
求证:
140、
且
对每一个固定的
求
的最大值.
141、已知:
证明:
142、设为正整数,实数
满足
证明:
EMBED Equation.3 等号成立当且仅当
成等差数列
143、设
和
是两个不成比例的实数序列,又设
是使
成立的任一实数序列,求证:
其中
,
,
144、对于满足条件
的非负实数
,求
的最大值。
145、设
,求证:
.
146、已知
且
求证:
147. 一个棱长为2的正方体S由8个单位正方体组成,我们称S去掉一个单位正方体后的部分为一个“角体”,T是一个由
个单位正方体组成的棱长为2n的正方体。证明:随意去掉T的一个单位正方体,余下的部分必要用“角体”拼成.
148. 设n为正整数,
为实数,证明:2cosn
可以表示为(2cos
)的首项系数为1的n次整系数多项式的形式
149. 设P(x1,x2,…,xn)是一个有n个变元的多项式,我们用+1或-1代替P中所有的变元,若其中-1的个数为偶数,则P的值为正;若其中-1的个数为奇数,则P的值为负.证明:P为一个至少n次的多项式(即P中存在一项,其所在变元的次数和不小于n).
150. n个复数zk满足|zk|≤1,k=1,2,…,n.证明:存在e1,e2,…,en∈{-1,1},使得对任意m∈{1,2,…,n},均有|
|≤2.
151. 设n∈N*,n≥2,在一个(2n-1)×(2n-1)的方格表的每个方格内填入+1或-1.如果任意一个方格内所填的数都等于与它的公共边的那些方格中所填数的乘积,那么称这种填写方法是“成功”的,求“成功”填法的总数.
152. 设n∈N*,a1,a2,…,an为正实数.证明:
≥
153.设x,y是实数,使得x+y,x2+y2,x3+y3,x4+y4都是整数.证明:对任意正整数n,数xn+yn均为整数.
154.设a为无理数,n为大于1的整数,证明:
为无理数.
155.设a1=1,a2=2,an+1=
,n=2,3,….证明:对任意正整数n≥3,均有an>
156.证明:对任意正整数n,均有
157.设a>0,证明:对任意n∈N*,均有
≥
158.设m,n∈N*,记Sm(n)=
证明:
≤n+
其中[x]表示不超过x的最大整数.
159.设n,k为正整数,现有nk件物口和k个盒子,每个盒子恰好能放下n件物品.已知:每件物品被染上了某k种颜色中的一种.证明:这些物品可以放到盒子中,使得每个盒子中至多有两种颜色的物品.
160.设S为一个2002元集合,N为满足0≤N≤22002的整数.证明:可以将S的子集进行黑白染色,使得
(1)任意两个白子集的并集仍然是白子集;
(2)任意两个黑子集的并集仍然是黑子集;
(3)恰有N个白子集.
161.在某个罐里有黑、白两种颜色的球各一个,我们另外还有50个白球和50个黑球,下面进行50次操作:随机地取出一个球,然后放入罐中两个与取出的球同色的球称为一次操作,最后在罐中有52个球.问:罐中最有可能有几个白球?
162.证明:对任意正奇数都可以找到一个正整数,使得他们的乘积在十进制表示下,各数码均为奇数.
163.数列
定义如下:a1=1,am=an-1+a
,n=2,3,….证明:此数列中有无穷多项是7的倍数.
164.正整数n和实数
满足:
,求所有的整数k,使得
为整数.
165.给定正整数n,问:平面上最少要适当地选取多少个不同的点?才能具有如下性质:对任意k∈{1,2,…,n},平面上总存在一条直线,它恰好通过所取的点听k个点.
166.设集合A1,A2,…,Ar是正整数集N*的一个r-分划(即A1∪A2∪…∪Ar=N*,且对任意1≤i≤j≤r,均有Ai∩Aj=
).证明:A1,A2,…,Ar中必有一个集合A具有如下性质:
存在m∈N*,使得对任意k∈N*,都找得到A中的k个数a1,a2,…,ak满足1≤aj+1-aj≤m,1≤j≤k-1.
167.复系数多项式p(z)=z2+az+b对一切|z|=1时恒有|p(z)|=1.求证:p(z)=z2.
168.实系数多项式p(x)=x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中,对任意的一个根
,都有
,1-
也都使p(x)=0.求p(x).
169.已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn-1z+cn是复变量z的实系数多项式,若|p(i)|<1,求证:存在实数a、b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)2<4b2+1.
170.已知f(z)=C0zn+C1zn-1+C2zn-2+…+Cn-1z+Cn是一个n次复系数多项式.求 证:一定存在一个复数z0,|z0|≤1,并且满足|f(z0)|≥|C0|+|Cn|.
171.凸四边形ABCD围绕它所在平面内一点O逆时针方向旋转900,得到凸四边形
,假设P、Q、R、S依次是
、
、
、
的中点,求证:PR⊥QS,PR=QS.
172.设非零复数a1,a2,a3,a4,a5满足
其中S为实数且|S|≤2.求证:复数a1,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上.
173.求平面直角坐标系中,格点凸五边形的周长的最小值.
174.是否存在一个凸1 990边形,同时具有下面的性质(1)与(2);
(1)所有内角均相等;
(2)1 990条边的长度是1,2,…,1 989,1 990的一个排列.
175.设n次实系数多项式
=xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an(an=±1)有模大于地的复数根.
176.设复数z满足|z-z1|=
|z-z2|,其中z1,z2为给定的不同复数,
为正实常数,试讨论复数z在复平面上对应点的轨迹.
177.集合A={z|z18=1,z∈C},B={
|
},M={z
},求M中元素的个数.
178.复数
,z2=x+iy(x,y∈R),当x,y取遍
时,|z1|=
,求|z1-z2|的最大值和最小值.
179.设D是铰角△ABC内部一点,使∠ADB=∠ACB+900,且AC·BD=AD·BC,计算比值
180.已知复数z=1-sin
+icos
(
),求z的共轭复数
的辐角主值.
181.设z∈C,且|z|=1,求
的最大值.
182.设
∈[-
,
],关于x的方程x2+xsin
+cos
=0的两个实根为x1,x2,
=arctanx1+arctanx2.试求
的解析式并求
的定义域和值域.
183.x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1,z2,m均是复数,且
=16+20i.设这个方程的两个根
满足|
|=2
,求|m|的最大值和最小值.
184.设a0>a1>a2>…>an>0,求证:
=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的所有根都在单位圆的内部.
185.设f:C→C且使得方程|
|=|z-
|,其中z∈C,
=0,1,I,且f(0)=0,|f(1)|=1.求证:
或
186.给定集合S={z1,z2,…,z2003},其中z1,z2,…,z2003是非零复数,求证:可以把S中元素分成若干组,使得:
(1)S中每个元素属于且仅属于其中一组;
(2)每一组中任一复数与该组所有复数这和的夹角不超过900;
(3)将任意两组中的复数分别求和所得的和数之间的夹角大于900.
187.设复数z1,z2…,zn满足
试证存在非空集合D
{1,2,…,n}使
≤|
|≤1.
188.设n≥2,求
…sin
189.复平面上三个点A、B、C所对应的复数分别为z1,z2,z3.若z1,z2,z3是方程z3-3pz2+3qz-r=0的三个根(r≠0).求证:△ABC是正三角形的充要条件是p2=q.
190.求复数z对应的点关于直线y=kx+b对称点对应复数
.
191.已知方程x10+(13x-1)10=0有10个复根
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,这里
与
(
=1,2,3,4,5)互为共轭复根,求
+
+
+
+
的值.
192.设cos
sin
求证:
=
193.(1)设n是一个大于3的素数,求
(1+2cos
)(1+2cos
)(1+2cos
)…(1+2cos
)的值.
(2)设n是大于3的正整数,求
(1+2cos
)(1+2cos
)(1+2cos
)…(1+2cos
)的值.
194.已知实数列
,
的各项均不为0,a1=1,b1=tan
,
为已知数,并且an=am-1cos
-bn-1sin
,bn=an-1sin
+bn-1cos
.求
,
的通项公式.
195.设x2+x+1是
的因式,其中
为x的复系数多项式.求证:x-1为
的公因式.
196.已知两个复系数函数
与
(其中a0=b0=1),
和
均为实数,
=0的所有根的平方的相反数是
的全部根.求证:
为实数.
197.给定实数a,b,c已知复数z1,z2,z3满足
求|az1+bz2+cz3|的值.
198.设n是给定的正整数,求所有正数对a,b使得x2+ax+b=0是ax2n+(ax+b)2n的因式.
199.试问:当且仅当实数x0,x1,…,xn(n≥2)满足什么条件时,存在实数y0,y1,…,yn使得
①成立,其中
,i为虚数单位,k=0,1,…,n.证明你的结论.
120.设方程xn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的系数都是实数,且适合条件0
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