实变函数测试题与答案

1 实变函数测试题 一，填空题 1. 设 1 , 2 n A n ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ , 1,2n = ⋯ , 则 lim n n A →∞ = . 2. ( ) ( ), ,a b −∞ +∞∼ ,因为存在两个集合之间的一一映射为 . 3. 设 E是 2R 中函数 1 cos , 0 0, 0 x y x x ⎧ ≠⎪ = ⎨ ⎪ =⎩ 的图形上的点所组成的 集合，则 E′ = ， E° = . 4. 若集合 nE R⊂ 满足 E E′ ⊂ , 则 E为 集. 5. 若 ( ),α β 是直线上开集G的一个构成区间, 则 ( ),α β 满足: , . 6. 设 E使闭区间 [ ],a b 中的全体无理数集, 则mE = . 7. 若 ( ) n mE f x → ( ) 0f x⎡ ⎤ =⎣ ⎦ , 则说{ }( )nf x 在 E上 . 8. 设 nE R⊂ , 0 n x R∈ ,若 ,则称 0x 是 E的聚点. 9. 设{ }( ) n f x 是 E上几乎处处有限的可测函数列, ( )f x 是 E上 几乎处处有限的可测函数, 若 0σ∀ > , 有 2 , 则称 { }( ) n f x 在 E上依测度收敛于 ( )f x . 10. 设 ( ) ( ) n f x f x⇒ , x E∈ , 则 ∃ { }( ) n f x 的子列{ }( ) j n f x , 使 得 . 二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若 ,A B可测, A B⊂ 且 A B≠ ,则mA mB< . 2. 设 E为点集, P E∉ , 则 P是 E的外点. 3. 点集 1 1,2, ,E n ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⋯ ⋯ 的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集. 5. 若 nE R⊂ ,满足 * m E = +∞ , 则 E为无限集合. 三, 计算证明题 1. 证明: ( ) ( ) ( )A B C A B A C− − = − ∪ ∩ 2. 设M 是 3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理 数为半径的球的全体, 证明M 为可数集. 3. 设 nE R⊂ , i E B⊂ 且 i B 为可测集, 1,2i = ⋯ .根据题意, 若有 ( ) ( )* 0, i m B E i− → → ∞ , 证明 E是可测集. 4. 设 P是Cantor集, ( ) [ ] 3 2 ln 1 , ( ) , 0,1 x x P f x x x P ⎧ + ∈⎪ = ⎨ ∈ −⎪⎩ . 求 1 0 (L) ( )f x dx∫ . 5. 设函数 ( )f x 在Cantor集 0P 中点 x上取值为 3 x , 而在 0P 的余 3 集中长为 1 3n 的构成区间上取值为 1 6n , ( )1, 2n = ⋯ , 求 1 0 ( )f x dx∫ . 6. 求极限: 1 3 2 30 lim(R) sin 1n nx nxdx n x →∞ +∫ . 4 实变函数试题解答 一 填空题 1. [ ]0, 2 . 2. ( ) ( )( ) tan , , .2 x x a x a b b a π π ϕ ⎡ ⎤ = − − ∈⎢ ⎥−⎣ ⎦ 3. { } 1 ( , ) cos , 0 (0, ) 1x y y x y y x ⎧ ⎫ = ≠ ≤⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ∪ ; ∅ . 4. 闭集. 5. ( ), . , .G G Gα β α β⊂ ∉ ∉ 6. b a− . 7. 几乎处处收敛于 ( )f x 或 a.e.收敛于 ( )f x . 8. 对 0 00, ( , )U xδ δ∀ > 有 { }( )0E x− = ∅ . 9. lim ( ) ( ) 0 n n mE f x f x σ →∞ ⎡ − ≥ ⎤ =⎣ ⎦ 10. ( ) ( ) n f x f x→ a.e.于 E . 二 判断题 1. F . 例如, (0,1)A = , [ ]0,1B = , 则 A B⊂ 且 A B≠ ,但 1mA mB= = . 2. F . 例如, 0 (0,1)∉ , 但 0不是 (0,1)的外点. 5 3. F . 由于 { }0E E′ = ⊄ . 4. F . 例如, 在 1R 中, 1 1 ,1 n F n n ⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ , 3,4n = ⋯是一系列的 闭集, 但是 3 (0,1) n n F ∞ = =∪ 不是闭集. 5. T . 因为若 E为有界集合, 则存在有限区间 I , I < +∞ , 使 得 E I⊂ , 则 * * ,m E m I I≤ = < +∞ 于 *m E = +∞ . 三, 计算证明题. 1. 证明如下: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S S S S S A B C A B C A B C A B C A B A C A B A C − − = − = = = = − ∩ ℂ ∩ℂ ∩ℂ ∩ℂ ∪ ∪ℂ ∪ ∪ ∪ ∩ 2. M 中任何一个元素可以由球心 ( , , )x y z , 半径为 r唯一确定, x , y , z跑遍所有的正有理数, r跑遍所有的有理数. 因为有理 数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集. 3. 令 1 i i B B ∞ = = ∪ , 则 i E B B⊂ ⊂ 且 B为可测集, 于是对于 i∀ , 都有 i B E B E− ⊂ − , 故 6 ( ) ( )* *0 i m B E m B E≤ − ≤ − , 令 i → ∞ , 得到 ( )* 0m B E− = , 故 B E− 可测. 从而 ( )E B B E= − − 可测. 4. 已知 0mP = , 令 [ ]0,1G P= − , 则 ( ) 1 3 2 0 2 2 1 0 13 0 (L) ( ) (L) ln 1 (L) (L) ( ) (L) (L) (R) ( ) 1 3 3 P G G P G f x dx x dx x dx f x dx x dx x dx f x dx x = + + = 0 + = + = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . 5. 将积分区间 [ ]0,1 分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G ⋯ , 其中 0P 为Cantor集, nG 是 0P 的余集中一切长为 1 3n 的构成区间 (共有 12n− 个)之并. 由L积分的可数可加性, 并且注意到题中的 0 0mP = , 可得 7 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 6 1 1 2 6 6 3 1 1 1 2 9 1 6 n n P G P G n n P G n n n n n n n n n n f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x f x d x d x m G ∞ = ∞ = ∞ = −∞ ∞ = = ∞ = = + = + = + = 0 + = ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ ∫ ∑∫ ∫ ∑∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ∪ 6. 因为 3 2 3 sin 1 nx nx n x+ 在 [ ]0,1 上连续, 1 3 2 30 (R) sin 1 nx nxdx n x+∫ 存在且与 1 3 2 30 (L) sin 1 nx nxdx n x+∫ 的值相等. 易知 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 sin . 1 1 1 2 2 nx nx nx nx n x n x n x x x ≤ ≤ ⋅ ≤ + + + 由于 1 2 x 在 ( )0,1 上非负可测， 且广义积分 1 0 1 2 dx x ∫ 收敛，则 1 2 x 在 ( )0,1 上 (L)可积， 由于 3 2 3 lim sin 0 1n nx nx n x →∞ = + ， ( )0,1x∈ ，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到 1 13 3 2 3 2 30 0 1 3 2 30 1 0 lim(R) sin lim(L) sin 1 1 lim sin 1 0 0 n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dx n x dx →∞ →∞ →∞ = + + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟+⎝ ⎠ = = ∫ ∫ ∫ ∫ . 8