自动控制理论（第2版）（夏德钤　翁贻方）第二章 控制系统的数学模型

null第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型本章知识点： 线性系统的输入－输出传递函数描述 建立机电系统数学模型的机理 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 法 传递函数的定义与物理意义 典型环节的数学模型 框图及化简 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 信号流程图与梅逊公式应用 非线性数学模型的小范围线性化 第一节 线性系统的输入/输出时间函数描述第一节 线性系统的输入/输出时间函数描述物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。 数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。 数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。建立物理系统数学模型的方法建立物理系统数学模型的方法机理分析法 对系统各部分的运动机理进行分析，按 照它们遵循的物理规律、化学规律列出各物理量之间的数学表达式,建立起系统的数学模型。 实验辩识法 对系统施加某种测试信号（如阶跃、脉冲、正弦等），记录基本输出响应（时间响应、频率响应），估算系统的传递函数。 null机理分析法建立系统数学模型的步骤 确定系统的输入量、输出量； 根据物理定律列写原始方程； 消去中间变量，写出表示系统输入、输出关系的线性常微分方程。 机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例例2-1:图2-1为RC四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。 解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写方程组如下 机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例由(4)、(5)得 由(2)导出 将i1、i2代入(1)、(3)，则得 null 这就是RC四端网络的数学模型，为二阶线性常微分方程。机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例例2-2 图2-6 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速 ωm（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。机理分析法建立系统数学模型举例机理分析法建立系统数学模型举例解：列写电枢电路平衡方程Ea——电枢反电势，其表达式为 Ea=Ceωm（t） ② Ce——反电势系数（v/rad/s） null由③、④求出ia(t)，代入①，同时②亦代入①，得 在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，故⑤可简化为 在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，故⑤可简化为其中如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 ⑥还可进一步简化为⑦电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。 第二节线性系统的输入—输出传递函数描述第二节线性系统的输入—输出传递函数描述一、传递函数 １．定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。零初使条件是指当t≤0时,系统r(t)、c(t)以及它们的各阶导数均为零。 线性系统微分方程的一般形式为 当初始条件均为0时,对上式两边求拉氏变换，得系统的传递函数当初始条件均为0时,对上式两边求拉氏变换，得系统的传递函数的根，也即线性微分方程特征方程的特征值。 零点——传递函数分子s多项式传递函数G(S)是复变函数，是S的有理函数。且有m≤n。 极点——传递函数分母s多项式的根。null传函是由微分方程在初始条件为零时进行拉氏变换得到的。 如果已知系统的传递函数和输入信号,则可求得初始条件为零时输出量的拉氏变换式C(s),对其求拉氏反变换可得到系统的响应 c(t)，称为系统的零状态响应。 系统响应的特性由传递函数决定，而和系统的输入无关。传递函数则由系统的结构与参数决定。 传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式，为1+开环传递函数。 同一系统对不同的输入，可求得不同的传递函数，但其特征多项式唯一。 在给定输入和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应，包括两部分 系统响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应——在输入为零时，系统对零初始状态的响应； 零状态响应——在零初始条件下，系统对输入的响应。 传递函数的几点性质传递函数的几点性质传递函数G(s)是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所有系数均为实数。 传递函数G(s)取决于系统或元件自身的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。 传递函数G(s) 描述了系统输出与输入之间的关系，但它不提供系统的物理结构信息。具有相同传递函数的不同物理系统称为相似系统。传递函数的几点性质传递函数的几点性质如果系统的传递函数未知，给系统加上某种输入，可根据其输出，确定其传递函数。 系统传递函数是系统单位脉冲响应g(t)的拉氏变换L[g(t)]。 例2－3 求例2－1系统的传递函数。例2－3 求例2－1系统的传递函数。已知其输入－输出微分方程设初始状态为零，对方程两边求拉氏变换，得 null此即为RC四端网络的传递函数。第三节 非线性数学模型的小范围线性化第三节 非线性数学模型的小范围线性化 严格讲，任何实际系统都存在不同程度的非线性。对于非本质非线性数学模型，可采用小范围线性化方法。设一非线性数学模型如图所示。null 设函数y=f（x）在（x0，y0）点附近连续可微(此即为非线性系统数学模型线性化的条件）,则可将函数f（x）在（x0，y0）附近展开成泰勒级数null式中 ——比例系数,是随工作点A（x0，y0)不同而不同的常数 具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法与前述方法相似。 求线性化微分方程的步骤 按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。 找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。 将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。 消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值用偏差量来表示。null注意： （1）线性化方程中的常数与选择的静态工作点的位置有关,工作点不同时,相应的常数也不相同。 （2）泰勒级数线性化是小范围线性化。当输入量的变化范围较大时，用上述方法建立数学模型引起的误差较大。因此只有当输入量变化较小时才能使用。 （3）若非线性特性不满足连续可微的条件,则不能采用前述处理方法. （4）线性化方法得到的微分方程是增量化方程。 null 由微分方程直接得出的传递函数是复变量s的有理分式。对于实际物理系统，传递函数的分子、分母多项式的所有系数均为实数，而且分母多项式的阶次n 不低于分子多项式的阶次m，分母多项式阶次为n的传递函数称为n阶传递函数，相应的系统称为n阶系统 。传递函数可表示成复变量s的有理分式:传递函数可表示成零、极点表示：第四节 典型环节的数学模型 　　系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有个零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况,则传递函数的后两种表示的一般形式为：　　系统传递函数有时还具有零值极点，设传递函数中有个零值极点,并考虑到零极点都有实数和共轭复数的情况,则传递函数的后两种表示的一般形式为： 可见，系统传递函数是由一些常见基本因子,如式上中的(js+1)、1/(Tis+1)等组成。即系统传递函数表示为上式时，系统传递函数是这些常见基本因子的乘积。这些常见基本因子代表的环节称为典型环节。任何复杂的系统都可以用若干典型环节构成。具有相同基本因子传递函数的元件，可以是不同的物理元件，但都具有相同的运动规律。　　从传递函数的表示式中可以看到，传递函数的基本因子对应的典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、振荡环节和延迟环节等。 　　从传递函数的表示式中可以看到，传递函数的基本因子对应的典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、振荡环节和延迟环节等。 l．比例环节 比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关系为固定的比例关系，即它的输出量能够无失真、无延迟地按一定的比例关系复现输入量。时域中的代数方程为c(t)=Kr(t) t  0 式中K为比例系数或传递系数，有时也称为放大系数 所以比例环节的传递函数为 ：L-变换 C(S)=KR(S) 完全理想的比例环节是不存在的。对某些系统当做比例环节是一种理想化的方法。2．惯性环节 2．惯性环节 　　 惯性环节又称为非周期环节，其输入量和输出量之间的关系可用下列微分方程来描述：式中 K——比例系数。 T——惯性环节的时间常数 ，衡量输出量跟随输入量 的变化 L-变换 TSC(S)+C(S)=KR(S) 传递函数 G(S)= C(s)/ R(s) = 3．积分环节3．积分环节输出量与输入量的积分成比例，系数为K。积分环节的传递函数为：积分环节的动态方程为：　　积分环节具有一个零值极点，即极点位于S平面上的坐标原点处。T称为积分时间常数。从传递函数表达式易求得在单位阶跃输入时的输出为： 　　　　　　　　　　　C（t）=Kt 　　上式说明，只要有一个恒定的输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成比例地无限增加。 4．振荡环节 4．振荡环节 振荡环节的微分方程是：相应的传递函数为： 式中 T——时间常数； ——阻尼系数（阻尼比），且0＜  ＜1。 振荡环节的传递函数具有一对共轭复数极点,在复平面S上的位置见图2-8所示,传递函数可改写为：n=1/T——无阻尼自然振荡频率。共轭复数极点为： 5．微分环节 5．微分环节 　　微分是积分的逆运算,按传递函数的不同,微分环节可分为三种：理想微分环节、一阶微分环节（也称为比例加微分环节）和二阶微分环节。相应的微分方程为 ：相应的传递函数为： 6．延迟环节6．延迟环节 延迟环节又称为纯滞后环节、时滞环节。其输出信号比输入信号迟后一定的时间。就是说，延迟环节的输出是一个延迟时间后，完全复现输入 信号，即 　式中  ——纯延迟时间。 单位阶跃输入时，延迟环节的输出响应如右图示． 根据拉氏变换的延迟定理，可得延迟环节的传递函数为： 典型环节数学模型注意三点：典型环节数学模型注意三点： （1）系统的典型环节是按数学模型的共性去建立的，它与系统中采用的元件不是一一对应的。 （2）分析或 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 控制系统必先建立系统或被控对象的数学模型，将其与典型环节的数学模型对比后，即可知其由什么样的典型环节组成。将有助于系统动态特性的研究和分析。 （3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。第五节 框图及其化简方法第五节 框图及其化简方法 框图与信号流图方法是自动控制系统的两种图形研究方法，是分析系统的有力工具。 一．框图的基本概念 １．控制系统的方框图又称为方块图或结构图，是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。　　它用一个方框表示系统或环节，如上图所示。框图的一端为输入信号r(t)，另一端 是 经 过 系统或环节后的输出信号c（t），图中箭头指向表示信号传递的方向。方框中用文字表示系统或环节，也可以填入表示环节或系统输出和输入信号的拉氏变换之比-----传递函数，这是更为常用的框图。null六种典型环节的框图如下：二． 框图元素（1）方块（Block Diagram）:表示输入到输出单向传输间 的函数关系。二． 框图元素null（2）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。 null(3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置 （4）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。三． 几个基本概念及术语 前向通路传递函数——假设N(s)=0 ,打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。等价于C(s)与误差E(s)之比 反馈回路传递函数 ——假设N(s)=0， 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。三． 几个基本概念及术语null开环传递函数 Open-loop Transfer Function—— 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。 从上式可以看出，系统开环传递函数等于前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数之乘积。null 闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function—— 假设N(s)=0，输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。推导：因为 右边移过来整理得 即 null误差传递函数—— 假设N(s)=0，误差信号E(s)与输入信号R(s) 之比 。null输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0** G2（s）null误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0 利用公式**，直接可得：null　 线性系统满足叠加原理，当控制输入Ｒ（Ｓ）与扰动Ｎ(Ｓ) 同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。四．框图的绘制四．框图的绘制 （1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示。 （2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的框图。 系统框图也是系统数学模型的一种表示。 null解：根据基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得对其进行拉氏变换得 例１：画出下列RC电路的方块图。null 将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的框图。1/R1/SC-null例２：画出下列R-C网络的方块图 分析：由图2-21清楚地看到，后一级R2-C2网络作为前级R1-C1网络的负载，对前级R1-C1网络的输出电压　　产生影响，这就是负载效应。解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电路图如图(b)；（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。 解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电路图如图(b)；（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。 例２null 如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。则此电路的方块图如图(b)所示。 如果在这两极R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。则此电路的方块图如图(b)所示。 五. 框图的等效变换 框图的等效变换相当于在框图上进行数学方程的运算。常用的方框图等效变换方法可归纳为两类。环节的合并; 信号分支点或相加点的等效移动。 框图变换必须遵循的原则是：变换前、后的数学关系保持不变，因此框图变换是一种等效变换，同时由于传递函数和变量的方程是代数方程，所以框图变换是一些简单的代数运算。（－）环节的合并 环节之间互相连接有三种基本形式：串联、并联和反馈连接。 五. 框图的等效变换1．环节的串联 1．环节的串联 特点: 前一个环节的输出信号就是后一环节的输入信号，下图所示为三个环节串联的例子。图中，每个环节的方框图为：要求出第三个环节的输出与第一个环节的输入之间的传递函数时null 上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：2. 环节的并联2. 环节的并联 环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减），下图所示为三个环节的并联，图中含有信号相加点。从图中可见:等效传递函数为 ：null 以上结论可推广到一般情况，当有n个环节并联时，其输出信号相加则有等效传递函数3．反馈连接3．反馈连接 将系统或环节的输出信号反馈到输入端，并与原输入信号进行比较后再作为输入信号，即为反馈连接，如下图所示。负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。 正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。null 上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。 （二）信号相加点和信号分支点的等效变换 对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。 将信号引出点及汇合点前后移动的规则： 1.变换前与变换后前向通道中传递函数的乘积必须保持不变; 2.变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须保持不变。null 信号相加点的移动分两种情况：前移和后移。为使信号相加点移动前后输出量与输入量之间的关系不变,必须在移动相加信号的传递通道上增加一个环节，它的传递函数分别为 1／G（S）（前移）和 G（S）（后移）。 信号分支点（取出点）的移动也分前移和后移两种情况。但分支点前移时应在取出通路上增加一个传递函数为G（S）的环节，后移时则增加一个传递函数为1／G（S）的环节。 此外，两个相邻的信号相加点和两个相邻的信号分支点可以互换位置。但必须注意，相邻的相加点与分支点的位置不能简单互换。 null下表列出了信号相加点和信号分支点等效变换的各种方法。 例：求传递函数例：求传递函数图2-27（a)图2-27（b)nullEo图2-27（c)图2-27（d)第六节 信号流图与梅逊公式第六节 信号流图与梅逊公式 信号流图和框图类似，都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系。因而信号流图也是数学模型一种表示。 框图及其等效变换虽然对分析系统很有效，但是对于比较复杂的系统，方框图的变换和化简过程往往显得繁琐、费时，并易于出错。如采用信号流图，则可利用梅逊公式，不需作变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系。（－）基本概念 信号流图是一种将线性代数方程组用图形来表示的方法。例如： 一. 信号流图及其等效变换null 信号流图中，用小圆圈“O”表示变量，并称其为节点。节点之间用加权的有向线段连接，称为支路。通常在支路上标明前后两个变量之间的数学关系，因此支路的权又称为传输。（二）常用术语 （二）常用术语 信号流图中除有节点和支路外，还常用到下述术语。 出支路：离开节点的支路。 入支路：进入节点的支路。 源节点：只有出支路的节点，对应于自变量或外部输人，因此也称为输入节点。 汇节点：只有入支路的节点，对应于因变量，有时也称为输出节点。 混合节点：既有入支路，又有出支路的节点。 通道：又称为路径，是指从一个节点出发，沿着支路的箭号方向相继经过多个节 点间的支路，一个信号流图可以有多条通道。 开通道：如果通道从某个节点出发，终止于另一个节点上，并且通道中每个节点只经过一次，则称这样的通道为开通道。 null闭通道：如果通道的终点就是通道的起始点，并且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为闭通道或回路、回环等。如果一个通道从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点，则称这样的通道为自回环。 前向通道：从源节点出发到汇节点终止，而且每个节点只通过一次的通道称为前向通道。 互不接触回环：如果一些回路没有任何公共节点和回路，就称它们为互不接触回环。 通道传输：指沿通道各支路传输的乘积，也称为通道增益。 回环传输：又称为回环增益，指闭通道中各支路传输的乘积。第一张null 例如下图中，x。为源节点，x6为汇节点。 x1、x2、x3、x4和x5为混合节点。通道abcdej是一条前向通道，而abcde和fghi是普通的通道，ai不是通道,因为两条支路的方向不一致。bbi也不是通道，因为两次经过节点x1 。bi是一个闭通道（回环），而bchi不是一个闭通道，因为有两次经过节点x2。图中共有四个回环，即bi,ch,dg和ef。两个互不接触的回环有三种组合，即bief,bidg和chef。本系统没有三个及三个以上互不接触的回环。（三）信号流图的基本性质 （三）信号流图的基本性质 （四）信号流图的简化 （l）串联支路的总传输等于各支路传输的乘积。 （2）并联支路的总传输等于各支路传输之和。 （3）混合节点可以用移动支路的方法消去。 （4）回环可以用框图中反馈连接的规则化为等效支路。 （1）用节点表示变量，源节点代表输入量，汇节点代表输出量，用混合节点表示变量或信号的汇合。在混合节点处，所有出支路的信号（即混合节点对应的变量）等于各支路引入信号的代数和。 （2）以支路表示变量或信号的传输和变换过程，信号只能沿着支路的箭头方向传输。在信号流图中每经过一条支路，相当于在方框图中经过一个用方框表示的环节。 （3）增加一个具有单位传输的支路，可把混合节点变为汇节点。 （4）对于同一系统，信号流图的形式不是唯一的。下表列出了信号流图的等效变换规则:下表列出了信号流图的等效变换规则:例题例题 试将下图所示的系统方框图化为信号流图并进行简化，求出系统的闭环传递函数。 解 （a）所示的框图可化为图(b)所示的信号流图，注意：框图中比较环节的正负号在信号流图中表现在支路传输的符号上。图2-30表示了信号流图的简化过程。求出系统的闭环传递函数（总传输）为 : 求出系统的闭环传递函数（总传输）为 : 二、梅逊公式及其应用二、梅逊公式及其应用 式中G(s)为从源节点到汇节点之间的总传输，n为从源节点到汇节点之间前向通道的总数，P k为第K条前向通道的传输。为信号流图特征式，是信号流图所表示的代数方程组的系数行列式, k为第K条前向通道的信号流图特征式的余子式，即从中除去与第K条前向通道相接触的回环后余下的部分。 的计算公式为： 式中 L1——信号流图中所有不同回环的传输之和； L2——所有两个互不接触回环传输的乘积之和； L3——所有三个互不接触回环传输的乘积之和； …………… Lm——所有m个互不接触回环传输的乘积之和； 信号流图上从源节点（输入节点）到汇节点（输出节点）的总传输公式，即梅逊公式为：null 利用梅逊公式求系统总传输时,只要求出信号流图中的n、Pk、  和K,代入公式计算即可。例题2：试用梅逊公式计算下图系统的总传输。null=1- L1 =1+ G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G7 三个回环均与前向通道P1接触，所以1=1 根据梅逊公式，系统总传输为： 解 源节点R(s)和汇节点C(s)之间只有一条前向通道n=1。通道传输为： P1=G1G2G3G4 三个回环的传输之和为： L1 =-G2G3G6-G3G4G5-G1G2G3G7 三个回环之间都有公共节点，流图特征式为：null例题3：试用梅逊公式求图2-33所示信号流的总传输。 nullL3=abefij =1-L1+L2-L3 第一条前向通道与所有回环均有接触，所以1=1 第二条前向通道与回环cd不接触，所以2=1-cd 解 首先确定信号流图中由源节点到汇节点间的前向通道数,从图中可知 n= 2,第一条前向通道的传输为P1=acegi。第二条前向通道的传输为 P2=kgi。 L1=ah＋cd＋ef＋ gh＋ij＋ kfdb L2=abef + abgh + abij + cdgh + cdij + efij + kfdbij