Ising模型导引_2009-03-26

ysh_12@163.com Ising 模型导引 －B.A. Cipra. An introduction to the Ising model Ising 模型导引.........................................................................................................1 1. Ising 模型源起........................................................................................... 1 2. 格子(气)模型.............................................................................................. 1 3. Ising 模型...................................................................................................2 4. 基于组合的初步分析...................................................................................3 4.1 将 Ising 模型转化为整系数多项式..................................................3 4.2 零场强时模型多项式的系数............................................................. 4 4.3 初步组合方法的总结.........................................................................5 5. Ising 模型的求解历史................................................................................6 6. Ising 的计算及结果....................................................................................6 7. Peierls 论证二维情形存在相变................................................................ 7 7.1 建立概率模型.....................................................................................7 7.2 包含指定异号点的单个边界的情形..................................................8 7.3 包含指定异号点的所有边界情形......................................................9 7.4 指定长度的边界线的数目................................................................. 9 8. 二维模型临界点的计算.............................................................................10 9. Onsager 的结果......................................................................................... 12 总结：..............................................................................................................12 附录 1：麦克斯韦－玻尔兹曼分布的推导.....................................................12 1.1.1.1. IsingIsingIsingIsing 模型源起 Ising 模型研究物理学中的相变，相变是指当某些参数(如温度、压力等)发 生微小改变时，引起系统发生大尺度巨变。比如水加热沸腾、在临界温度发生的 铁磁现象等都属于相变的研究范畴。为了解释铁磁相变，1920 年德国的一位物 理学教授楞茨提出了一个简单的模型。后来，他把这个模型交给学生 Ising 作博 士 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 。(下自于渌、郝柏林《相变与临界现象》科学出版社) 粒子系统的物理量都能从配分函数计算出来。其中系统的各能谱为 kTE e /− ， 这是很光滑的函数，计算配分函数时对大量状态求和或积分，只能使函数变得更 光滑。一般来说，统计平均总是消除原有的参差不齐，使结果变得更平滑。然而， 相变是连续性的中断，是无穷的尖峰和有限的跳跃，怎样能作为不断光滑化的平 均结果得到呢？诚然微分可使函数的性质变坏，然而，必须是配分函数先有了毛 病，才能通过微分揭示出来。微分是暴露奇异性的手段，而不是奇异性的来源。 实际上，关于相变的信息已经包含在统计配分函数之内，只有取了“热力学极限”， 即 ∞→N 、 ∞→V ，但保持 VN / 有限，尖峰、断裂等等突变才明确地 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现出来。 2.2.2.2. 格子((((气))))模型 Ising 首先考虑一个简化模型，在模型中粒子仅与其邻近粒子相互作用。下 列格子(lattice)模型即为描述这种情形的适当工具。 ysh_12@163.com 上面分别用图示给出了 1、2、3维的格子模型，其中假定模型中节点总数为 N 。在简化模型中，假定各节点仅与其空间中最邻近的节点相互作用。则 当考虑单个格点时，其邻近节点共有 d2 个。然而，当考虑大量节点时，平均每 个节点的邻近节点为 d 个(此时需在各维固定一个方向)，因而邻近节点总的相互 作用为 dN 个(暂不考虑边界点)。为了消除边界节点的影响，有时可以考虑一个 封闭的形状。比如一维情形下的线圈，二维情形下的环面或球面等。Ising 考虑 这一模型的原因是它可作为描述铁磁性的简化模型。想象铁磁物质中各原子的磁 矩，将其分为“上”、“下”两种状态，这可在格子模型中对各节点赋 1或－1(如 对节点 i ，状态为 1±= i σ )来实现。 3.3.3.3. IsingIsingIsingIsing 模型 Ising 接下来考虑简化模型的哈密尔顿量(哈密尔顿量表征系统的总体能 量)，对系统的某种状态 ),...,,( 21 Nσσσσ = ，可有 ∑∑ −−== >< i i ji ji JEHH σσσσ , )( . (1) 其中参数 E和 J 分别对应能量中来自近邻相互作用的部分以及外部场的部分。之 所以考虑外部场是因为自感磁性的产生，来自于将铁磁性物质置于磁场中并使磁 1=d 1 2 N 2=d 1 2 N 3=d 1 2 N 1=d 2=d 3=d ysh_12@163.com 场逐渐减弱至 0，铁磁物质最后残留下来的磁性。自感磁性的产生必须使温度低 于一个临界值，Ising 研究的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 正是产生自感磁性的临界温度。在该温度下， 原点处的曲线斜率为竖直方向。 (1)式给出了某状态σ 的哈密尔顿量，当给定粒子数目 N 时，通常其分布为最可 几分布(麦克斯韦－玻尔兹曼分布，参见附录 1)，下面以之为模型进行研究。 ∑ ± −== 1 )(),,,( σββ HeNJEZZ . (2) Z 称为配分函数，从理想气体做功可推知 kT/1=β (参见统计力学 教材 民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材 )，其中 k 为玻尔兹曼常数， T 为绝对温度。通过观察各状态的概率 Z e H∑ −= )( )(obPr σβ σ 可见，小的β 值(对应高温)倾向于“拉平”这一分布，使各配分趋近于相等；然 而大的 β 值(对应低温)趋近于使分布中心化，此时系统处于低温状态的概率增 大。铁磁性的强弱实际上反映了分子热运动与磁场两种力量的大小平衡，温度高 时，分子热运动强，磁场的影响不显著；温度低时则反过来，磁场力占据主导地 位。通常“磁性的”配分(状态)能量低于“非磁性的”配分。 许多实际的物理量与配分函数的对数有关，如系统的内能可表达为 ZU log β∂ ∂ −= . 这是很自然的，因为Z 建立在 N2 种配分的求和之上。在 Ising 模型中我们研究 ),,,(log 1 lim),,( NJEZ N JEFF N ββ ∞→ == . (3) 目的是寻找关于 F 的封闭形式的、分析的表达。相变具有这样的特征：当参数取 某一特定值时，其微小变化引起系统宏观状态的变化。因此，这反映在 F 上即为 F 中存在不连续点。 (杨：配分函数可视为系统的粒子数与给定能量之间的关系。而能量可由粒子所 有状态及其概率确定，因此，它似乎是宏观与微观的一个整体关系。) 4.4.4.4. 基于组合的初步分析 4.1 将 Ising 模型转化为整系数多项式 首先我们将配分函数从指数形式转化为两个自变量的整系数多项式。这基于 )tanh1(coshsinhcosh xxxxe x ±=±=± . 因为 i σ 仅取 1± ，因此我们有 C TT > C TT = C TT < ysh_12@163.com ∑ ∏∏∑ ± ><± + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =∑∑= >< 1 ,1 , i J ji E JE i jii i ji ji eeeZ σβ σσβ σβσσβ ∑ ∏∏ ± >< ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ψ+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Ω+= 1 , )1)(cosh()1)(cosh( i i ji ji JE σβσσβ ∑ ∏∏ ± >< ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ψ+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Ω+= 1 , )1()1())(cosh())(cosh( i i ji ji NB JE σσσββ . 注意此处 cosh为偶函数， )tanh( Eβ=Ω ， )tanh( Jβ=Ψ ，B为连接数，在考虑封 闭形状时， dNB = ( d 为模型维数)。代入B并引入因子 N2 ，有 ∑ ∏∏ ± >< ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ψ+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Ω+= 1 , )1()1( 2 1 ))cosh()(cosh2( i i ji ji N Nd JEZ σσσββ (4) 将(4)式代入(3)式，可得： Z N F N log 1 lim ∞→ = 'log 1 lim))cosh()(cosh2log( Z N JE N d ∞→ += ββ ， (5) ∑ ∏∏ ± >< ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ψ+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Ω+= 1 , )1()1( 2 1 ' i i ji ji N Z σσσ . 因为对任意 i 有 12 = i σ ，因此 i σ 的幂仅有一次项或常数，这样有 ∏∏ Ψ+Ω+ >< i i ji ji )1()1( , σσσ ),(...),...,,,(),...,,,(),( 322211 ΨΩ++ΨΩ+ΨΩ+ΨΩ= NNNN PPPP σσσσσσσ . 其中 N PPPP ,...,,, 21 是Ω和Ψ多项式。注意 ),( ΨΩP 并非为 1，它还包含诸 iσ 连乘 后为 1 的情形。当我们对所有配分求和时，有 0),...,,,(),...,,,( 1 1 11 1 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ΨΩ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =ΨΩ ∑∑∑ ± + ±± + NkkkNkkk PP k σσσσσσ σ . 因此，最后有 ),(),( 2 1 ' 1 ΨΩ=ΨΩ= ∑ ± PPZ N . (6) 可见 'Z 是 Ω 和 Ψ 的整系数多项式。现考虑外部场强 J 为 0 的情形，此时 0)0tanh( ==Ψ ，注意Ω的最高幂次为 dN ，因此 dN dNcccP Ω++Ω+Ω+=Ω )(...)2()1(1)0,( 2 . (7) 4.2 零场强时模型多项式的系数 在零场强时，(7)式中的系数 )(nc ( dNn ,...,2,1= )可作下面的组合解释。以格 子模型中的节点为网络顶点，相邻节点间的连接为网络中的边，则 )(nc 是所有由 n 条边围成的偶子图的数目之和，其中偶子图定义为各顶点的度为正的偶数。 (杨：这一点可解释如下。 i σ 可取 1± ，因此其幂次为奇数时，不同状态的影响将 ysh_12@163.com 相互抵消，只有偶次幂时，不同状态之和才会对多项式有贡献。因此，在一维情 形，此处 1433221 ...)1( σσσσσσσσ Nc ++++= ，其中 iσ 均可取 1± 。因可相互抵消， 故而 0)1( =c 。实际上从此处可以推知一维情形除 )(dNc 外系数均为 0。) 4.2.1 一维情形 显然，偶子图必为闭链，考虑一维时的封闭情形，此时只有一条长度为 N 的 闭链。因此 NZ Ω+=1' ，则由 1|)tanh(||| <=Ω Eβ 知 F )1log( 1 lim))(cosh2log( N N d N E Ω++= ∞→ β ))(cosh2log( Ed β= . (8) 4.2.2 二维情形 二维和三维情形，闭链显然存在，但是其长度(定义为经过的边数)必为偶数 (除非在封闭情形，链足够长形成整个封闭回路)。这一点可以这样理解：因为无 论从哪一点 i 出发总会回到 i ，将其向各坐标轴投影，将分别得到数 321 ,, xxx ，闭 链的长度为 321 222 xxxl ++= 。闭链的最小长度显然为 4(正方形)，于是 ...)8()6()4(1' 864 +Ω+Ω+Ω+= cccZ 若 以 左 下 角 节 点 标 记 闭 链 ， 则 可 见 Nc =)4( ， Nc 2)6( = ( 矩 形 ) ， 2/)9()8( += NNc ，形状如下(共有 5种情况) 由于幂级数展开式为 ... 3 1 2 1 )1log( 32 −+−=+ xxxx )1( ，由于 Ω+=1Tr(M) ， )1(det(M) 2Ψ−Ω= ， 于是可求得特征值为(注意矩阵还包含一个系数 1/2) 0)1()1( 22 =Ψ−Ω+Ω+− λλ ⇒ 2 )1(4)1(1 22 Ψ−Ω−Ω+±Ω+ =λ . 因此 )log()))(1(log( 1 lim)(''log 1 lim' 11211 λλλλ =+== ∞→∞→ NN NN N NZ N F 注意到 1)tanh( <=Ψ Jβ ，因此 2222 )1()1(4)1()1( Ω+<Ψ−Ω−Ω+<Ω− ，故有 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Ψ−Ω−Ω++Ω+ =ΨΩ 2 )1(4)1(1 log),(' 22 1F . 从计算出的结果看，在一维情形模型没有相变产生。 (杨：Ising 的求解方法主要在于寻找递推式，看来这是大数据量处理的一种通 用规则。图形学中的 de Boor 算法等递推式也起到了这样的作用。) 7.7.7.7. PeierlsPeierlsPeierlsPeierls 论证二维情形存在相变 7.1 建立概率模型 在 Peierls 的工作之前，Ising 模型并没有被发现存在相变的证据。正因为 这样，Heisenberg 发展了自己的一套解释相变的理论。Peierls 使用概率方法论 证 Ising 模型中存在相变，使得这一简单模型成为人们研究的热点。 回顾 3小节中的自感磁性，逐渐减弱外加磁场的一种理解方式是：在铁磁性 物质的边界施加磁场，然后让边界移向无穷远方向。这正好与 ∞→N 一致。假 定外加磁场使边界处 1+= i σ ，现在考虑格子模型中某内部点 O 处于状态 1−= O σ 的概率。 如果没有外部磁场，在分子热运动的影响下， 1−= O σ 的概率应为 2/1 。然 而，外部磁场使边界处 1+= i σ ，这将产生一定距离的传递影响直至格子模型内 部。当温度很高时，这种影响很快会消失。当温度足够低时，这种影响将延续较 长距离。我们将证明在足够低的温度下，这种影响将传递至整个格子模型。具体 来说，就是 1−= O σ 的概率小于 2/1 ，且与 N 独立。 前面已经说明，某指定配分 ),...,,( 21 Nσσσσ = 的概率为 Z e H∑ −= )( )(obPr σβ σ ，其中 ∑ Θ∈ −= σ σβ )(H eZ . 这里Θ表示所有边界为正的配分的集合(注意，这里不再强调组合关系，因此 1± 在此处并不重要)。可有 ∑ Θ∈ −=−= O H O e Z σ σβ σ )(1)1(obPr ， 其中 Θ∈Θ O 是 1−= O σ 的所有配分的集合。 ysh_12@163.com 考虑集合 O Θ 中如上图所示一种典型的配分，因为边界条件确定，所以可被视为 在“正号”海洋中的“负号孤岛”。其中一些孤岛可能还有“湖泊”，但是它们都 具有“海岸线”。其中一定存在一个包含点 O 的孤岛。 7.2 包含指定异号点的单个边界的情形 假定现在我们画出一条海岸线 S ，创建一个包围点 O 的孤岛，并且令 S 的长 度为 )(Sn 。考虑 O Θ 中以 S 为海岸线的配分集合 S Θ ，则有 ∑ ∑∑ Θ∈ >∉<Θ∈ − −==Θ SS Sji ji H S ESEn Z e Z σσ σβ σσββ )exp())(exp( 11 )(obPr , )( (11) ∑ ∑ Θ∈ >∉< −= S Sji ji E Z SEn σ σσββ )exp( 1 ))(exp( , . (12) 注意，上面的运算用到了下列关系 ∑∑∑∑ ><><>< −=−=−−== ji ji ji ji i i ji ji EEJEHH ,,, )( σσσσσσσσ ， (13) )( ,, Sn Sji ji ji ji −= ∑∑ >∉<>< σσσσ . (14) 将式(14)代入(13)后再代入式(11)即得式(12)。在式(14)中， S 所在的各片段均 表示一对异号的节点，总对数与片段个数(亦即长度 )(Sn )相同。另外注意节点 总的组合数 >< ji, 中实际只包含邻近节点对(因 Ising 模型假定只考虑邻近节点 间的能量)， Sji >∉< , 表示节点 ji, 间的连线不经过 S 。 下面研究(12)式，假定将 S 内部的符号全部置反，记此时各节点为 'σ ，配分 为 S 'Θ ，此时有(注意此时 S 两侧的节点同号，乘积为 1)： )('''' ,,,, sn Sji ji Sji ji Sji ji ji ji +=+= ∑∑∑∑ >∉<>∈<>∉<>< σσσσσσσσ (15) ∑∑ ><>∉< < ji ji Sji ji ,, ''σσσσ (16) 将(16)式代入(12)式，可得： ysh_12@163.com ∑ ∑ Θ∈ >∉< −=Θ S Sji jiS E Z SEn σ σσββ )exp( 1 ))(exp()(obPr , ∑∑ ∑ Θ∈Θ∈ >< −−=−< SS H Z SEnE Z SEn ji ji '''' , ))'(exp( 1 ))(exp()''exp( 1 ))(exp( σσ σββσσββ 接下来，又由 0)'(exp( >− σβH ，可知 1))'(exp( 1 ))'(exp( 1 '''' =−<− ∑∑ Θ∈Θ∈ σσ σβσβ H Z H Z S 因此，刻有 <Θ )(obPr S ))(exp())'(exp( 1 ))(exp( '' SEnH Z SEn S βσββ σ −<−− ∑ Θ∈ . (17) 7.3 包含指定异号点的所有边界情形 前面的讨论基于单一边界，若考虑包含 O ( 1−= O σ )的所有边界的集合Φ， 则由(17)式可有 ∑ Φ∈ Θ=−= S SO )(obPr)1(obPr σ ∑ Φ∈ −< S sEn ))(exp( β . (18) 若记 )(ns 为包围 O 点的所有长为 n的海岸线的数目，则(18)式又可写为 )1(obPr −= O σ ∑∑ ∞ =Φ∈ −=−< 4 )exp()())(exp( nS EnnssEn ββ . (19) 至此，一旦知道 )(ns 的表达式，即可求出内部某点与边界异号的概率。 7.4 指定长度的边界线的数目 包围点 O 的海岸线是一条由邻近正方小格各中点连接形成的路径。显然，长 为 n 的路径不能离 O 过远，它必然不会超出边长为 2n 的正方形Π的范围。因 为 )(ns 是长为 n的首尾相连的封闭路径，其数目必然少于Π中长为 n的各种不间 断路径 )(nr 。 )(nr 可视为以Π中各方格中点为起始点的随机行走中的一部分。这 样有(注意 )(ns 不区分以海岸线何点为起始点，而 )(nr 区分起始点)， )( 1 )( nr n ns < . (20) 下面考虑随机行走的数目 )(nr ，在路径上各点，均有 4 个方向上的选择，因 此随机行走的起始点共有 2)2( 22 nn = 个，每一起始点有 n4 条可能路径(如果 限定不能往回走，则可减少至 134 −⋅ n ，但这对结果没有影响)。因此有， Π ysh_12@163.com nn n n n ns 4 2 1 4 2 1 )( 2 =< . (21) 将(21)式代入(19)式，可得 )1(obPr −= O σ ∑∑∑ ∞ = − ∞ = − ∞ = − <=< 144 )4( 2 1 )4( 2 1 4 2 1 n nE n nE n Enn enenen βββ (22) 注意，由于有下列幂级数展开式 )'(...)'1()' 1 1 ( 0 2 ∑ ∞ = =+++= − n n xxx x ， ∑∑ ∞ = ∞ = − =⋅=+++⋅= − ⋅ 11 12 2 ...)321()1( 1 n n n n nxnxxxxx x x . (23) 由(23)式，取 Eex β−= 4 ，可得 )1(obPr −= O σ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − < − − 2)41( 4 2 1 E E e e β β . (24) 从(24)式可知，假定将 β 取为足够大的数(表示温度足够低)，则 1−= O σ 的概率 将任意小，且与格子模型的尺寸无关。因此，自感磁性可保证在某温度下存在。 (杨：此处的结果和使用的方法均令人振奋。使用概率模型进行如此大的放缩仍 能得到想要的结果，这多少与我们的目标不要求计算一个具体值有关。这个论证 过程中包含了好几处跳跃的地方，值得玩味。) 8.8.8.8. 二维模型临界点的计算 Peierls 的工作很漂亮，但并没有给出温度的临界点。1941 年，Kramers 和 Wannier 证明在不存在外场且间隔为(0,1)的情况下，临界温度为 12 −= C T 。 我们首先从 4.2.2 节中式(25)的系数 )(2 nc 开始(下标“2”表示二维)， ∑ ∞ = Ω=+Ω+Ω+Ω+= 0 2 864 )(...)8()6()4(1' n n nccccZ (25) 在 4.2.2 节中我们将 )(2 nc 解释为边长为 n的偶子图的个数，这些子图都是格子 模型中的闭链。为了将上面关于 'Z 的表达式与配分函数联系起来，让我们观察 下面的图形 长为 n的每一种闭链，对应系统的两个配分(例如设定蓝色部分为 1−=σ )。 系统的各种配分经过一个“2对 1”映射后，完全转化为格子模型中的各种闭链 集合。因此，式(25)可进一步写为式(26)， ysh_12@163.com ∑∏∑∑ ± ><± ∞ = Ω=Ω≅Ω= 1 , ),( 1 )( 0 2 2 1 2 1 )(' ji jin n n ncZ δτ (26) 其中求和针对所有配分 ),...,( 1 Nτττ = ，而 )(τn 是指其中某种配分中的偶子图边 长，定义为 ∑ >< = ji jin , ),()( δτ ⎩ ⎨ ⎧ = −= = 10 11 ),( ji ji if if ji ττ ττ δ . (27) 应注意在(26)式中我们用了“≅”来表示两者间的近似相等关系。因为当格 子模型中偶子图为一个点或整个边界时，不再有“2 对 1”的映射关系。边界情 况可通过假定形状为封闭的来排除，但这又引入了新问题：一个跨越整个模型的 闭链将不能表征任何一个区域，比如一个环面。尽管存在这些例外情况，但这些 例外在整体配分中占据的比例是非常小的，可以通过取极限而消除。 对于(26)式的右边，因为 1±= i τ ，由(27)式的关系有 [ ] [ ])1()1( 2 1 )()( 4 1 22),( Ω−+Ω+=Ω−++=Ω jijiji ji ττττττ δ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω+ Ω− + Ω+ = 1 1 1 2 1 ji ττ (28) 将(28)式代入(26)式，可得 ∑∏∑∏ ± ><± >< ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω+ Ω− +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω+ =Ω≅Ω 1 , 2 1 , ),( 1 1 1 2 1 2 1 2 1 )(' ji ji N ji ji Z ττ δ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω+ Ω− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω+ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω+ Ω− ⋅⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω+ = 1 1 ' 2 )1( 2 1 1 1 '2 2 )1( 2 1 2 2 2 ZZ NN . 注意，右边又出现了配分函数。由第 5节中关于 'F 的表达式，可得 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω+ Ω− +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω+ +=Ω ∞→ 1 1 'log 2 )1( log 2 1 log 1 lim)(' 2 ZN N F N ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Ω+ Ω− +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Ω+ = 1 1 ' 2 )1( log 2 F . (29) 由Ω的表达式 )tanh( Eβ=Ω 及 kT/1=β 知，当 0→Ω 时， 0→β ，表示高温；当 1→Ω 时表示低温。由式(29)， 0→Ω ↔ 1 1 1 → Ω+ Ω− ， 1→Ω ↔ 0 1 1 → Ω+ Ω− . 因此，可由一个状态的连续或不连续特性推知另一个状态。我们的问题是Ω为何 值时(29)式中可能出现不连续情况，如果承认某种相变只在一个临界温度(而非 两个)发生，则必有 Ω= Ω+ Ω− 1 1 ⇒ 12 −=Ω=Ω C . 此即为相变发生的临界点。 在 Kramers 和 Wannier 的工作之后，1944 年 Onsager 得出了二维外场为 0 ysh_12@163.com 情形下 'F 的表达式，从中计算出的结果正与上面的结果一致。 (杨：得到这个结果的关键有两点，其一是从(28)式到(29)式的推导中所用的数 学技巧，其二是将配分函数与子图边界长及其实际物理意义联系起来。这个结果 也是不容易得出的。) 9.9.9.9. OnsagerOnsagerOnsagerOnsager的结果 Onsager 的求解过程较为复杂，在李政道《统计力学》中有详细过程的介绍。 杨振宁曾询问过 Onsager 得出这一结果的过程，原来是从最简单的情况开始硬 算，算完 2阶的情况计算 3 阶，算完 3阶的情况计算 4阶，最终忽然发现了一个 规律。现在的 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 上将此说得很复杂，称采用了李群方法云云。实际上 Onsager 真正做的时候完全不知道这些数学概念。实际上，很多数学规律并不需要专门学 习，基本的规律或许在计算时会自动被发现，复杂微妙的规律则往往并不实用。 这一节关于 Onsager 的计算过程留待以后再行补充。 总结： Ising 模型在统计力学中无疑是重要的，从这一模型的提炼和众多学者花样 百出的求解过程可以看到好的工作是如何进行的。这些求解方法中的很多技巧， 特别是将问题在不同视角下切换的能力是取得突破的关键因素。从这一模型的求 解中我们还可以总结出几个较为一般的规律： 1. 涉及大量数据处理的问题，思路之一是由简入繁，此时可借用组合数学、图 论中的工具进行研究；思路之二是整体考虑，此时常借助的模型是概率论与线性 代数。 2. 研究中使用的一些数学技巧是将问题转换至另一视角的重要因素，如此篇文 章中(5)-(7)和(28)-(29)中使用的方法，甚为关键。 3. 在求解局部或个别问题时，要想办法与整体联系起来，构造由多个相互联系 的局部组成整体的链锁，这样才能利用整体的特性，并将问题的结构揭示出来。 此篇文章中第6节Ising构造的递推式和第8节利用的关联温度(Ω )都是这一方 法的极佳展示。 附录 1111：麦克斯韦－玻尔兹曼分布的推导 假定由 N 个粒子构成的系统，其总能量由各粒子能量之和 E 给出，假定能 量共分为 m εεε ,...,, 21 个级别，且各级别粒子数分别为 mNNN ,...,, 21 。现要确定在 出现概率最大的情形， m NNN ,...,, 21 分别是多少。 令 W 为各能级 m εεε ,...,, 21 的粒子数分别为 mNNN ,...,, 21 的可能状态总数，此 时有 !!...! ! ... 21 ... 11 2 1 1 m N NNN N NN N N NNN N CCCW m m == −−−−− ，其中用到下式 )!(! ! 11 1 NNN N C N N − = ， )!(! )!( 212 12 1 NNNN NN C N NN −− − =− ，.... 为计算使 W 最大的 m NNN ,...,, 21 ，可转化为 Wln 。利用斯特林近似式化简得 ysh_12@163.com PPPP −≈ ln!ln ⇒ ∑ = −≈ m i ii NNNNW 1 )ln(lnln . (1) 下面观察当 iii NNN δ+→ 时 Wln 的变化 Wlnδ ，应有 [ ]∑ = ++−≈+ m i iiii NNNNNNWW 1 )ln()(lnlnln δδδ (2) 将(2)式减去(1)式，可得 [ ]∑∑ == ++−≈ m i iiii m i ii NNNNNNW 11 )ln()(lnln δδδ ∑ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++−−≈ m i i i iiii N N NNNN 1 )1ln()(ln δ δδ 由于 ... 32 )1ln( 32 −+−=+ xx xx ，因此 i i i i i i ii i i ii N N N N N N NN N N NN δ δδ δ δ δ ≈≈+≈++ )()1ln()( . 又因为 1ln >> i N ，即得 ∑ = −≈ m i ii NNW 1 lnln δδ . 在约束 0=Nδ 和 0=Eδ 的条件下， Wln 的极值应在 0ln =Wδ 处取得，因此 ∑∑∑ === −−−=−− m i ii m i i m i ii NNNNENW 1 2 1 1 1 21 lnln εδλδλδδλδλδ [ ] 0)(ln 1 21 =++−= ∑ = m i iii NN ελλδ ⇒ )( 21 ieN i ελλ +−= 可见， ∑∑ = −− = == m i m i i i eeNN 11 21 ελλ ，其中∑ = − m i i e 1 2ελ 称为配分函数。 附录 2：2009-4-5 日下午三点在菲华楼 203 做报告，讨论内容小结 (参与人员：缑锦、杜吉祥、陈柏生 及研究生若干) 1、杜吉祥的看法：研究一个工具、关键是要找到应用的地方，想办法把现有工 具应用到各种问题上(杨：杜博士这点正是他的强项，应该好好学习学习，掌握 一个工具后，应该多想想其应用范围)；已经有人想过将配分函数这一套框架用 在神经网络上，但到目前为止，并没有好的成果。 2、缑锦的看法：Ising 模型的问题，涉及大量粒子，这和进化计算采用种群作 为运算对象似有关联之处；配分函数的概念中似乎蕴含某种东西，是否可用在其 它问题上？ Ising模型导引 1.Ising模型源起 2.格子(气)模型 3.Ising模型 4.基于组合的初步分析 4.1将Ising模型转化为整系数多项式 4.2零场强时模型多项式的系数 4.3初步组合方法的总结 5.Ising模型的求解历史 6.Ising的计算及结果 7.Peierls论证二维情形存在相变 7.1建立概率模型 7.2包含指定异号点的单个边界的情形 7.3包含指定异号点的所有边界情形 7.4指定长度的边界线的数目 8.二维模型临界点的计算 9.Onsager的结果 总结： 附录1：麦克斯韦－玻尔兹曼分布的推导