null席位分配问题席位分配问题南京邮电大学理学院
杨振华null某学校有3个系,共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名.若学生代
表
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会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲乙丙三系分别应占有10,6,4席.现在丙系有6名学生分别转入甲乙两系,三个系的人数分别为103,63,34.各系应得到的席位分别应该是10.3,6.3,3.4.将取整的10,6,3个席位分别分配给三个系.剩下的一个席位按照管惯例(小数部分最大)分给丙系.分配方案仍然是10,6,4席.增加席位后的分配方案增加席位后的分配方案20个席位会在表决时出现10:10的局面,三个系同意增加一个席位.此时,21个席位中,三个系分别应该得到10.815,6.615,3.570个席位.取整得到的10,6,3个席位分别分配给三个系.
剩下的2个席位若按照惯例(小数部分最大)进行分配,则分别应该分给甲乙两系.
这样,21个席位的分配方案是11,7,3.不公平现象:总席位增加了一席,丙系少了一席!分配原则的讨论分配原则的讨论在上述的分配原则中,所谓的惯例(即按照小数部分的大小来分配取整后剩下的席位)导致了丙系的不公平.
如何对惯例加以修正?
在席位分配时,若严格按照学生人数的比例分配席位,一般都会出现小数.此时,无论小数部分分配给哪个系,都会出现不公平的情形.我们必须给出一个分配原则,来降低不公平程度.原则一原则一设某系的人数为pi,最终得到的席位为ni,则每个席位所代表的人数为pi /ni,显然该数越大,说明对这个系越不公平.
再设总人数为p,总席位数为n,我们考虑以下
数学
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模型
该模型的数学含义是每个系每 个席位代表的人数都和总体每 个席位代表的人数尽量接近原则一求解原则一求解对于前面提到的具体问题,我们仅考虑下面三个可行解x1=(11,7,3),x2=(10,7,4),x3=(11,6,4).
分别代入目标函数(用f表示)中计算可以得到:
f(x1)=3.574,f(x2)=1.925,f(x3)=2.027
其中f(x2)值最小,所以应考虑方案x2,即三个系分别得10,7,4个席位.原则二原则二类似与上面的原则一,我们可以给出下面的数学模型
其中ni/pi表示某个系平均每个 人分得的席位.n/p表示总体每 个人分得的席位
对于前面的三个方案,其目标函数值分别为
g(11,7,3)=3.216×10-4, g(10,7,4)=2.599×10-4, g(11,6,4)=2.585×10-4.
最合理的方案应该是11,6,4.不公平程度不公平程度分析:上面的两个数学模型从表面上看都有一定的合理之处.但有一个根本的不足,即没有分别衡量各个系的不公平程度.
不公平程度:对于两个系,如果有p1/n1>p2/n2,绝对的不公平程度可用p1/n1-p2/n2来衡量.
例如:p1=120,p2=100,n1=n2=10,则p1/n1-p2/n2=12-10=2.
不过若p1=1020,p2=1000,n1=n2=10,仍然有 p1/n1-p2/n2=2.但是后者的不公平程度显然要比前者大为改善.相对不公平值相对不公平值既然前述的绝对不公平值不太合理,我们引入相对不公平值:
若p1/n1>p2/n2,则定义 对A的相对不公平值为
若p2/n2>p1/n1,则定义对 B的相对不公平值为确定分配方案确定分配方案假设A,B两方已分别占有n1席和n2席,现在讨论,当总席位增加1席时,应该分配给哪一方.
不失一般性,可设p1/n1>p2/n2,即对A不公平.
下面分情况讨论(根据席位和不公平的情况).(1)p1/(n1+1)>p2/n2,即增加一席对A仍然不公平.此时增加的一席显然应分配给A.(2)p1/n1
p2/(n2+1),B增加一席对A不公平,其相对不公平值为
rA(n1,n2+1)=p1(n2+1)/(p2n1)-1为分配公平必须使相对不公平值尽量小,因此若rB(n1+1,n2)Q2,下一席位给甲系,
若Q1p2/n2,容易
证明
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Q1>Q2,即席位应分配给甲方,Q值方法与(1)中讨论的结论一致.问题讨论(二)问题讨论(二)我们的分配原则的基础是相对不公平值的定义.前面的定义是rA(n1,n2)=(p1/n1-p2/n2)/(p2/n2).
若相对不公平值定义为:(p1/n1-p2/n2)/(p1/n1),结论如何?
解答:此时rB(n1+1,n2)=1-(p1n2) /(p2(n1+1))
rA(n1,n2+1)=1-(p2n1) /(p1(n2+1)).
显然rB(n1+1,n2)Q2.
因此,重新定义后,Q值分配原则是一致的.问题讨论(三)问题讨论(三)若相对不公平值定义为:(n1/p1-n2/p2)/(n2/p2),结论如何?
若将上面的分母改为n1/p1,结论如何?
前面的讨论都是基于两方的,对于多方,Q值方法是否仍然合理?
(解答略)整数部分的讨论整数部分的讨论在给出21个席位的分配方案是,先将19个席位按照各个系的整数部分先进行分配是否合理?也就是说,按照Q值分配方法,各方是否一定能保住己方的整数部分?
某一方人数为p1,总人数为p,总席位数是n,这一方最终的席位数为n1,是否一定有n1≥[p1n/p]? 两个系的情况两个系的情况若竞争席位的是两个系,上面的结论是正确的.
定理:要从两个系(人数分别为p1,p2)中选取n个代表，若按照Q值方法进行分配席位数,两方最终应得的席位数分别为n1与n2,则有ni≥[pi n/p].
证明:设ri= pi n/p,mi=[ri].考虑r1,r2不是整数的情况.
此时显然有ri -1Q2(m2+1),从而得出矛盾.证明(续) Q1(m1-1)>Q2(m2+1)?证明(续) Q1(m1-1)>Q2(m2+1)?三个系的情况三个系的情况如果竞争席位的是三个系,是否各个系仍然能保住自己的整数席位呢?
通过编程可以发现这一结论不再成立.
反例1:p1=41,p2=3,p3=3,n=39.各方应分配席位为34.0213,2.48936,2.48936 .
现取n1=33,n2=2,n3=2,各方的Q值为 Q1=1.49822,Q2=Q3=1.5
因此剩下的两个席位应该分配给后两个系.最终的分配方案为33,3,3
甲系未能保住自己的34个席位.多方竞争的情况(反例2)多方竞争的情况(反例2)p1=9215;p2=159;p3=158; p4=157;p5=156;p6=155;
n=100;各方应分配席位为92.15,1.59,1.58,1.57,1.56,1.55
现取n1=90;n2=n3=n4= n5= n6=1,则Q1=10368.3;Q2>Q3>Q4>Q5>Q6=12012.5,
因此在95个席位分配完之后,剩下的5个席位应分配给后面的五方.最终的席位为n1=90,n2=2,n3=2,n4=2,n5=2,n6=2
甲方少了两个多的席位!更深入的问题更深入的问题上面的两个反例说明,Q值方法也有一定的局限性.事实上,任何一种分配原则都将违反一定的常规!
现在仅就Q值方法提出一些问题(选做作业):
两方的时候,各方能保住自己的整数席位,那么三方的时候,各方是否能保住自己的“整数部分-1”个席位?多方的情况结论如何?
各方的人数和总席位数满足什么条件时,各方可以保住自己的整数席位?
总结
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总结数学建模问题的解答不同与常见的数学习题.必须不断地挖掘实际的和理论的各种可能出现的问题,力争完善的解决.
数学建模竞赛的难点之一:挖掘有价值的难度适中的课题加以研究.
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