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1
导数
导数
张玥2012
1、定义，
（1）令函数的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O作曲线C1的切线，切点为B（n,t）（n>0），设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值。
（2）当
（3）令函数的图象为曲线C2，若存在实数b使得曲线C2在处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围。
2、已知在函数的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为
（1）求m、n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；
（3）求证：
3、已知奇函数的图像在（1，）处的切线的斜率为6.且=2时，取得极值.
（1）求实数、的值；
（2）设函数的导函数为，函数的导函数
，（0，1），求函数的单调区间；
（3）在（2）的条件下，当时，恒成立，试确定的取值范围.
4、已知函数(常数)是实数集R上的奇函数, 函数是区间[―1, 1]上的减函数.
（1）求a的值;
（2）若在上恒成立, 求t的取值范围;
(3)讨论关于x的方程的根的个数.
5、已知函数，且对于任意实数，恒有。
（1）求函数的解析式；
（2）已知函数在区间上单调，求实数的取值范围；
（3）函数有几个零点？
6、已知函数
（Ⅰ）设m为方程的根，求证：当时，；
（Ⅱ）若方程有4个不同的根，求a的取值范围.
7、已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数.
（I）求的最大值；
（II）若上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．
8、已知：函数
（1）证明：；
（2）证明：在上为减函数，在上为增函数；
（3）记，求证：
9、已知函数
（1）若函数上为单调增函数，求a的取值范围；
（2）设
10、已知函数，（），函数
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和最大、最小值；
（Ⅱ）求证：对于任意的，总存在，使得是关于的方程的解；并就的取值情况讨论这样的的个数。
11、已知二次函数对都满足且，设函数（，）．
（1）求的表达式；
（2）若，使成立，求实数的取值范围；
（3）设，，求证：对于，恒有．
12、（本小题满分13分）
设函数
（1）若函数在x=1处与直线相切
①求实数a，b的值；②求函数上的最大值.
（2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，求实数m的取值范围.
13、 (本小题满分14分)
已知函数.
（1）若，曲线和在原点处的切线重合，求实数的值.
（2）若，在上恒成立，求的取值范围.
（3）函数，在上函数图象与直线y=1是否有交点？若有，求出交点，若没有，请说明理由.
14、函数
（1）若。
（2）的切线斜率的取值范围记为集合A，曲线连线斜率取值范围记为集合B，你认为集合A、B之间有怎样的关系（真子集、相等），并证明你的结论。
（3）的图象关于轴对称。你认为三次函数的图象是否具有某种对称性，并证明你的结论。
15、已知函数，.（其中为自然对数的底数），
（Ⅰ）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）若对于任意实数≥0，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，是否存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
16、已知函数，实数且
（1）设，判断函数在上的单调性，并说明理由；
（2）若不等式对恒成立，求的范围；
（3）设且的定义域和值域都是，求的最大值。
（本小题满分15分）
17、设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0.
(Ⅰ)当b>时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln)都成立.
18、已知函数，其中，a为常数
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数n，当时，有
19、已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数.
（I）求的最大值；
（II）若上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．
20、（本小题满分14分）
已知
（1）求函数上的最小值；
（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立.
21、 (本小题满分13分)
已知函数，为正常数．
（1）若，且，求函数的单调增区间；
（2）若，且对任意，，都有，求的的取值范围．
22、已知函数（，），．
（Ⅰ）证明：当时，对于任意不相等的两个正实数、，均有成立；
（Ⅱ）记，
（ⅰ）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：.
23、已知函数是函数的极值点。
（Ⅰ）当时，求a的值，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当R时，函数有两个零点，求实数m的取值范围.
（Ⅲ）是否存在这样的直线，同时满足：
①是函数的图象在点处的切线
②与函数 的图象相切于点，如果存在，求实数b的取值范围；不存在，请说明理由。
24、已知函数=，.
(Ⅰ)求函数在区间上的值域；
（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由.
25、已知函数在上为增函数,且,为常数,.
(1)求的值;
(2)若在上为单调函数,求的取值范围;
(3)设,若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围.
26、已知函数
（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；
（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
27、已知正方形的中心在原点，四个顶点都在函数图象上．
（1）若正方形的一个顶点为，求，的值，并求出此时函数的单调增区间；
（2）若正方形唯一确定，试求出的值．
28、已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（I）求a，b的值；
（II）如果当x>0，且时，，求k的取值范围．
29、已知函数（是自然对数的底数）.
（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；
（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与 在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.
30、已知函数：
⑴讨论函数的单调性；
⑵若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围；
⑶求证：．
31、已知函数() =，g ()=+。
（Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数。并说明理由；
（Ⅱ）设数列{ }（）满足，，证明：存在常数M,使得 对于任意的，都有≤ .
评卷人
得分
二、综合题
（每空？ 分，共？ 分）
32、设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
33、设函数，其中为常数．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；
（Ⅲ）当且时，求证：．
34、设函数，其中为常数．
（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立．
35、（本小题满分14分）
已知函数．
（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，试比较与的大小；
（3）求证：（）．
36、（本小题满分14分）
已知函数
(1) 当时，求函数的最值；
(2) 求函数的单调区间；
(3) 试说明是否存在实数使的图象与无公共点.
37、已知函数
（1）、若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）、若函数在为增函数，求的取值范围；
（3）、讨论方程解的个数，并说明理由。
38、（本题满分14分）
已知函数 （为自然对数的底数）．
（1）求的最小值；
（2）不等式的解集为，若且求实数的取值范围；
（3）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比数列，使得？若存在，请求出数列的通项公式．若不存在，请说明理由．
39、（本小题满分14分）
已知函数．
（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，试比较与的大小；
（3）求证：（）．
评卷人
得分
三、填空题
（每空？ 分，共？ 分）
40、已知函数，过点P（0，m）作曲线的切线，斜率恒大于零，则的取值范围为 .
参考答案
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一、
计算题
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1、解：（1）
，故A（0，9）
又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B（n，t）（n>0），
（2）令，
又令 ，
单调递减.
单调递减，
，
（3）
设曲线处有斜率为－8的切线，
①②③
又由题设
∴存在实数b使得 有解，
由①得代入③得，
有解，得，
2、解：（1）依题意，
得
∴
∴
（2）令
当在此区间为增函数
当在此区间为减函数
当在此区间为增函数
处取得极大值
又
因此，当
要使得不等式
所以，存在最小的正整数k=2007，使得不等式恒成立。
（3）（方法一）
又∵
∴
∴
综上可得
（方法2）由（2）知，函数
上是减函数，在[，1]上是增函数
又
所以，当时，－
又t>0，
，且函数上是增函数，
综上可得
…
3、解：（Ⅰ）∵是奇函数，
由恒成立，有.
从而.
又，
故，，，.
（2）依题意，
令，得或.
当变化时，、的变化情况如下表：
（，）
（，3）
（3，+）
的符号
―
+
―
的单调性
递减
递增
递减
由表可知：当（，）时，函数为减函数；当（3，+）时，
函数也为减函数；当（，3），函数为增函数.
∴函数的单调递增区间为（，3），单调递减区间为（，），（3，+）.
（3）由，得.
∵，∴.
在上为减函数.
∴；
.
于是，问题转化为求不等式的解.
解此不等式组，得.又，∴所求的取值范围是.
4、解: （1）是奇函数, 则恒成立
∴
（2）在上是减函数,
在上恒成立, ∴
又在单调递减,
∴只需恒成立
令
则 而恒成立
(3)由（1）知
令
当上为增函数.
上为减函数
当
①时方程无解
②时方程一解
③时方程两解
5、解：（1）由题设得，
，则，
所以
所以对于任意实数恒成立
.故
（2）由，求导数得
，在上恒单调，
只需或在上恒成立，
即或恒成立，
所以或在上恒成立
记，可知：，
或
（3）令，则. 令，则，列表如下.
0
1
+
0
―
0
+
0
―
递增
极大值
递减
极小值1
递增
极大值
递减
时，无零点；或时，有两个零点；时有三个零点；时，有四个零点
6、解：（1）的根，所以
令，所以 在R上为减函数：
当时， 即所以
（2）令
①时在上，；
在上，；
时，；
时，
时．时，为偶函数，
有四个根；
②时，，
有渐近线时，时，
有两个根，不适合题意；
③时，
时，时，，
至多有两个根，不适合题意；
因此，有四个根时，
7、解：（I），
上单调递减，
在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为……4分
（II）由题意
（其中），恒成立，
令，
则，
恒成立，
…………9分
（Ⅲ）由
令
当
上为增函数；
当时，
为减函数；
当
而 方程无解；
当时，方程有一个根；
当时，方程有两个根. …………14分
8、解：（1）由已知得
（2）当时，
当时，令，则在上为增函数，
又，∴当时，，；
当时，，
∴综上知：在上为减函数，在上为增函数
（3）∵
∴
∴
又
∵，，∴
∴
9、解：（I）
因为上为单调增函数，
所以上恒成立.
所以a的取值范围是
即证只需证
由（I）知上是单调增函数，又，
所以
10、解：（Ⅰ）因为 ……1分
由；由，
所以当时，在上递增，在上递减 ……3分
因为，，，
而， ………………4分
所以当时，函数取最小值，………………5分
当时，函数取最大值，………………6分
（Ⅱ）因为，所以，
令，
从而把问题转化为证明方程在上有解，
并讨论解的个数 ………………7分
因为,
,………………8分
所以
①当时,，所以在上有解，且只有一解……10分
②当时,，但由于，
所以在上有解，且有两解 ……12分
③当时,,所以在上有且只有一解；
当时,,
所以在上也有且只有一解 ……14分
综上所述, 对于任意的，总存在，满足，
且当时，有唯一的适合题意；当时，有两个适合题意。
11、解：（1）设，于是
，所以
又，则．所以．
（2）
当m>0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；
当m=0时，对，恒成立；
当m<0时，由，
列表：
x
－
0
＋
递减
极小值
递增
这时 ，
综上，使成立，实数m的取值范围．
（3）由题知因为对，所以在内单调递减．
于是
记，则
所以函数在是单调增函数，
所以，故命题成立．
12、解：（1）①
∵函数在处与直线相切解得 …………3分
②
当时，令得；
令，得上单调递增，在[1，e]上单调递减，
。。。。。。。。7分 …………8分
（2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，
则对所有的都成立，
即对所有的都成立，。。。8分
令为一次函数，
上单调递增，对所有的都成立。。。。。。。。11分
。。13分
（注：也可令所有的都成立，分类讨论得对所有的都成立，，请根据过程酌情给分）
13、解：（1）
……3分
（2）时，在上恒成立
令，……5分
ⅰ）时，，增函数，且，不满足题意，舍去….6分
ⅱ）时，，
则时，，增函数，
，不满足题意，舍去. …….8分
14、解：（Ⅰ） （1分）
若时
对于 （3分）
若时
对于
故f(x)在R上单调递增 （4分）
若△> 0，显然不合。综合所述， （5分）
（Ⅱ） (6分)
证明： 有 （7分）
设PQ斜率K，则
= （8分）
（9分）
若
得故 （10分）
（Ⅲ） （11分）
证明1，由
现证 （12分）
设
则 得
故M关于点
（14分）
15、解：（Ⅰ）， ………………………1分
因此在处的切线的斜率为， ………………………2分
又直线的斜率为， ………………………3分
∴（）＝－1，
∴ ＝－1. ………………………5分
（Ⅱ）∵当≥0时，恒成立，
∴ 先考虑＝0，此时，，可为任意实数； ………………………6分
又当＞0时，恒成立，
则恒成立， …………………………………………7分
设＝，则＝，
当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，
当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减，
故当＝1时，取得极大值，
， …………………………………………9分
∴ 要使≥0，恒成立，＞－，
∴ 实数的取值范围为． …………………………………………10分
（Ⅲ）依题意，曲线C的方程为，
令＝，则＝
设，则，
当，，故在上的最小值为，…………………12分
所以≥0，又，∴＞0，
而若曲线C：在点处的切线与轴垂直，
则＝0，矛盾。 …………………………………………13分
所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直.
…………………………………………14分
16、
（2）对于恒成立
．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
由导数知在是增函数．．．．．．7分
．．．．．．．．9分
17、(I) 函数的定义域为.
，
令，则在上递增，在上递减，
.
当时，，
在上恒成立.
即当时,函数在定义域上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当时函数无极值点.
（2）当时，，
时，
时，
时，函数在上无极值点。
（3）当时，解得两个不同解，.
当时，，，
此时在上有唯一的极小值点.
当时，
在都大于0 ，在上小于0 ，
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。
（III） 当时，
令则
在上恒正，
在上单调递增，当时，恒有.
即当时，有，
对任意正整数，取得
18、（Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为，
当n=2时，
所以 .
（1）当a＞0时，由=0得＞1，＜1，
（2）此时 =.
当x∈（1，x1）时，＜0, 单调递减；
当x∈（x1+∞）时，＞0, 单调递增.
当a≤0时，＜0恒成立，所以无极值.
综上所述，n=2时，
当a＞0时,在处取得极小值，极小值为
当a≤0时，无极值.
（Ⅱ）证法一：因为a=1,所以
当n为偶数时，
令
则=1+＞0（x≥2）.
所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，
又g(2)=0
因此≥g(2)=0恒成立，
所以f(x)≤x-1成立.
当n为奇数时，
要证≤x-1,由于＜0，所以只需证,
令 ,
则=1-≥0（x≥2）,
所以当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0，
所以当x≥2时，恒有＞0,即命题成立.
综上所述，结论成立.
证法二：当a=1时，
当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有≤1，
故只需证明.
令
则
当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增，
因此 当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1) ≤x-1成立.
故 当x≥2时，有≤x-1.
即f（x）≤x-1.
19、解：（I），
上单调递减，
在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为……4分
（II）由题意
（其中），恒成立，
令，
则，
恒成立，
…………9分
（Ⅲ）由
令
当
上为增函数；
当时，
为减函数；
当
而 方程无解；
当时，方程有一个根；
当时，方程有两个根. …………14分
20、解：（1）由已知知函数的定义域为，，……………1分
当单调递减，当单调递增.…2分
①，没有最小值； ……………………………………………………3分
②，即时，； …………………4分
③，即时，上单调递增，； 5分
所以 ……………………………………………6分
（2），则，…………………………7分
设，则，
① 单调递减，
② 单调递增，
所以，对一切恒成立，
所以；………………………………………………10分
（3）问题等价于证明，…………………………11分
由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，
设，则，
易知，当且仅当时取到，…………………………13分
从而对一切，都有 成立 ……………………14分
21、 解：⑴，…2分
∵，令，得，或，
∴函数的单调增区间为， 。 6分
⑵∵，∴，
∴， 8分
设，依题意，在上是减函数。
当时， ，，
令，得：对恒成立，
设，则，
∵，∴，
∴在上是增函数，则当时，有最大值为，
∴。 10分
当时， ，，
令，得： ，
设，则，
∴在上是增函数，∴，
∴， 12分
综上所述，. 13分
22、（Ⅰ）证明： ，
，
，则 ①
，则，②
由①②知．………………………………分
（Ⅱ）（ⅰ），
，
令，则在上单调递增．
，则当时，恒成立，
即当时，恒成立． …………………………… 5分
令，则当时，，
故在上单调递减，从而，
故．……………………………………………………７分
（ⅱ）法一：
，
令，
则表示上一点与直线上一点距离的平方．… 8分
令，则，
可得在上单调递减，在上单调递增，
故，则，…………………………………… 10分
直线与的图象相切与点，
点到直线的距离为，
则，
故．……………………………………………………12分
法二：
，
令，则．………………8分
令，则，显然在上单调递减，在上单调递增，………………………………………………………………………………10分
则，则，故．…………………12分
23、解：（1）,
． ．．．．1分
由已知得，解得a=1． ……2分
．
当时，，当时，．又， ．．．．3分
当时，在，上单调递增，在上单调递减． ………4分
（2）由（1）知，当时，单调递减，
当，单调递增，. ………………2分
要使函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个不同的交点.
①当时，m=0或； ．．．．3分
②当b=0时，； ．．．．4分
③当. ．．．．5分
（3）假设存在， 时，
函数的图象在点处的切线的方程为： ．．．．1分
直线与函数的图象相切于点，
，，所以切线的斜率为
所以切线的方程为
即的方程为： …………2分
得
得其中 ．．．．3分
记其中
令 ．．．．4分
1
+
0
-
极大值
又，
所以实数b的取值范围的集合： …………5分
24、 解：(Ⅰ) 在区间上单调递增，在区间上单调递减,且
的值域为 ………………3分
（Ⅱ）令，则由(Ⅰ)可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数 …………………5分
当时, ,.s 在区间上递减，不合题意
当时, ,在区间上单调递增，不合题意
当时, ,在区间上单调递减，不合题意
当即时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于0 而由可得，则
综上，满足条件的不存在。………………………..8分
（Ⅲ）设函数具备性质“”，即在点处的切线斜率等于，不妨设，则，而在点处的切线斜率为，
故有………………10分
即，令，则上式化为，
………………12分
令，则由可得在上单调递增，故，即方程无解，所以函数不具备性质“”. ……………………14分
25、解：（1）由题意：在上恒成立，即在上恒成立，
只需sin…………（4分）
(2) 由(1),得f(x)-g(x)=mx-,,由于f(x)-g(x)在其定义域内为单调函数，则在上恒成立，即在上恒成立，故，综上，m的取值范围是 …………（9分）
（3）构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x),,
当由得，，所以在上不存在一个，使得； …………（12分）
当m>0时，，因为，所以在上恒成立，故F(x)在上单调递增，，故m的取值范围是…………（15分）
另法:(3) 令
26、解（Ⅰ） 1分
若函数在上递增，则对恒成立，即对恒成立，而当时，
若函数在上递减，则对恒成立，即对恒成立，这是不可能的．
综上， 的最小值为1． 4分
（Ⅱ）解1、由
令
得=0的根为1，所以
当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，
所以在处取到最大值，又 ，，
所以要使与有两个不同的交点，则有 ……………8分
（Ⅲ）假设存在，不妨设
9分
若则，即，即． （*） 12分
令，（)，
则＞0．∴在上增函数， ∴，
∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴
因此，满足条件的不存在． 15分
27、⑴因为，所以，因此，
所以函数的图象在点处的切线方程为，…………………………2分
由得，由，得．…4分
⑵因为，
所以，由题意知在上有解，
因为，设，因为，
则只要解得，
所以b的取值范围．………………………………………………………………8分
⑶不妨设．因为函数在区间上是增函数，所以，
函数图象的对称轴为，且，
（ⅰ）当时，函数在区间上是减函数，所以，
所以等价于，
即，
等价于在区间上是增函数，
等价于在区间上恒成立，
等价于在区间上恒成立，
所以，又，
所以；………………………………………………………………………………………10分
（ⅱ）当时，函数在区间上是减函数，在上为增函数．
①当时，
等价于，
等价于在区间上是增函数，
等价于在区间上恒成立，
等价于在区间上恒成立，
所以，又，
所以；……………………………………………………………………………12分
②当时，
等价于，
等价于在区间上是增函数，
等价于在区间上恒成立，
等价于在区间上恒成立，
所以，故．………………………………………………………………14分
③当时，
由图象的对称性知，只要对于①②同时成立，那么对于③，
则存在，
使恒成立；
或存在，
使恒成立．
因此，．
综上，b的取值范围是．……………………………………………………16分
28、解：
（Ⅰ）
由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
。
考虑函数，则
。
(i)设，由知，当时，。而，故
当时，，可得；
当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0
从而当x>0，且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设0
0，故 (x）>0，而
h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾。
（iii）设k1.此时（x）>0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0，与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
解：（2）由（1）知．
故要证： 只需证
为去分母，故分x>1与01时，需证
即 即需证． （1）
设，则
由x>1得，所以在（1，+）上为减函数．又因g（1）=0
所以 当x>1时 g（x）<0 即（1）式成立．
同理00，……………………12分
因此存在实数a(a≥1)使f(x)的最小值大于，
故存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与无公共点.………………………14分
37、解：（1）因为： ，又在处的切线方程为
所以 解得： ………3分
（2）若函数在上恒成立。则在上恒成立，
即：在上恒成立。所以有 ……3分
（3）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；……7分
当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数。
，，所以方程有惟一解。……8分
当时，
因为当时，，在内为减函数；
当时，在内为增函数。
所以当时，有极小值即为最小值。……10分
当时，，此方程无解；
当时，此方程有惟一解。
当时，
因为且，所以方程在区间上有惟一解，……12分
因为当时，，所以
所以
因为 ，所以
所以 方程在区间上有惟一解。
所以方程在区间上有惟两解。 ……14分
综上所述：当时，方程无解；
当时，方程有惟一解；
当时方程有两解。 ……14分
38、解：（1） 1分
由当；当
…4分
（2），有解
由即上有解 …6分
令，上减，在[1，2]上增
又，且
… 8分
（3）设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列，使
…10分
又时，
故
②-①×2得，解得（舍）
故 …12分
此时
存在满足条件的数列 满足题意 …14分
39、解：（1）当时，，定义域是，
， 令，得或． …2分
当或时，，当时，，
函数在、上单调递增，在上单调递减． ……………4分
的极大值是，极小值是．
当时，； 当时，，
当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分
（2）当时，，定义域为．
令，
，
在上是增函数． …………………………………7分
①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即． …………………………………9分
（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有， ． ……………12分
，[来源:学科网ZXXK]
． ……………………………………14分
(法二)当时，．
，，即时命题成立． ………………………………10分
设当时，命题成立，即 ．
时，．
根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．……………13分
因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………14分
（法三）如图，根据定积分的定义，
得．……11分
，
． ………………………………12分
，
又，，
．
． …………………………………14分
【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．
三、填空题
40、
浙公网安备 33021202002483