平面向量的数量积

课时作业27　平面向量的数量积 时间：45分钟　　　　分值：100分 一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (每小题5分，共30分) 1．(2009·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq \r(2)，则|b|＝ (　　) A.eq \r(5)　　　　　　　　　 B.eq \r(10) C．5 D．25 解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝50，即5＋2×10＋|b|2＝50，∴|b|＝5. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：C 2．(2009·重庆高考)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是 (　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2) 解析：∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2.又|a|＝1，∴a·b＝3.即|a|·|b|cos〈a，b〉＝3＝1×6cos〈a，b〉，得cos〈a，b〉＝eq \f(1,2)，∴a与b的夹角为eq \f(π,3)，故选C. 答案：C 3．(2009·辽宁高考)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．4 D．12 解析：∵|a|＝2，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，∴|a＋2b|＝2eq \r(3). 答案：B 4．已知非零向量eq \o(AB,\s\up6(→))和eq \o(AC,\s\up6(→))满足(eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),\o(\s\up7(　),\s\do5(|\o(AB,\s\up6(→))|)))＋eq \f(\o(AC,\s\up6(→)),\o(\s\up7(　),\s\do5(|\o(AC,\s\up6(→))|))))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),\o(\s\up7(　),\s\do5(|\o(AB,\s\up6(→))|)))·eq \f(\o(AC,\s\up6(→)),\o(\s\up7(　),\s\do5(|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝eq \f(1,2)，则△ABC为(　　) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 解析：由(eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),\o(\s\up7(　),\s\do5(|\o(AB,\s\up6(→))|)))＋eq \f(\o(AC,\s\up6(→)),\o(\s\up7(　),\s\do5(|\o(AC,\s\up6(→))|))))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝0⇒∠BAC的角平分线与BC垂直，∴△ABC为等腰三角形， ∵eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),\o(\s\up7(　),\s\do5(|\o(AB,\s\up6(→))|)))·eq \f(\o(AC,\s\up6(→)),\o(\s\up7(　),\s\do5(|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝eq \f(1,2)， ∴∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形． 答案：D 5．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且eq \o(DC,\s\up6(→))＝2eq \o(BD,\s\up6(→))，eq \o(CE,\s\up6(→))＝2eq \o(EA,\s\up6(→))，eq \o(AF,\s\up6(→))＝2eq \o(FB,\s\up6(→))，则eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(BE,\s\up6(→))＋eq \o(CF,\s\up6(→))与eq \o(BC,\s\up6(→)) (　　) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up6(→))， eq \o(BE,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CE,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3) eq \o(CA,\s\up6(→))， eq \o(CF,\s\up6(→))＝eq \o(CA,\s\up6(→))＋eq \o(AF,\s\up6(→))＝eq \o(CA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up6(→))， ∴eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(BE,\s\up6(→))＋eq \o(CF,\s\up6(→))＝eq \f(5,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,3) eq \o(CA,\s\up6(→))＋eq \f(4,3) eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝eq \f(5,3)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(CA,\s\up6(→)))＋eq \f(4,3) eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝eq \f(5,3) eq \o(CB,\s\up6(→))＋eq \f(4,3) eq \o(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up6(→)).故选A. 答案：A 6．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是 (　　) A．1 B．2 C.eq \r(2) D.eq \f(\r(2),2) 解析：建立平面直角坐标系，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)． 由(a－c)·(b－c)＝0得(x－eq \f(1,2))2＋(y－eq \f(1,2))2＝eq \f(1,2). 这说明向量c的终点在圆(x－eq \f(1,2))2＋(y－eq \f(1,2))2＝eq \f(1,2)上，又向量c的起点O也在圆上，原点O到此圆上的点的最大值等于圆的直径的大小，即|c|max＝eq \r(2).故选C. 答案：C 二、填空题(每小题5分，共20分) 7．(2009·江苏高考)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，则向量a和向量b的数量积a·b＝________. 解析：a·b＝|a|·|b|·cosθ＝2×eq \r(3)cos30°＝2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3. 答案：3 8．(2009·广东高考)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________. 解析：设a＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1)， 由题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((x＋2)2＋(y－1)2＝1，,y－1＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝1，,x＝－1或－3.)) ∴a＝(－1,1)或(－3,1)． 答案：(－1,1)或(－3,1) 9．如图1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则eq \o(AD,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝________. 图1 解析：eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up6(→))， 又∵eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))，|eq \o(AC,\s\up6(→))|2＝1，|eq \o(AB,\s\up6(→))|2＝4， ∴eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝2×1×cos120°＝－1， ∴eq \o(AD,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝(eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up6(→)))·(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))) ＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))2－eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(8,3)，故填－eq \f(8,3). 答案：－eq \f(8,3) 10．已知点G是△ABC的重心，eq \o(AG,\s\up6(→))＝λeq \o(AB,\s\up6(→))＋μeq \o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，那么λ＋μ＝________；若∠A＝120°，eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝－2，则|eq \o(AG,\s\up6(→))|的最小值是__________． 解析：取BC的中点D，则eq \o(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up6(→))，因此λ＋μ＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)；当∠A＝120°，eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝－2时，|eq \o(AB,\s\up6(→))|·|eq \o(AC,\s\up6(→))|cos120°＝－2，|eq \o(AB,\s\up6(→))|·|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝4，|eq \o(AG,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3)|eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3) eq \r(\o(AB,\s\up6(→))2＋\o(AC,\s\up6(→))2－4)≥eq \f(1,3) eq \r(\x(2|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|－4))＝eq \f(2,3)，即|eq \o(AG,\s\up6(→))|的最小值是eq \f(2,3). 答案：eq \f(2,3)　eq \f(2,3) 三、解答题(共50分) 11．(15分)已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝ (1,0)，e2＝(0,1)． (1)试计算a·b及|a＋b|的值； (2)求向量a与b夹角的大小． 解：由已知a＝(1，－1)，b＝(4,3)． (1)a·b＝1×4＋(－1)×3＝1， ∵a＋b＝(1，－1)＋(4,3)＝(5,2)， ∴|a＋b|＝eq \r(25＋4)＝eq \r(29). (2)设a，b夹角为θ， 则cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,\r(2)×5)＝eq \f(\r(2),10)， 又θ∈[0，π]，∴θ＝arccoseq \f(\r(2),10). 12．(15分)已知a＝(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，eq \o(OA,\s\up6(→))＝a－b，eq \o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b及△AOB的面积． 解：∵eq \o(OA,\s\up6(→))⊥eq \o(OB,\s\up6(→))，∴eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝0， 即(a－b)·(a＋b)＝0，∴|a|2－|b|2＝0， ∵|a|＝1，∴|b|＝1. 又|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝|eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))|＝|2b|＝2， ∴|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝|eq \o(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)， 即|a＋b|＝|a－b|＝eq \r(2)，∴a·b＝0. 设b＝(x，y)，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1,－\f(1,2)x＋\f(\r(3),2)y＝0)) 解得b＝(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2))或(－eq \f(\r(3),2)，－eq \f(1,2))， S△AOB＝eq \f(1,2)|eq \o(OA,\s\up6(→))||eq \o(OB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)(eq \r(2))2＝1. 13．(20分)(2009·石家庄一模)在△ABC中，BC＝2，AC＝eq \r(2)，AB＝eq \r(3)＋1. (1)求eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))； (2)设△ABC的外心为O，若eq \o(AC,\s\up6(→))＝meq \o(AO,\s\up6(→))＋neq \o(AB,\s\up6(→))，求m，n的值． 解：(1)由余弦定理知：cosA＝eq \f(2＋(\r(3)＋1)2－4,2\r(2)(\r(3)＋1))＝eq \f(\r(2),2)， ∴eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝|eq \o(AB,\s\up6(→))|·|eq \o(AC,\s\up6(→))|cosA＝eq \r(2)(eq \r(3)＋1)·eq \f(\r(2),2)＝eq \r(3)＋1. (2)由eq \o(AC,\s\up6(→))＝meq \o(AO,\s\up6(→))＋neq \o(AB,\s\up6(→))， 知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＝m\o(AB,\s\up6(→))·\o(AO,\s\up6(→))＋n\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))，,\o(AC,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＝m\o(AC,\s\up6(→))·\o(AO,\s\up6(→))＋n\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)).)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1＝m\o(AB,\s\up6(→))·\o(AO,\s\up6(→))＋(\r(3)＋1)2n，,2＝m\o(AC,\s\up6(→))·\o(AO,\s\up6(→))＋(\r(3)＋1)n.)) ∵O为△ABC的外心， ∴eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AO,\s\up6(→))＝|eq \o(AB,\s\up6(→))|·|eq \o(AO,\s\up6(→))|cos∠BAO ＝|eq \o(AB,\s\up6(→))|·|eq \o(AO,\s\up6(→))|·eq \f(\f(1,2)|\o(AB,\s\up6(→))|,\o(\s\up7(　),\s\do5(|\o(AO,\s\up6(→))|)))＝eq \f(1,2)(eq \r(3)＋1)2. 同理，∴eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(AO,\s\up6(→))＝1. 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1＝\f(1,2)(\r(3)＋1)2m＋(\r(3)＋1)2n，,2＝m＋(\r(3)＋1)n.)) 解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－\r(3)－1，,n＝\r(3).))