3-二项式定理

null第二讲 二项式定理第二讲 二项式定理2.1 二项式定理2.1 二项式定理二项式定理的展式组合恒等式的意义及 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 多项式定理2.1 二项式定理2.1 二项式定理(x+y)n= xn + xn -1y + xn -2y2+…+ yn-1+ yn xn -kyk即(x+y)n= 其组合意义是：将n个相异的球放入两个不同的盒子中， 其中要求x盒放入n-k个求，y盒放入k个球，且同盒的球 不分次序，其 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 数为：2.1 二项式定理2.1 二项式定理二项式定理的几个其它形式:(1) (x+y)n= (2) (x+y)n= (3) (x+y)n= (4) (x+１)n= xn -kyk xkyn-k xkyn-k xk 2.1 二项式定理2.1 二项式定理定理 令n为正整数, 二项式系数序列是单峰序列, 精确地说, 若n是偶数: <<…<>…>若n是奇数:<<…<=>…>.2.2 若干等式及其组合意义2.2 若干等式及其组合意义在计算机科学中，特别是算法分析的一些公式里， 二项式系数经常出现，因此对它的一些性质和它 所满足的许多恒等式都必须熟练掌握。而且我们 要熟练运用组合意义证明恒等式。2.2 若干等式及其组合意义2.2 若干等式及其组合意义1. C(n,r)=C(n,n-r)　　 　　　 从[1,n]去掉一个r子集，剩下一个(n-r)子集。由此建立C(n,r)与C(n,n-r)的一个一一对应。 故C(n,r)=C(n,n-r)2.2 若干等式及其组合意义2.2 若干等式及其组合意义2. C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) 从[1,n]取a1,a2,…,ar.设1≤a1＜a2＜… ＜ar≤n,对取法分类：a1=1,有C(n-1,r-1)种方案 a1>1,有C(n-1,r)种方案 共有C(n-1,r)+C(n-1,r-1)中方案，故 C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)2.2 若干等式及其组合意义2.2 若干等式及其组合意义从[1,n+r+1]取a1 ,a2 , … , an , an+1， 设a1＜a2＜…＜an ＜an+1， 可按a1的取值分类：a1=1,2,3,…r,r+1. a1=1, a2…an+1取自[2,n+r+1] 有( )种取法n n+1 n+2 n+r n+r+1 n n n n rn+r na1=2, a2…an+1取自[3,n+r+1] 有( )种取法n+r-1 n… … …a1=r, a2…an+1取自[r+1,n+r+1] 有( )种取法n+1 na1=r+1, a2…an+1取自[r+2,n+r+1] 有( )种取法n n3.( )+( )+( )+…+( )=( )2.2 若干等式及其组合意义2.2 若干等式及其组合意义①选政治局,再选常委,n个中央委员选出k名政治局委员,再从其中选出r名常委 ②选常委,再选非常委政治局委员 两种选法都无遗漏,无重复地给出可能的方案，应该相等。n k n n-r k r r k-r4. ( ) ( )=( )( )2.2 若干等式及其组合意义2.2 若干等式及其组合意义证明 (x+y) =∑(　)x y ,令x=y=1,得 m m m m 0 1 m m k m-k m m k k=0m5. ( )+( )+…+( )=2 , m≤0,组合证明 对m个元素，每个元素都有取或 不取两种可能.这样有2 个方案. 另可有0-子集(空集),1-子集,…,m-子集.2.2 若干等式及其组合意义2.2 若干等式及其组合意义证1 在(x+y)=∑( )x y 中令x=1,y=-1即得.n n n n 0 1 2 nn n-k kn k n k=06. ( )-( )+( )-…±( )=0证2 在[1,n]的所有组合中, 含1的组合←→不含1的组合.有1—1对应关系.在任 一含1组合及与之对应的不含1组合中，必有一奇数 个元的组合与一偶数个元的组合。将含奇数个元的 组合做成集，将含偶数个元的组合做成另一集。此 二集的元数相等。∑(　)=∑(　)i奇 i偶n n i i2.2 若干等式及其组合意义2.2 若干等式及其组合意义证 从m个互异红球和n个互异蓝球中取r个球,按r个球中红球的个数分类. m+n m n m n m n r 0 r 1 r-1 r 07. ( )=( ) ( )+ ( ) ( )+…+( ) ( ) 即Vandermonde恒等式2.2 若干等式及其组合意义2.2 若干等式及其组合意义8 设 为自然数,则有 证明:当 时, 2.2 若干等式及其组合意义2.2 若干等式及其组合意义9 设 为自然数,则有 证明: 方法一:可利用前一个性质方法二:对等式 两边对 求导,得 再令 即得结论. 2.2 若干等式及其组合意义2.2 若干等式及其组合意义10 设 为自然数,则有 证明: 在 两端乘 ,得 再对 求导,得 令 易见结论成立. 2.2 若干等式及其组合意义2.2 若干等式及其组合意义11 对于正整数 ,有 证明: 对于等式 两边从0到1积分得：即 ,即得. 2.2 若干等式及其组合意义2.2 若干等式及其组合意义证明组合恒等式的方法很多，大致有：（１）用公式（２）用定理（３） 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 归纳法；（４）用公式包括对其求导数或 求原函数；（５）用组合分析方法．2.3 多项式定理2.3 多项式定理 首先考虑分配问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 :将个相异的球放入要求第一个盒子放入个,第二个放入,且盒中的球无次序,求不同的分配方案数.,我们把它记为个,……,第盒子放入个问题归结为求重集的全排列数,为个不同的盒子, 个2.3 多项式定理2.3 多项式定理定理:　设 均为正整数,则有 定理: 展开式的项数等于 ,而这些项系数之和为 2.3 多项式定理2.3 多项式定理例: 的展开式中,项 的系数是: 2.3 多项式定理2.3 多项式定理例: 在 的展开式中,项 的系数是什么? 解: 在 的展开式中 的系数为: 因此 的系数是 2.3 多项式定理2.3 多项式定理例:今天是星期五,再过 天是星期几? 解: 则后50项都是7的倍数,第一项又可以表示为: 显然再过 是星期二. 2.4 牛顿二项式定理2.4 牛顿二项式定理定理 令 是一个实数。则对于所有满足的 和 ，其中于是定理可以用等价的形式叙述为：的任意，对满足 2.4 牛顿二项式定理2.4 牛顿二项式定理设是一个正整数，选择为负整数，则2.4 牛顿二项式定理2.4 牛顿二项式定理因此，对用代替,得到 如果 得到