培优专题13_等腰三角形(含答案)

初中数学培优专题 13、等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ ∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝ ∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点 所以∠1＝ ∠ABC 又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E 所以∠ACB＝2∠E 即∠1＝∠E 所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M 所以M是BE的中点 （等腰三角形三线合一定理） 例2. 如图，已知： 中， ，D是BC上一点，且 ，求 的度数。 分析：题中所要求的 在 中，但仅靠 是无法求出来的。因此需要考虑 和 在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解：因为 ，所以 因为 ，所以 ； 因为 ，所以 （等边对等角） 而 所以 所以 又因为 即 所以 即求得 说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。 2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。 3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。 例3. 已知：如图， 中， 于D。求证： 。 分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形， 是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与 的关系。 证明：过点A作 于E， 所以 （等腰三角形的三线合一性质） 因为 又 ，所以 所以 （直角三角形两锐角互余） 所以 （同角的余角相等） 即 说明： 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线； 2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出 的等角等。 4、中考题型： 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，故选择C。 2.）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：AE＝AF。 证明：因为 ，所以 又因为 所以 又D是BC的中点，所以 所以 所以 ，所以 说明：证法二：连结AD，通过 证明即可 5、题形展示： 例1. 如图， 中， ，BD平分 。 求证： 。 分析一：从要证明的结论出发，在BC上截取 ，只需证明 ，考虑到 ，想到在BC上截取 ，连结DE，易得，则有 ，只需证明 ，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出 。 证明一：在BC上截取 ，连结DE、DF 在 和 中， 又 而 即 分析二：如图，可以考虑延长BD到E，使DE＝AD，这样BD＋AD=BD+DE=BE，只需证明BE＝BC，由于 ，只需证明 易证 ， ，故作 的角平分线，则有 ，进而证明 ，从而可证出 。 证明二：延长BD到E，使DE＝AD，连结CE，作DF平分 交BC于F。 由证明一知： 则有 DF平分 ，在 和 中 ，而 在 和 中， 在 中， 说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。 【实战模拟】 1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（ ） A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 以上都不对 2. 如图， 是等边三角形， ，则 的度数是________。 3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上. 4. 中， ，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证： 。 【试题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】 1. B 2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。 解：因为 是等边三角形 所以 因为 ，所以 所以 在 中，因为 所以 ，所以 所以 3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。 已知：如图，在 中， ，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O点。求证：点O在BC的垂直平分线上。 分析：欲证本题结论，实际上就是证明 。而OB、OC在 中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有 的两个三角形全等。 证明：因为在 中， 所以 （等边对等角） 又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以 （中线定义） 在 和 中， 所以 所以 （全等三角形对应角相等）。 所以 （等角对等边）。 即点O在BC的垂直平分线上。 说明： （1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在 底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB＝OC”是关键的一点。 （2）实际上，本题也可改成开放题：“△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AC、AB上的中点，BD、CE交于O。连结AO后，试判断AO与BC的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。 4. 分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC的中点。 证明：过点A作BC边的垂线AF，垂足为F。 在 中， 所以 所以 （等腰三角形三线合一性质）。 所以 （邻补角定义）。 所以 又因为ED垂直平分AB，所以 （直角三角形两锐角互余）。 （线段垂直平分线定义）。 又因为 （直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）。 所以 在 和 中， 所以 所以 即 。 说明： （1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功； （2）直角三角形中 角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。 1 3 - 1 - _1128931993.unknown _1128932942.unknown _1128933101.unknown _1128939322.doc A B C D _1128941714.doc A D 1 B 2 E F C _1129027165.unknown _1129027295.unknown _1129027433.unknown _1129027178.unknown _1128941964.doc C A 1 D B 2 3 _1128942777.doc A E D O B C 1 2 _1128942940.unknown _1128942395.doc E A 3 1 2 D B F C _1128941948.doc A D E 1 B 2 F C 3 4 5 6 _1128939787.doc A 36° E D F B C _1128941388.doc A E F B D C _1128939427.doc A 1 2 D B C E 3 _1128933279.unknown _1128933329.unknown _1128933370.unknown _1128933434.unknown _1128933460.unknown _1128939206.doc A D 1 B M C E _1128933474.unknown _1128933452.unknown _1128933396.unknown _1128933402.unknown _1128933377.unknown _1128933395.unknown _1128933348.unknown _1128933359.unknown _1128933339.unknown _1128933303.unknown _1128933314.unknown _1128933285.unknown _1128933142.unknown _1128933197.unknown _1128933205.unknown _1128933178.unknown _1128933123.unknown _1128933133.unknown _1128933113.unknown _1128933012.unknown _1128933069.unknown _1128933090.unknown _1128933094.unknown _1128933077.unknown _1128933038.unknown _1128933060.unknown _1128933033.unknown _1128932979.unknown _1128932996.unknown _1128933005.unknown _1128932984.unknown _1128932960.unknown _1128932972.unknown _1128932956.unknown _1128932289.unknown _1128932729.unknown _1128932815.unknown _1128932844.unknown _1128932927.unknown _1128932819.unknown _1128932762.unknown _1128932779.unknown _1128932753.unknown _1128932323.unknown _1128932359.unknown _1128932363.unknown _1128932390.unknown _1128932331.unknown _1128932303.unknown _1128932310.unknown _1128932297.unknown _1128932183.unknown _1128932253.unknown _1128932265.unknown _1128932276.unknown _1128932258.unknown _1128932225.unknown _1128932237.unknown _1128932224.unknown _1128932210.unknown _1128932036.unknown _1128932080.unknown _1128932122.unknown _1128932048.unknown _1128932021.unknown _1128932028.unknown _1128932011.unknown _1128931137.unknown _1128931652.unknown _1128931762.unknown _1128931832.unknown _1128931974.unknown _1128931983.unknown _1128931902.unknown _1128931802.unknown _1128931808.unknown _1128931784.unknown _1128931693.unknown _1128931705.unknown _1128931751.unknown _1128931697.unknown _1128931676.unknown _1128931688.unknown _1128931665.unknown _1128931584.unknown _1128931621.unknown _1128931635.unknown _1128931643.unknown _1128931627.unknown _1128931588.unknown _1128931617.unknown _1128931587.unknown _1128931295.unknown _1128931324.unknown _1128931338.unknown _1128931296.unknown _1128931180.unknown _1128931215.unknown _1128931144.unknown _1128930396.unknown _1128930728.unknown _1128930818.unknown _1128930842.unknown _1128931132.unknown _1128930828.unknown _1128930763.unknown _1128930787.unknown _1128930796.unknown _1128930758.unknown _1128930652.unknown _1128930691.unknown _1128930717.unknown _1128930663.unknown _1128930607.unknown _1128930626.unknown _1128930600.unknown _1128928703.unknown _1128928763.unknown _1128928790.unknown _1128928912.unknown _1128928965.unknown _1128930392.unknown _1128928937.unknown _1128928864.unknown _1128928776.unknown _1128928744.unknown _1128928752.unknown _1128928743.unknown _1128928666.unknown _1128928682.unknown _1128928697.unknown _1128928677.unknown _1128928559.unknown _1128928620.unknown _1128928650.unknown _1128928550.unknown