附录A 平面图形的几何性质

null附录A（目录）附录A（目录）材料力学附录 A 平面图形的几何性质§A.1 形心和静矩§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径§A.3 平行轴定理§A.4 转轴公式 主惯性矩几何性质的定义几何性质的定义附录A 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 ——反映平面图形的形状与尺寸的几何量如：本章介绍： 平面图形几何性质的定义、计算方法和性质1.在轴向拉（压）中：2.在扭转中：§A.1 形心和静矩（目录）§A.1 形心和静矩（目录）附录A 平面图形的几何性质§A.1 形心和静矩一、静矩二、形心三、组合图形的静矩和形心四、静矩的性质一、静矩一、静矩§A.1 形心和静矩一、静矩整个图形 A 对 x 轴的静矩：整个图形 A 对 y 轴的静矩：ydA——微面积dA对 x 轴的静矩xdA——微面积dA对 y 轴的静矩定义：（面积矩）其值：+、-、0 单位：m3二、形心二、形心§A.1 形心和静矩二、形心（各分力对任一轴的力矩之和等于其合力对同一轴的力矩）有 则 xdA 和 ydA 相当于力矩由合力矩定理 将微面积 dA 看作是 力三、组合图形的静矩和形心（组合图形）三、组合图形的静矩和形心（组合图形）§A.1 形心和静矩三、组合图形的静矩和形心 组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等） 组成的平面图形如：三、组合图形的静矩和形心（1.静矩； 2.形心）三、组合图形的静矩和形心（1.静矩； 2.形心）§A.1 形心和静矩1.静矩2.形心三、组合图形的静矩和形心四、静矩的性质（性质1）四、静矩的性质（性质1）§A.1 形心和静矩四、静矩的性质形心轴 图形对形心轴的静矩为零 ——通过图形形心的反之，图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴 性质 1 ： 坐标轴若例1例1§A.1 形心和静矩例1 确定图示图形的形心坐标解： 取参考坐标系xy 性质 2 ： 对称轴必为形心轴§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径（目录）§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径（目录）附录A 平面图形的几何性质§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径一、惯性矩与惯性积二、惯性矩与极惯性矩的关系三、惯性积的性质四、惯性半径一、惯性矩与惯性积（1.惯性矩）一、惯性矩与惯性积（1.惯性矩）§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径一、惯性矩与惯性积整个图形 A 对x 轴的惯性矩整个图形 A 对 y 轴的惯性矩y2dA——微面积dA对 x 轴的惯性矩x2dA——微面积dA对 y 轴的惯性矩定义：其值：+ 单位：m41.惯性矩一、惯性矩与惯性积（1.惯性积）一、惯性矩与惯性积（1.惯性积）§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径整个图形 A 对 x 轴和 y 轴的惯性积定义： xydA——微面积 dA 对 x 轴和 y 轴的惯性积 的坐标轴其值：+、-、0 单位：m4假设： x 轴和 y 轴为一对相互垂直一、惯性矩与惯性积2.惯性积二、惯性矩与极惯性矩的关系（性质2）二、惯性矩与极惯性矩的关系（性质2）§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径二、惯性矩与极惯性矩的关系即： 平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和性质 2 ：若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴二、惯性矩与极惯性矩的关系（1.矩形截面的惯性矩）二、惯性矩与极惯性矩的关系（1.矩形截面的惯性矩）§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径1.矩形截面常用图形的惯性矩：二、惯性矩与极惯性矩的关系（2.圆形与环形截面的惯性矩）二、惯性矩与极惯性矩的关系（2.圆形与环形截面的惯性矩）§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径2.圆形截面由对称性3.环形截面常用图形的惯性矩：三、惯性积的性质（性质3）三、惯性积的性质（性质3）§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径三、惯性积的性质当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴 在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形对这对轴的惯性积为零。性质 3 ：三、惯性积的性质（特别指出）三、惯性积的性质（特别指出）§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径 惯 性 矩——对某一轴而言 极 惯 性 矩——对某一点而言特别指出： 惯 性 积——对某一对正交轴而言四、惯性半径四、惯性半径§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径——图形对 x 轴的惯性半径 单位：m四、惯性半径 在力学计算中，有时把惯性矩写成即：——图形对 y 轴的惯性半径四、惯性半径（注意）四、惯性半径（注意）§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径注意：试问：即：四、惯性半径§A.3 平行轴定理（目录）§A.3 平行轴定理（目录）附录A 平面图形的几何性质§A.3 平行轴定理一、定理推导二、应用一、定理推导一、定理推导§A.3 平行轴定理一、定理推导即：一、定理推导（性质4）一、定理推导（性质4）§A.3 平行轴定理显然：性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩 中，以对形心轴的惯性矩为最小。同理——惯性矩和惯性积的平行轴定理一、定理推导二、应用二、应用§A.3 平行轴定理二、应用例2（求IXC ）例2（求IXC ）§A.3 平行轴定理解：而例2（求IyC ）例2（求IyC ）§A.3 平行轴定理解：§A.4 转轴公式 主惯性矩（目录）§A.4 转轴公式 主惯性矩（目录）附录A 平面图形的几何性质§A.4 转轴公式 主惯性矩一、公式推导二、主惯性矩一、公式推导（两坐标系之间的关系）一、公式推导（两坐标系之间的关系）§A.4 转轴公式 主惯性矩一、公式推导规定： 角逆时针转向为 + 两组坐标系之间的关系：代入一、公式推导（转轴公式）一、公式推导（转轴公式）§A.4 转轴公式 主惯性矩一、公式推导规定： 角逆时针转向为 + 两组坐标系之间的关系：一、公式推导一、公式推导§A.4 转轴公式 主惯性矩显然一、公式推导一、公式推导（性质5）一、公式推导（性质5）§A.4 转轴公式 主惯性矩性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个 惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯 性矩。一、公式推导显然二、主惯性矩（1.定义，性质6）二、主惯性矩（1.定义，性质6）§A.4 转轴公式 主惯性矩二、主惯性矩1.定义主惯性轴——惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴主惯性矩——图形对主惯性轴的惯性矩形心主惯性轴——通过图形形心的主惯性轴形心主惯性矩——图形对形心主惯性轴的惯性矩性质6：图形的对称轴是形心主惯性轴 试问：图形的主惯性轴是否是唯一的？二、主惯性矩（2.主惯性轴的方位）二、主惯性矩（2.主惯性轴的方位）§A.4 转轴公式 主惯性矩2.主惯性轴的方位 设主惯性轴的方位为0，对应的坐标轴为 x0、y0令得到二、主惯性矩二、主惯性矩（3.主惯性矩）二、主惯性矩（3.主惯性矩）§A.4 转轴公式 主惯性矩3. 主惯性矩因故有二、主惯性矩二、主惯性矩（4.主惯性矩的性质，性质7）二、主惯性矩（4.主惯性矩的性质，性质7）§A.4 转轴公式 主惯性矩4.主惯性矩的性质 当Ix1取极值时，对应的方位为1 得到即：性质7：主惯性矩为极值惯性矩，其中一个为极大惯性 矩Imax，另一个为极小惯性矩Imin。令 二、主惯性矩例3（1.确定形心位置）例3（1.确定形心位置）§A.4 转轴公式 主惯性矩解：例3 求图示图形的形心主惯性矩。 1.确定形心位置例3（2.求惯性矩和惯性积—求IXC）例3（2.求惯性矩和惯性积—求IXC）§A.4 转轴公式 主惯性矩解：例3 求图示图形的形心主惯性矩。而例3（2.求惯性矩和惯性积—求IyC ）例3（2.求惯性矩和惯性积—求IyC ）§A.4 转轴公式 主惯性矩解：例3 求图示图形的形心主惯性矩。例3（2.求惯性矩和惯性积—求IXCyC ）例3（2.求惯性矩和惯性积—求IXCyC ）§A.4 转轴公式 主惯性矩解：例3 求图示图形的形心主惯性矩。例3（3.求形心主惯性轴的方位）例3（3.求形心主惯性轴的方位）§A.4 转轴公式 主惯性矩解：例3 求图示图形的形心主惯性矩。3.求形心主惯性轴的方位即：或例3（4.求形心主惯性矩）例3（4.求形心主惯性矩）§A.4 转轴公式 主惯性矩解：例3 求图示图形的形心主惯性矩。4.求形心主惯性矩例3（4.求形心主惯性矩—对应关系）例3（4.求形心主惯性矩—对应关系）§A.4 转轴公式 主惯性矩解：例3 求图示图形的形心主惯性矩。4.求形心主惯性矩注意：即：本章重点本章重点附录A 平面图形的几何性质本 章 重 点1.组合图形的静矩和形心的计算；2.矩形、圆形和环形图形的惯性矩；3.平行轴定理，组合图形惯性矩的计算。