《庞加莱大奖》第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山

《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 翻译：linboll http://hi.baidu.com/linboll 拓扑学的观点和概念在庞加莱早期的工作中显而易见——例如他对 微分方程解的集合的研究。这些集合构成高维空间中的曲面和超曲面。 庞加莱利用新出现的代数拓扑的工具研究了他们的形状和结构。他的 目的是通过把拓扑空间与各种代数变量相联系，从而把拓扑学的问题 化为抽象代数的问题。 他专门设计拓扑学的第一篇论文只是一张短笺，用附言的格式写的。 他对拓扑学真正的关注开始于 1895 年，他在母校的著名刊物《巴黎 综合理工大学学报》上发表了一篇长论文。它的标题是“位置分析”， 而像他匆忙写出的很多论文一样，它并不太成熟、不太流畅，而且很 不完整。庞加莱自己也意识到了，他在四年后写了“位置分析的补充”， 弥补了一些缺陷。但他并未就此止步。从 1900 年到 1904 年，他差不 多平均一年发表一篇补充，总共 5 篇补充。 在今天，代数拓扑的发展被认为是庞加莱最杰出的成就之一，不过在 二十世纪初这项工作几乎被忽视了。他逝世后的悼词强调了他对数学 和物理中传统领域的贡献，三体问题就是最突出的例子。很难找到不 是仅仅一笔带过拓扑学的悼词。在一份在他逝世后几个月发表的、对 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 庞加莱生平和工作的 44 页 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 中，一位在二十世纪初有些名气的数 学家怀康特·罗伯特·达代马尔（Viscount Robert d'Adhemar）只 花了不超过 14 行在拓扑学上。因为对这一分支的研究要求“对空间 的敏锐直觉”和“大量的脑力劳动”，他怀疑庞加莱关于位置分析的 系列论文恐怕没有几个读者。另一方面埃米尔·皮卡尔（Émile Picard），一位庞加莱非常尊敬的同行，指出了位置分析对函数理论 的重要性并赞扬他的这项工作是他最重要的成就之一。皮卡自己也做 了许多开拓性的工作，也是庞加莱同时代的人中为数不多的能肯定这 一新理论重要性的人。但是即使是他也只在这一发展中的数学新分支 上花了一行笔墨。 在庞加莱百年诞辰之际，1954 年在巴黎、法国乃至欧洲都举行了盛 大而华丽的庆典。而著名数学家雅克·阿达马（Jacques Hadamard） 在索邦大学的主旨演讲“亨利·庞加莱与数学”甚至根本没提拓扑学。 而同样著名的加斯东·朱利亚（Gaston Julia）在他的纪念演讲“亨 利·庞加莱，他的生平和工作”中也只花了 5 行在拓扑学上。最后俄 国数学家保罗·亚历山德罗夫（Paul Alexandrov）在荷兰海牙发表 的谈话“庞加莱与拓扑学”的纪录没有收入百年诞辰的纪念文集，尽 管其他庆典活动的细节都被不厌其烦地记录了下来。 数学家们对拓扑学的态度是逐渐转变的。“在那段时间里拓扑学的天 使和抽象代数的恶魔在争夺数学每一个分支的灵魂”德国数学家赫尔 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 曼·魏尔（Herman Weyl）评论道。直到二十世纪四十年代代数拓扑 学才完全被数学家们接受。所罗门·莱夫谢茨（Solomon Lefschetz） 在他开创性的专著“拓扑学”中写道：“或许没有其他哪个数学分支 比拓扑学被庞加莱留下了更加不可磨灭的痕迹”。从此论文和专著的 数量飞速增加。谷歌网显示出近 800000 个关于“代数拓扑”的条目， 亚马逊网站列出了超过 120 本题目中包含“代数拓扑”的书籍。今天 如果没有代数拓扑，数学是无法想象的。而拓扑学的重要性并不局限 于数学中。在庞加莱发表开拓性的论文一百年之后，在如此广泛的领 域里都可以找到拓扑学的应用：计算机制图、经济学、动力系统、凝 聚态物理学、生物学、机器人学、化学、宇宙学、材料科学、人口模 型，以及科学和工程的其他领域。 代数拓扑的时代可以说开始于 1892 年 10 月 31 日，星期一。Félix Joseph Henri de Lacaze-Duthiers--一位杰出的动物学家和具有圣 经中提到的紫蓝色的地中海软体动物的发现者--主持这一天在巴黎 举行的法兰西科学院会议。大量关于化学、物理、天文学、力学、植 物学、地质学和生理学的通信在与会者面前被宣读，还有外交部长的 一份关于法国驻亚美尼亚大使观测月虹的 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 。在四点半的时候，一 个秘密委员会召开会议选举出保罗·埃米尔·阿佩尔（Paul Émile Appell）,庞加莱以前在南希的同学和奥斯卡奖（译者注：参见第四 章）的第二名获得者，作为科学院几何学部的一名新成员。在五点一 刻的时候会议结束了。 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 这天的会议日程之一是庞加莱的一个题为“关于位置分析”的报告。 它很短，而且后来发表在科学院会报的论文只有三页。庞加莱宣读他 的论文的时候还沉浸在父亲去世的痛苦中，他的父亲死于五周前一次 不幸摔倒的后遗症。巧合的是，那时也仅是恩里克·贝蒂（Enrico Betti）逝世的十周之后。 报告的开头并不吸引人。“我们知道曲面的连接顺序在函数理论中扮 演的重要角色，即使这一概念是借用于一个完全不同的数学分支，就 是位置几何学或者说位置分析，”庞加莱告诉科学院的成员们。不过 他多少有点不安，尽管他坚信这一学科的重要性。很明显，他认为他 需要让自己对如此神秘的领域的研究合理化。"回避大于三维的几何 学的人们可能认为这些结果只是智力游戏，"他承认，但补充道“因 为这些研究会有几何以外的应用，所以研究它们并推广到大于三维的 空间还是有些用的。”为了进一步为自己的选择正名，他指出埃米 尔·皮卡尔（Émile Picard）对贝蒂数的巧妙利用已经展示了这一新 理论的工具在纯分析学和普通几何学上的应用。 之后庞加莱直奔要点。“有人也许会问--从位置分析的观点--贝蒂数 足够刻画一个闭曲面的特征吗？” 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 是肯定的，他解释道，在三维 空间中可以把一个曲面通过连续形变变为另一个，只要两个曲面的贝 蒂数相同。于是贝蒂数已经足以拓扑地描述三维空间中的二维曲面。 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 从这一点出发，有人也许会相信在高维空间中结论也成立。但真的成 立吗？在报告的这个时候，庞加莱语出惊人：“相反的命题是正确的”， 他断言，并接着通过构造一个四维空间中的反例证明了自己的断言。 而我们都知道，一个反例足以否定一个数学命题。 有了这篇小作品——一篇记录而不是一篇论文——舞台已经搭好，只 待后人了。然而即使庞加莱把“位置分析”视为极为重要的分支，他 自己却对它没有多少信心。当他 1901 年应瑞典数学家约斯塔·米塔 格·列夫勒（Gösta Mittag-Leffler）的请求来 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 自己到那时为止 的工作时，他在总共 103 页中只给了位置分析 4 页。（而且这四页也 未收入 11 卷的庞加莱文集中）当然，那时只有前两份补充写好了， 但是即使如此人们也会期待庞加莱在这个之后仍然很新的学科多花 些精力。不过明显的缺乏热情并不意味着庞加莱忽视拓扑学的影响力。 相反地，他认为其影响力无处不在。“我踏上的每条分开的路径最终 都指向位置分析，”他在对自己工作的评价中写道。他指的路径包括 微分方程定义出的曲线、三体问题、二元函数、重积分、扰动函数、 群论。“正是这些原因让我在这一数学的新分支贡献了相当长的论文。” 而论文确实长。《巴黎综合理工大学学报》，该大学的学术期刊，创刊 于大革命三年（即 1795 年），当时刚刚发行了一百年。这正是重新开 始的时候，而庞加莱的论文就占据了新一辑的首卷的前 121 页，他对 长度表示遗憾，但表示他自己是控制不住。“当我试图控制篇幅的时 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 候，论文就变得难以理解了。所以我还是选择稍微啰嗦一点。” 庞加莱的论文以强调几何图形对数学研究的重要性开始。它们对两个 变量的函数理论非常有用。他断言并提醒读者，当人们研究四个变量 的函数时对于几何图形的缺乏是多么遗憾。它们的贡献是什么方式呢？ 庞加莱断言，通过唤起人的感觉，对几何图形的仔细考察弥补了人思 维的局限性。进一步他断言：“几何学是对制作得糟糕的图形进行分 析推理的艺术。” “制作得糟糕”不能太从字面上理解。如果它们不是为了让读者迷惑， 图形各部分的相对位置就不应该变动。但是它们的比例可能大变。我 们回顾一下拓扑学的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 定义：拉伸和压缩是允许的，但是撕开和粘 合不是。我们也将发现庞加莱处理代数拓扑的方法是直觉的。 不幸的是，直觉往往和不严谨相关联。今天没人会承认一个不是完全 严谨的证明，因为如果不严谨的话数学就什么都不是了。人们在处理 几何对象的时候可能不要求非常严谨，毕竟每个人都能想象漂浮在三 维空间中的它们。不过一小部分拓扑学家也许应该早点意识到这一点， 即使是早在 1890 年代，因为警钟已经敲响了。在处理二维物体（一 个数学家们可能相信他们不会被直觉误导或欺骗的领域）的工作中， 一些知名数学家在若干年前写的论文被发现了错误。 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 不过数学界愿意原谅庞加莱的不严谨（译者注：原文为 exuberance， 不知何意）。尽管几何、数论、代数和微积分已经是根深蒂固的领域 而且有自尊的数学家都不会接受虚张声势的证明，在这个新学科里， 直觉即使不是被完全接受，却也被心照不宣地宽容。而要等到二十年 之后，数学家们才把坚决的严谨性施加给拓扑学。 严格的证明和准确的定义都未出现在庞加莱开创性的论文中。读者经 常需要通过上下文仔细揣摩作者心里的想法。事实上《位置分析》这 篇论文尽管有很多细节，却只贡献了进一步研究的一个提纲。但是只 要放下架子仔细读论文的缺点之外的东西，你很快就会意识到它充满 了新发现。“几乎每部分都是新颖的想法。”著名法国数学家让·迪厄 多内（Jean Dieudonné）在近一个世纪后惊呼道。他被论文吸引了， 庞加莱不凡的直觉和想象力让他很少迷惑。 论文的开头先定义了拓扑空间、子空间和流形。流形可以被想象成飘 在空中的飞毯。（在这本书中我会交换着使用“对象”、“空间”、“物 体”和“流形”这几个词。）用术语来说，飞毯就对应着嵌入三维空 间的有界二维流形。飘浮的被子也算，因为二维流形可以通过粘合平 面物体得到。莫比乌斯带也是流形——因为它们是通过把平的带子扭 转后与自己粘合得到的——圆柱，甚至是球，也是流形。相比之下想 象一个球是流形是更难的，不过别忘了拓扑学不管有没有角，所以球 可以通过把六个正方形粘成一个立方体得到，或者是把四个三角形粘 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 成一个四面体。 庞加莱也解释了同胚的概念：两个对象称为同胚的，或者拓扑等价的， 如果一个可以通过拉伸、折叠、压缩形变成另一个，但不包括撕开和 粘合。一块地毯和一床被子同胚，但是和雨披就不同胚。（译者注： 雨披的中间有个洞，以便把头套进去。） 庞加莱在他的论文中还提出了很多概念、想法和术语，包括同调、单 侧流形（例如莫比乌斯带，以及相应的高维单侧流形），基本群，单 纯形，复形，单连通复形——简直是一群抽象、珍奇的事物的展览。 在这本书中，当有需要时我会介绍并解释它们。现在我只限于关注其 中两个概念：贝蒂数和对偶定理。 庞加莱称之前的数学家们已经知道并使用了对偶定理，尽管没有证明 它。“我相信这个定理甚至从没被表述过。然而很多发现了它的一些 应用的人都知道它。”不幸的是他并未指出“很多人”是谁，就继续 给出了他认为的对定理的一个证明。在之前的一章我写过，贝蒂数描 述了流形的形状。k 维贝蒂数与一个 n 维流形的 k 维连通性有关。 对偶定理称，对于 n 维闭流形，k 维贝蒂数和(n-k)维贝蒂数是相等 的。我们可以验证一下，例如圆（贝蒂数是（1，1））、球（贝蒂数是 （1，0，1））、面包圈（贝蒂数是（1，2，1）），或者四维空间中的三 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 维面包圈（（1，3，3，1））。这个定理的惊人推论是这些流形不同维 的连通情况不是相互独立的，而是遵从某些规律的！ 《位置分析》变成了代数拓扑学的《圣经》。然而和《圣经》相比人 们在数学论文中会期待证明，而不是预言和启发性的故事。在 1980 年代末，迪厄多内给出了对《位置分析》各部分的深入总结和分析。 在他认为应该批评的地方他用词并不委婉。“总是懒得证明”“不系统 的假设”“完全没有说服力”“相当难懂”“不加区分的断言”“没有任 何理由”和“不完整”是他的一些评论。令人惊讶的是，迪厄多内的 评论也充满了称赞。他的评论这样结尾：“这样这篇迷人又气人的论 文就结束了。尽管有缺点，它却包含了代数拓扑学今后三十年大部分 发展的萌芽。” 不过当时并非所有人都如此看待《位置分析》的价值。在它被发表后 不久，一位丹麦的数学博士生就仔细阅读了它。波尔·黑格（Poul Heegaard）于 1893 年在哥本哈根大学获得理学硕士学位。他在学童 时代并未注定与数学结缘。直到他进入高中，他还认为 7+8=17，而 且他需要用手指数数。不过逐渐地，他表现出他在抽象数学上相当有 才能。高中毕业后他就读于哥本哈根大学，即使他承认从来没有感到 对数学有任何强烈的兴趣。 在拿到学士学位后黑格得到了一笔用于出国游学的奖学金。他先在巴 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 黎停留。他发现法国人相当不热情，而且在数学上得益不多。带着他 在丹麦的教授写的一封介绍信，他前往拜访理学院的主任达布 （Darboux）教授，作为社交的拜访。偏偏这位在二十年后要撰写庞 加莱讣告的达布不喜欢社交。黑格在前厅等了 45 分钟，直到一位秘 书告诉他可以离开了，因为教授大人已经把那封介绍信扔进了垃圾桶。 黑格旁听许多课程的经历也好不到哪儿去。他听了埃米尔·皮卡尔的 讲座。他描述说讲座和剧院的演出也没什么差别：在学生们礼貌的掌 声欢迎下皮卡尔步入讲演厅，之前一位差使轻步跑来，他的任务是在 黑板前的桌子上放一杯水和一些糖。讲座本身远远不如讲演厅恢弘的 大门令人敬畏，因为讲座只是逐字逐句地重复了皮卡尔的著作《分析 讲义》（Leçons d'analyse）。卡米耶·约当（Camille Jordan）的在 法兰西学院的讲座也不比皮卡尔的好。“他讲他的书《分析课程》 （Cours d'analyse）上一大片又一大片的证明， 偶尔停下来改正一 个笔误。”而有一位法国数学家黑格倒是应该会会他，至少听听他的 课，黑格却完全错过了。后来黑格写道：“我一直很后悔听从了不要 去听庞加莱讲座的建议，据说庞加莱的讲座让人听不懂。当我后来读 到他的书时，他直观的讲解对我非常重要。” 或许正是在巴黎的半年里他萌生出对拓扑学的兴趣，尽管没有证据表 明其间他在数学上花了很多时间。其实他好像把在巴黎停留的大部分 时间花在了满足他一个长期以来的心愿上：学汉语。这可不是绝大多 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 数人在到访这座美丽的城市时想到的事情。不管怎样，他在这一学年 的第二学期弥补了之前失去的机会。第二学期他在德国的哥廷根市 （Göttingen）度过。 黑格在这里受到的邀请可比巴黎的好多了。丹麦学生被安放在数学系 老前辈费利克斯·克莱因（Felix Klein）的羽翼之下。克莱因让黑 格在数学会的会议上作了一次讨论班报告和两次讲座。黑格发现哥廷 根大学的气氛对研究很有帮助。不幸的是，他对德国数学家的尊敬后 来转变为受误导的对纳粹极权政体的支持。 回到哥本哈根后黑格开始在好几所高中教书。通过同时占据几个职位， 他提升了自己的经济地位，终于让他足以与学生时代的爱人玛格达莱 娜（Magdalena）结婚。其间他开始考虑博士论文，最终确定写拓扑 学。悲剧的是他没有读庞加莱关于对偶的最新论文而考虑了一个类似 的问题。不过一些“好心的”同事告诉了他，几乎没有掩饰他们的喜 悦。“对你来说很不幸的是庞加莱已经解决了你的问题。”一位老教授 不怀好意地对他说。事实上这却是黑格第一次听说《位置分析》这篇 论文。他很想读它，但是相应的那一期《巴黎综合理工大学学报》在 公共图书馆借不到了。它在教授们之间传阅，黑格知道他等上几个星 期都等不到。如坐针毡的他自己花钱订了一期。学报到手之后他急不 可待地浏览了一遍，然后突然有了发现。他注意到庞加莱犯了一个严 重的错误。对偶定理的所谓证明是有漏洞的。 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 对黑格来说这最终成为了一件幸事：他找到了博士论文的题目。那时 已是深秋，离圣诞假期不远了，而他正好可以利用圣诞假期写论文。 他开始准备一篇对庞加莱对对偶定理的证明的批评。这个大胆的年轻 人——一个只有硕士学位的教师——竟斗胆批评欧洲数学界的知名 泰斗（仅有的另一位也就是哥廷根的大卫·希尔伯特了）。这是黑格 一生中唯一一次可以被称为“狂热地”工作。他花了几周就找到了对 偶定理的一个反例。 让我们回顾一下对偶定理：k 维贝蒂数必须等于(n-k)维贝蒂数。黑 格构造了一个三维流形的例子——一个特定圆锥和圆柱的交——其 各维贝蒂数分别是（1，1，2，1）。这与对偶定理矛盾。找到一个定 理的反例意味着要么反例错了，要么定理错了，要么双方在某个地方 有误解。在这个例子里，事实是第三种情况，我们后面会看到。 在 1898 年 1 月，黑格提交了一篇题为《对一个代数曲面连通性理论 的初步研究》（ Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhaeng）的学位论文。论文通过了，黑 格获得了博士学位。他立刻给庞加莱寄了一份学位论文。庞加莱感到 吃惊。作为一位诚实的学者，他不能因为这是一位新手的工作就将质 疑驳回。他意识到证明里的确缺了些什么，但是他又读不懂丹麦语的 论文，他请黑格解释清楚。在回信里黑格把自己论文的一部分翻译成 了法语。既然一切都清楚了，庞加莱也就知道他自己的证明有严重的 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 缺陷。 为了解决在他的对偶定理和黑格的“很值得注意的”博士论文之间明 显的矛盾，庞加莱写了第一篇《补充》。也许只是缺了一个小细节， 而证明可以被弥补？根据黑格的说法，并非如此。“不仅他的定理没 有被证明，而且定理根本就不可能是对的。”黑格断言。毕竟他找到 了一个反例。 庞加莱的《位置分析的补充》于 1899 年在一个意大利数学团体—— 巴勒莫数学小组（Circolo Matematico di Palermo）的期刊上发表。 这个数学团体在 15 年前（即 1884 年）由富有的数学家乔瓦尼·古恰 （Giovanni Guccia）发起成立。古恰提供了会场、一个图书馆和出 版期刊《巴勒莫数学小组会报》（Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo）的全部经费。这一学术刊物有很高的声誉，二十世纪初 一些最重要的数学论文就在它上面发表。不幸的是，鼎盛时期有近千 名会员，期刊编辑部拥有法国和意大利杰出数学家的小组随着古恰于 一战爆发时的逝世而黯然失色。 在仔细研究他原来的论文之后，庞加莱得出了结论。在奥斯卡奖惨败 的十年之后，他一定有此强烈的信念：这次他的证明没有任何错误！ 只是他证明了的东西和他以为的不同。他是在仔细检查了黑格的反例 之后得出的结论。辛苦地重做所有的计算后，他发现其实有两种不同 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 的贝蒂数！在《位置分析》中他和所有人一样把一个物体的贝蒂数想 成是它在高维空间中的连通性，就像第 5 章描述的那样。但他真正证 明的对偶定理是对于另外一组数成立的，他后来称之为“简约贝蒂数” （reduced Betti numbers）。正确地假设庞加莱指的就是连通性的黑 格得出了庞加莱证明有误的结论。在或许是当年的“年度轻描淡写的 学术陈述”中，庞加莱承认他的证明“有个弱点（feeble point）”。 黑格的批评唤醒的混乱摧毁了庞加莱对空间中物体连通性的结论。庞 加莱写第一篇《补充》的最初目的是给出关于简约贝蒂数的对偶定理 的另一个证明。不过后来的五篇《补充》给了他把自己的工作处理干 净的机会，于是也为代数拓扑学后来的发展创造了条件。 在发表了澄清对偶定理的第一篇《补充》之后，他又重新研究了他早 期的一些想法并在于 1900 年发表在《伦敦数学会会报》的第二篇《补 充》中简化了它们。另外第二篇《补充》没有包含多少新东西，除了 一个重要命题，关于它我在下一章还有很多话要说。第三篇《补充》 于 1902 年在《法国数学会通报》（ Bulletin de la Société Mathématique de France）上发表，第四篇于同一年在《数学与应用 数学杂志》（Journal de Mathématiques Pures et Appliquées）上 发表。第五篇《补充》于 1904 年发表，又在《巴勒莫数学小组会报》 上。在这最后一篇《补充》里的最后几行，庞加莱表述了那个著名的 问题——这本书的中心内容。 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 与此同时，尽管是用丹麦语写的，黑格的论文在整个欧洲都出名了， 除了丹麦。在那里黑格不怀好意的同事们嘲笑它，认为它毫无价值， 而显然他们中有些人甚至根本没读过它。但研读了黑格论文的数学家 对它评价很高。法国数学会甚至在其学术刊物《法国数学会会报》上 发表了黑格论文的法语译本，尽管是在丹麦语版本面世后 18 年后了。 不过法国数学会在发表过程中也并非没有顾虑。在前言中，《会报》 的编辑自问：在一个各国都特别注意本国科学家声誉的时代，公开发 表这个斯堪迪纳维亚人（批评庞加莱）的论文是否真的合适？他们的 回答是发表论文的法语译本恰恰是在践行庞加莱的真正精神。庞加莱 从来不在乎这种（虚荣的）事。他们为自己找到了进一步的理由，指 出把黑格的论文译成法语（以“关于《位置分析》”为题）发表也是 为了扩大庞加莱成就在公众中的知名度和进一步放大他的荣耀。同时 他们也提醒读者不要总是相信黑格尖锐的批评。 凭借一篇引起国际关注的学位论文，黑格的前途一片光明。但是他有 妻子和六个孩子需要养活，而一份大学的薪水不足以让他维持舒适的 生活。为了弥补家用，他暂时放弃了大学的职位，而是在海军学院和 军校教书。每天 8 小时，一周 6 天的繁重教学工作让他没时间做其它 事。由于这一客观原因和他缺乏做数学的热情，他几乎没做什么研究 了。从好的方面来看，不参与大学事务让他远离了与数学家同事的纷 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 争。 一个回归学术工作的机会来临了，当黑格被邀请为《数学科学百科全 书》（Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften）撰写关 于拓扑学的条目。这部工具书本来只是计划编程一本简单的词典。但 是在准备会上克莱因提议，百科全书要提供数学在整个文化中的全景 图。最终百科全书的编撰成为跨越了四个十年（从 1898年到 1935年） 的巨大工程，而这部鸿篇巨著有 20 卷。 黑格接受了邀请，也写了题纲和参考书目。但当他开始写引言时，他 的时间已经被沉重的工作负担占满了。同时他又陷入了与同事费时的 争吵之中。因此他向百科全书的编者弗里德里希·威廉·弗朗茨·迈 尔（Friedrich Wilhelm Franz Meyer）要一位助手。迈尔是哥尼斯 堡大学的教授，也是一位早期的拓扑学家。很快，刚刚获得博士学位 的德国数学家马克斯·德恩（Max Dehn）被招来协助黑格的任务。 比黑格小七岁的德恩降生于汉堡的一个已被同化的犹太医生家庭。父 母和八个孩子都不认为自己是犹太人，甚至都皈依了新教。在于弗赖 堡和哥廷根学习数学之前，德恩在汉堡的“高级中学”（Gymnasium） 接受了全面的教育。在大卫·希尔伯特的指导下他于 1899 年获得博 士学位。在希尔伯特于 1900 年在巴黎召开的国际数学家大会上提出 著名的 23 个问题之后不久，德恩就解决了其中的第 3 个。首个解决 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 23 个问题之一的这一功绩让他赢得了明斯特大学（University of Münster）的一个讲师的职位。当一战爆发时，爱国者德恩——他此 时已经 37 岁，是布雷斯劳（译者注：波兰城市，现名弗罗茨瓦夫） 大学的教授——加入了德军。他参与了六次战斗，获得了前线战斗员 荣誉十字勋章（Ehrenkreuz für Frontkämpfer）。 德恩和黑格于 1903 年在召开于德国城市卡塞尔（Kassel）的一次会 议上见面。在返程的火车上两人讨论拓扑学的基础问题。德恩提出对 于这一新学科的公理化方法：假定尽可能少的几条公理，然后推出其 它所有东西。他发现黑格也有类似的想法。黑格也对此热情很高。在 两个人决定合作撰写百科全书上拓扑学的条目之后，黑格在 1905 年 夏天拜访了德恩，为了“向他介绍自己的观点”。 百科全书的拓扑学条目于 1907 年面世。尽管一开始黑格只把德恩当 作自己的助手，70 页长的条目的脚注体现的可不是这样。黑格进行 了对内容的初步研究，它写道，而且贡献了条目的主要部分，而德恩 对条目的最终稿负责。 百科全书的条目表现了拓扑学的一种新方法。从最基本的概念和事实 开始，而其它一切都由纯粹的逻辑推理得到。尽管他们偏爱公理化方 法，德恩和黑格也很清楚描述性的重要。在介绍公理之后，他们写了 题为“可见的根据”（Das Anschauungsubstrat）的一节，其中他们 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 希望读者运用想象力想象出拓扑学的理论可以在三维空间中被看到 的部分。正是通过这种能看见的解释拓扑学才获得了它的价值，他们 断言。 尽管他们借助了空间想象，但并非所有人都喜欢德恩和黑格的公理化 方法。克莱因认为它太抽象了。他对其缺乏直观的描述性感到遗憾， 而他自己喜欢这一点。他写道，为了理解百科全书该条目的任何内容， 读者必须已经对这一领域非常熟悉才行。 百科全书上的条目在整个欧洲都很有影响力，而黑格在数学界的地位 又开始上升。1910 年哥本哈根大学数学教授的职位出现了空缺。黑 格的朋友强烈建议他去申请，但他认为自己不够格。而且这一职位的 收入也比他当时教书的工作少多了。不过他的朋友坚持劝说，当他们 的恳求没有效果时，他们又做黑格母亲的工作，直到黑格同意了。黑 格是一位天生的老师，学生们很喜欢他。但他和同事相处不好。一如 既往地，黑格与同事的争吵和分歧又接踵而至，而七年之后他在一系 列人事任免中辞去了他的职位，这件事甚至上了报纸。与上级和同事 的内讧最终也导致他退出丹麦数学会。黑格自己对他退出的解释不得 而知，因为他手稿中关键的第 103 和 104 页莫名其妙地从他自传性的 记录中消失了。 一年后他受到了挪威克里斯蒂安尼亚大学（后来更名为奥斯陆大学） 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 的邀请。他在那里呆了 23 年，直到 1941 年。他又几乎没做什么学术 工作，除了协助出版著名挪威数学家索弗斯·李（Sophus Lie） （1842-1899）的著作。他帮助编辑其中的两卷，直到工作量对他来 说太大的时候。黑格喜欢在挪威到处旅行，作通俗的科普讲座。他的 足迹甚至远至一个名为凯于图凯努(Kautokeino)的小城的地方，它在 挪威的极北端。到那里需要先在大陆上行 400英里，乘船行 700英里， 再往内陆跋涉 150 英里，这其中一段还需要乘驯鹿拉的雪橇。他的讲 座被当地商店主翻译成了拉普兰语（Lappish）。 黑格还有另一个最终无效的学术工作上的努力。在 1946 年春天，他 已经从奥斯陆大学退休后好几年，他给在丹麦的朋友雅各布·尼尔森 （Jakob Nielsen）写了一封热情洋溢的信。“抓好你的帽子！我认为 我已经解决了四色问题！”四色问题是那些每个人都尝试过但都失败 了的著名猜想之一。它断言：每幅地图都可以被染上不超过四种颜色 使得没有两个相邻的国家有相同的颜色。黑格计划把手稿翻译成英语， 这样就可以在一份美国的刊物上发表。不过突然的醒悟来得很快。“这 封信就是为了告诉你，你可以把我的手稿扔进垃圾桶了。”黑格非常 失望地写给尼尔森。他在自己的所谓证明中发现了一个错误，于是也 跻身于一群沮丧的、有希望成功的人的漫长名单：他们以为自己证明 了费马猜想（译者注：即费马大定理）、黎曼猜想，哦，对了，还有 庞加莱猜想。 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 与此同时德国已经入侵了挪威。遗憾的是黑格并未对他新祖国的纳粹 占领者表现出敌意。相反地，他在新形势下过得还挺滋润。占领当局 甚至允许他通过挪威的广播作一系列科普讲座。为了说明这件事的重 要性，必须指出只有挪威的纳粹党成员才被允许拥有收音机。作为一 名同情纳粹的人，黑格发现他的名声臭大了。以至于他 1948 年去世 后几乎没有人为他写讣告。在 1960 年挪威科学院的百年纪念集中， 波尔·黑格被这么提到:“他的忠诚绝对是给了那个极权政权的”. 马克斯·德恩后来的生涯与黑格几乎相反。当纳粹掌权时，一直把自 己当作是一个德国新教徒的德恩意识到了这对犹太人来说意味着什 么。他在 1921 年被提名为法兰克福大学的教授，作为路德维希·比 贝尔巴赫（Ludwig Bieberbach）的继任者。比贝尔巴赫后来成为了 臭名昭著的反犹分子和纳粹分子。在令人发指的《重设公职人员法》 （Gesetz zur Wiederherstellung des Berufsbeamtentums）于 1933 年 4 月生效后，犹太人被从学术职位中驱逐。作为一战老兵和十字勋 章的拥有者，德恩一开始被豁免，但豁免只维持了很短的时间。在 1935 年他永久地失去了教授职位。足够明智的他把孩子们都送去国 外，一个儿子去了美国，两个女儿去了英国。 在 1938 年 11 月臭名昭著的“水晶之夜”（Kristallnacht），德恩被 捕但在夜里又被释放，因为监狱已经爆满。意识到他第二天可能被再 次逮捕，德恩和妻子立刻离开了法兰克福。他们逃到了附近的巴特洪 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 堡（Bad Homburg），在那里他们被一位勇敢的同事收留。几周后他们 逃离德国，首先到哥本哈根，然后是挪威的特隆赫姆（Trondheim）。 在一年半的时间里德恩竭力维持生计，在特隆赫姆科技大学讲课。但 是当德国于 1940 年 4 月入侵挪威时，相对的安宁被打断了。在几个 月的时间里德恩被藏在挪威的一个农场里，同时挪威的同事在安排他 和妻子的逃离。在 1941 年初，当他的合作者黑格舒适地生活在奥斯 陆时，德恩和妻子从曲折而令人恐惧的路绕过挪威边境，之后经过芬 兰、俄罗斯、西伯利亚、日本和太平洋到达美国。 杰出欧洲数学家的大潮导致美国学术职位的短缺。德恩在美国各地游 荡，直到他于 1945 年终于在北卡罗莱纳州的黑山学院（Black Mountain College）找到了永久的工作。这所未经认可的学院与其说 是一所学术机构不如说是一所教育性的公社。学生和教授需要卷起袖 子自己动手建设校园设施，以及种庄稼来获得食物。德恩的月收入是 40 美元，食宿免费。尽管他在数学上与世隔绝，他却好像很享受在 黑山度过的时光。他的学识和修养是如此丰富，以至于他不仅可以教 数学（在这里他是唯一的数学教员），还可以教拉丁语、希腊语和哲 学。马克斯·德恩于 1952 年去世。 他在数学上的结果和技术直到今天仍很常用，特别是德恩手术（用来 处理三维流形），德恩引理（它其实只被克内泽尔（Kneser）于 1929 年证明）和德恩算法（用在群论中）。他也纽结理论上的工作也被人 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 铭记，最著名的是左手和右手三叶结是不等价的。 庞加莱在 58 岁时就过早去世了。自从他参与角逐奥斯卡奖（译者注： 见第 4 章）时起，就没有其它事情比一个对于我们宇宙稳定性的证明 更让他一直惦记。他关于此的最后一篇论文题目很简单：“关于一个 几何问题”（Sur un théorèmes de géométrie）。它于 1912 年被发表， 也在《巴勒莫数学小组会报》上。它并非庞加莱的典型作品，而它发 表的年份完全解释了这一点：它是写在庞加莱过早逝世前仅仅几个月 的时候。 前面已经指出，庞加莱的论文往往不是很成熟，不是很流畅，也不是 很正确无误。但庞加莱从不故意发表未完成的工作。这次他破例了。 “我从未公开发表过一篇如本文这样未完成的工作”是开场白。他接 下来讲述说他在这个问题上花了数月的时间，却没能解决它。他说， 如果暂别这个问题几年，然后再重新开始是最好的。“这么做很好， 如果我确定有一天我能够重新捡起它；但是在我现在的年龄我不确定 我能等到那个机会”。在他看来这个问题是如此重要，以至于他觉得 他迄今为止的工作并非徒劳无功。是预感到自己将至的逝世才导致他 把未完成的论文发给《会报》的编辑吗？毕竟他在四年前就受健康问 题困扰了，是在罗马的国际数学家大会上，而现在是因为接受过手术。 总之庞加莱发出了论文以供发表。几个月后他去世了。 《庞加莱大奖》 第六章 从哥本哈根、汉堡到北卡罗莱纳州的黑山 这个重要的定理与三体问题有关，而三体问题的部分解答让庞加莱在 近四分之一个世纪前赢得了奥斯卡奖。当时他证明了三体互相环绕的 周期性轨道的存在性。然而这个证明与人们想要的相距甚远，因为它 只对质量很小的物体成立。但宇宙中可有很大的质量，而如果知道巨 大的行星是否也会呆在轨道上就好了。考虑这个问题后庞加莱得出结 论，问题的答案取决于一个具体的几何猜想是否成立。在两年的时间 里他尝试了许多例子，在每个例子中猜想都成立。但一般性的证明一 直在躲着他。“我对猜想成立的坚信与日俱增，但我对于让它成为可 靠的结论却无能为力。” 猜想的描述是简单的。考虑一个由两个同心圆围成的环形闭区域。现 在对区域作变换，使得小圆周上的点沿顺时针方向运动，大圆周上的 点沿逆时针方向运动，中间的其它点也光滑地扭转。庞加莱断言：区 域中至少有两个点不动。这个情景让人想到风暴眼，在那里一切都静 止不动，而周围则是一片混乱。这正是我们宇宙的稳定性所依赖的东 西。 对我们的宇宙来说庆幸的是，庞加莱被证明是正确的。哈佛大学的助 理教授大卫·伯克霍夫（David Birkhoff）只花了几个月的时间就证 明了确实总有两个不动点。伯克霍夫的论文于 1913 年 1 月发表在《美 国数学会汇刊》，让他成为 20 世纪初最杰出的美国数学家。