点到平面距离公式的多种推导

V01．13，No．2 Mar．。2010 高等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 研究 STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS 19 点到平面距离公式的多种推导 刘德金 (德州学院数学系，山东德州，253023) 摘要 利用平面的向量式方程和向量的射影、两点问距离、平行平面间距离，给出了点到平面距离公式的五 种推导方法．相关方法显示了平面的向量式方程和向量运算在解决几何问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中的重要作用． 关键词 点；平面；距离公式；离差；平面的向量式方程． 中图分类号 0182．2 空间解析几何在空间点、直线与平面间相关位置 的讨论中有一个重要问题是求这些图形问的距离，其 中点到平面的距离、两异面直线之间的距离最为重 要．文献[1]给出了求两异面直线间的距离公式的多 种推导方法，本文研究点到平面的距离公式的推导． 文献[2，3]利用点与平面间离差的几何意义给 出了点M1(zl，Yl，z1)与平面： 7r： Az+By+C毫+D=0(1) 之间的距离公式： 么将(6—8)代入，就可得距离公式(2)． 以下记片为给定点Ml的径矢，即 疗=(z1，Y1，z1)． (9) 1 M1与7r之间的距离是Ml与，r上定点％构成 的向量丽在平面丌的法向量矗上的射影的绝对值． 设平面，r的点法式方程如(3)式，则d=I射影。丽l— I射影。(疗一圬)l= I(疗一疗)·疳f ． c豹将。5，，。6，，。8，，。：{：霉?：二二距离公式。2，．将(5)，(6)，(8)，(9)式代入，即可得距离公式(2)． 本文将利用平面的向量式方程给出该公式的五 种推导方法．这些方法不需要离差的概念，显示了平 面的向量式方程和向量运算在解决几何问题中的重 要作用． 平面的向量式方程主要是平面，r的点法式向量 方程 (产一疗)·疗一0， (3) 和平面，r的向量式参数方程 广=疗+窟+矽， (4) 其中矗是平面7r的法向量，．：I、／-1为参数，孑，疗是平面的 方位向量，疗是平面，r上定点M。的径矢， 疗=(zo，Yo，铂)． (5) 设 元=(A，B，C)， ， (6) a×疗=(A，B，C)， (7) D=一(Azo+Byo+Czo)，(8) 则平面，r的点法式向量方程(3)和平面，r的向量式参 数方程(4)都可以转化为平面，r的一般式方程(1)，所 以以下推导中，只要得到由向量 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的距离公式，那 收穑日期：2009—06—01，修改日期：2010—01—20． 作者简介：刘德金(1957--)。男，山东武城人，教授．从事几何与拓扑学 的教学与研究，Entaillliu—dejin—ok@126．com． 2 Ml与7r之间的距离是以平面的方位向量孑。万 和Mj磁为棱的平行六面体中疗。疗所在面上的高． 设平面丌的方程如(4)式．将孑，孑的始点移到M。 点，则a，疗，Mj磁不共面．M1与7r之间的距离d正好 是以向量a，艿和砑了商为棱的平行六面体中昂，引听在 面上的高(如图1)． 圈1 平行六面体的体积v—I丽·(疗×疗)l， 底面的面积 s=la×疗I， 所以， d=詈=匾掣= I(贡一再)·(a×艿)I——]i又订～。 将(5)，(7)，(8)，(9)式代入，即可得距离公式(2)． 万方数据 20 高等数学研究 2010年3月 3 M1与7r之间的距离是平面If与过M-且与If 平行的平面／rt之间的距离． 设平面，r的方程如(3)式，则丌，的方程为 (，L一)·疗一0． 将，r的方程化为法式方程 广·矛一广·矛一0． 其中矛是由原点指向平面，r的单位法向量，使得 疗·矿≥0． 则平面丌。的法式方程为 ±广·矛一(±疗·矛)=0， 其中正负号的选取应使 ±疗·矛≥0． 由平面法式方程的意义知疗·矛和士疗·矛分别是原 点到平面，r与丌。的距离．无论正负号如何选取，平面 ，r-与7r之间的距离都是 d～，=I疗·铲一疗·铲I=1 l(疗一疗)·矿I— I(疗一疗)·痞l I元I ’ 将(5)，(6)，(8)，(9)式代人，即可得距离公式(2)． 4 Ml与丌之间的距离是M。与过Ml且与丌垂 直的直线在平面上的垂足Mj之间的距离． 设平面7r的点法式方程如(3)式．过M1与丌垂直 的直线L的方程是 广一疗+院， 设直线L在平面丌上的垂足为M。(如图2)，M2的径 矢是矗，则 疗=疗+厉， 圈2 因为M2在平面／r上，所以 (疗+蔚一疗)·万=0， 即 (r7一疗)·矗+玩2=0， 则 所以 疗一再十鱼i≠方， 所以 d：I疙一一I：L尘王；孚；二型． 1咒l 将(5)，(6)，(8)，(9)式代入，即可得距离公式(2)． 5 Mj与兀之间的距离是M。与丌上任意点之间 的距离的最小值． (i)设平面玎的方程为(3)式，M2(z：，Y：，z：) 是平面丌上任意点，矗是Ms的径矢，所以 (疙一疗)·万=0． 如果M1与兀之间的距离是M。与丌上点M：之问的距 离，即 d=I疗一片l， 则 (疙一疗)上丌， 所以 (r7一亓)∥万， 所以若设M1与丌的距离是d，则有 疗一疗=-I-d南， 所以 矗=rT-Fd南， 将疗代入平面丌的方程得 (rl+d南一疗)崩一0， 所以 (疗一疗)·菇4-dl疗l=0， 于是 d：!一!互；芈到， 将(5)，(6)，(8)，(9)式代人，即可得距离公式(2)． (Ii)设平面方程为(4)式，M2(z：，Y：，z：)是 平面／1"上任意点，疙是M2的径矢，则 疗=疗+府+∥， (10) 。 点Mj到平面，r的距离d是l窳I的充分必要条件 是窳垂直于平面，而这又等价于窳同时垂直 于万，玩所以这时有 ‘丽----+d高崭， 即 ． ． ． a×疗 rl—r22士dT_万丽’ 将(10)式代人得 厅一圬=±d高崭+庙+矽， 两边点乘(孑×疗)可得 (疗一坛)·(毒×疗)=土dl疗×疗I， 万方数据 V01．13，No．2 Mar．。2010 高等数学研究 STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS 21 沿任意方向的方向导数与连续 吴华安 (武汉理工大学理学院，武汉。430063) 摘 要 利用反例说明函数在一定点处沿任意方向的方向导数存在时，函数在此定点未必连续． 关键词 方向导数；全微分；连续． 中图分类号 013 文1-1-]讨论了函数在一个定点可微，存在偏导， 偏导连续，沿任一方向的方向导数存在这些概念之间 的关系，指出：“若函数在一点处沿任一方向的方向导 数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错 误的命题，也是我们在高等数学的学习中易于弄错的 一个问题．它证明的根据是，函数在一个定点处沿任 一直线均连续时，函数就在此点连续．这是对多元函 数连续的定义认识不够所致．我们给出一个反例． 例 设 f(xM：』≠每Y，∥w≠o，，y)=jz2+4’“㈡7” 10，X2+y2—0． 令 元=(cosa·cos#) 为任意给定的方向，则 等I(o．o，一磐丛号幽一 ．． COS口COSz臼hlim。+—cos—％+—产‘cos'#COS t2COS2p．O+ f地，。CoS口≠0， 锣口 c。靶-。． 收稿日期：2009一04—15；修改日期：2010—01—23． 作者简介：吴华安(1954--)，男，湖北安陆人，硕士，副教授，从事代数拓 扑、纽结理论等研究，Emaillhuaan—ml@yahoo．com．∞ 所以 扛也彳a骅0 ，天 将(5)，(7)，(8)，(9)式代入，即可得距离公式(2)． 研究点到平面间距离公式的推导，对于理解和掌 握点到平面间距离公式有很大帮助．五种方法利用平 面的点法式向量方程、法式向量方程、向量式参数方 程，涉及到两点之间、两平行平面之间的距离的求法， 涉及到一个向量在另一个向量上的投影，用到向量的 加减法、数乘向量、向量的数量积、向量的向量积、向 量的混合积，还涉及到向量作为因式的方程的解等 这一结果表明f(x，y)在点(o，o)处沿任意方向的方 向导数都存在．由于 ，l：imbf(z，了)一limxZk2x3‘了=，=tr JL lim皂一o：f(0，o)．舞订玩i—u。’u，。 这说明，当动点P(x，3，)沿任意直线 y=妇 向原点逼近时，函数的极限都存在且等于函数在原点 处的函数值，即所谓“沿任意直线函数连续”，然而因为 2 1 1im，f(幻y卜璺万X再-y=4z 0 2专，p’⋯。 j—O十 所以函数在原点处必不连续．当然此函数在原点处也 不存在全微分． 此例既说明函数在一个定点沿任意方向的方向 导数存在，并不能保证函数在此点连续，同时我们也 可以看到，一个函数即使沿任一直线连续也不能就此 断言函数在此点连续． 参考文献 [1]沈永红，高忠社．多元函数微分学中几个基本概念之问的 关系I-J]．高等数学研究，2009，(12)2：33—36． [23武忠祥．工科数学分析基础教学辅导书( 下册 数学七年级下册拔高题下载二年级下册除法运算下载七年级下册数学试卷免费下载二年级下册语文生字表部编三年级下册语文教材分析 )[M]．北京： 高等教育出版社．2007：223． 等，使人们进一步认识到平面向量式方程的作用，看 到了向量的数量积、向量积、混合积在讨论平面问题 中的重要应用． 参考文献 [1]刘德金．两异面直线间距离公式的多种推导FJ]．高等数 学研究，2009，12(2)：21—23． F2]王敬庚，付若男．空间解析几何I-M-]．北京：北京师范大学 出版社，2003：81—84． [3]吕林根，许子道．解析几何[M]．4版．北京：高等教育出版 社，2006：106—108． 万方数据 点到平面距离公式的多种推导 作者： 刘德金 作者单位： 德州学院数学系,山东德州,253023 刊名： 高等数学研究 英文刊名： STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 年，卷(期)： 2010，13(2) 被引用次数： 0次 参考文献(3条) 1.刘德金.两异面直线间距离公式的多种推导[J].高等数学研究,2009,12(2):21-23. 2.王敬庚,付若男.空间解析几何[M].北京:北京师范大学出版社,2003:81-84. 3.吕林根,许子道.解析几何[M].4版.北京:高等教育出版社,2006:106-108. 相似文献(10条) 1.期刊论文 赵峰.冯春明.孟广武.ZHAO Feng.FENG Chun-ming.MENG Guang-wu 平面与点相关位置教学中若干问题 的探讨 -大学数学2008,24(3) 完善了点与平面的离差概念,探讨了平面划分空间问题,并给出两平行平面相关位置及距离公式. 2.学位论文 李钢 石家庄地区50例中老年人的正常(牙合)(牙合)平面及垂直距离X线头影测量研究 2009 目的：用X线头影测量的方法，研究石家庄地区50例中老年正常（）（）平面及垂直距离。了解无牙颌软硬组织的特点，描出与（）面和垂直距离确 定有关的颅颌面部的软硬组织标志点，对其进行直线相关分析。探讨对相关性最强的标志点进行多元逐步回归分析，把无牙颌（）平面和垂直距离定位 于原来天然牙位置，为临床工作提供参考。
　　 方法：1、从河北医科大学附属第二医院体检中心体检病人中挑选50名45-75岁正常殆中老年人，平均年龄66岁，按性别分成两组，男性组30人，女性组 20人。
　　 2、由同一技师对每个正常个体拍摄X线头影测量片，并由作者本人在一定时间内对X线头影测量片进行描绘后输入计算机，用头影测量软件进行测量。
　　 3、（）平面从两个方向定位：（）面前点（即上中切牙切缘点的位置）和（）平面斜度（即（）平面与眶耳平面的角度）。
　　 4、（）面前点定位从垂直和水平两个方向进行。
　　 4.1 垂直方向：以FH平面（眶耳平面）为基准平面，测量Ptm（翼上颌裂点）、N（鼻根点）、ANS（前鼻棘）、UIE（上中切牙切缘点）、Sn（鼻下点 ）、Pn（鼻突点）到FH平面的距离。分别以Ptm-FH、N-FH、ANS-FH、UIE-FH、Sn-FH、Pn-FH表示。
　　 4.2 水平方向：分别做Ptm、N、ANS、UIE、Sn、Pn到
　　 FH平面的垂线，记做Ptm’、N’、ANS’、UIE’、Sn’、Pn’，测量N’、ANS’、UIE’、Sn’、Pn’至Ptm’的距离，记做Ptm’-N’、Ptm’-ANS’、 Ptm'-UIE’、Ptm’-Sn’、Ptm'-Pn’。 5、殆平面斜度则通过OP-FH（殆平面与眶耳平面的角度）与PoNANS（由解剖耳点、鼻根点、前鼻棘点所形成的 角度）、Ar-Go-Me（由关节点、下颌角点、颏下点所形成的角度）、ANS-Go-Me（由前鼻棘点、下颌角点、颏下点所形成的角度）、MP-FH（下颌平面与 眶耳平面所成的角度）、PP-FH（腭平面与眶耳平面所成的角度）、SGn-FH（Y轴与眶耳平面所成的角度）的关系来确定。
　　 6、垂直距离则通过ANS-Me（前鼻棘与颏下点的垂直距离）来确定，测量N-ANS（鼻根点与前鼻棘的垂直距离）、N-Me（鼻根点与颏下点的垂直距离）、 SL（从颏前点向SN平面作垂线交于L点之间的距离）、SE（髁突最后点T4向SN平面作垂线交于E点之间的距离）。
　　 7、将所有数据输入SAS8.1软件进行统计分析。
　　 7.1 分别求UIE-FH与Ptm-FH、N-FH、ANS-FH、Sn-FH、Pn-FH的相关系数，以UIE-FH为应变量，Ptm-FH、N-FH、ANS-FH、Sn-FH、Pn-FH为自变量，进行直 线回归分析；
　　 7.2 分别求Ptm’-UIE’与Ptm’-N’、Ptm’-ANS’、Ptm’-Sn’、Ptm’-Pn’的相关系数，以Ptm’-UIE’为应变量，Ptm，-N，、Ptm'-ANS’、 Ptm’-Sn’、Ptm’-Pn’，进行直线回归分析：
　　 7.3 分别求 OP-FH与 PoNANS、Ar-Go-Me、ANS-Go-Me、MP-FH、PP-FH、SGn-FH的相关系数，以
　　 OP-FH为应变量，PoNANS、 Ar-Go-Me、 ANS-Go-Me、MP-FH、PP-FH、SGn-FH为自变量，进行直线回归分析。 7.4 分别求ANS-Me与N-ANS、N-Me、SE、 SL的相关系数，以ANS-Me为应变量，N-ANS、N-Me、SE、SL为自变量，进行直线回归分析。
　　 结果：1、在男性组中，UIE-FH与Ptm-FH、ANS-FH、Sn-FH、Pn-FH成正相关关系，与N-FH成负相关关系；在女性组中，UIE-FH与ANS-FH、Sn-FH、Pn- FH成正相关关系。在硬组织标志点中UIE-FH与ANS-FH的相关性最强，回归方程男女分别为y=-11.1412+0.6116x、y=-4.0018+0.4964x；在软组织标志点中 UIE-FH与Sn-FH的相关性最强，且回归方程：男性 y=-11.1043+0.7277x、 女性为y=-9.6104+0.7042x。2、在男性组中，Ptm’-UIE’与Ptm’-ANS’、 Ptm’-Sn’成正相关关系；在女性组中，Ptm’-UIE’与Ptm’-ANS’、Ptm’-Sn’、Ptm'-Pn’成正相关关系，与Ptm’-N’成负相关关系。在硬组织标 志点中Ptm’-UIE’与Ptm'-ANS，的相关性最强；且回归方程：男性为y=20.7096+0.5887x、女性为y=7.4129+0.795x；在软组织标志点中Ptm’-UIE’与 Ptm’-Sn’的相关性最强， 且回归方程：男性为y=37.8053+0.4914x、女性为y=14.3508+0.8445x。 3、在男性组OP-FH与MP-FH成正相关关系，回归方程 为y=16.8634+0.5242x；在女性组OP-FH与PoNANS成负相关关系、与MP-FH成正相关关系，其中与MP-FH的相关性最强，回归方程为y=13.745+0.4472x。5、 在男性组，ANS-Me与N-ANS成正相关关系；在女性组，ANS-Me与N-ANS成正相关关系。且回归方程男女分别为
　　 y=58.0011+1.03 10x、y=53.0571+1.0654x 结论：1、（）面前点的定位在男女无牙颌患者可以在垂直方向上可以通过UIE-FH与ANS-FH或Sn-FH建立的回 归方程来定位；在水平方向上可以通过Ptm’-UIE’与Ptm’-ANS’或Ptm’-Sn’建立的回归方程来定位。
　　 2、（）面斜度的确定在男女无牙颌患者可以通过OP-FH与MP-FH建立的回归方程来定位。
　　 3、垂直距离的确定可以通过ANS-Me与N-ANS建立的回归方程定位。
　　 关键词：X线头影测量；无牙颌；（）平面；垂直距离 3.期刊论文 吴中博.WU Zhong-bo 平面最接近点对算法 -电脑知识与技术(学术交流)2007,3(15) 描述了平面最接近点对问题,针对这一问题给出了3种算法,循环遍历算法、分治算法和平面扫描算法,并详细分析了3种算法的时间复杂度. 4.学位论文 严爱国 平面代数剖分样本点的自动求解及软件实现 2001 该文对平面代数剖析及其样本点和有理数域上二元多项式正定性的判定问题作了深入的研究.传统的柱形代数剖分算法将平面剖分成若干个互不相变 交的区域,但通常情况下,这种算法会产生很鑫余的区域,从而会导致很多多余的样本点出现,同时又加大了计算的复杂度.该文的平面代数剖分样本点的临 界点算法,在很多情形下有效地克服了上述困难.同时给出平面代数曲线有界性的有效判准;利用球极投影变换,将无界代数曲线转化为有界的代数曲线(不 改变代数剖分的拓扑),再利用临界点算法求出平面代数剖分的样本点.我们根Seidenberg代数曲线决定法并结合结式的性质和有关技术,有效地实现了对 有理数域上二元多项式正定性的判定.第一章简要回顾柱形代数剖分算法;第二章详细介绍平面代数剖分样本点的临界点算法;第三章介绍有理数域上二元 多项式正定性的单点判定算法;在附录中将给出实现临界点算法和单点判定算法的Maple程序. 5.期刊论文 陈居杰 浅析平面双曲柄五杆机构死点位置 - 工会 工会简历工会简历工会简历工会简历工会简历 博览·理论研究2008,""(11) 本文主要介绍了双曲柄平面五杆机构的死点位置的确定.简要介绍目前比较成熟的平面五杆机构双曲柄存在的充分必要条件,并且以平面四杆机构死 点位置为基础,通过反证法进行推理分析,得出平面五杆机构的死点位置的三角形法.这对平面五杆机构的应用很有帮助. 6.期刊论文 刘官厅.范天佑 点群10mm十次对称二维准晶平面弹性的复变解法及孔口问题 -中国科学E辑2003,33(3) 研究了点群10mm十次对称二维准晶平面弹性问题的复变函数解法. 首先将二维准晶平面弹性问题的位移势函数F用4个解析函数表示出来, 利用解析 函数的性质, 经过大量的推导, 给出了准晶声子场和相位子场的位移、应力及边界条件的复变函数表示, 从而建立了点群10mm十次对称二维准晶平面弹 性问题的复变解法的理论基础. 应用这一理论, 借助于复变函数中的保角变换, 解决了椭圆孔口问题. 当椭圆的短半轴趋于零时, 可得裂纹问题的解.计 算结果表明, 当声子场-相位子场耦合时, 即使受自平衡力的作用, 对椭圆孔口问题, 声子场应力仍与材料常数有关, 这一性质表现出了准晶弹性与经典 弹性的又一不同. 而当声子场-相位子场解耦时, 退化为经典弹性理论.另一方面, 本文是Muskhelishvili创立的经典弹性理论的复变解法在二维准晶平 面弹性问题中的推广, 像经典弹性理论一样, 只要能找到点群10mm十次对称二维准晶平面弹性区域到单位圆的保角变换, 就可解决各种孔口和裂纹问题. 7.学位论文 索艳彩 射影平面上关于低次曲线位置特殊的点集的分类 2008 射影平面上关于d次曲线位置特殊的点集的分类是代数几何中很有意义的问题。我们知道,d次曲线的方程组成一个维数为m(d)=(d+1)(d+2)/2的向量 空间。通过平面上N个给定点,对d次曲线来说给出了N个线性条件,如果这些条件不是线性独立的,那么称这些点关于d次曲线位置特殊.当点的个数超过 m(d)时,这些条件总是线性相关的。当点的个数正好是m(d)时,这些点关于d次曲线位置特殊当且仅当这些点落在一条d次曲线上,因此我们总是排除这些平 凡的情形,即总假设点的个数N