代入配方法巧解二元二次函数最值赛题

万方数据 2002年第8期 数学教学研究 35 一[(拉一1)￡2—2*y+(√三+1)y2] =√三(z2+y2)～(√互一1)(*一_土y)2 √2一l ≤拉(z2+y2)≤拉·1=拉； ii)x2+2戈y一，，2=(√虿+1)髫2 +2zy+(拉一1)y2一√三(x2+广) =(√虿+1)(z+士)2一拉(石2+，，2) √2+l ≥一√三(z2+广)≥一厄 故I戈2+2戈)，一)，2I≤属 4 巧用“代入一配方法”求二元二次函数条件最值 例6(1994年湖北省黄冈地区初中数学竞赛 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 )设z、)，ER，且z2+髫，，+y2=3，求算2一菇y+广 的最值． 解 i)髫2一戈y+y2 =3(戈2+石，，+y2)一2(菇2+2算y十广) =3·3—2(x+y)2≤9； ii)z2一茁y+广 =÷∽唧∥)+÷(茹2砌y∥) =÷一÷(x刊2扎 故z2一zy+，，2有最大值9，最小值1． 例7 (1993年全国高中数学联赛试题)设实数 x、y满足4x2—5z，，+4yz：5，s：*：+y：，求上+上 5Ⅻ J～ 的值． 解 i)5=4x2—5髫y+4y2 =÷∽+y2)+÷∽地，，+y2) =÷s+÷c菇一y，2‘≥}一s≤孚； ii)5=4膏2—5。y+4广‘ =孚∥十，2，一孚(“2"+y2) =争一÷c膏+y，2≤争，知s≥告 故圭+亡=斋+等=} 显然，此处配方技巧显得特别重要，其关键是添 拆项． 例8 (1997年莫斯科大学化学系七月入学试 题)已知z2一髫，，+2y2=1，求表达式z2+2y2的最大 值与最小值． 解i)2厄·l=2拉(舅2一菇y+2广) =(x2—2西y+2广) +(2以一1)(石2+2)，2) =(x一√互_y)2+(2√’三一1)(髫2+2y2) ≥(2√三一1)(筇2+2，，2)， 删+2广≤羔，2^／2—1 山2+2y2k=羔； ji)2√虿·1=2√虿(搿2一硝+2y2) =一(z2+2√黾，，+2，，2) +(2√互+1)(％2+2y2) =一(石十√7虿，)2+(2√丢+1)(茁2+2y2) ≤(2√‘三+1)(x2+2)，2)， 故x：+2广≥婴， 2√2+l ∽+2y2)min：羔· 5 巧用“代入一配方法”求函数最值时应注意(z± ，，)2的确界 以上各例，均巧用了最简单的数学概念：(x± y)2≥O；但应注意，有一类条件最值问题，还应配合 二次函数性质，考虑自变量的取值范围，函数单调区 间，从而探究(z±y)2的确界：上确界或下确界． 例9 (1991年江苏省初中数学竞赛试题)若实 数z、)，满足条件2茹2—6茁+)，2=o，求z2+y2+2x的 最大值． 解 由2x2—6z十，，2=O，知2z(z～3)=一，，2 ≤0，得0≤z≤3． 设以菇)=鬈2+)，2+2髫 =(2戈2—6z+y2)一(x2—8髫) =0一(z一4)2+16， 可见O≤z≤3恰是以z)=一(x一4)2+16的 递增区间，故 当x=3，，，=o时，(x2+广+2髫)。。=15． 注 若不作如上探讨，很可能产生错误： (髫2十，，2+2算)。Ⅱ=16． 例10(1998年“希望杯”全国数学邀请赛高一 试题)若322+2广=2髫，则z2+广的最大值为． 万方数据 数学教学研究 2002年第8期 解 由题意知2x2+2，，2=2并，则 o≤2广：一z(3茁一2)，得o≤茹≤拿 以z)=z2+广 =÷(3菇2+2y2—2z)一÷(x2—2z) =专·o一÷(z-1)2+} 注意到*E[o，÷]恰是八髯)=一÷(z一1)2+ ÷的递增区间，故当髫=÷，，，=【j时，(x2+y2)。。= 4 可‘ 注 显然通过o≤石≤手，才能正确求出(z2+ 广)。。=争；当然，也有意外收获：当x=o，，，=o时， (x2+y2)～=o． 综上所述，巧用“代入．一配方法”解证二元二次 函数条件最值题，关键是：通过添拆项巧作恒等变 形，适时将题已知条件代入，并构建配方式，从而达 到解题目的．其中，要注意因题而异，从题知入手，监 控配方式的上、下确界． 练习与提示 1．(1998年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题) 已知x、y满足筇2+∞y+y2=l，求省2一x)，+，的取 一等剐x2+广)一莩。 4．(《数理化解题研究》2000(1)：9一lo)设x、)， ∈R，1≤z2+广≤4，求茗2+髫y+y2的最值． 提示(1)茗2+茗y+广=÷(x2∥)+÷(髫+ y)2≥÷(z2+广)≥÷·t=÷； (2)石2+茗，，∥=÷(≯+y2)一÷(茹刊2≤ ÷∽+广)≤÷-4=6． 5．(《数学教学研究》2000(2)：34—36)已知z、y ∈R，且髫。+2髫y—y2=7，求菇2+)，2的最小值． 提示 7=z2+2∥一广=√虿(z2+广)一(√虿一 1)(茹一六)2≤拉(z2+)，2)；(x2+，，2)“= √2—1 ⋯ 望 2’ 6．(《数学教学研究》2000(2)：34—36)已知x、y ∈R，满足3x2+2，，2=2x，求222+，，2的取值范围． 提示 【o，吾】；o≤2广=一3石2+2z，知o≤z 2 ≤了 2*2+广=÷(3茁2+2，一2x)+÷(z+1)2一 馘兰-_，，h⋯⋯ ．÷：÷⋯1)2一手提示b3】；利肌圳2≥0· ‘27．纛学二学音凇ooo(1)．38~41)已知 2．(‘甲字双字》】9％(8)：27—29)已知买致戈、y 满足x2+4)，2=4z，求证：一÷≤x2一y2≤16． 提示 (1)o=x2+4y2—4髫=一4(髫2一广)+ 5(z一手)2一÷≥一4(z2一广)一÷； (2)o=*2+4广一4z=÷(x2一广)+÷(x2— 8x)+争≥÷(x2-，．2)_8- 3．(<上海中学数学》1999(1)：33—40) 已知522+2，，2≤10x，求菇2+广的最大值． 提示(≯∥k=警； o≥5x2+2y2—10茗=2(z2+，，2)+3(x一÷)2 1322—8髫)，+7y2=1，求x2+y2的最大值与最小值． 提示 (1)1=13矿一8髫，，+7广：5(z2+广)+ 2(2x一，，)2≥5(x2+)，2)； (2)1=13髫2—8髫y+7，，2=15(z2+广)一2(x+ 2y)2≤15(z2+，，2)． 8．(1996年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试题) 已知z、y为实数，且髫2+菇y+，，一2=o，则z2一z，，+ ，：的取渣范围是一 提示降，6】；(1)z2叫+，，2=3(*2叫+ ，，)一2(z+r’≤3·2=6； (2)z2一zy∥=÷(x2+z，，+y2)十÷(x-y)2 ≥÷·2=÷． 万方数据 "代入-配方法"巧解二元二次函数最值赛题 作者： 邱勤江， 孙建斌 作者单位： 邱勤江(永春县教师进修学校)， 孙建斌(永春县科委,福建,362600) 刊名： 数学教学研究 英文刊名： RESEARCH OF MATHEMATIC TEAEHING-LEARNING 年，卷(期)： 2002，""(8) 被引用次数： 0次 本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxjxyj200208017.aspx 授权 个人房产授权委托书公司各类授权委托书模版医师授权办法餐饮分店授权书产品代理授权书范本 使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：96a726e7-fc56-4041-a07c-9dca009d521c 下载时间：2010年8月6日