试用导数法求复合函数的单调区间

试用导数法求复合函数的单调区间第24卷增刊四川教育学院学报 V01．24 JOVRNALOFSICHUANCOLLEGEOFEDUCA．110N 2008年10月 0ct．2008 试用导数法求复合函数的单调区间何亚国 (四川省乐至县教师进修学校，四川乐至641500) 中图分类号：G622．4 文献标识码：B 文章编号：1000-5757(2008)S0-0023-02 导数是近年高考的新话题，是命题的新热点，它在函数问题中的权重不断提升，特别是在对高次函数、超越函数的单调性和最值的考查中，它的应用理念更加突出．在面对复合函...

第24卷增刊四川教育学院学报 V01．24 JOVRNALOFSICHUANCOLLEGEOFEDUCA．110N 2008年10月 0ct．2008 试用导数法求复合函数的单调区间何亚国 (四川省乐至县教师进修学校，四川乐至641500) 中图分类号：G622．4 文献标识码：B 文章编号：1000-5757(2008)S0-0023-02 导数是近年高考的新话题，是命题的新热点，它在函数问题中的权重不断提升，特别是在对高次函数、超越函数的单调性和最值的考查中，它的应用理念更加突出．在面对复合函数的单调性问题时，我们却常常固执于传统的”同增异减”规则而淡漠了导数这一重要工具。本文拟例推荐导数法在求复合函数)，=f[g(x)]的单调区间中的应用。 I．函数Y=以毒)、，，=g(善)分别以图象和解析式呈现【例1】若Y=以名)是定义在区间(一4，5)上的可导函数，其图象如下，则函数g(石)=fC￡二{) 互一1 的单调递减区间是( ) J 、．J 八．5～。V，2＼一 A．(一1，1)、(1，2)及(一∞，0)、(3，+∞) c(o，÷)、(÷，3)D．(一4，一1)、(2，5) 【解】蚓加以等)钒‰)-厂(等)◇Ⅳ◇(等)，-一丢矽(等)．令g7(量)<0得：厂(岩)>0．由，，=贝善)的图象知：当且仅当一1<}等<2时，厂(}等)>o．由一1<生斗<2解得：茹<0或石>3．故g(茗)=以}等)的减区间为(一∞，o)和(3，+∞)．选B．【点评】导数法避免了对内函数g(石)=!二等单调性的讨论和对值域的确认，一气呵成顺利得解． II．函数Y=灭鼻)、，，=g(茗)均以解析式呈现【例2】已知以菇)=名2—4互+3，求F(x)=以2+2x一并2)的单调递增区间．【解】．．．，(善)=石2—4x+3、g(量)=2+2x一髫2都是R上的可导函数，．·．F’(互)=，(2+2x一善2)·(2+2x一茗2)’=2(1一髫)．，r(2+2x一墨2)．令F’(善)>0得：(1一名)．，，(2+2x一，)>0，则[帅1-x忆>0。⋯甄或0fl(2+-x<2⋯0：⋯j(i：三。>2或(i；三一，<2 卸<聋<1或z>2。即知F(z)的增区间为(0，1)和(2，+∞)．【点评】本题若用传统方法求解，细节多、失误多、思维障碍大，而导数法思路清晰、简洁明快．【例31若以互)=log．(as一，)(0<口≠1)是区间[÷，华]上的单调函数，求口的取值范围．【解】由以#)=log．(戤一善3)得：厂(重)= 口一3矿 (“一善3)Ina。 ·．·互E[÷，孚]时，必使“一名，>。恒成立’-．．口>髫zE[．}，丁1]恒成立，即知口>÷． ①若以名)在[丁1，譬]上单调递增，则厂(毒)≥o恒成立，有万方数据四川教育学院学报 2008年10月性．弛Ⅲ叫辜≥。铮睡“或嗽：j÷⋯÷粉寻- ②若八算)在[丁1，譬]上单调递减，则厂(聋)≤o恒成立，有 mⅢd拿以rl≥<÷o,～中环触· 综上知口E(÷，÷]u[÷，+*)．【点评】导数法恰当地控制了分类讨论的冗余度，合理地缩短了解题长度．【例4】求函数Y=sin(sinx—COSX)的单调区间．【解】由y=sin(sinx—co瞄)得：，，’=c。s(sinx—c。麟)·(sir瑾+eos工)=唇in(毒+711")。c∞[届in(善一手)]．由届in(茗—"丁／T)“一A-，厄J￡[一詈，号]知：0o得：Bin(茹+百qr)>o考2蛔一q仃-<鼻<2妨+挈(七∈z)；令，，’。硝[g(圳√c善卜。舒《撼掣0>0或《焉z?。枷台j．g(工)<一1或g(髫)>3或r12钠L一2<茹<0或0<石<2 学{：：!耋或石>2或{：i芝茹2 ．‘．Y=／【占(石)]的增区间为(一∞，一2)、(2，+∞)o 同理可得Y=九g(z)]的减区间为(一2，0)、(0，2)．【点评】观察这两个图象，眼花缭乱、千头万绪．但利用导数法求解，每个步骤的观察要点一目了然，改善了解答的通畅最后，留一道三重复合函数题供读者对比体验及研习：【练习1l-已知函数Y=八茹)(一l≤茗≤2)的图象如下，求函数，，=人石2—1)的单调递增区间。 2．已知八x)=2+3算+2，求g(z)=Ⅱl。g}(，一缸)]的单调区问万方数据试用导数法求复合函数的单调区间作者：何亚国作者单位：四川省乐至县教师进修学校,四川,乐至,641500 刊名：四川教育学院学报英文刊名： JOURNAL OF SICHUAN COLLEGE OF EDUCATION 年，卷(期)： 2008,24(z1) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_scjyxyxb2008z1012.aspx

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