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求函数最值的方法举例
!
陈 克 胜
!安徽师范大学 数学与计算机科学学院"安徽 芜湖 ")!(###
"" 摘要!求函数最值是中学数学的重要课题!本文主要介绍六种求函数最值方法"为求函数最值
问题提供解题思路"拓宽解决此类问题的视野"提高学生的分析#解决问题的能力以及创新思维
能力!
关键词!函数最值$方法$举例
中图分类号!L+""*+""""""" 文献标识码!,
"" 求函数最值是中学数学的重要课题"而解决
函数最值问题涉及的知识面较广"往往要综合运
用很多知识"且需要较强的解题技巧$因此"在高
考或数学竞赛中"求函数最值问题是出题的热点"
它常用来考查学生综合运用知识的能力$本文介
绍几种常见的求函数最值的方法$
!"消元法求函数最值
例!" 设))*+) 9)"求M!)"+#-S))!
))+!+)S的最大值$
分析与解 " 目标函数M!)"+#含有两个变
元"不容易直接求解$不妨转换一下思路"可以采
取消元的方法"从而简化问题$设)->B0?+"+-
>?:6+"#9+%)("由题设知S>S9))"故M!)"+#
-S))!))+!+)S
-S>)B0?)+!)>)?:6+%B0?+!>)?:6)+S
-))>) B0?)+*(! #! 9))>) 9 )) )"
由此例可知&在求某些条件函数最值问题时"
如果条件与目标函数含有多个变元"不妨想
办法
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消元"使目标函数转化为一个或二个变元的最值
问题"这样就比较容易求解了$
’"利用几何意义求函数最值
例’" 若实数)"+满足S)S*S+S-’"试
求B-))*+)!))的最值$
""分析与解"从条件与目标函数来看"两者都
可用函数的图象表示"这样代数问题就有比较清
晰的几何直观意义"从而解决问题相对比较简单$
很容易画出S)S*S+S-’的图象如右图所示"而
目标函数B-))*+)!))可写为!)!(#)*+)-
B*("把B看作参数"它表示一个同心圆簇"B*) (
表示圆的半径"显然B与 B*) (同时达到最值"即
BU7W-+)!(-"’"BU:6- !)) )#)!(-$"
由此例可以看出&在求
某些条件函数最值时"可以
数形结合"利用几何意义
来求$
%"引进复数求函数最值
复数的代数形式有如
下的性质&设复数2-)*+7!)"+,;#"则其模
S2S- ))*+) )"在求函数最值时"如果目标函
数含有复数模的代数形式"则可用复数的模的性
质将代数问题转化成复数问题来解决"而复数的
模的不等式性质为SS2(S!S2)SS9S2(.2)S9
SS2(S*S2)SS"很容易求出复数的模的最值"从
而求出函数最值$
例%" 已知)"+"2是不全为零的非负实数"
求P-
%’
第)#卷第(期 高等函授学报!自然科学版# /01*)#20*(
)##+年)月 "" "3045671089:;<=5>055=?@06A=6B=CA4B7D:06!27D4571EB:=6B=?#"" " F=G475H)##+
! 收稿日期&)##’I((I)-
"" 作者简介&陈克胜!(%$#I#"男"安徽铜陵人"硕士"主要从事数学课程与教学论的教学与研究$
万方数据
))*+)*+) 2* +)*2)*+) 2* 2)*))*) 2)
)*+*2
的最小值!
分析与解 " 如果直接求函数的最小值"不容
易求解!但仔细观察函数P的结构有一定规律"函
数的分子接近于复数的模的代数意义!因此"可以
将其转化为复数"利用复数的模的不等式性质"问
题就简单了!
构造复数2( -)*+)*
)"
)+7
"
""""2) -+*2)*
)"
)27
"
""""2" -2*))*
)"
))7
"则
))*+)*)) +* +)*2)*+) 2* 2)*))*) 2)
-S2(S*S2)S*S2"S:S2(*2)*2"S
- "
)
#)*+*2$*)")
#)*+*2$7
-)"S)*+*2S
所以P:)""当且仅当75;2(-75;2)-75;2"即
)-+-2*#时等号成立!
在求函数的最值时"如果函数能够变形为平
方和的形式"不妨引进复数"利用复数的模来求
解"利用复数的模的不等式性质"往往使问题迎刃
而解!
("利用不等式求函数最值
在初等数学中"常用的重要不等式有%#($均
值不等式%对于任意%个正数$("$)"&$%"令#%
-$(*$)*
&*$%
%
"?% -
%
$($)&$) %"则?% 9
#%"当且仅当$(-$)- & -$%时等号成立’#)$
柯西不等式%设$("$)"&"$% 和,(",)"&",% 为任
意实数"则
#$(,(*$),)*&*$%,%$)9#$)(*$))*&*
$)%$#,)(,))*&*,)%$"
当且仅当$(
,( -
$)
,) -
&$%
,%
时等号成立!
对于均值不等式%如果目标函数是和的形式"
往往利用均值不等式将目标函数转化为积的形
式"而积恰好是常数"从而得到目标函数最小值’
如果目标函数式是积的形式"可利用均值不等式
将目标函数转化为和的形式"而和是常数"得出目
标函数最大值!柯西不等式则对于解决各项的平
方和与各项和的关系问题非常有用!
例(" 求函数+-))#(!")$在 #"( )(" 时
的最大值!
分析与解 " 此题可以对函数进行求导"得到
函数的极值点"从而求出函数的最值!也可以利用
均值不等式"将原函数进行变形"有+-))#(!
")$-") )
*)* )"!)# $( )) "因为), #"( )(" "
故):#")"!)):#
"由#" :?""得
+9 ")
)*)* )"!)# $)1
2
3
4"
"
- ")
*# $)%
"
- !)!""
当且仅当)- )"!))
时等号成立"即)- )% ,
#"( )(" 时取最大值 !)!""
例&" 设="%"U为正实数"且=)*%)!U)
-#"求 U=*%
的最小值!
分析与解 " 此题的目标函数的变元的指数
均为一次"而条件的变元的指数均为二次"可利用
柯西不等式对指数进行降次!)U)-)#=)*%)$-
#()*()$#=)*%)$:#=*%$)" U
)
#=*%$) :
(
)
"
U
=*%:
))
)
"从而 U
=*%
的最小值为))
)
"当且仅当
=-%时等号成立!
利用不等式求函数最值的关键是根据条件与
目标之间的联系将目标函数进行适当变形"使条
件与目标达成一致从而解决问题!同时也要考虑
到等号成立的条件!
&"利用凸函数性质求函数最值
琴生不等式是运用凸函数性质的重要定理
之一!
琴生不等式%设X7#7-(")&"%$是正实数"
-X7-("M#)$是($",)上的严格下凸函数"则对
任意)("))"&")% , ($",)"有
#+
第)#卷第(期 高等函授学报#自然科学版$ /01*)#20*(
)##+年)月 "" "3045671089:;<=5>055=?@06A=6B=CA4B7D:06#27D4571EB:=6B=?$"" " F=G475H)##+
万方数据
M!X()(*X)))*"*X%)%#9X(M!)(#*X)!))#*
"*X%M!)%#
当且仅当)(-))-"-)%时等号成立$若M!)#
是%$&,’上的严格上凸函数&则不等号反向$
琴生不等式是利用凸函数的性质&将同名函
数的和转化为该函数某个特定的值&从而求得函
数的最值$
例#"
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
(在圆内接%边形中&以正%边形
的面积为最大$
分析与证明"由题意&设圆的半径为>&内接
%边形的面积为D&各边所对的圆心角分别为+(&
+)&"&+% 则D- ()>
)!?:6+(*?:6+)*"*?:6+%#&
这时&正弦函数的和采用积化和差的办法显然很
难进行下去$但构造函数M!)#-?:6)&利用琴生
不等式&将其化简&则容易得解$因为M!)#-?:6)
在!#&(#内是上凸函数&所以
?:6+(*?:6+)*"*?:6+%9%?:6+(*+)*
"*+%
% -
%?:6)(%
&当且仅当+(-+)-"-+%时等号成立&即
D取得最大值&也就是以正%边形的面积为最大$
在求函数的最值时&目标函数出现同名函数
的和的形式&可以构造函数&利用琴生不等式将其
化简$
#"利用单调性求函数最值
函数的单调性可表示为(如果函数M!)#在区
域C内单调递增&)(&)),C则当)(%))时&有
!)(!))#!M!)(#!M!))##*#"若函数M!)#在区
域C内单调递减&则不等号反向$
例$" 已知)(&))&"&))##’, !()
&(! #) &)(
*))*"*))##’ -)##’(+
&求
+--
)##’
7-(
+)7?:6)7!(?:6)7
"*)?:6)7
的最小值$
分析与解 " 目标函数相对比较复杂&但目标
函 数 的 项 +)7?:6)7!(?:6)7
"*)?:6)7
可 以 变 形 为
!+)7!(#?:6)7
"*)?:6)7
&因此&可以构造函数
@!B#- ?:6B"*)?:6B
&
设!() %B( %B) %
(
)
&
则@!B(#!@!B)#- ?:6B("*)?:6B( !
?:6B)
"*)?:6B) -
"!?:6B(!?:6B)#
!"*)?:6B(#!"*)?:6B)#%
#&所 以 @!B(#%
@!B)#&所以@!B#是在 !()
&(! #) 上的增函数$
令)( , !()
&(! #) &则
)(!(! #+ ?:6)("*)?:6)(!
(
)
"*))
/
0
=
>
(
)
:#&即
+)(!(
+
) ?:6)(
"*)?:6)( :
(
-
)+)(!(
+
&从 而
+)(?:6)(!(?:6)(
"*)?:6)( :
+)(!(
- "
!(#
同理+))?:6))!(?:6))
"*)?:6)) :
+))!(
- ""
!)#&"&
+))##’?:6))##’!(?:6))##’
"*)?:6))##’ :
+))##’!(
- "
!)##’#
将上述!(#到!)##’#式两边分别相加得
+--
)##’
7-(
+)7?:6)7!(?:6)7
"*)?:6)7
:
+!)(*))*"*))##’#!)##’(
- -#
&当且仅当
)( -)) - " -))##’ - (+
时等号成立$
求函数的最值时&构造相应函数利用函数的
单调性将目标函数简化&与条件建立联系&也可以
解决问题$
求函数最值问题是中学数学的重要问题之
一$求函数最值的方法远不止这些&还有其它如判
别式法*利用导数法等$本文仅介绍上述六种方
法&供广大中学数学教师参考&同时也希望能起到
抛砖引玉的作用$
参 考 文 献
%(’ 郭要红&戴普庆*中学数学研究%V’*合肥(安徽大学
出版社&)##"*
%)’ 陈传理&张同君*竞赛数学教程%V’*北京(高等教育
出版社&(%%+*
(+
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万方数据
求函数最值的方法举例
作者: 陈克胜
作者单位: 安徽师范大学,数学与计算机科学学院,安徽,芜湖,24100
刊名: 高等函授学报(自然科学版)
英文刊名: JOURNAL OF HIGHER CORRESPONDENCE EDUCATION(NATURAL SCIENCE EDITION)
年,卷(期): 2006,20(1)
参考文献(2条)
1.陈传理;张同君 竞赛数学教程 1996
2.郭要红;戴普庆 中学数学研究 2003
本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdhsxb-zrkxb200601020.aspx