中学数学研究 2002年第3期
—一，。———————一’．‘m·咒=a√1一b2+b41一口2=1．．·．荔=言，得a=／研，且v厂日=b，
．·．n2+b2=1．
二、用于证明不等式
某些含有乘方之和或乘积之和式子的不等
式，应用向量证明更有独特之处．
例3 已知zi+了；=1，z；+了；=1，求证：
z1X2+Y1Y2≤1．
证：构造向量m=(z1，Y1)，以=(z2，Y2)，
m、，z的夹角为口，则zlz2+Y1Y2=m·以=
l—m|．1言lcos0≤l荔I．1言l=4j而；·l·l咒l ≤l仇I·l咒l=z；+y；·
√zi十Yl，．‘．zlz2+YlY2≤1．
例4设n、b为不等正数，求证：(口4+b4)
·(a2+b2)>(口3+b3)2．
证：构造向量：荔=(a2，62)，言=(口，6)，
则(口3+b3)2=(荔．言)2=l葛I2．I言IZcod0R<
l；；l2．1了i2=(口4+64)(口2+62)．
‘．‘a，b为不等正数，．。．m≠咒，．’．(a4+
b4)(n2+b2)>(a3+b3)2．
三、用于求
函数
excel方差函数excelsd函数已知函数 2 f x m x mx m 2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载
极值
某些条件极值，如果按常规方法求，不易人
手；但是若能仔细观察题目条件和结论，恰当地
构造出向量，则会使问题变得简单．
例5 已知口、b、c是正数，求函数Y=
~／z2+n2+~／(c—z)2+62的极／J、值．
解：构造向量：m=(z，a)和咒=(c—z，
b)，贝9Y=Iml+I，zI≥I，竹+咒I=
~／c2+(口+b)2，
．‘．y。h=√c2+(口+6)2．
例6 已知z2+Y2=3，a2+b2=4，(z，Y，
a，b∈R)，求觚+b的极值．
解：构造向量m=(z，Y)，孢=(a，b)，则
船+ =荔．言=l一|．I言Icosoby m cosO=怕3．4—4以z+ 2m·咒。l |．I挖I 2√ ·
·cosO=2拈cosO∈[一2拈，2朽]，．·．(觚+
缈)一=2√3，(纰+匆)“。=一243．
总之，应用向量解题，关键在于巧妙地构造
向量，要完成这一技巧，不仅需要敏锐的观察力
而且需要丰富的想象力．
山西省平遥县寰垣中学(031104)张爱华
换元作为一种常用的数学方法历来被人们 式，进行三角代换解题．常用的恒等式有：
所熟悉，它能化繁为简，转难为易．换元的方法 (1)siVa+cos2a=1；(2)tan2a+1=Sec2口；
很多，三角换元因为三角函数公式多，变换多， 2tan要
思路多以及其有界性等，为函数的最值求解带 【j，S1眦2■■五。
1’‘a11
2
来便利．
一、具体函数的最值 例1求函数y2≯毛(x>0)的值域·
根据函数解析式的特征，配凑三角恒等模
· 35· 万方数据
中学数学研究 2002年第3期
解：‘．‘Y=
432z
2以
31(吾)2+1]
吖j
兰 一
3(争1)
历·要
43
3[(素)2+1]
√j
，可令去=tan号(o<号<号)，
q3 厶 厶 -
．·-y=等sin口(o<口<丌)，．．．函数的值域是(o，
等)． ，
例2求函数了=z+／两的值域．
解：令z=tan口(aE(一号．詈))，则y—
sec口+tan口=L坠笋=cotcos(孑一薹)．sec口十tall口=——=L_一i卜口 q Z
·．‘号一号∈(o，号)，．·．yE(0，+oo)．
例3求函数y=／Fi+v厂羽的值垃．
解：观察发现4(／fi)2十(／4CT-3)2=
1，可设2／Fi=COS口，f4医x-3=sina，口∈
[o，要]，
舢=雩+Sina=譬sin(口+臼)
(sinp=萼)，。．’aE[0，号]，．‘．sinp≤sin(a+p)
≤1．
．’专《s献洲，《．
即丢≤y鸡．
例4求函数Y=v厂i习+／秀=瓦的值
域．
解：观察发现函数的定义域4≤X≤5且
、丽≤1，v／-i3-3x≤朽．3(、钼)2+
(~／西=瓦)2-3．所以设厂丽=朽瞄口．历=sin口
·36·
(口E[o，罢])，
y=sina+43COS口2(扣口+譬鼢口)
=2sin(口+詈)，
·．。口E[O，号]√．号≤sin(口+号)≤1，
．’．1≤y≤2．
二、有条件代数式的最值
将条件式进行三角代换，转化为三角函数
的最值问题．
例5若实数X，Y满足z2—4x+4y2=0。
求z2+Y2的最值．
解：‘。4半+y2引，设垃≠=
9 1 —1
c0矿口，Y。。sin"a，
贝gz2‘}Y2=(2±2cosa)2+sin2,z=3cos2口
+8cos口十5=3(cos口±百4)2一百1．
‘．。cosa[一1，1]，．。．z!+Y2取最小值0，
最大值16．
即0≤z2+y2≤16。
例6若实数z，Y满足(X一3)2+(Y一
2)2=1，求÷的最值．
解：设(z一3)2=COS2t／，(Y一2)2=sin2d，则
z=3+。。Sa，y=2十sin口，．．．忌=考=厮2+sina．
．’．3k+kcosa22+sina．3k一2=一keosa
+sin口=~／1FF萨s1。n(口+口)，sin‘(口+臼)=
怒．··小in(洲艇l’．‘·l湍l≤1，
解之得学≤志≤学．
．·．学≤耋≤学．一 4弋z弋4’
万方数据
利用三角函数换元求函数的最值
作者： 张爱华
作者单位： 山西省平遥县襄垣中学,031104
刊名： 中学数学研究
英文刊名： STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG
年，卷(期)： 2002(3)
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