构造辅助函数证明不等式

构造辅助函数证明不等式 2006年第3期河北理科教学研究问题讨论构造辅助函数证明不等式浙江省宁波镇海中兴中学数学组陈斌315201 用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法，证明过程往往简捷、明快，特别是证明超越不等式，更是如鱼得水．证明的第一步要考虑如何构造函数，也是证明的关键．若函数构造恰当，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式．本文谈谈在用导数证明不等式时，构造辅助函数的几种常用途径．途径一构造差函数直接作差，即构造差函数，是构造辅助函数的最主要方法．．．2 ...

2006年第3期河北理科教学研究问题讨论构造辅助函数证明不等式浙江省宁波镇海中兴中学数学组陈斌315201 用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法，证明过程往往简捷、明快，特别是证明超越不等式，更是如鱼得水．证明的第一步要考虑如何构造函数，也是证明的关键．若函数构造恰当，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式．本文谈谈在用导数证明不等式时，构造辅助函数的几种常用途径．途径一构造差函数直接作差，即构造差函数，是构造辅助函数的最主要方法．．．2 例1求证：不等式x一等0，．·．厂(t)在t∈(1， +00)上为增函数，且厂(t)在t=1处连续．．·．f(t)>，(1)=0'．．．t一1>Int．令g(t)= Int一1+÷，同样可证g(t)>0'．．．Int>1一上'．-．士<型<三．一t，‘’’了玎o'．．．y= 厂(菇)在(O，+∞)上单调递增，’．。搿>0，且 f(戈)在菇=0处连续，．．．f(石)>f(O)=0，即 ln(1+髫)>戈一百XL戚业_x一①．令g(戈)=z一志一In(1+z)，同样可证，g(戈)>o ②．故由①、②可知，原命题成立． ’ 变式：若戈E(o，+∞)，求证il_< ． z+11In——<一．石戈分析：本题在端点菇=0处不连续，先换元变形．令1+一1：￡，石>0，．．．￡>1，菇：菇了1_．则原不等式§1一了1sinx>兰菇成立，其中， 7r 石∈(o，詈)．分析：如果直接构造差函数很难证明右边的不等式．若改写不等式为1>学>号，当搿一0时，学一1，当戈=号，半之值为兰．于是要证的不等式相当于要证函数厂(算) =学之值介于丢与1之间．另外，由于商函数slnx在戈：0处不连续，可定义当戈=0 时，厂(菇)=1，即考虑函数小)：f学'o<从号， L1．菇=0 万方数据 2006年第3期河北理科教学研究问题讨论当o<搿<号时，有厂(省)=塑墅皆 <0_．．．，(筇)在(o，詈)内单调减少，又／(省) 在[o，吾]上连续'．．．，(o)>，(戈)>，(号)， ·．‘／(号)．--丌2,／(名)=o，．．．1>警>吾，即． 2 戈>Sin省>——踅．丌点评：本题难点是在戈=0处商函数没有定义，由于当石一。时，警一1，所以可以定义z=0，f(菇)=1．途径三构造对数函数对指数型不等式，常常通过对两边取对数后，根据式子特点构造相应函数．例3设口；p>e，证明伊>扩．证明：原题等价于警<警，设厂(菇)= 一lnx，菇>e时，厂(名)：毕<0'．．．当石> e时，，(咒)单调递减，’．‘a>p>e'．．．!警< 警，即p扩．变式：(2001全国高考第20题)已知m， n为正整数，1(1 +n)“．分析：对要求证的不等式转化为(取自然对数)nln(1+m)>mln(1+n)，即堕迎_>堕立±立．不等式的两边的结构相同，可想到构造一个函数厂(菇)= 地U±盟，戈≥2，则可证得：厂(石)： ÷一ln(1+石) 上-L—r—一．厂(凡)，即 nln(1+m)>mln(1+n)，从而可证得不等式．点评：本题取对数后通过分离变量．凸显两边的相似结构，再构造函数．途径四取一个端点为自变量构造函数含双字母的不等式，可以考虑以其中一个字母作为自变量，另一个作为常数来构造相应函数．例4若g(茹)=xlnx，0F(a)=0，即0 0时，G7(菇)<0，且口当W> 0时，G(z)是减函数，G(b)

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