对于三角函数最值问题的几点思考

对于三角函数最值问题的几点思考 ■匮盘型对于三角函数最值问题的杨海英几点思 (绍兴越秀外国语学院，浙江绍兴312000) 摘要：S-角函数是数学学科的重点知识，也是各类考试中趵重点内容，对于许多学生又是一个难点。教师应努力创设情境，引导学生去柚象、概括出求三角函数式最值问题的规律。关键词：三角函数有界性单调性最大值最小值三角函数是支撑数学学科知识体系的重点知识，所以在各类考试中都是重点内容。而求三角函数式的最值又是考试的热点．试题往往以此为载体．去考查学生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力．考查函数与方程思想、...

■匮盘型对于三角函数最值问题的杨海英几点思 (绍兴越秀外国语学院，浙江绍兴312000) 摘要：S-角函数是数学学科的重点知识，也是各类考试中趵重点内容，对于许多学生又是一个难点。教师应努力创设情境，引导学生去柚象、概括出求三角函数式最值问题的规律。关键词：三角函数有界性单调性最大值最小值三角函数是支撑数学学科知识体系的重点知识，所以在各类考试中都是重点内容。而求三角函数式的最值又是考试的热点．试题往往以此为载体．去考查学生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力．考查函数与方程思想、化归思想的应用能力。考查思维的灵活性、思维的深刻性，具有很好的数学功能和考试功能。应此，在三角函数的教学活动中，教师应努力创设情境，引导学生去抽象，概括出求三角函数式最值问题的规律。我觉得应该从以下几方面去积极引导。一、利用三角函数的有界性与单调性求最大。最小值例1、求函数v=!!!!的最大值和最小值。 2+sinx 解：·．·v=z+smx-2_：1一—三一．，．根据三角函数的有界性和 2+sinx 2+sinx 1 函数的单调性，Nsinx=-I时得y⋯=一1，sinx=1时得y。。=÷。 j 例2、求y=asinx+b(aO}的最篮。解：根据三角函数的有界性和函数的单调性，当a>0时， ym；=a+b；yIlli。=一a+b。Na<0时，y一=一a+b；ylIli。=a+b。例3、求函数y=、／7丁sin(x+寻)，x∈[o，1T]的最大值和最小值。 n 解：‘．‘xE[o，丌]'．。．x+詈E[詈，i7Tr]，根据三角函数的有界性与单调性sin(x+詈)的最大值是1，最小值是一土2。．·．y⋯= 订‰一下X／5--。二、在利用三角函数的有界性与单调性的基础上，利用二次函数的性质求最大、最小值例4、求函数y=(5一sinx)(2+sinx)l私／最大值、最小值。解：‘．’y=(5一sinx)(2+sinx)=一sin—x+3sinx+lO，令sinx=t，．·．y=一t‘ +3t+lO，根据三角函数的有界性，sinx∈[一1，1]’．．．t∈[一1，1]'．．．，本题转化为求二次IN数y=-t‘+3t+lO，t∈[一1，1]的最大值、最小值。根据二次函数的性质最大值为12、最小值为6。眠求函数y-cos2x+sinx在区卟寻，詈】上的最大值、最小值。， 2 ，解：‘．’y=eos‘x+sinx=1一sin‘x+sinx=一sin‘x+sinx+l，令sinx=t，．’户一t2+t+t瑚据三角函数的单龇．sinxe[一半，孚]，．t．y=一‘+t+l。根据三角函数的单调性．1一』：÷，!．÷l，．，托卜孚，孚]。本题转化为求二次函酥-t2卅1， t∈『一!竺，堕1的最大值、最小值。根据二次函数的性质【 2 2 J 最大值为三、最小值为!二!!。 4 2 46 考解：设sinx+cosx=e，刚sinxc。sx=÷82一吼．，Ty：{(￡2-1)+t=÷ t2+t一告，‘．．t-、／可sin(x+詈)，根据三角函数的有界性，．1．t∈ 【～厄，V虿] ，．，本题转化为求二次函数y：喜t2+t一妻，l∈ [一、／丁，、／丁]的最大值、N4,N。根据二次函数的性质最大值为、／7虿+i1，最小值为一1。三、在利用三角函数的有界性与单调性的基础上，利用碱财一=俯f志幽¨赤咖。卜馗最小值 N7、求函数y=sinZx+、／丁si嗽cosx～1的最值，并求取得最值时的x值。解：‘．．y-i1(1-cos2x)+孚sin2x-12一sin2x-21 c。s2x一丢=sin(2x一詈)一i1，根据三角函数的有界性，当2x一詈= 2k丌+詈，即x=k丌+詈(k∈z)时，y取得最大值，y。。2i1；当2x一詈 =2k丌一!．即 x=klr一詈(k∈z)时，y取得最小值，y。ill：一i3。例8、求函数y=—___二—一的最值。 Z+S1nX+COSX 解：．，．v：———L 。 2+sinx+eosx ：————L ．根据三角函数的 2+竹sin(x+三) 4。有界俄y呲x-—；：霉辱'ymill：j=：_2-x-／i-。 2一、／2 z 2+、／2 z 例9、求函数y=竺的最大值和最小值。解：去分母，原式可化为：。inx+ycosx=2—2y，即、／i7。in (x+‘P)：2—2y，llllsinx+‘P)=墨，根据三角函数的有界性，sin 、／l+y2“+lP)∈[一1，1J'11．一1≤垫≤l。111些≤1，解得、／I+y2 、／2+y2 T4-vT≤y≤竿，．‘．ym。=丁4+V'-7-'ymiII=丁4-x／q-。1 。 1 。“肛气叫眦“ 气当然除了以上几种主要类型以外，还有其它一些特殊的方法和例子。但我觉得应把教学的重点立足于通性、通法。只有让学生熟练掌握这些通性通法。学生才能去自己有所创新，为培养创新簏力打下坚实的基础。万方数据对于三角函数最值问题的几点思考作者：杨海英作者单位：绍兴越秀外国语学院,浙江,绍兴,312000 刊名：考试周刊英文刊名： KAOSHI ZHOUKAN 年，卷(期)： 2007(48) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_kszk200748042.aspx

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