3向——由2006年高考看用导数求函数图象的交点问题

! 命题大参考 ! ! 罗斯福任美国总统以前，在海军部供职!某日，一位朋友问及海军在大西洋的一个小岛筹建基地的秘密计划，罗斯福特 意向四周望了望，然后压低声音问：“你能保守秘密吗？”“当然能!”“那么，”罗斯福微笑着说，“我也能!” 夏文凯!（广东省东莞市新星高级中学） ! ! "##$ 年高考数学导数命题的方向基本没变，主 要从! 与切线有关的问题，" 函数的单调性和单调 区间问题，# 函数的极值和最值问题，$ 不等式证 明问题，% 与函数的单调性、极值、最值有关的参数 问题等 % 个方面考查了考生对导数的掌握水平& 但是，"##$ 年高考数学导数命题在方向基本没 变的基础上，又有所创新&福建理科卷第 "’ 题研究 " 个函数的交点个数问题，福建文科卷第 ’( 题研究分 式方程的根的分布问题，湖南卷第 ’( 题研究函数的 交点问题，四川卷第 "’ 题研究函数图象的交点个数 问题&从以上 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 我们可以发现导数命题创新的 " 个 方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向 研究 " 个函数或多个函数，二是研究内容的多元化， 由用导数研究函数的性质（单调性、最值、极值）转向 运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根 的分布等综合研究，实际上就是运用导数考查函数图 象的交点问题& 试题“以能力立意”的意图表现明显，注重了创 新、开放、探究性，以所学数学知识为基础，对数学问 题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究& 考查 了学生综合与灵活地应用所学的数学思想方法，进行 独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力& 如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题 呢？下面我们先看一看今年的高考题& 例 !（福建理科第 "’ 题）! 已知函数 "（#）) * #" + ,#，$（#）) $ -. # +%! 是否存在实数 %，使得 & ) "（#）的图象与 & ) $（#）的 图象有且只有 / 个不同的交点？若存在，求出 %的取 值范围；若不存在，说明理由! 解! 因为函数 & ) "（#）的图象与 & ) $（#）的图象 有且只有 / 个不同的交点，所以令 "（#）) $（#），则 $ （#）* "（#）) #! 因为 # 0 #，所以函数 !（#）) $（#）* "（#）) #" * ,# + $ -. # +% 的图象与 #轴的正半轴有且只有 / 个不同的交点! !’（#）) "# * , + $# ) "#" * ,# + $ # ) "（# * ’）（# * /） # （# 0 #）， 当 #%（#，’）时，!’（ #）0 #，!（ #）是增函数；当 #% （’，/）时，!’（#）1 #，!（#）是减函数；当 #%（/，+ 2） 时，!’（#）0 #，!（ #）是增函数；当 # ) ’ 或 # ) / 时， !’（#）) #!所以 !（#）345 ) !（’）)% * 6， !（#）37. ) !（/）)% + $ -. / * ’%! 当 #&# +时，!（#）& *2，当 #& +2时，!（#）& + 2， 所以要使 !（#）) # 有 / 个不同的正实数根，必需且只 需 !（#）345 )% * 6 0 #， !（#）37. )% + $ -. / * ’% 1 #{ ， 图 ! 所以 6 1 % 1 ’% * $-./ ! 故存在实数 %， 使得函数 & ) "（#）与 & ) $（#）的图象有且只 有 / 个不同的交点，% 的取值范围为（6，’% * $ -. /）!（分析草图见 图 ’）! 引申 !" 如果题中“有且只有 / 个不同的交点” 变为“有且只有 ’ 个交点”怎么解答呢？ 前面相同，只需把后面改为 !（#）37. )% + $-. / * ’% 0 # 或 !（#）345 )% * 6 1 #， 即 % 0 ’% * $-. / 或 % 1 6 时，函数 & ) "（ #）与 & ) $（#）的图象有且只有 ’ 个交点（分析草图见图 " 和图 /）! 图 #" " " " " " " " " " 图 $ 引申 # " 如果题中“有且只有 / 个不同的交点” 变为“有且只有 " 个不同的交点”怎么解答呢？ 8 万方数据 命题大参考! ! ! 一位贵族夫人傲慢地对法国作家莫泊桑说：“你的小说没什么了不起，不过说真的，你的胡子倒十分好看，你为什么要留 这么个大胡子呢？”莫泊桑淡淡地回答：“至少能给那些对文学一窍不通的人一个赞美我的理由"” 前面相同，只需把后面改为 !（!）#$% &" ’ ( )% * + ,- & . 或 !（!）#/0 &" + 1 & .， 即 " & ,- + ( )% * 或 " & 1 时，函数 # & $（ !）与 # & %（!）的图象有且只有 2 个不同的交点（分析草图见 图 3 和 -）& 图 !" " " " " " " " " " 图 # 点评! 从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨 函数 # & $（!）的图象与函数 # & %（!）的图象的交点问 题，有以下几个步骤：! 构造函数 !（ !）& $（ !）+ %（!），" 求导 !’（!），# 研究函数 !（!）的单调性和 极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况），$ 准备画出函数 !（!）的草图，观察与 ! 轴的交点情况， 列不等式，% 解不等式& 解题的关键是会用数形结合 ’’’’ 思想来研究问题&下 面用这几个步骤来完成 2..( 年四川卷第 2, 题& 例 $ ! 已知函数 $（ !）& !* ’ *(! + ,，%（ !）& $’（!）+ (! + -，其中 $’（!）是 $（!）的导函数& 设( & + "2，当实数 "在什么范围内变化时，函数 # & $（!）的 图像与直线 # & * 只有 , 个公共点& 解! $（!）& !* ’ *(! + ,，$’（!）& *!2 + *"2 & ! 当 " & . 时，$（!）& !* + , 的图象与直线 # & * 只有 , 个公共点； " 当 "(. 时，令 !（!）& $（!）+ * & !* ’ *(! + 3， !’（!）& *!2 ’ *( & *!2 + *"2 &列表如下： ! （ + 4，+ 5" 5） + 5" 5（ + 5" 5，5" 5） 5" 5 （ 5" 5，’ 4） !’（!） ’ . + . ’ !（!） 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 !（!）#$% & !（ 5" 5）& + 2" 2 5" 5 + 3 6 + 3& 又因为 !（!）的值域是 %，且在（ 5" 5，’ 4）上单调递 增，所以当 ! 7 5" 5时，函数 # & !（!）的图象与 ! 轴只 有 , 个公共点& 当 ! 6 5" 5时，恒有 !（!）)!（ + 5" 5），由题意得 !（ + 5" 5）6 .，即 2"2 5" 5 + 3 6 .，得 "%（ + * !2，.）* （.，*!2），综上，"的取值范围是（ + * !2， * !2）（分析草图 见图 (）& 图 & 当然，题目并不是千篇一律的，也有些变式，但是 基本方法没有变化&如 2..( 年福建文科卷 2, 题& 例 ’" 已知 $（!）是二次函数，不等式 $（!）6 . 的 解集是（.，-），且 $（!）在区间［ + ,，3］上的最大值是 ,2& （,）求 $（!）的解析式； （2）是否存在实数 "，使得方程 $（!）’ *1! & . 在 区间（"，" ’ ,）内有且只有 2 个不等的实数根？若存 在，求出 "的取值范围；若不存在，说明理由& 解!（,）$（!）& 2!2 + ,.!（过程略）& （2）方程 $（!）’ *1! & . 等价于方程 2!* + ,.!2 ’ *1 & .& 设 )（!）& 2!* + ,.!2 ’ *1，则 )’（!）& (!2 + 2.! & 2!（*! + ,.）& 当 !%（ + 4，.）时，)’（!）7 .，)（!）是增函数； 图 ( 当 !%（.，,.* ）时， )’（!）6 .，)（ !）是减 函数； 当 !%（,.* ，’ 4） 时，)’（!）7 .，)（!）是 增函数（见图 1）& )（*）& , 7 .，)（,.* ）& + , 21 6 .，)（3）& - 7 .， 方程 )（!）& . 在区间（*，,.* ），（ ,. * ，3）内分别有唯一 实数根，而在区间（.，*），（3，’ 4）内没有实数根，所 以存在唯一的自然数 " & * 使得方程 $（!）’ *1! & . 在 区间（"，" ’ ,）内有且只有 2 个不同的实数根& 从上面的探讨，我们可以看出，在今后的数学学 习过程中，我们除了要加强数学基础知识的学习，还 要学会用数学思想方法来研究问题，只有这样，我们 才能以不变应万变，才能提高我们的创新能力和实践 能力" - 万方数据 导数应用之新考向——由2006年高考看用导数求函数图象的交 点问题 作者： 夏文凯 作者单位： 广东省东莞市新星高级中学 刊名： 高中数理化 英文刊名： GAOZHONG SHU-LI-HUA 年，卷(期)： 2006(6) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gzslh200606003.aspx