运用定比分点的向量
公式
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解题
浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平
教材给出了直角坐标系内线段的定比分点的坐标公式，由于直角坐标系中的点与向量有种一一对应的关系，我们也可得到线段的定比分点的向量公式，这为我们解决一些数学问题提供了方便，更能为我们开拓解题思路，提高解题分析的能力。
1．定比分点向量公式：如图1，设
、
平面上的两点，点
线段
上不同于
、
的任一点，则存在一个实数
，使
，
叫做点
分有向线段
所成的比，则
。
2．证明：
，
，故
3．应用
例1．如图2，已知
，且
是线段
的三等分点，试求向量
的坐标。
解析：
EMBED Equation.3 是线段
的三等分点，
得，
，
，
EMBED Equation.3 ，
，故
例2．如图3所示，在
中，
为边
上的点，且
，
为
上的一点，且
，延长
交
于
，求
分有向线段
所成的比
。
解：∵
，∴
，
又
，∴
，
而
，
∴
，
∵
、
、
共线，∴设
，而
∴
∴
，解得
。
例3．如图4所示，在平行四边形
中，
点在线段
上，且
，
在线段
上，且
，
与
相交于
，求
的值。
解析：取
，
为两基底，
，
∴
，由题意有
，
，
得，
，
由定比分点向量公式得，
，
，
又
、
、
三点共线，∴存在实数
使
，∴
，
∴
，且
。∴
，即
。
【评注】观察定比分点向量公式：
，它实质上是平面向量基本定理的应用，用一组不共线的基底
、
表
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示向量
，存在的实数对
满足
（这是一个定值），因此，若
，且
，则可以说明
三点必共线。
图1
O
P2
P
P1
E
C
D
B
A
F
y
图4
图3
图2
A
x
B
C
D
E
o
D
Q
C
R
B
A
P
_1232279320.unknown
_1232280084.unknown
_1232280183.unknown
_1232280302.unknown
_1232284624.unknown
_1232284726.unknown
_1232284812.unknown
_1232284837.unknown
_1232284781.unknown
_1232284666.unknown
_1232284587.unknown
_1232284598.unknown
_1232284072.unknown
_1232280196.unknown
_1232280286.unknown
_1232280293.unknown
_1232280189.unknown
_1232280150.unknown
_1232280164.unknown
_1232280171.unknown
_1232280157.unknown
_1232280099.unknown
_1232280143.unknown
_1232280091.unknown
_1232279962.unknown
_1232279999.unknown
_1232280013.unknown
_1232280018.unknown
_1232280007.unknown
_1232279979.unknown
_1232279986.unknown
_1232279971.unknown
_1232279587.unknown
_1232279680.unknown
_1232279697.unknown
_1232279621.unknown
_1232279552.unknown
_1232279562.unknown
_1232279534.unknown
_1195900066.unknown
_1232272324.unknown
_1232279132.unknown
_1232279202.unknown
_1232279163.unknown
_1232279178.unknown
_1232272617.unknown
_1232272639.unknown
_1232278430.unknown
_1232272455.unknown
_1232272137.unknown
_1232272265.unknown
_1232272277.unknown
_1232272247.unknown
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_1195919117.unknown
_1195919174.unknown
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_1195918953.unknown
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_1195883513.unknown
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_1195883981.unknown
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_1134768992.unknown
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_1134768892.unknown
_1134768442.unknown
_1134768528.unknown
_1134768426.unknown
浙公网安备 33021202002483