华中师范大学 2004 –2005 学年第二学期
期末考试试卷(B卷)
课程名称 量子力学 课程编号 50112200 任课教师 贾亚
题型
计算
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
总分
分值
80
20
100
得分
得分
评阅人
一、证明题:(共2题,每题10分)
1. 粒子在一维势场
中运动,证明:属于不同能级的束缚态波函数互相正交。(设
、
分别属于能级
、
的束缚态波函数,由于是一维束缚态,
、
都是实函数,故只需证明
)
证明:设
、
分别属于能级
、
的束缚态波函数,由于是一维束缚态,
、
都是实函数,故只需证明
。
、
均应满足定态薛定谔方程,即
(1)
(2)
以
左乘(1)式,再左乘(2)式,再相减,即得
(3)
对全空间积分,得到
束缚态波函数在无穷远处必须为0,因此,当
,就有
即
、
正交。
2.若算符
与
对易,其中
为实数。对于任意波函数
有:
,
即
为平移算符。证明:算符
是
的周期函数,且周期为
。
证明:根据题意
,即
。
且对于任意波函数
有
。
故
。
因此
。
即
为周期函数,周期为
。
二、计算题:(共4题,每题20分)
1.已知二阶矩阵
、
满足:
,
,
,在
表
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象中,求出矩阵
、
。
解:根据定义
,有
,由于
,故得
(1)
由此式求出
的本征值为0,1。
在
表象中,
为对角矩阵,对角矩阵元等于本征值,所以
可以表示成
(2)
设
(3)
应有
(4)
(5)
(6)
由(4)可得
EMBED Equation.3 , (
)
由(5)可得
EMBED Equation.3 , (
)
由式(
)、(
)可得
可取
(
为实数),
代入(3)式即得
表象中
的矩阵表示:
(7)
由(2)、(7)表示的
、
已满足题设条件。故
可取实数。
令
,则
2.(1)哈密顿在
表象中的矩阵为
,
、
为实数,用微扰
方法
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计算粒子能量至二级近似。(2)粒子受到势能为
的场散射,
,用玻恩近似计算微分散射截面。
解:(1)
已知在能量表象中,
所以
。
准确到二级近似时,按微扰公式:
,
当
时,
;
当
时,
。
(2)
3.在
表象中,求
的本征值和本征态,
是
方向的单位矢。
解:
(在
表象中)
本征方程为
即
由此得
即
有非零解的条件是
由此得
,
。
可求得与
对应的本征矢为
,与
对应的本征矢为
。
4.某量子体系的能量算符为
,其中
,
,且
、
满足基本对易关系式
,即
,试求
的本征值谱。
解:(一)算符
、
的定义使人立即联想到谐振子的升、降算符。下面将
用
、
表示,再寻找解决办法。
,
,
故
。
令
,则仍有对易式
。
故
现
的结构已经和谐振子类似,再令
,
则
,
,
。
设
,容易证明
,
,
。
因此能级为
,
。基态
,基态波函数满足
,即
解为
EMBED Equation.3 ,
为归一化常数。
解:(二)由
,
,可算出
和
的对易式为
(*)
为了将
化成谐振子的形式,应该找到一对算符
、
,满足
(#)
并使
成下列形式
(18)
设
,容易证明
,
,
(19)
为此,试令
(
为待定系数) (20)
利用(*)式,易得
(21)
(22)
根据(#)式,故
。 (23)
由
及(18)、(22)式,得
(24)
由(23)、(24)式解出根
,代入(22)式,再代入(18)式得
以及
,因此
,
。基态波函数求法类似。
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