第40-41课时：第五章 平面向量——平面向量的数量积

七彩教育网 http://www.7caiedu.cn 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 一．课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ： TC "§5.3平面向量的数量积" 平面向量的数量积 二．教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用． 三．教学重点：平面向量数量积及其应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．平面向量数量积的概念； 2．平面向量数量积的性质： 、 ； 3．向量垂直的充要条件： ． （二）主要方法： 1．注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围； 2．垂直的充要条件的应用； 3．当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性； 4．距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决． （三）基础训练： 1.下列命题中是正确的有 ①设向量 与 不共线，若 ，则 ；② ； ③ ，则 ； ④若 ，则 2．已知 为非零的平面向量. 甲： （ ） 甲是乙的充分条件但不是必要条件 甲是乙的必要条件但不是充分条件 甲是乙的充要条件 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．已知向量 ，如果向量 与 垂直，则 的值为（ ） 2 4．平面向量 中，已知 ，且 ，则向量 ______. 5．已知| |=| |=2， 与 的夹角为600，则 + 在 上的投影为 。 6．设向量 满足 ，则 。 7．已知向量 的方向相同，且 ，则 ___ ___。 8．已知向量 和 的夹角是120°，且 ， ，则 = 。 （四）例题分析： 例1．已知平面上三个向量 、 、 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求证： ⊥ ；（2）若 EMBED Equation.3 ，求 的取值范围. 解：（1）∵ ，且 、 、 之间的夹角均为120°， ∴ ∴ （2）∵ ，即 也就是 ∵ ，∴ 所以 或 ． 例2．已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2） （1） 若| | ，且 ，求 的坐标； （2）若| |= 且 与 垂直，求 与 的夹角 . 解：（1）设 ，由 和 可得： EMBED Equation.3 ∴ EMBED Equation.3 或 EMBED Equation.3 ∴ ，或 （2） EMBED Equation.3 即 ∴ ， 所以 ∴ ∵ ∴ . 例3．设两个向量 、 ，满足 ， ， 、 的夹角为60°，若向量 与向量 的夹角为钝角，求实数 的取值范围. 解： ， ， ∴ ∴ 设 ∴ EMBED Equation.3 时， 与 的夹角为 ， ∴ 的取值范围是 。 例4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问 的夹角 取何值时 的值最大？并求出这个最大值. 解法一： 故当 ，即 （ 与 方向相同）时， 最大，其最大值为0。 解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设 ，则 且 设点 的坐标为 ， 则 ， 故当 ，即 （ 与 方向相同）时， 最大，其最大值为0。 五．课后作业： 1．已知向量 ,向量 则 的最大值，最小值分别是（ ） 16，0 4，0 2．平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 ， ，若点 满足 ,其中 ，且 ,则点 的轨迹方程为：（ ） 3．已知向量 ， ，那么 的值是（ ） 1 4．在 中， ， 的面积是 ，若 ， ，则 ( ) 5．已知 为原点，点 的坐标分别为 ， ，其中常数 ，点 在线段 上，且有 EMBED Equation.3 ，则 的最大值为（ ） 6．设 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且 ，则 的值等于 （ ） 2 4 8 7.设 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ① ； ② ③ 不与 垂直 ④ 中，是真命题的有 ( ) （A）①② （B）②③ （C）③④ （D）②④ 8．设 为平面上四个点， ， ， ，且 ， = EMBED Equation.3 ，则 ＝___________________。 9．若对 个向量 存在 个不全为零的实数 ，使得 成立，则称向量 为“线性相关”．依此规定， 能说明 ， ， “线性相关”的实数 依次可以取 ；（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）． 10．向量 都是非零向量，且 ，求向量 与 的夹角. 11．已知向量 ， 。 （1）当 ，求 ； （2）若 ≥ 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围。 12．设 , , , ， 与 轴正半轴的夹角为 , 与 轴正半轴的夹角为 ，且 ,求 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn A B C a A B P C 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