阶段性测
试题
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二(三角函数)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。)
1.(文)α是第四象限的角,tanα=-eq \f(12,5),则sinα等于
( )
A.-eq \f(1,12)
B.-eq \f(1,5)
C.eq \f(12,13)
D.-eq \f(12,13)
[
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
] D
[解析] 首先α为第四象限角,则sinα<0,排除C,其次由勾股数5,12,13知排除A、B,故选D.
(理)已知eq \f(cos2x,\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4))))=eq \f(1,5),0
0,∴eq \f(a,c)=eq \f(\r(5)-1,2)=sinA,故选A.
[点评] 在△ABC中,由正弦定理a=2RsinA、b=2RsinB可知,a1)的两根为tanα、tanβ,且α,β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),\f(π,2))),则taneq \f(α+β,2)的值是
( )
A.eq \f(1,2)
B.-2
C.eq \f(4,3)
D.eq \f(1,2)或-2
[答案] B
[解析] ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(tanα+tanβ=-4a<0,tanα·tanβ=3a+1>0)),
∴tan(α+β)=eq \f(tanα+tanβ,1-tanα·tanβ)=eq \f(4,3),
∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(-\f(π,2)<α<0,-\f(π,2)<β<0)),则-π<α+β<0,-eq \f(π,2)0)的左右顶点分别为A、B,双曲线在第一象限的图象上有一点P,∠PAB=α,∠PBA=β,∠APB=γ,则
( )
A.tanα+tanβ+tanγ=0
B.tanα+tanβ-tanγ=0
C.tanα+tanβ+2tanγ=0
D.tanα+tanβ-2tanγ=0
[答案] C
[解析] 设P(x0,y0),则
tanγ=-tan(α+β)=eq \f(tanα+tanβ,tanαtanβ-1),
∵tanαtanβ=kPA(-kPB)=eq \f(y0,x0+a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(y0,x0-a)))=eq \f(y\o\al(2,0),a2-x\o\al(2,0))=-1.
∴tanγ=-eq \f(tanα+tanβ,2),即tanα+tanβ+2tanγ=0,故选C.
7.(文)已知sinx-siny=-eq \f(2,3),cosx-cosy=eq \f(2,3),且x、y为锐角,则tan(x-y)的值是( )
A.eq \f(2\r(14),5)
B.-eq \f(2\r(14),5)
C.±eq \f(2\r(14),5)
D.±eq \f(5\r(14),28)
[答案] B
[解析] 由已知sinx-siny=-eq \f(2,3),cosx-cosy=eq \f(2,3),得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin2x-2sinxsiny+sin2y=\f(4,9),cos2x-2cosxcosy+cos2y=\f(4,9))),
相加得cos(x-y)=eq \f(5,9),
∵x、y均为锐角,∴sin(x-y)=eq \f(-2\r(14),9),
∴tan(x-y)=-eq \f(2\r(14),5),故选B.
(理)已知α、β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π)),sineq \f(α,2)+coseq \f(α,2)=eq \f(\r(6),2),sin(α-β)=-eq \f(3,5),则cosβ的值为
( )
A.eq \f(4\r(3)+3,10)
B.eq \f(4\r(3)-3,10)
C.eq \f(3-4\r(3),10)
D.-eq \f(4\r(3)+3,10)
[答案] D
[解析] ∵sineq \f(α,2)+coseq \f(α,2)=eq \f(\r(6),2),∴sinα=eq \f(1,2),
∵eq \f(π,2)<α<π,∴cosα=-eq \f(\r(3),2),
∵eq \f(π,2)<β<π,∴-π<-β<-eq \f(π,2),∴-eq \f(π,2)<α-βeq \r(3),则2R>2eq \r(3)>3,只有2R=4这一种可能,故选D.
(理)(09·辽宁)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=-eq \f(2,3),则f(0)=( )
A.-eq \f(2,3)
B.eq \f(2,3)
C.-eq \f(1,2)
D.eq \f(1,2)
[答案] B
[解析] 首先由图象可知所求函数的周期T=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)-\f(7π,12)))=eq \f(2π,3),故ω=eq \f(2π,\f(2,3)π)=3.点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12),0))相当于余弦函数“五点法”作图中的第二关键点,
∴eq \f(11π,4)+φ=eq \f(π,2)+2kπ,∴φ=-eq \f(9π,4)+2kπ.
令k=1得,φ=-eq \f(π,4),∴f(x)=Acoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x-\f(π,4))),
又∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=-Asineq \f(π,4)=-eq \f(2,3),∴A=eq \f(2\r(2),3),
∴f(0)=Acoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,4)))=Acoseq \f(π,4)=eq \f(2,3).
9.(文)若a、b、c是△ABC的三边,直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离,则△ABC一定是
( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
[答案] D
[解析] 由题设知eq \f(|c|,\r(a2+b2))>1,
即a2+b2c2
B.a2+b2a2
D.b2+c20,
∴0eq \f(π,2),
由余弦定理得,cosC=eq \f(a2+b2-c2,2ab)<0,∴a2+b2-c2<0,
故应选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)
13.已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4))),a=(sinα)cosα,b=(sinα)sinα,c=(cosα)sinα,则a、b、c的大小关系是________.
[答案] acosα>sinα>0,y=(sinα)x为减函数,∴ab.故c>b>a.
14.(文)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=2,c=3,cosB=eq \f(1,4),则sinC的值为________.
[答案] eq \f(3\r(6),8)
[解析] ∵b2=a2+c2-2accosB,∴b=eq \r(10).
∴cosC=eq \f(a2+b2-c2,2ab)=eq \f(\r(10),8),
又00,cotx>0,
∴f(x)=eq \f(2cos2x+8sin2x,sin2x)=eq \f(cos2x+4sin2x,sinxcosx)
=cotx+4tanx≥2eq \r(cotx·4tanx)=4.
等号在cotx=4tanx,即tanx=±eq \f(1,2)时成立.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=eq \f(2\r(5),5),
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若-eq \f(π,2)<β<0<α0,a∈R)且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为eq \f(π,6).
(1)求ω的值;
(2)如果f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,3),\f(5π,6)))上的最小值为eq \r(3),求a的值.
[分析] 欲求ω和a,需将已知三角函数表达式化为一角一函形式,即Asin(ωx+φ)+C或Acos(ωx+φ)+C的形式,然后根据图象最高点求ω,通过变量x的范围,确定取得最值时变量的取值,进而求a的值.
[解析] (1)f(x)=eq \f(\r(3),2)cos2ωx+eq \f(1,2)sin2ωx+eq \f(\r(3),2)+a
=sin(2ωx+eq \f(π,3))+eq \f(\r(3),2)+a,
依题意得2ω·eq \f(π,6)+eq \f(π,3)=eq \f(π,2),
解得:ω=eq \f(1,2).
(2)由(1)知,f(x)=sin(x+eq \f(π,3))+eq \f(\r(3),2)+a.
又当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,3),\f(5π,6)))时取得最小值-eq \f(1,2)+eq \f(\r(3),2)+a.
由题设知-eq \f(1,2)+eq \f(\r(3),2)+a=eq \r(3).故a=eq \f(\r(3)+1,2).
(理)已知向量m=(sinωx+cosωx,eq \r(3)cosωx),n=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,函数f(x)=m·n,若f(x)相邻两对称轴间的距离为eq \f(π,2).
(1)求ω的值,并求f(x)的最大值及相应x的集合;
(2)在△ABC中,a、b、c分别是A、B、C所对的边,△ABC的面积S=5eq \r(3),b=4,f(A)=1,求边a的长.
[解析] (1)f(x)=cos2ωx-sin2ωx+2eq \r(3)sinωxcosωx=cos2ωx+eq \r(3)sin2ωx=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx+\f(π,6))),
由题意可得T=π,∴ω=1,
∴f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6))).
当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6)))=1时,f(x)有最大值2,
∴2x+eq \f(π,6)=2kπ+eq \f(π,2),∴x=kπ+eq \f(π,6) (k∈Z),
∴x的集合为{x|x=eq \f(π,6)+kπ,k∈Z}.
(2)f(A)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A+\f(π,6)))=1
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A+\f(π,6)))=eq \f(1,2) 0
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