阶段性测试题5

阶段性测试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 五(平面向量) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题　共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。) 1．(08·全国Ⅰ)在△ABC中，eq \o(AB,\s\up6(→))＝c，eq \o(AC,\s\up6(→))＝b，若点D满足eq \o(BD,\s\up6(→))＝2eq \o(DC,\s\up6(→))，则eq \o(AD,\s\up6(→))＝(　　) A.eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c　　　 　　 B.eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b C.eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D.eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c [ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ]　A [解析]　eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝c＋eq \f(2,3)(b－c)＝eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c，故选A. 2．已知O、A、M、B为平面上四点，且eq \o(OM,\s\up6(→))＝λeq \o(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \o(OA,\s\up6(→))，λ∈(1,2)，则(　　) A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上 D．O、A、M、B四点共线 [答案]　B [解析]　eq \o(OM,\s\up6(→))＝λeq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(OA,\s\up6(→))－λeq \o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))＋eq \o(OA,\s\up6(→))， 则eq \o(OM,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))，即eq \o(AM,\s\up6(→))＝λeq \o(AB,\s\up6(→)). ∵λ∈(1,2)，∴点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上． 3．(文)已知a、b均为非零向量，命题p：a·b>0，命题q：a与b的夹角为锐角，则p是q成立的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　B [解析]　当a与b夹角为0°时，a·b>0；∴p⇒/ q， 当a与b夹角α为锐角时，a·b＝|a|·|b|cosα>0， ∴q⇒p. (理)已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，若a和c的夹角是锐角，则λ的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2))) C．{0} D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))∪(0，＋∞) [答案]　D [解析]　由条件得，c＝(1＋λ，3＋λ)，从而 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a·c＝1＋λ＋3(3＋λ)>0,\f(1＋λ,1)≠\f(3＋λ,3))) ⇒λ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))∪(0，＋∞)． 4．若|a|＝eq \r(2)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是 (　　) A.eq \f(π,6)　　　B.eq \f(π,4)　　　C.eq \f(π,3)　　　D.eq \f(π,2) [答案]　B [解析]　由(a－b)⊥a得，(a－b)·a＝0， ∴a2－a·b＝0. ∵|a|＝eq \r(2)，|b|＝2，∴2－|a||b|cos〈a，b〉＝0. ∴cos〈a，b〉＝eq \f(\r(2),2).∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝eq \f(π,4). 5．(文)已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是(　　) A．[－4,6] B．[－6,4] C．[－6,2] D．[－2,6] [答案]　C [解析]　∵|a＋b|＝|(3，k＋2)|＝eq \r((k＋2)2＋32)≤5，∴(k＋2)2≤42，∴－6≤k≤2.∴选C. (理)已知a＝(m，n)，b＝(p，q)，且m＋n＝5，p＋q＝3，则|a＋b|的最小值为(　　) A．4　　　B．4eq \r(2)　　　C．6　　　D．8 [答案]　B [解析]　由基本不等式知，x2＋y2≥eq \f(1,2)(x＋y)2， ∴|a＋b|＝eq \r((m＋p)2＋(n＋q)2) ≥eq \f(\r(2),2)(m＋p＋n＋q)＝eq \f(\r(2),2)×8＝4eq \r(2)， 当m＋p＝n＋q＝4时等号成立． 6．半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→)))·eq \o(PC,\s\up6(→))的最小值是 (　　) A．2　　　　B．0　　　　C．－2　　 　D．－1 [答案]　C [解析]　如图(eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→)))·eq \o(PC,\s\up6(→))＝2eq \o(PO,\s\up6(→))·eq \o(PC,\s\up6(→))＝－2|eq \o(PO,\s\up6(→))|·|eq \o(PC,\s\up6(→))|≥－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(PO,\s\up6(→))|＋|\o(PC,\s\up6(→))|,2)))2＝－2， 等号在|eq \o(PO,\s\up6(→))|＝|eq \o(PC,\s\up6(→))|，即P为OC的中点时成立． 7．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|eq \o(MN,\s\up6(→))|·|eq \o(MP,\s\up6(→))|＋eq \o(MN,\s\up6(→))·eq \o(NP,\s\up6(→))＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为 (　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x [答案]　B [解析]　|eq \o(MN,\s\up6(→))|·|eq \o(MP,\s\up6(→))|＋eq \o(MN,\s\up6(→))·eq \o(NP,\s\up6(→)) ＝|eq \o(MN,\s\up6(→))|·|eq \o(MP,\s\up6(→))|＋|eq \o(MN,\s\up6(→))|·|eq \o(NP,\s\up6(→))|cosθ ＝|eq \o(MN,\s\up6(→))|·(|eq \o(MP,\s\up6(→))|＋|eq \o(NP,\s\up6(→))|·cosθ) ＝0(θ为eq \o(MN,\s\up6(→))与eq \o(NP,\s\up6(→))的夹角)， ∵|eq \o(MN,\s\up6(→))|≠0，∴|eq \o(MP,\s\up6(→))|＋|eq \o(NP,\s\up6(→))|·cosθ＝0， ∴|eq \o(MP,\s\up6(→))|＝|eq \o(NP,\s\up6(→))|·cos(π－θ)，∴|eq \o(MP,\s\up6(→))|＝|eq \o(PK,\s\up6(→))|， 如下图，又∵MO＝2，∴方程为y2＝－8x，选B. 8．(文)在△ABC中，AB＝eq \r(3)，BC＝2，∠A＝eq \f(π,2)，如果不等式|eq \o(BA,\s\up6(→))－teq \o(BC,\s\up6(→))|≥|eq \o(AC,\s\up6(→))|恒成立，则实数t的取值范围是 (　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，eq \f(1,2)]∪[1，＋∞) C．[eq \f(1,2)，1] D．(－∞，0]∪[1，＋∞) [答案]　B [解析]　|eq \o(BA,\s\up6(→))－teq \o(BC,\s\up6(→))|≥|eq \o(AC,\s\up6(→))|⇔|eq \o(BA,\s\up6(→))|2－2teq \o(BA,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＋t2|eq \o(BC,\s\up6(→))|2≥|eq \o(AC,\s\up6(→))|2，在△ABC中，易知AC＝1，∠B＝30°，故得2t2－3t＋1≥0，解得t≤eq \f(1,2)或t≥1.故选B. (理)在△ABC中，若对任意k∈R，有|eq \o(BA,\s\up6(→))－keq \o(BC,\s\up6(→))|≥|eq \o(AC,\s\up6(→))|，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 [答案]　B [解析]　原不等式两边平方可化为eq \o(BA,\s\up6(→))2－2k·eq \o(BA,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＋k2·eq \o(BC,\s\up6(→))2≥eq \o(AC,\s\up6(→))2，∵k∈R，∴Δ＝4(eq \o(BC,\s\up6(→))·eq \o(BA,\s\up6(→)))2－4(eq \o(BA,\s\up6(→))2－eq \o(AC,\s\up6(→))2)eq \o(BC,\s\up6(→))2≤0，∴eq \o(BA,\s\up6(→))2cos2B－eq \o(BA,\s\up6(→))2＋eq \o(AC,\s\up6(→))2≤0，∴|eq \o(BA,\s\up6(→))|sinB≥|eq \o(AC,\s\up6(→))|，而|eq \o(BA,\s\up6(→))|sinB表示BC边上的高长，所以有|eq \o(BA,\s\up6(→))|sinB≤|eq \o(AC,\s\up6(→))|，从而AC即为高，即∠C＝90°.故选B. 9．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b平行，则实数m等于(　　) A.eq \f(1,2)　　　B．－eq \f(1,2)　 　C．2　　　D．－2 [答案]　B [解析]　ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)， 若ma＋b与a－2b平行，则eq \f(2m－1,4)＝－3m－2， 即2m－1＝－12m－8，解之得m＝－eq \f(1,2). 10．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是 (　　) A．[eq \f(π,6)，π] B．[eq \f(π,3)，eq \f(π,2)] C．[eq \f(π,3)，π] D．[eq \f(π,6)，eq \f(π,2)] [答案]　C [解析]　由条件得：Δ＝|a|2－4a·b≥0，即cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)≤eq \f(|a|2,4|a||b|)＝eq \f(1,2)，所以a与b的夹角θ的取值范围是[eq \f(π,3)，π]．故选C. 11．已知等腰直角△ABC，∠B＝90°，AB＝2，点M是△ABC内部或边界上一动点，N是边BC的中点，则eq \o(AN,\s\up6(→))·eq \o(AM,\s\up6(→))的最大值为 (　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 [答案]　C [解析]　如图，∵eq \o(AN,\s\up6(→))·eq \o(AM,\s\up6(→))＝|eq \o(AN,\s\up6(→))|·|eq \o(AM,\s\up6(→))|·cos∠MAN＝eq \r(5)·|AQ|，显然当M与C重合时，|AQ|最大，∴当M点与C点重合时，eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→))取得最大值 ∵cos∠CAN＝eq \f((\r(5))2＋(2\r(2))2－1,2×\r(5)×2\r(2))＝eq \f(3\r(10),10) ∴eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→))＝|eq \o(AC,\s\up6(→))||eq \o(AN,\s\up6(→))|＝cos〈eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(AN,\s\up6(→))〉 ＝2eq \r(2)×eq \r(5)×eq \f(3\r(10),10)＝6.故选C. 12．数列{an}中a1＝1，a5＝13，an＋2＋an＝2an＋1；数列{bn}中，b2＝6，b3＝3，bn＋2bn＝beq \o\al(2,n＋1)，在直角坐标平面内，已知点列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，P3(a3，b3)，…，Pn(an，bn)…，则向量eq \o(P1P2,\s\up6(→))＋eq \o(P3P4,\s\up6(→))＋eq \o(P5P6,\s\up6(→))＋…＋P2009P2010的坐标为 (　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3015，8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1005－1)))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3012，8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1005－1)))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3015，8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2010－1)))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3018，8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2010－1)))) [答案]　C [解析]　依题意得{an}成等差数列，由a5＝a1＋4d＝1＋4d＝13得d＝3.{bn}成等比数列，由q＝eq \f(b3,b2)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).eq \o(P1P2,\s\up6(→))＝(a2－a1，b2－b1)，eq \o(P3P4,\s\up6(→))＝(a4－a3，b4－b3)，eq \o(P5P6,\s\up6(→))＝(a6－a5，b6－b5)，…，P2009P2010＝(a2010－a2009，b2010－b2009)． ∵an＋1－an＝d＝3，bn＋1－bn＝bn(q－1)＝－eq \f(1,2)bn， ∴eq \o(P1P2,\s\up6(→))＋eq \o(P3P4,\s\up6(→))＋…＋P2009P2010 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1005d，－\f(1,2)(b1＋b3＋…＋b2009))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3015，8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2010－1)))). 第Ⅱ卷(非选择题　共90分) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．设F1是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PO,\s\up6(→))的取值范围是________． [答案]　[0,4＋2eq \r(3)] [解析]　设P(x，y)，则eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PO,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋eq \r(3)x＋y2＝x2＋eq \r(3)x＋1－eq \f(1,4)x2 ＝eq \f(3,4)x2＋eq \r(3)＋1＝(eq \f(\r(3),2)x＋1)2 ＝eq \f(3,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2\r(3),3)))2，x∈[－2，2]． ∴所求范围为[0,4＋2eq \r(3)]． 14．(08·陕西)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题： ①若a·b＝a·c，则b＝c. ②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3. ③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°. 其中真命题的序号为______．(写出所有真命题的序号) [答案]　② [解析]　①a·b＝a·c时，a·(b－c)＝0， ∴a⊥(b－c)不一定有b＝c，∴①错． ②a＝(1，k)，b＝(－2,6)，由a∥b知，1×6－(－2k)＝0，∴k＝－3，故②对． 也可以由a∥b，∴存在实数λ，使a＝λb， 即(1，k)＝λ(－2,6)＝(－2λ，6λ)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2λ＝1,6λ＝k))，∴k＝－3. ③非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则三向量a、b、a－b构成正三角形如图． 由向量加法的平行四边形法则知，a＋b平分∠BAC， ∴a＋b与a的夹角为30°，③错． 15．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sinθ＝________. [答案]　eq \f(\r(10),10) [解析]　∵a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)， ∴b＝(1,1)．∴cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3,\r(2)·\r(5))＝eq \f(3,\r(10)) . 又θ∈[0，π]，∴sinθ＝eq \r(1－cos2θ)＝eq \f(\r(10),10). 16．(文)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq \o(OB,\s\up6(→))＝a100eq \o(OA,\s\up6(→))＋a101eq \o(OC,\s\up6(→))，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于________． [答案]　100 [解析]　由条件可得a100＋a101＝1，即a1＋a200＝1，从而S200＝100.故填100. (理)设P、Q为△ABC内的两点，且eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,5) eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,5) eq \o(AC,\s\up6(→))，eq \o(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up6(→))，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为________． [答案]　eq \f(4,5) [ 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ]　△ABP与△ABQ有公共边AB，故面积之比为P、Q到AB边距离之比，又∵eq \o(AP,\s\up6(→))与eq \o(AQ,\s\up6(→))是以eq \o(AB,\s\up6(→))、eq \o(AC,\s\up6(→))为基底的向量，故此比可转化为边AC上的比例关系． [解析]　根据题意，设eq \o(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,5) eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,5) eq \o(AC,\s\up6(→))，则由平行四边形法则得eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \o(AM,\s\up6(→))＋eq \o(AN,\s\up6(→))，于是NP∥AB，所以eq \f(S△ABP,S△ABC)＝eq \f(|\o(AN,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,5)，同理可得eq \f(S△ABQ,S△ABC)＝eq \f(1,4).故eq \f(S△ABP,S△ABQ)＝eq \f(4,5). 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(文)已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(eq \f(π,2)，π)，a·b＝eq \f(2,5)，求cos(α＋eq \f(π,4))的值． [解析]　a·b＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝2cos2α－1＋2sin2α－sinα＝1－sinα， 由a·b＝eq \f(2,5)得1－sinα＝eq \f(2,5)，sinα＝eq \f(3,5). ∵α∈(eq \f(π,2)，π)，∴cosα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5). ∴cos(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),2)cosα－eq \f(\r(2),2)sinα ＝eq \f(\r(2),2)×(－eq \f(4,5))－eq \f(\r(2),2)×eq \f(3,5)＝－eq \f(7\r(2),10). (理)已知向量a＝(sinx，－1)，b＝(cosx，eq \f(3,2))． (1)当a∥b时，求cos2x－3sin2x的值； (2)求f(x)＝(a＋b)·b的最小正周期和单调递增区间． [解析]　(1)由a∥b，∴eq \f(3,2)sinx＋cosx＝0， ∴tanx＝－eq \f(2,3)， cos2x－3sin2x＝eq \f(cos2x－6sinxcosx,sin2x＋cos2x)＝eq \f(1－6tanx,1＋tan2x) ＝eq \f(1－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))2)＝eq \f(45,13). (2)∵a＝(sinx，－1)，b＝(cosx，eq \f(3,2))， ∴a＋b＝(sinx＋cosx，eq \f(1,2)) f(x)＝(a＋b)·b＝(sinx＋cosx)cosx＋eq \f(3,4) ＝eq \f(1,2)(sin2x＋cos2x)＋eq \f(5,4)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq \f(5,4)，最小正周期为π，由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)得 kπ－eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)， 故f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,8)，kπ＋\f(π,8)))，k∈Z. 18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝m·n，其中m＝(2cosx,1)，n＝(cosx，eq \r(3)sin2x)，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期与单调减区间； (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(A)＝2， ①求A； ②若b＝1，△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，求eq \f(b＋c,sinB＋sinC)的值． [解析]　f(x)＝m·n＝2cos2x＋eq \r(3)sin2x ＝1＋cos2x＋eq \r(3)sin2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1. (1)函数f(x)的最小正周期T＝π. 令2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)， ∴2kπ＋eq \f(π,3)≤2x≤eq \f(4π,3)＋2kπ(k∈Z)， ∴kπ＋eq \f(π,6)≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ(k∈Z)． ∴f(x)的单调减区间为[kπ＋eq \f(π,6)，eq \f(2π,3)＋kπ](k∈Z)． (2)①f(A)＝2sin(2A＋eq \f(π,6))＋1＝2， ∴sin(2A＋eq \f(π,6))＝eq \f(1,2). ∵0 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 ，需要等可能地从4个向量a＝(2,3)、b＝(1,5)、c＝(4,3)、d＝(8,1)中任选两个来计算数量积，若所得数量积为随机变量ξ. (1)求随机变量ξ≤19的概率； (2)求随机变量ξ的分布列和期望E(ξ)． [解析]　(1)a·b＝2×1＋3×5＝17，a·c＝2×4＋3×3＝17， a·d＝2×8＋3×1＝19，b·c＝1×4＋5×3＝19 b·d＝1×8＋5×1＝13，c·d＝4×8＋3×1＝35 P(ξ≤19)＝P(ξ＝19)＋P(ξ＝17)＋P(ξ＝13)＝eq \f(2,6)＋eq \f(2,6)＋eq \f(1,6)＝eq \f(5,6)，∴数量积ξ≤19的概率为eq \f(5,6). (2)数量积ξ可能取值为13,17,19,35， P(ξ＝13)＝eq \f(1,6)，P(ξ＝17)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)， P(ξ＝19)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(ξ＝35)＝eq \f(1,6) 数量积ξ的分布列为 ξ 13 17 19 35 P eq \f(1,6) eq \f(1,3) eq \f(1,3) eq \f(1,6) 数量积ξ的期望E(ξ)＝13×eq \f(1,6)＋17×eq \f(1,3)＋19×eq \f(1,3)＋35×eq \f(1,6)＝20. 20．(本小题满分12分)若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R. (1)若a，b起点相同，t为何值时，a，tb，eq \f(1,3)(a＋b)三向量的终点在一直线上？ (2)若|a|＝|b|，且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？ [解析]　(1)设a－tb＝meq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－\f(1,3)(a＋b)))，m∈R， 化简得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)m－1))a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,3)－t))b， ∵a与b不共线， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2,3)m－1＝0,\f(m,3)－t＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,2),t＝\f(1,2)))， ∴t＝eq \f(1,2)时，a，tb，eq \f(1,3)(a＋b)的终点在一直线上． (2)|a－tb|2＝(a－tb)2＝|a|2＋t2|b|2－2t|a||b|cos60°＝(1＋t2－t)|a|2， ∴当t＝eq \f(1,2)时，|a－tb|有最小值eq \f(\r(3),2)|a|. 21．(本小题满分12分)已知向量a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)． (1)若|c|＝2eq \r(5)，且a∥c，求c的坐标； (2)若|b|＝eq \f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. [解析]　(1)令c＝(x，y)，则由|c|＝2eq \r(5)知 eq \r(x2＋y2)＝2eq \r(5)① 又由a∥c知，2x－y＝0② 联立①②可解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝4))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝－4))， 故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)． (2)由a＋2b与2a－b垂直知(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴a·b＝eq \f(2b2－2a2,3)， 即|a||b|cosθ＝eq \f(2b2－2a2,3)，∴cosθ＝eq \f(2b2－2a2,3|a||b|)， 而由a＝(1,2)知|a|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)， 又|b|＝eq \f(\r(5),2)，∴cosθ＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－2×(\r(5))2,3×\f(\r(5),2)×\r(5))＝－1， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π. 22．(本小题满分14分)在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝eq \r(5)，eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝5. (1)求AC的长； (2)求sin(2A－B)的值． [解析]　(1)eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝5，AB＝3，AC＝2AD. ∴eq \o(AD,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \f(5,2)， eq \o(DB,\s\up6(→))2＝(eq \o(DA,\s\up6(→))＋eq \o(AB,\s\up6(→)))2＝eq \o(DA,\s\up6(→))2＋eq \o(AB,\s\up6(→))2＋2eq \o(DA,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝eq \o(DA,\s\up6(→))2＋9－eq \f(5,2)×2＝eq \o(DA,\s\up6(→))2＋4＝5， ∴AD＝|eq \o(DA,\s\up6(→))|＝1，AC＝2. (2)由(1)得eq \o(AD,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \f(5,2)⇒cosA＝eq \f(5,6)，∴sinA＝eq \f(\r(11),6). 在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA， ∴BC＝eq \r(3). 在△ABC中，eq \f(AC,sinB)＝eq \f(BC,sinA)， ∴sinB＝eq \f(\r(33),9)，∴cosB＝eq \f(4\r(3),9). sin(2A－B)＝sin2A·cosB－cos2A·sinB ＝2sinA·cosA·cosB－(1－2sin2A)·sinB ＝2×eq \f(\r(11),6)×eq \f(5,6)×eq \f(4\r(3),9)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2×\f(11,36)))×eq \f(\r(33),9) ＝eq \f(13\r(33),162).