变系数二阶线性常微分方程求解的基本研究及Maple在其中的应用

学校代码：』Q2箜 分类号：盟 ③ 研究生学号 密 级 东壮峄荭大雪 硕士学位 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 1221203023 衷 变系数二阶线性常微分方程求解的基本研 究及Maple在其中的应用 ThebasicresearchonsolVingthesecond-orderljnear ordinarydi胁瑚tialeq岫ti仙witllvariablecoemcientsand Maple。sapplicati蚰sonit 作者：孙智勇 指导教师：柬仁责教授 学科专业：理论物理 研究方向：数学物理 学位类型：学历硕士 东北师范大学学位评定委员会 2006年5月 摘 要 二阶线性常微分方程!—丢+尸(i11里+Q(z1y，o在科学技术中有着广 dx‘ d工 泛的应用。特别是在物理学中，二阶线性常微分方程及其本征值问题是求解数学物理方 程的重要基础，很多物理问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。然而变系数二 阶线性常微分方程的求解十分困难，至今还没有一个普遍有效的办法，通常采用的级数 解法只能得到某点邻域内的局域解，而且是无穷级数解或近似解，不便于作理论上分析。 因此，变系数二阶线性常微分方程的求解问题吸引了大量数学和物理工作者的兴趣。 在二阶线性常微分方程理论中，常系数方程总是可解的，特殊函数方程的性质已 经有了深入的研究，因此可以将它们看成“可解方程”，然雨在处理实际问题时，我们 往往遇到的是陌生的变系数方程，求解比较困难。 本文通过对微分方程和特殊函数理论的研究，提出新的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 将一类变系数二阶线 性常微分方程转化为己知的特殊的可解方程，建立起这类方程之间的转换关系。同时， 从本质上阐述将变系数方程常系数化的方法，进而提出变系数二阶线性常微分方程求解 的基本思想和步骤。最后，通过数学软件Maple将复杂的求解步骤编写为Maple程序， 利用Maple强大的符号运算能力简化方程转换过程中繁杂的计算，使变系数二阶线性常 微分方程的求解简单化程序化，同时有利于我们对微分方程的进一步学习、研究和应用。 关键词：变系数二阶线性常微分方程；常系数化；特殊函数方程化；Maple 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 并表示谢意。 学位论文作者签名：玉a!錾霎 日期： 互血‘!』：』 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 (保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：jdl5沮 指导教师签名： 日 期：纽I：I。； 日 期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 引 言 一、微分方程的发展和应用 微分方程是一门研究自变量、未知函数及未知函数导数之间关系的数学科学。它是 伴随着微积分的产生和发展而成长起来的～门历史悠久的学科，至今已有300多年的历 史11“， 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规 律的摄为基本的数学方法。牛顿在研究天体力学和经典力学的时候，利用了微分方程这 个工具，证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，从理论上得到了行星运动规律。此 后。法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现 的海王星的位置。这些都使科学家们更加深信微分方程在认识自然、改造自然等方面的 巨大力量，可以说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应 用H’1”。 在常微分方程发展的初期阶段，人们主要是针对实际问题提出的各种方程。用积分 的方法求其精确的解析表达式，这就是人们常说的初等积分法。这种研究方法一直延续 到十九世纪中期前后，直到1841年法国数学家刘维尔在他的一篇著名论文中证明了大 多数常微分方程不能用初等积分法求解，由此促使人们放弃这一研究方法。经过刘维尔 这一工作之后，常微分方程进入了基础定理和新型分析方法的研究阶段。 随着科学技术的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的学科领域内有着重要 的应用，物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和 规律都可以描述成相应的常微分方程。 可以说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域广泛的应用促使了它 的进一步发展。同时，数学学科内部的许多分支中都离不开微分方程，常微分方程是整 个数学课程体系中的重要组成部分，它每一步进展都离不开其它数学分支的支援，如复 变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响。反过来，常 微分方程进一步发展的需要．也推动着其它数学分支的发展。 这一古老的学科，由于应用领域的不断扩大和新理论生长点的不断涌现，它的发展 至今仍充满生机和活力。尤其是当前计算机的发展，Matll啪a￡i∞，Maole，Mathlb等数 学计算软件的开发更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 二、变系数二阶线性常微分方程的重要性 常微分方程作为其它自然科学和偏微分方程的基础，一直以来受到学者们的重视， 很多专家学者发表了著名的著作和论文，使常微分方程的解的理论发展到一个相对完善 很多专家学者发表了著名的著作和论文，使常微分方程的解的理论发展到一个相对完善 1 的程度。 根据线性常微分方程的基本理论，任何线性非齐次常微分方程的解都可以归结为求 相应齐次常微分方程的基本解组【5卅。对于线性齐次常微分方程而言，高阶的常微分方 程可以通过降阶的办法使方程的阶数降低，化为一阶或二阶的常微分方程来求解，因此 在微分方程求解的问题中低阶方程的求解占有重要地位。 我们知道，所有一阶线性常微分方程和常系数的二阶线性微分方程总是可以解的， 而变系数二阶线性常微分方程求解则十分困难，除了计算非常复杂的级数解法外【1越11， 至今还没有一个普遍的方法，而级数解法计算量大，而且不能得到解析解，不便于理论 上的分析。因此，变系数二阶线性常微分方程求解的研究是微分方程理论中一个十分重 要的部分。 此外，二阶线性常微分方程兰『二}+P(x)罢旦+Q(x)y．o在物理学及科 4X nz 学技术中有广泛的应用【4羽，例如：常在散射理论中应用的Riccati凰ssel方程，在电学 的高频交流趋肤效应问题中应用的．I色omson方程等等都是变系数二阶线性常微分方程， 可以说很多物理问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。此外二阶线性常微分方 程及其本征值问题还是求解数学物理方程的重要基础。因此变系数二阶线性常微分方程 在物理学中发挥着非常巨大的作用。 三、变系数二阶线性常微分方程求解遇到的问题 然而，在物理学及科学技术中有广泛的应用的变系数二阶线性常微分方程的求解则 十分困难，对于变系数二阶线性常微分方程，除了一些已知的特殊函数方程，大多数方 程看起来只能用级数解法，级数解法虽然是一种较为普遍有效的方法，但是运算非常繁 杂，而且得到的是无穷级数解或近似?平猓?槐阌谠诶砺?上做物理分析。 很多学者在教材和文献中介绍了用一些特殊的变换【2描l，将方程转化为常系数方程 02 ， 来求解，著名的如Euler型方程x2÷了y(力+甜÷yO)+砂O)一o(咖为常数)，经自变“ 耐 量的对数变换可常系数化，但都只是通过某种特殊的交换，解决其中一类的方程，没有 从总体上提出系统可行的方法，而且对于一个陌生的交系数方程，在将它转化为已知可 解的方程的时候，寻找合适的变换也是一件很困难的事情，无论那种方法都要进行大量 繁杂的数学计算。 此外，虽然计算机及相关数学软件已经发展到一个很高的程度，可以通过相关软件 直接求解，但由于计算机软件在理论上还不是非常完善，缺乏智能的判断，有时候反而 使问题变的更加复杂。 四、本文的研究内容及意义 变系数二阶线性常微分方程的求解基本理论已经发展到一定的程度，很多学者也提 Q1=Q驴2=c2(常数) (1．8) 联立(1．7)、(1．8)求解，可得到结论： 若方程(1．5)满足判别式 ¨。居[P+砉Q纠嵋愀， ㈦9， 则通过变换： h，√芒出一一G) n10) 可以将方程(1．5)化为常系数方程： 害+cl誓+c：y钏 ㈦⋯ △，一常数时方程(1．5)可以常系数化，通常选取c2使式(1I10)最简单，c1便 确定。 二、利用禾知函数的并次线性变化实现常系数化 令y一．Iz(x)z(x) (1．12) 其中_}10)为x得已知函数，zb)为x的未知函数，方程(1．5)可化为： 窘+E妾+Qzz一。 ㈦m 最一半心咖P等+等川一争-窘 在y一^O)2仁)的变换下。方程(1'5)保持线性齐次性。若要使方程(1．5)常系 数化，则应该同时满足： 最；P+掣。d。(常数) (1，14) 队-Q+P}+竿·d：(常数) (1．15) 从(1．14)式解得： |110)；el‘。1叩k (1．16) 代入(1．15)式得到结论2： 6 若方程(1．5)的系数满足判别式： ％-Q一丢警一≯一c(常数) 则经变换式(1。12)、(1．16)方程(1．5)可常系数化为： 害“笔+咄；o萨刈1忑州2扣u (1．17) (1．18) 妒”譬 n19) △．．常数对方程(1．5)可经未知函数的线性变换常系数化，通常选取吐使^G)的 表示式(1．16)最简单，d2由式(1．17)、(1．19)确定。 三、通过自变量和未知函数的联合变换实现常系数化 若判别式(1．9)中A。一常数，即通过自变量的交换不能使方程常系数化，但变换式 (1．10)使得式(1．6)中： Q1一c2(常数)，暑；△l (1．20) 对方程(1．6)继续作变换y-^O弦(f)，方程(1，6)化为： 窘+豆去+西=o nz-， 磊母警，夏吃+只瓣Ⅲ’-争一窘， 可见，变换后的方程仍是线性齐次的。选择|Il(f)，使得葛=互(常数)， B9．^(f)。e狮呐盗 (1．22) 将上式代入式(1．21)，若能使 磊一Q1一号鲁一手+专玉=五(删 则式(1．21)中的方程是常系数的。由于Q1；C2(常数)，互为常数，我们得到结论3： 只要判剐式A，．-一丢号}一÷只2一c(常数) (1．23) 方程(1．5)可经自变量和未知函数的联合变换： 7 严扣一喇，t=停硼社。 强zt， 常系数化为： (1．25) (1．26) 通常选取常数五使，l(f)的表示式(1．22)最简单，五由式(1．26)完全确定 至此，我们已经得到了变系数二阶线性常微分方程可以转化为常系数的三个判别 式。满足其中任何一个判别式的方程都可以常系数化。 四、变系数方程常系数化求解的步骤 (1)．对于任何一个变系数二阶线性常微分方程，首先将方程化为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式，然后确 定P0)，Q似)· (2)·对于一般的方程，可以依次检验判别式△l，△2，△3是否为常数，从而决定方程 能否常系数化，若能常系数化需要用什么样的相应变换，化为竹么样的常系数方程。然 后解得到的方程。 (3)．对于一些特殊的方程，如：P@)是常数，只要检验△1，△3就可以，因为这时 △2一定不是常数·若Q∽为常数，只需要检验△2，此酎△1不是常数，而△3与厶2在 判别的作用上等价。 盒 第二章化变系数方程为特殊函数方程 常系数化法可以解决变系数二阶线性常微分方程中的一类问题。然而，并不是所有 的变系数方程都可以转化成常系数方程。在实际问题中，很多交系数方程不能常系数化， 例如在用分离变量法求解数学物理方程时经常遇到的Be龉d方程、Legendrc方程等都不 能常系数化，我们往往通过引入特殊函数的办法来解决其中一些特殊的方程，现在数学 上已经掌握了很多种特殊函数的方程，因此我们可以以这些方程为基础，对于那些不能 常系数化的方程，考虑将它们向特殊函数方程转化，进而对这些不能常系数化的变系数 方程转化为我们熟悉的特殊函数方程进行求解和分析。 §2—1特殊函数的分类 然而，将变系数二阶线性常微分方程转化为特殊函数方程并不是一件很容易的事 情。在常系数化法求解方程的时候我们只需要考虑通过各种变换将变系数转化为常系 数，虽然变换的种类多样，但只要把系数变成常数就可以了。与常系数化方法不同，特 殊函数方程种类很多，而且很多方程性质也不一样，对于一个陌生的变系数二阶线性常 微分方程，我们不知道它能转化成哪一类特殊函数方程，再加上变换方式也不确定，如 果一个一个的去试验，这样反而更加麻烦，有可能还得不到理想的结果。所以，将变系 数方程转化为特殊函数方程比常系数化要复杂的多。 通过对特殊函数及其方程的研究，我们知道，根据常微分方程方程奇点的性质，可 以将特殊函数分为三大类129观】： 一、超比函数型 在特殊函数方程中，有很大一类的方程只含有三个正则奇点(一般是一1，1。∞， 或者O，l，∞)。常见的有kgen出e方程、连带IJegenme方程、Tsdlcbysche饪方程、 Gegenbauer方程、Gauss方程、广义超球方程、超球方程等。这类方程以Gauss方程为 原型方程，即所有这类特殊函数的微分方程都可以化为Gauss函数型方程求解。 二、合流超比函数型 这类特殊涵数的微分方程有两个奇点，一个是芷则奇点，另一个是非正则奇点。例 如：Bessel方程，bguerre方程，He珊ite方程等。这类函数型的方程以Kummer方程 或whitta】cer方程为原型方程，即所有这类特殊函数的微分方程都可以化为I沁砌cf方 程或WMttaker方程。 9 三、椭球面函数型方程 这类特殊函数的微分方程有四个奇点或者四个以上的正则奇点，或者至少有荫个正 则奇点和一个非正则奇点。例如；Lame方程、Mathieu方程等。这类方程的求解比前面 两种方程困难很多。 在论文中主要讨论第一种函数型方程．即超比函数型方程的转换，利用砌emallnP 符号及其交换的性质，将任一个只含有三个正则奇点的交系数二阶线性常微分方程转化 为相应的特殊函数方程。 §2-2Ri鳓amP符号及其变换 根据特殊函数理论可以知道，只具有三个正则奇点的微分方程的解的性质完全由这 三个奇点所对应的指标所决定，设方程的奇点为口，6，c，对应指标分别为(91，芦，)， (口2，卢2)，(a3，卢3)，则可以用符号： v—P n 6 c qa2 届应 ％，x 尾 (2．1) 表示方程的全部解，称为Ricm锄P符号或础唧a肌P方剥嬲“。其中第一行为方程的 奇点，第二行和第三行为相应奇点指标，第二行逗号后面为方程的自变量。除了自变量 的位置不能变以外，列和列之间的位置可以交换，第二行和第三行的位置可以交换，每 个奇点所对应的两个指标可以单独交换，一般我们习惯把代数性质相同的指标放在同一 行内。(2．1)代表韵方程是：y～f等学+警+号些}y，+熹I 石一口 x—D z—c I 7 x一Ⅱ一口一c j竺1壁111二丝竺=啦!z色尘=：迦二生13＆生二丛!：必y=o(2．2) 【 石一口 z—D 工一c J。 若奇点c一∞，则方程变为如下形式： y-{等学+宅乒”矗毋I x一4 z—D l。 工一口一口{掣+掣坞岛{y；o (2’3)l 互一口 x一6 一’l。 可以看出，每个RiemanllP符号都对应着一个微分方程，m锄a皿P符号相同则方 程也相同，对方程进行自变量和未知函数的变换会改变Riem锄P符号，其中自变量的 10 因此，若能通过某种自变量和未知函数的改变，使待求的变系数方程的Riema曲P 符号改变后与已知的特殊函数方程的Riem蛐nP符号中奇点和指标相同，则说明通过这 种变换可以将未知方程转化为已知的特殊函数方程。这样我们就可以通过RiemaIHlP符 号的变换建立起这类方程的联系，并且可以很容易的找到变换的方式。 Riem跏P符号交换与自变量和未知函数的交换的存在下歹1j关系【翘： P长引一舞附P妊毫磊：，筹}汜a， P鞋计卜川肭叫毫未；翕筹}(2-s，P骶列七_口九肭卜忧茇：搿嚣湍}汜-驺 另外，可以证明，对于所有的只具有三个正则奇点的微分方程指标满足p哪： al+口2+a3+岛+岛+岛，1 (2．6) §2—3 RiemannP符号在变系数方程转化中的应用 虽然现有的特殊函数理论中．可以将任何一个只具有三个正则奇点的变系数二阶线 性常微分方程转换为超比方程，包括kgcndre方程、连带kgendrc方程、TSchebyscheff 方程等，但是当我们可以缀容易地把一个变系数方程通过很简单钓交换就能变戏 kgendre方程或连带kgendre方程等这些我们更加熟悉的方程的时候，我们就没有必 要千篇一律的通过很复杂的变换将方程变成超比方程。 掌握了常用的特殊函数方程的Riem瑚P符号以后，我们就可以根据未知方程 Ri锄啪P符号的性质，通过最简单的变换，将其转换为我们熟悉或需要的特殊函数方 程。 下面我们将利用砒唧锄P符号变换的性质来推导变系数二阶线性常微分方程可以 化为kgendre方程需要满足钧条件； 设只有三个芷则奇点的变系数二阶线性常微分方程： 鲁+p(x)冬+Q(并)y．o (2．7) 设方程奇点为口，6，c，对应奇点指标为(a1，卢·)，(口2，卢z)，忙3，卢3)，则对 甚至对于从事广义相对论方面研究的物理工作者而言，Maple本身还备有一部分 常用的应用包。可以直接调用计算广义相对论中的一些物理量，既能确保答案的正确性， 同时又节省了时间和精力。此外，可以利用M印lc的编程功能，把Maple作一定程度的 推广用以解决广义相对论和理论天体物理中的一些特殊问题。 §3q№ple在常系数化法中的应用 在第一章里我们可以看到，虽然变系数二阶线性齐次常微分方程可以通过三种变换 方式实现常系数化，并保持方程的线性不变。但是判别式的运算过程相对比较复杂，基 于变系数方程常系数化的基本原理和步骤，将原来的判别式通过适当的变换，编写为 Maple程序语言。通过输入二阶线性变系数常微分方程的系数，直接判断方程是否可以 常系数化，如果能则显示通过哪种变换转化为常微分方程，同时给出常系数化后的方程。 常系数化法在Maple中的实现： 常系数化求显解的步骤 1．将化为方程标准形式d豪≥，，。)+嗉．)，o)+钞◇)一o，确定P和Q。为 了简化计算，直接输入系数4，易，c，将P和口的计算放到程序中。 2．依次检验判断△{，△，。△1是否为常数，从丽决定方程自&否常系数化。为了增强 程序的可读性，我们可以先求出△，，△，，△1，然后依次判断。由于 挫-焉卜+去Q∽卢协】cc为常扒敞一}争P一÷P2 (B=△1)。考虑到数学软件的可行性，将△1，△3做适当变换，令 At。：-一fP(t)+}Q(，}卢口{x}】1声《：)，将& 3．连带Tscheby谢le圩l囊≤ 圳2／|Q(∥· △-’，△，’与A1，△3的形式虽然不同，但是在判别的作用 是完全等价的，变换后 3．将方程 常系数化以后，通过程序输出变换后的方程，并体现出变换过程，便于教学过程中 便于分析。若方程不能常系数化，则显示“强e coe蕊西entsofequa60ncannot bcch姐gcdiDtoconstants．”4．用Map ?? ?x 在Maple环境中用save命令将szy0保存到C盘。文件名设为s碍text- >saveszy，“c：＼＼配y-tcxt”； 保存以后我们就可以在Maple环境中通过read命令调用铊yO函数，将这类方程常 系数化。 例l：求解方程算z妥_)，@)+算要yo)+2yo)．o黜 积 >read”c：№y．text”(调出程序) 瑰y(x‘2’x'2)；(运行程序) At—o，卜』乒后三出[丢“。]+一c“。一 可以看到△1=常数r原方程可以通过自变量变换成常系数方程》y(f)+p(f)_o。 例2：求解方程≯砉y(石)+幻(2+工)丢yo)+20“)2yo)一。船 “ >szy伍62。24x+‘2+x)∥(x+1)‘2)；(运行程序) 监叱y。贰砷丘琦^．．(；，』专3刁』⋯扣。 [；=c砷]⋯(丢贰神)+p一。 §3_4如ple在特殊函数方程转化中的应用 特殊函数糟类很多，这里我是讨论在杨理串常焉的两类特殊涵簸超比函数型方程和 合流超比函数型方程。 一、含有三个正则奇点的变系数二阶线性常微分方程 在第二章里阐述了如何利用础ema胁P符号的变换将只具有三个正则奇点的变系数 二阶线性常微分方程转化为某一类特殊函数方程。然而这一前提是首先我们必须判断方 程是不是只具有三个正则奇点，此后还要求出对应奇点的指标，然而这并不是一件很简 单的工作，这里我lcj就裂用编写b莲apk程枣，将涵题筒仡。 由于一股的关于计算机程序的教材很少涉及到求方程奇点及其指标的问题，所以大 家对Maple中相关命令了解很少，但是这不代表Maple的功能不强大。在本章第二节里 我们介绍过Maple其中的一个特点：程序 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 命令规范。其基本语句和予程序命名都基 ’9 计算O(x)： 方程eq： 求方程的奇点1： 求方程的奇点2； 求方程的奇点3； 奇点l的指标方程； 奇点2的指标方程； 奇点3的指标方程； 计算出RiemannP左部 并以矩阵的形式表示； >Q：=expalld(“a)； >eq：=Di联y(x)，x$2)+P+Di瓤y(x)，x2)+Q+y(x)-o； >q1：=op(S抽gIllarities(eq，y(x)呱1】)【2】【1】． >q2：=op(singularitieS(eq，y(x))【1】)【2】【2】； >q3：=op(singIllaritics(eq，y(x))【1】)【2】【 ?? ?x 第四章总 结 论文系统的阐述了将变系数二阶线性常微分方程转化为常系数微分方程的基本思 想和方法，提出了利用mem锄P符号的变换将只具有三个正则奇点的变系数方程转化 为已知的特殊函数方程，通过转换关系，可以很容易的研究方程之问的相互关系。加上 对已有理论的分析总结，从总体上阐述将变系数二阶线性常微分方程转化为“可解方程” 迸行求解的基本思想和方法。结合计算机符号处理系统Ⅺaple，建立了完整的求解步骤。 对于任何一个二阶线性交系数常微分方程： 等+P(石)譬+Q(工)_)，一。 口茗 B工 首先，我们观察方程的形式，如果方程本身就是我们所熟悉的特殊函数方程，则直 接按照特殊函数方程的办法求解。如果不是就可以按照下面的步骤求解： 1．常系数化 将方程的系数输入编好的Maple程序(见第三章)，利用数学软件计算常系数化的 三个判别式，如果可以常系数化，则Maple直接给出变换关系和常系数化后的方程。 2．特殊函数化 利用Maple程序求出方程的奇点，根据奇点的性质采用不同的方法，若方程只有三 个正则奇点，则进一步利用Maple程序求出方程的Riem蛐P符号，对照第二章第三节 推导的关系判断方程可以转化为哪种特殊函数方程。若方程含有一个正则奇点和一个非 正则奇点，可以利用Maple向合流超比方程或whitbk盯方程转化，根据不同情况转化 为其中一种形式的方程。 3．级数解 如果前两种情况都不能解决方程。只能用级数解法对方程进行求解，可以利用Maple 中的Dsolvco命令，对方程进行级数求解。 参考文献 [1]J．F．斯科特．数学史【M】．侯德润，张兰译．北京：商务印书馆，198l， [2]同济大学数学教研室编．高等数学讲义[M】．人民教育出版社，1990． [3]M．克莱因．古今数学思想[M]．上海：上海科技出版社．1980． [4]BraunM．微分方程及其应用[M】．张鸿林译。北京：人民教育出版社．1982． [5]FinizioM，bdasGAnln仃oducti∞toD￡腼rcndalEq岫ti帅『M1．whdswoth．1982． [6]史捷班诺夫BB．微分方程教程．h元震译．北京：高等教育出版社，1956． [7]钱伟长．微分方程的理论及其解法[M]．北京：国防工业出版社。1992。 [8]丁同仁．常微分方程基础[M】．上海科学技术出版社。1981． [9]王高雄．常微分方程【M](第二版)．高等教育出版社，1983． [10]伍卓群．常微分方程[M】．北京：高等教育出版社，2004． [1l】GBirkho伍＆G．C．Rota．0rdiIlaryDi疵ren娃alEquationJohnWileyinc·1969． 『121VI．Amold．0rdinaryDi饪eren血lEq岫ci彻．MrrPfe鼯．Prillceton，1973． [13]尤秉礼．常微分方程补充教程[M]．北京：人民教育出版社，198L [14]叶彦谦．常微分方程讲义【M](第二版)．人民教育出版社，1982． [15]卡姆克．常微分方程手册[M】．北京：科技出版社，1980． [16]柬仁贵．数学物理方法[M】．长春：东北师范大学出版社，1989． [17]郭敦仁．数学物理方法[M]，北京：高等教育出版社，1991． [18]郭玉翠．数学物理方法【M]．北京邮电大学出版社，2003． [19]梁昆淼．数学物理方法[M】(第二版)．北京：高等教育出舨杜，1996． [20]姚端正，梁家宝．数学物理方法CM]．武昌：武汉大学出版社，1997． 【21]胡嗣柱，倪光炯．数学物理方法【M】．上海：复旦大学出版社，1988． [22]肖建海，几类典型的二盼线性方程的解法．数学通报．1999，(3>：37-39． [23]刘佳昌，鲍曼。王萍．特殊类型二阶变系数齐次线性微分方程通解公式。电机与控制学 报，1996，19(1)：106一110． [24]杨丽明．一类变系数线性常微分方程的求解．河北师范大学学报(自然科学 版)，1996，20：13一16． [25]王守田，杨立中，刘承世．关于二阶变系数线性常微分方程的转化问豫．齐齐哈尔师范学院学 报(自然科学版)，1997，17(1)：7—10． [26]束仁贵。束蔚．一类二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法￡J]．大学物 理，1997，16(9)：6—9． (27]束仁贵，束藿，李珍．线性常徽分方程的保线性变换及其应用．大学物理．2∞3，22(7)：l卜15， 【28】 sneddon，LN．SpecialFuncti伽拈ofMath啪a廿calPbysi鼯锄dche删sImh麟ien％N唧Y0rk， 1956‘ 【29】 Rainvnle，E．D．Spccialnm面∞s，Ma锄i11卸，NewYb出，1953． [30]刘式适，刘式达．特殊函数[M】(第二版)．气象出版社，2002． [31]王竹溪，郭敦仁．特殊函致概论[M】．科学出版社，1979． [32]李世奇，杜慧琴．MapIe计算机代数系统应用及程序设计[M】．重庆大学出版社，1999． [33]李世奇．计算机代数系统MapIe及其程序设计语言．重庆师范学院学报(自然科学版)，1998， 15(4)：78一“． 致谢 在本论文即将结束之际，我要向在我在东北师范大学度过的七年岁月中帮助过我的 人表示感谢! 首先要感谢我的研究生阶段指导教师束仁贵教授。束老师治学严谨，学识渊博，讲 课生动，对一些物理问题往往由浅显之处入手，却常给人以“胜读十年书”，醍醐灌顶 之感，显示了其深厚的物理及数学功力。另外，束老师豁达大度，为人正直．具有极强 的人格魅力。三年来，虽不是朝夕相处，但老师的影响却如春雨般“润物细无声”，老 师给我的专业知识以及人文上的营养将使我受益终生，同时，这篇论文也是老师牺牲了 许多宝贵的时间对我悉心指导的结果。再一次向我敬爱的束老师表示感谢! 此外，我还要感谢物理学院所有老师的帮助和教导，是他们鼓励我在困难面前勇于 前进!衷心感谢他们给了我很多美好的回忆，师生之情永生难忘j 我还要感谢在我撰写论文时，给予我支持和帮助的张义勇、孙慧影、张新颖等同学， 谢谢你们对我的鼓励与帮助，同窗之谊，永难忘怀! 最后，我要深深的感谢我的父母和朋友，没有他们的鼓励与支持，我就没有面对困 难的信心和勇气。真诚祈祷他们平安、健康! 难的信心和勇气。真诚祈祷他们平安、健康! 变系数二阶线性常微分方程求解的基本研究及Maple在其中的 应用 作者： 孙智勇 学位授予单位： 东北师范大学 参考文献(39条) 1.参考文献 2.J F 斯科特.侯德润.张兰 数学史 1981 3.同济大学数学教研室 高等数学讲义 1990 4.M 克莱因.江泽涵 古今数学思想 1980 5.Braun M.张鸿林 微分方程及其应用 1982 6.Finizio M.Ladas G An Introduction to Differential Equation 1982 7.史捷班诺夫B B.卜元震 微分方程教程 1956 8.钱伟长 微分方程的理论及其解法 1992 9.丁同仁 常微分方程基础 1981 10.王高雄 常微分方程 1983 11.伍卓群 常微分方程 2004 12.G Birkhoff.G-C Rota Ordinary Differential Equation 1969 13.V I Arnold Ordinary Differential Equation 1973 14.尤秉礼 常微分方程补充教程 1981 15.叶彦谦 常微分方程讲义 1982 16.卡姆克 常微分方程手册 1980 17.束仁贵 数学物理方法 1989 18.郭敦仁 数学物理方法 1991 19.郭玉翠 数学物理方法 2003 20.梁昆淼 数学物理方法 1996 21.姚端正.梁家宝 数学物理方法 1997 22.胡嗣柱.倪光炯 数学物理方法 1988 23.肖建海 几类典型的二阶线性方程的解法 1999(03) 24.刘佳昌.鲍曼.王萍 特殊类型二阶变系数齐次线性微分方程通解公式 1996(01) 25.杨丽明 一类变系数线性常微分方程的求解 1996 26.王守田.杨立中.刘承世 关于二阶变系数线性常微分方程的转化问题[期刊论文]-齐齐哈尔师范学院学报(自然科学 版) 1997(1) 27.束仁贵.束蔚 一类二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法 1997(09) 28.束仁贵.束萱.李珍 线性常微分方程的保线性变换及其应用[期刊论文]-大学物理 2003(7) 29.Sneddon I N Special Functions of Mathematical Physics and Chemistry 1956 30.Rainville E D Special Functions 1953 31.刘式适.刘式达 特殊函数 2002 32.王竹溪.郭敦仁 特殊函数概论 1979 33.李世奇.杜慧琴 Maple计算机代数系统应用及程序设计 1999 34.李世奇 计算机代数系统Maple及其程序设计语言 1998(04) 35.洪维恩.李强.董建刚 数学魔法师Maple6 2001 36.黎捷 MAPLE9.0符号处理及应用 2004 37.刘辉.李海 MAPLE符号处理及应用 2001 38.M Horbatsch Quantun Mechanics Using Maple 1995 39.何跃娟.吴雪君.须重明 Maple在广义相对论中的应用--双星系统1-PM近似运动方程 1998(01) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y889494.aspx 封面 文摘 英文文摘 独创性声明及学位论文版权使用授权书 引 言 第一章 变系数二阶线性常微分方程的常系数化法 第二章 化变系数方程为特殊函数方程 第三章 Maple在变系数二阶线性常微分方程求解中的应用 第四章 总结 参考文献 致谢