免积分 牛顿拉普森 二元迭代法

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 23卷 　第 4期 2009年 　　11月 山 　东 　轻 　工 　业 　学 　院 　学 　报 JOURNAL OF SHANDONG INSTITUTE OF L IGHT INDUSTRY Vol. 23　No. 4 Nov. 　　2009 收稿日期 : 2009 - 09 - 03 作者简介 :徐瑞民 (1981 - ) ,男 ,山东省滨州市人 ,山东轻工业学院数理学院助教 ,硕士 ,研究方向 :主要从事金融数学理论研究. 文章编号 : 1004 - 4280 (2009) 04 - 0089 - 03 二元非线性方程组求根的牛顿迭代法 徐瑞民 (山东轻工业学院 数理学院 ,山东 济南 250353) 摘要 :本文根据一元函数的 Taylor公式和求解一元非线性方程的牛顿迭代法之间的关系 ,利用多元函数的 Taylor公 式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法 ;在此基础上 ,通过 MATLAB仿真计算一个方程组的根来说明该 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是可行的。 关键词 :牛顿迭代法 ;一元函数 ;二元函数 ; Tayor公式 ;Matlab 中图分类号 : O242. 1　　　　文献标识码 : A Newton’s method for the nonlinear function of two independent var iables XU Rui2m in ( School ofMathematics and Physics, Shandong Institute of L ight Industry, J inan 250353, China) Abstract:According to the relation between Taylor’s law for one independent variable and Newton ’s method about the nonlinear function of one independent variable, a Newton’s method for the nonlinear equation set of two independent variables was derived by Taylor’s law for moltivariate function based on this. it is possible to verify the method through MATLAb to calculate the root of the equation. Key words:Newton’s Iterative method; function of one independent variable; function of two independent variables; Taylor formula;Matlab 0　引言 非线性方程 f ( x ) = 0的数值解法有逐步搜索 法、区间二分法、迭代法、牛顿迭代法等 [ 1 ] ,那么 ,对 于对于非线性方程组 f ( x, y) = 0 g ( x, y) = 0,其牛顿迭代法的 迭代方程是什么 ? 本文根据一元函数的 Taylor公式 和一元非线性方程牛顿迭代法之间的关系 ,利用多 元函数的 Taylor公式推导出了二元非线性方程组的 牛顿迭代法 ,在此基础上利用推导出的二元非线性 方程组求根的牛顿迭代法通过 matlab仿真计算出 一个方程组的根 ,检验了所得方法的有效性。 1　基本定理、结论 定理 1 (一元函数的 Taylor公式 ) [ 2 ] 如果函数 f ( x)在含有 x0 的某个开区间 ( a, b) 内具有直 ( n + 1)阶的导数 ,则对任一 x∈ ( a, b) ,有 f ( x) = f ( x0 ) + f′( x0 ) ( x - x0 ) + f″( x0 ) 2! ( x - x0 ) 2 + ⋯ + f( n) ( x0 ) n! ( x - x0 ) n + Rn ( x) 其中 Rn ( x) = f ( n + 1) (ξ) ( n + 1) ! ( x - x0 ) n + 1 ,这里ξ是 x0 与 x之间的某个值。 定理 2 (二元函数的 Taylor公式 ) [ 3 ] 设 z = f ( x, y)在点 ( x0 , y0 )的某一邻域内连续且 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 　　　　　山 　东 　轻 　工 　业 　学 　院 　学 　报 第 23卷 有直到 ( n + 1 )阶的连续偏导数 , ( x0 + h, y0 + k)为 此邻域内任一点 ,则有 f (x0 +h, y0 +k) = f (x0 , y0 ) + h 99x +k 99y f (x0 , y0 ) + 1 2! h 99x +k 99y 2 f ( x0 , y0 ) + ⋯ + 1n! h 99x +k 99y n f ( x0 , y0 ) + 1(n +1) ! h 99x + k 99y n + 1 f ( x0 +θk, y0 +θk) , (0 <θ < 1 ). 其 中 h 99x + k 99y m f ( x0 , y0 ) 表 示 ∑ m p =0 Cpm h p km - p 9m f9xp 9ym - p | ( x0, y0) 定理 3:一元非线性方程求根的牛顿牛顿法 [ 1 ] 设已知方程 f (x) =0有近似根 xk (假定 f′( xk ) ≠0, 将函数 f (x)在点 xk 处展开 ,有 f ( x)≈ f ( xk ) + f′( xk ) ( x - xk ) , 于是方程 f ( x) = 0可近似的表示为 f ( xk ) + f′( xk ) ( x - xk ) = 0 这是个线性方程 ,记其根为 xk + 1 ,则 xk + 1的计算 公式为 xk + 1 = xk - f ( xk ) f′( xk ) 　 ( k = 0, 1, ⋯) 2　二元函数的牛顿迭代法 设 z = f ( x, y)在点 ( x0 , y0 )的某一邻域内连续且 有直到 2阶的连续偏导数 , ( x0 + h, y0 + k)为此邻域 内任一点 ,则有 f ( x0 + h, y0 + k)≈ f ( x0 , y0 ) + h 99x f ( x, y) | x = x0 + k 99y f ( x, y) | y = y0 其中 h = x - x0 , k = y - y0 于是方程 f ( x, y) = 0可近似的表示为 　f (xk , yk ) + h 99x f (x, y) |x = xk + k 99y f (x, y) |y = yk =0 即 f ( xk , yk ) + ( x - xk ) fx (xk , yk ) + (y - yk ) fy ( xk , yk ) =0 同理设 z = g ( x, y )在点 ( x0 , y0 )的某一邻域内 连续且有直到 2阶的连续偏导数 , ( x0 + h, y0 + k)为 此邻域内任一点 ,则同样有 g ( x0 + h, y0 + k)≈ g ( x0 , y0 ) + h 99x g ( x, y) | x = x0 + k 99x g ( x, y) | y = y0 其中 h = x - x0 , k = y - y0 于是方程 g ( x, y) = 0可近似的表示为 g (xk , yk ) + h 99x g (x, y) |x = xk + k 99x g (x, y) |y = yk =0 即 g (xk , yk ) + (x - xk ) gx (xk , yk ) + (y - yk ) gy (xk , yk ) =0 于是得到方程组 f ( xk , yk ) + ( x - xk ) fx ( xk , yk ) + ( y - yk ) fy ( xk , yk ) = 0 g ( xk , yk ) + ( x - xk ) gx ( xk , yk ) + ( y - yk ) gy ( xk , yk ) = 0 求解这个方程组 : 当 gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) ≠ 0时 x = xk + f ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) - g ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) y = yk + g ( xk , yk ) fx ( xk , yk ) - f ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) 从而 : x = xk + f ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) - g ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) y = yk + g ( xk , yk ) fx ( xk , yk ) - f ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) (1) 记符号 gfx - fgx | ( xk, yk) = g ( xk , yk ) fx ( xk , yk ) - f ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fgy - gfy | ( xk, yk) = f ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) - g ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) gx fy - fx gy | ( x k, yk) = gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) (1)式可改写为 x = xk + fgy - gfy | ( xk, yk) gx fy - fx gy | ( xk, y k) y = yk + gfx - fgx | ( xk, yk) gx fy - fx gy | ( xk, y k) (2) 迭代公式为 : xk + 1 = xk + fgy - gfy | ( xk, yk) gx fy - fx gy | ( xk, yk) yk + 1 = yk + gfx - fgx | ( xk, yk) gx fy - fx gy | ( xk, yk) (3) 通过迭代公式 ( 3 )可迭代出当 k = 1, 2, ⋯时 , ( xk , yk )的值 ,当 | ( xk + 1 , yk + 1 ) | ≤δ(δ> 0为给定的 误差控制项 )时 ,原方程组的根即为 ( xk , yk )。这就 是二元函数牛顿 (Newton)法。 09 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 4期 徐瑞民 :二元非线性方程组求根的牛顿迭代法 3　方法应用 例 　给定方程组 xy - ex + ey - 4 = 0 xe y - sin ( xy) = 0 初始条件取为 x = 1, y = 1,用二元函数牛顿迭 代法求此方程组的根。 解 :令 f = xy - ex + ey - 4 g = xey - sin ( xy) ,计算其偏导数如下 fx = y - ex , gx = ey - ycos( xy) fy = x + ey , gy = xey - xcos ( xy) 其代入迭代公式 xk + 1 = xk + fgy - gfy | ( xk, yk) gx fy - fx gy | ( xk, y k) yk + 1 = yk + gfx - fgx | ( xk, yk) gx fx - fx gy | ( xk, y k) 可得 : fgy - gfy | ( xk, yk) = ( xy - ex + ey - 4 ) [ xey - xcos( xy) ] - [ xey - sin ( xy) ] ( x + ey ) gx fy - fx gy | ( xk, yk) = ( ey - ycos ( xy ) ) ( x + ey ) - ( y - ex ) [ xey - xcos( xy) ] gfx - fgx | ( xk, yk) = ( y - ex ) [ xey - sin ( xy ) ] - [ ey - ycos ( xy) ] ( xy - ex + ey - 4) 运用 matlab程序 [ 4, 5 ]解得此方程组的根为 : x = 1. 1572e - 005 y = 1. 6094 f = 8. 1770e - 006 g = 3. 9235e - 005 i = 5 分析 :初始条件取为 x = 1, y = 1,可以换其他数 值检验。说明误差在允许范围内 ! 其迭代次数为 5,迭代速度比较快。 参考文献 : [ 1 ]　马东升 ,雷永军. 数值计算方法 [M ]. 北京 : 机械工业出版 社 , 2001. [ 2 ]　陈传璋 ,金福临 ,朱学炎 ,等. 数学分析 ( 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf ) [M ]. 北京 :高等 教育出版社 , 1983. [ 3 ]　陈传璋 ,金福临 ,朱学炎 ,等. 数学分析 (下册 ) [M ]. 北京 :高等 教育出版社 , 1983. [ 4 ]　李海涛 ,邓樱. MATLAB程序设计教程 [M ]. 北京 :高等教育出 版社 , 2004. [ 5 ]　刘为国. MATLAB 程序设计教程 [M ]. 北京 :水利水电出版 社 , 2005. 　 (上接第 85页 ) 3　结论 虽然所测试的 3个燃煤电站燃用的煤种各异 , 取样测试点前烟气净化设备配置情况不同 ,各测试 点处烟气的汞浓度及形态分布存在较大差异。但所 设计的 FMSS测试装置对烟气汞的实际取样测试结 果与 OH法及 CEM的测试结果基本相一致 ,说明该 装置可用于实际燃煤电站的形态汞浓度测试 ,且测 试准确性好 ,结果可靠。 KCl/SiO2吸附剂具有良好的选择吸附特性 ,且 在实际燃煤烟气中 ,当采样点处的 SO2浓度高达 1248 ppm时 ,未发现气态零价汞被 KCl/SiO2吸附剂 氧化吸收的现象。 参考文献 : [ 1 ]　Meij R. A samp ling method based on activated carbon for gaseous mercury in ambient air and flue gases [ J ]. W ater, A ir, and Soil Pollution, 1991, 56: 117 - 129. [ 2 ] 　 Prestbo E. M. , B loom N. S. . Mercury speciation adsorp tion (MESA ) method for combustion flue gas: methodology, artifacts, intercomparison, and atmospheric imp lications[ J ]. W ater, A ir, and Soil Pollution, 1995, 80: 145 - 158. [ 3 ]　Mark S. 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